Chỉ ra những sai lầm trong lời giải của học sinh là điều cần thiết song điều quan trọng
hơn là phân tích được nguyên nhân chính dẫn đến sai lầm đó. Việc thấy được những sai
lầm có ý nghĩa đặc biệt về mặt phơng pháp vì chúng giúp học sinh chống lối hiểu hình
thức, đi sâu vào bản chất của vấn đề.
Những sai lầm hạn chế năng lực học toán của học sinh, vì vậy qua việc phân tích
những sai lầm, người giáo viên cần làm cho học sinh nhận diện được các sai lầm, thấy được
nguyên nhân chính dẫn đến sai lầm. Từ đó học sinh sẽ tránh được những sai lầm, nắm kiến
thức một cách vững chắc hơn.
GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 1 chuyên đề phân tích những Sai lầm khi giải toán Chỉ ra những sai lầm trong lời giải của học sinh là điều cần thiết song điều quan trọng hơn là phân tích đ−ợc nguyên nhân chính dẫn đến sai lầm đó. Việc thấy đ−ợc những sai lầm có ý nghĩa đặc biệt về mặt phơng pháp vì chúng giúp học sinh chống lối hiểu hình thức, đi sâu vào bản chất của vấn đề. Những sai lầm hạn chế năng lực học toán của học sinh, vì vậy qua việc phân tích những sai lầm, ng−ời giáo viên cần làm cho học sinh nhận diện đ−ợc các sai lầm, thấy đ−ợc nguyên nhân chính dẫn đến sai lầm. Từ đó học sinh sẽ tránh đ−ợc những sai lầm, nắm kiến thức một cách vững chắc hơn. Chuyên đề này chỉ phân tích những sai lầm có tính điển hình mà học sinh th−ờng mắc. 1.1. Những khó khăn và những sai lầm học sinh th−ờng mắc khi ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. * Do không nắm vững kiến thức có nhiều học sinh khi dùng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN của hàm số đã mắc sai lầm nh sau: Ví dụ 1 Với bài toán: '' Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y = 3 1 x x + trên [-2 ; 0] '' + Một số học sinh đã giải nh sau: y' = 2 2 (2 3) ( 1) x x x + + Lập bảng biến thiên của y với x ∈ [-2 ; 0] x - 2 - 3/2 0 y' - 0 + y 8 0 4 27 Từ bảng biến thiên ta có: y = 8; = [ ]2;0max− [ ]2;0min− 27 4 + Sai lầm: Học sinh đã quên không xét tập xác định của hàm số do vậy đã lập sai bảng biến thiên. Đây là sai lầm th−ờng gặp khi học sinh lập bảng biến thiên của hàm số dới dạng phân thức. GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 2 + Lời giải đúng: Bảng biến thiên của hàm số y = 3 1 x x + Với x ∈ [-2 ; 0] là: x - 2 - 2 3 -1 0 y' - 0 + + y 8 + ∞ 0 4 27 - ∞ Vậy GTLN và GTNN của hàm số không tồn tại. * Cũng có nhiều học sinh do không hiểu định nghĩa nên sau khi đã lập đúng đợc bảng biến thiên nhng kết luận lại sai. Ví dụ 2 Với bài toán: ''Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y = f(x) = 5x x− − '' + Có học sinh giải nh sau: Điều kiện 0 5 0 x x ≥⎧⎨ − ≥⎩ 5x⇒ ≥ f'(x) = 5 0 2 ( 5) x x x x − lim x→+∞ f(x) = lim x→+∞ 5 5x x+ − = 0 Bảng biến thiên: x 5 + ∞ f'(x) - f(x) 5 0 Do đó: f(x) = f(5) = [ ]5;max+∞ 5 ; [ ]5;min+∞ f(x) = 0 + Sai lầm: Học sinh không hiểu rõ định nghĩa, nhầm lẫn giữa hai khái niệm minf(x) và limf(x) nên mặc dù bảng biến thiên lập đúng nhng kết luận vẫn sai. GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 3 +Lời giải đúng Căn cứ vào bảng biến thiên ta thấy 0 < f(x) ≤ 5 với 5x∀ ≥ ⇒ GTLN của f(x) là 5 còn GTNN của f(x) không tồn tại. * Khi sử dụng phơng pháp đạo hàm để tìm GTLN, GTNN của hàm số do không nắm vững khái niệm GTLN, GTNN nên rất nhiều học sinh nhầm lẫn giữa các khái niệm cực đại, cực tiểu với GTLN, GTNN của hàm số. Ví dụ 3 Với bài toán : '' Tìm GTLN, GTNN của hàm số: y = f(x) = 3 24 3 2 x x 1+ + trên đoạn [-1;1]'' + Có học sinh giải nh sau: y' = 24 2x x+ y' = 0 0 1 2 x x =⎡⎢⇔ −⎢ =⎣ Bảng biến thiên: x - 1 - 1 2 0 1 y' + 0 - 0 + y 7 12 1 2 Ta có: f(x) = [ ]1;1max− 7 12 ; f(x) = [ ]1;1min− 1 2 + Sai lầm: Học sinh này đã nhầm lẫn giữa bài toán tìm GTLN, GTNN với bài toán tìm cực đại và cực tiểu của hàm số. ở đây 7 12 và 1 2 tơng ứng là giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số y trên [-1;1] nhng không phải là GTLN, GTNN của y trên [-1;1]. Học sinh đã quên một bớc quan trọng là không so sánh các cực trị của f(x) với các giá trị f(-1) và f(1). GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 4 + Lời giải đúng: Xét hàm số y = f(x) = 3 24 3 2 x x 1+ + liên tục trên đoạn [-1;1] f'(x) = 24 2x x+ ; f'(x) = 0 10 (0) 2 1 1( ) 2 2 x f x f ⎡ = ⇒ =⎢⇔ ⎢ − −⎢ 7 12 = ⇒ =⎢⎣ Bảng biến thiên: 1 2 x - 1 - 0 1 f'(x) + 0 - 0 + f(x) 7 12 17 6 1 6 1 2 Vậy f(x) = [ ]1;1max− 17 ; f(x) = 6 [ ]1;1min− 1 6 * Một sai lầm điển hình mà nhiều học sinh thờng mắc nữa là chuyển đổi không tơng đơng đối với những bài toán cần phải đổi biến số để tìm GTLN, GTNN. Ví dụ 4 Với bài toán : '' Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = 6 6 4 4 1 sin cos 1 sin cos x x x x + + + + '' + Một số học sinh giải nh sau: sin4 + cos4x = (sin2x + cos2x)2 - 2sin2xcos2x = 1 - 1 2 sin2 2x sin6x + cos6x = (sin2x)3 + (cos2x)3 = sin4x + cos4x - sin2xcos2x = 1 - 3 4 sin22x Vậy y = 2 2 32 sin 2 4 12 sin 2 2 x x − − = 2 2 3sin 2 8 2sin 2 8 x x − − Đặt t = sin22x ta có y = f(t) = 3 8 2 8 t t − − xác định với ∀ t ≠ 4 GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 5 f'(t) = ( )2 8 2 8t − − < 0 ⇒ f(t) nghịch biến trên khoảng (- ∞; 4) và (4; +∞) Bảng biến thiên: x - ∞ 4 + ∞ f'(x) - + f(x) 3 2 + ∞ - ∞ 3 2 Vậy không tồn tại GTLN, GTNN của f(t) ⇒ không tồn tại GTLN, GTNN của y. + Sai lầm: Học sinh đã chuyển về bài toán không t−ơng đ−ơng cho rằng GTNN, GTNN của f(x) trùng với GTLN, GTNN của g(t) với ∀ t ∈ R nên sau khi đổi biến đã không tìm miền xác định của f(t). + Lời giải đúng: Biến đổi nh trên ta đợc y = 2 2 3sin 2 8 2sin 2 8 x x − − Đặt t = sin22x thì t ∈ [0; 1] Ta có: f(t) = 3 8 2 8 t t − − liên tục trên đoạn [0; 1] f'(t) = ( )2 8 2 8t − − < 0 với ∀ t ∈ [0; 1] ⇒ f(t) nghịch biến trên [0; 1] Ta lại có: f(0) = 1 và f(1) = 5 6 Bảng biến thiên: t - ∞ 0 1 + ∞ f'(t) f(t) 1 5 6 Từ bảng biến thiên ta có: ( ) (0) 1max R f x f= = ; 5( ) (1) 6minR f x f= = GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 6 * Ngoài những sai lầm điển hình trên khi giải bài toán tìm GTLN, GTNN bằng phơng pháp đạo hàm học sinh cũng hay mắc sai lầm do không nắm vững những nội dung kiến thức liên quan nên th−ờng bỏ xót tr−ờng hợp. Ví dụ 5 Với bài toán: '' Cho hàm số y = với m > 0 .Tìm GTNN của y với x ∈ [0; m]'' 4 22x mx− + 4 +Có học sinh đã giải nh sau: y' = ( )24x x m− ; y' = 0 0x x m x m =⎡⎢⇔ =⎢⎢ = −⎣ Bảng biến thiên: x - ∞ - m 0 m + ∞ y' - 0 + 0 - 0 + y Vậy y= y( [ ]0;mmin m ) = 4 - m 2 + Sai lầm: Học sinh này là đã cho rằng với m > 0 thì m < m nên đã bỏ xót tr−ờng hợp khi 0 < m 1 thì m ≤ m≤ + Lời giải đúng: Sau khi lập đ−ợc bảng biến thiên cần xét hai tr−ờng hợp: - Nếu m m≤ 0 < m 1 thì y = y(m) = m⇔ ≤ [ ]0;mmin 4 - 2m3 + 4 - Nếu m m> m > 1 thì y = y(⇔ [ ]0;mmin m ) = 4 - m 2 Vậy kết quả là: [ ]0;mmin y = 4 3 2 m - 2m + 4 0 < m 1 4 - m 1m ⎧ ⇔ ≤⎪⎨ ⇔ >⎪⎩ Kết luận Nh− vậy chúng ta thấy rằng khi sử dụng ph−ơng pháp đạo hàm để tìm GTLN, GTNN của hàm số học sinh th−ờng mắc sai lầm do cha hiểu rõ định nghĩa về GTLN, GTNN GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 7 ch−a nắm chắc cách tìm GTLN, GTNN bằng công cụ đạo hàm; do nhầm lẫn khái niệm cực đại, cực tiểu với GTLN, GTNN của hàm số. Đặc biệt là với những bài toán khi tìm GTLN, GTNN của hàm số mà phải tiến hành đổi biến học sinh th−ờng bỏ qua bớc quan trọng là tìm miền xác định của hàm số mới sau khi đổi biến. Học sinh còn mắc sai lầm do không nắm vững kiến thức toán học cơ bản liên quan đến bài toán tìm GTLN, GTNN. Ngoài những sai lầm đợc phân tích ở trên thì khi sử dụng ph−ơng pháp đạo hàm để tìm GTLN, GTNN học sinh còn gặp một số khó khăn và rất lúng túng khi giải những bài toán về tìm GTLN, GTNN đ−ợc cho d−ới dạng hình học hay tình huống thực tiễn. Ví dụ nh− bài toán: " Chứng minh rằng trong các hình chữ nhật nội tiếp trong hình tròn bán kính R thì hình vuông là hình có chu vi lớn nhất '', hay nh− bài toán " Nhà máy cá hộp sản xuất những hộp hình trụ tròn xoay kín hai đầu mà thể tích là V cm3. Muốn tốn ít vật liệu nhất khi làm hộp thì các kích th−ớc của hộp phải nh− thế nào?'' . 1.2. Những khó khăn và một số sai lầm của học sinh khi ứng dụng đạo hàm vào chứng minh bất đẳng thức * Khi sử dụng ph−ơng pháp đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức học sinh th−ờng gặp những khó khăn sau : - Để giải đ−ợc bài toán chứng minh BĐT bằng ph−ơng pháp đạo hàm học sinh cần phải nắm chắc các kiến thức về đạo hàm và những ứng dụng của nó (nh xét tính đơn điệu, tìm cực trị của hàm số, xét chiều biến thiên của hàm số, xét tính lồi lõm của đồ thị hàm số,). Trong khi đó những kiến thức này là hoàn toàn mới đối với học sinh nên khi vận dụng chúng học sinh còn rất lúng túng. - Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số hoặc sử dụng GTLN, GTNN của hàm số hay sử dụng định lý Lagrange để chứng minh BĐT thì việc xác định đ−ợc hàm số trong mỗi bài toán là công việc khó khăn đối với nhiều học sinh. Sau đây là một số ví dụ minh họa. Ví dụ 1 Cho n là số nguyên và n ≥ 3. Chứng minh rằng: nn+1 > (n+1)n Giải: Ta sẽ sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh BĐT trên. Nh−ng ở BĐT này cha thấy xuất hiện hàm số f(x). Việc xác định hàm số f(x) là t−ơng đối khó khăn với học sinh. GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 8 Để xác định đ−ợc hàm số f(x) ở ví dụ này cần phải thực hiện một số b−ớc biến đổi: Ta có: nn+1 > (n+1)n ⇔ (n+1) lnn > nln(n+1) ⇔ 1 ln( 1) ln n n n n + >+ Vậy xác định đợc hàm số f(x) = ln x x với x ≥ 3 Xét tính đơn điệu của hàm số này và suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 2 Chứng minh rằng nếu 0 < b < a thì: lna b a a b a b b − −< < (1) Giải: Với bài toán này ta sẽ sử dụng định lý Lagrange để chứng minh đẳng thức (1) thì điều quan trọng cũng là phải nhận ra đ−ợc hàm số f(x). ở đây học sinh cũng sẽ gặp khó khăn vì tr−ớc hết cần phải hiểu rõ định lý Lagrange và biết đối chiếu BĐT cần phải chứng minh với điều kiện của định lý Lagrange để nhận ra hàm số f(x). Để dễ nhận ra đ−ợc hàm số f(x) học sinh có thể biến đổi nh sau: (1) ⇔ 1 1( ) ln ln ( )a b a b a b a b − < − < − Từ đó xác định đ−ợc hàm số f(x) = ln(x) với x > 0 Tiếp tục áp dụng định lý Lagrange để rút ra điều phải chứng minh. Ví dụ 3 Cho a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 2. Chứng minh rằng a4 + b4 ≥ 2. Trong những bài toán chứng minh BĐT có từ hai biến trở lên học sinh rất khó khăn khi xác định hàm số. Đây là bài toán chứng minh BĐT có tới hai biến, hai biến này ràng buộc với nhau theo một điều kiện đã cho nên việc xác định hàm số để xét chiều biến thiên của nó là t−ơng đối khó với học sinh. Với bài toán này có thể đặt: x = a ⇒ b = 2 - x. Xác định đợc hàm số f(x) = x4 + (2 - x)4 trên R Từ bảng biến thiên của hàm số f(x) mà rút ra đợc điều phải chứng minh. * Ngoài những khó khăn trên, khi sử dụng ph−ơng pháp đạo hàm vào chứng minh BĐT học sinh còn hay mắc một số sai lầm do không nắm vững những kiến thức về đạo hàm GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 9 liên quan đến việc xét tính đơn điệu, tìm cực trị của hàm số, hay dùng đạo hàm để tìm GTLN, GTNN của hàm sốVà thậm chí mắc sai lầm cả do không nắm vững một số tính chất cơ bản của BĐT. Sau đây là một số ví dụ thể hiện sai lầm. Ví dụ 4 Chứng minh rằng với ∀ x > 0 thì sinx < x + Một số học sinh giải nh sau: Xét f(x) = x - sinx với x > 0 Ta có: f'(x) = 1 - cosx ≥ 0 ⇒ f(x) đồng biến với ∀ x > 0. Từ x > 0 ⇒ f(x) > f(0) ⇒ x - sinx > 0 - sin0 = 0 Vậy sinx 0. + Sai lầm: f(x) đồng biến trên miền ( 0; +∞ ) không chứa 0, nên không thể so sánh f(x) và f(0) khi x &g ... 1) 11 21 <≤<−⇔ xx ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ <<− > >− ≥∆ ⇔ 1 2 1 0)1( 0)1( 0 S af af ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ <+<− >− >+ ≥+−+ ⇔ 111 0)1( 0)34( 0)1()1( 2 m m m mm mmm ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎧ <+<− < ⎢⎢⎣ ⎡ −< > −≥ ⇔ 111 0 4 3 0 1 m m m m m m 4 31 −<≤−⇔ m Vậy - 1 4 3−<≤ m thì ph−ơng trình không có nghiệm ở ngoài (-1;1) Vậy bài toán giải đúng hai sai? Nguyên nhân và cách khắc phục nó? Ví dụ 6: Chứng minh rằng ph−ơng trình: (x - 95) (x-96) + (x - 96) (x - 97) + (x - 97) (x- 95) = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 95 Lời giải Gọi vế trái của ph−ơng trình là f(x) thì: f(x) = 3x2 – 2(95 + 96 + 97) x + 95.96 + 96.97 + 97.95 Do đó:af(95) = 3(95-96)(95-97)>0 và 2 s -95 = 3 979695 ++ - 95 =1> 0. Suy ra 95< x1< x2 (ĐPCM) 1.4. Sai lầm khi giải ph−ơng trình và bất ph−ơng trình . Ví dụ1: Giải ph−ơng trình 3x3- 6x2- 9x = 9(x2- 2x- 3) (*) Lời giải PT(*) )32(9)32(3 22 −−=−−⇔ xxxxx GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 13 393 =⇔=⇔ xx Ví dụ2: Giải ph−ơng trình 233 −+− xx + 1+x = 2 Lời giải Điều kiện để căn thức có nghĩa là: ⎩⎨ ⎧ ≥+ ≥−+− 01 0233 x xx ⇔ ⎩⎨ ⎧ −≥ ≤+− 1 0)2()1( 2 x xx ⇔ ⎩⎨ ⎧ −≥ ≤+ 1 02 x x Vậy không tồn tại giá trị nào của x để hai căn thức đồng thời có nghĩa nên ph−ơng trình vô nghiệm. Ví dụ3: Giải ph−ơng trình 12 −x - 1+x =x+1 Lời giải Điều kiện căn thức có nghĩa: ⎩⎨ ⎧ ≥+ ≥− 01 012 x x ⇔ ⎩⎨ ⎧ ≥+ ≥+− 01 0)1)(1( x xx ⎩⎨ ⎧ ≥+ ≥−⇔ 01 01 x x 1≥⇔ x Khi đó ph−ơng trình có dạng )1)(1( +− xx - 1+x = x+1. Vì x nên 1≥ 1+x >0,chia hai vế của ph−ơng trình cho 1+x ta có: 1−x -1< 1+x . Vì x nên 1≥ 1−x 1+≤ x .Suy ra 1−x -1< 1+x .Vậy ph−ơng trình vô nghiệm. Ví dụ4: Giải và biện luận ph−ơng trình a-5+ 2 52 − + x a =0(*) theo tham sốa Lời giải Điều kiện x Khi đó (*).2≠ 052)2)(5( =++−−⇔ axa 52)2)(5( +=−−⇔ axa (5-a)x = 15 ⇔ Nếu a thì x=5≠ a−5 15 Nếu a=5 thì ph−ơng trình vô nghiệm. Vậy bài toán giải đúng hay sai?Nguyên nhân và cách khắc phục nó? Ví dụ5: Giải ph−ơng trình : 2x+ 3−x =16(*) Lời giải Điều kiện x . Ta có: 3≥ (*)⇔ 3−x =16 - 2x x-3 = 256 - 64x + 4x⇔ 2⇔ 4x2- 65x + 259 =0 ⎢⎢⎣ ⎡ = = ⇔ 4 37 7 x x ( thoả mãn x 3).Vậy ph−ơng trình có nghiệm x=7 và x=≥ 4 37 Ví dụ6: Giải ph−ơng trình: 3 1−x + 3 12 −x =1 Lời giải GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 14 PT 3 1( −⇔ x + 3 12 −x )3=1 3x-2+3.⇔ 3 1−x . 3 12 −x ( 3 1−x + 3 12 −x )=1 3x - 2 +3⇔ )12)(1(3 −− xx =1(vì 3 1−x + 3 12 −x =1) 3 )12)(1( −−⇔ xx =-(x-1) 0)1()1()12)(1( 23 =−⇔−−=−−⇔ xxxxx ⎢⎣ ⎡ = =⇔ 1 0 x x Ví dụ7: Giải bất ph−ơng trình 5 1 32 1 2 +<−− xxx (*) Lời giải BPT(*) 325 2 −−<+⇔ xxx 32)5( 22 −−<+⇔ xxx 3 702812 −<⇔<+⇔ xx Ví dụ8: Tìm m để ph−ơng trình sau có nghiệm 1+x + x−4 + )4)(1( xx −+ =m(*) Lời giải Đặt t= 1+x + x−4 (t 0), ta có≥ )4)(1( xx −+ = 2 52 −t Khi đó ph−ơng trình (*) viết thành t+ 2 52 −t =m (**) 02522 =−−+⇔ mtt Đặt f(x)=t2+2t-5-2m.PT(*)có nghiệm⇔ PT(**)có nghiệm 210 tt ≤≤ ⇔ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ≥ ≥ ≥∆ ⇔ 0 2 0)0( 0' s af ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥− ≥−− ≥+ 01 025 062 m m Vô nghiệm Vậy không có giá trị nào của m để ph−ơng trình vô nghiệm. Vậy bài toán giải đúng hay sai? Nguyên nhân và cách khắc phục nó? Vậy ph−ơng trình có nghiệm x=2. Ví dụ9: Giải ph−ơng trình log2x2=2log2(3x+4) (*) Lời giải Điều kiện: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −> ≠ ⇔ ⎩⎨ ⎧ >+ > 3 4 0 043 02 x x x x Khi đó PT (*) 243 )43(loglog)43(log2log2 2222 −=⇔+=⇔ +=⇔+=⇔ xxx xxxx GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 15 Giá trị này không thoả mãn điều kiện đã đặt nên ph−ơng trình vô nghiệm. Ví dụ10: Tìm m để ph−ơng trình lg(x2+2mx)- lg(x-1) = 0(*) có nghiệm duy nhất. Lời giải Cách1: PT (*) (**) 01)12()1lg()2lg( 22 =+−+⇔−=+⇔ xmxxmxx Ph−ơng trình có nghiệm duy nhất⇔ PT(**) có nghiệm duy nhất 2 3 m hoặc =−=⇔ =−−⇔ =−−⇔=∆⇔ 2 1 0344 04)12(0 2 2 m mm m Cách 2: PT(*) (**) ⎩⎨ ⎧ =+−+ >⇔−=+⇔ 01)12( 1 )1lg()2lg( 2 2 xmx x xmxx Ph−ơng trình có nghiệm duy nhất⇔ PT(**)có nghiệm duy nhất x>1 ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ −< ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = −= ⇔ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ >− ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣ ⎡ = −= ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ > =∆ ⇔ 2 1 2 3 2 1 1 2 21 2 3 2 1 1 2 0 m m m m m m s Vô nghiệm Vậy cách nào đúng?Cách nào sai? Nguyên nhân và cách khắc phục? Ví dụ11: Giải bất ph−ơng trình x.ex> 2 1− (1) Lời giải Ta có f1(x)=x và f2(x) = e xlà các hàm đồng biến trên R⇒ f(x) = x.ex là tích của hai hàm đồng biến nên cũng đồng biến trên R Ta có f(-1) = -1(e-1) = e 1− . Do đó(1)⇔ f(x)> f(-1) ⇔ x>-1 1.5.Sai lầm khi tính tích phân Ví dụ12. CMR: F(x) = - (1+x)e-x là một nguyên hàm của hàm số f(x) = xe-x? Từ đó hãy tìm nguyên hàm của hàm số g(x) = (x-1)e-x? Bạn A làm nh− sau: F’(x) = -e-x+(1+x)e-x = x.e-x = f(x)⇒F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Ta có: ∫ ∫ ∫ ∫ −−− −=−= dxedxexdxexdxxg xxx .)1()( = [ ]cex x ++− −)1( - ⎣ ⎦ce x +− − = -(1+x)e-x+e-x=-xe-x. Vậy bài toán sai ở đâu? Nguyên nhân và cách khắc phục? GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 16 Phân tích:Sai lầm của lời giải trên t−ơng tự nh− sai lầm khi giải hệ ph−ơng trình l−ợng giác ở lớp 11: zk y kx kyx kyx yx yx ∈ ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ −= += ⇔ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ +=− =+ ⇔⎩⎨ ⎧ =− =+ 4 4 2 0)cos( 0)sin( π ππ ππ π ở hệ trên, chỉ vì viết chung ký hiệu k với k∈z cho hai ph−ơng trình nên khi trừ từng vế hai ph−ơng trình đã làm triệt tiêu số hạng kπ và dẫn tới mất nghiệm của hệ. Đối với việc lấy nguyên hàm cũng vậy, các em hay viết hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm nên dẫn tới sai lầm. Ta cần sửa lại đoạn cuối ở lời giải trên. Lời giải đúng: ∫ ∫ ∫ ∫ −−− −=−= dxedxexdxexdxxg xxx .)1()( = [ ]1)1(1 Cex x ++− − - [ ]2Ce x +− − =-1(1+x)e-x+C1- C2= -xe -x+C (với C = C1 - C2 ) Ví dụ13: Tính tích phân I= ∫ − 2 0 1x dx Bạn B làm nh− sau: Theo công thức Newton- Leibnitz: Ta có I = 011 0 2 1 1 )1( 1 2 0 2 0 =−−=−=− −=− ∫∫ LnLnxLnxxdxdx Vậy bài toán sai ở đâu? nguyên nhân và cách khắc phục? Phân tích: Hàm số f(x) = 1 1 −x gián đoạn tại x=1 [ ]2;0∈ nên không sử dụng đ−ợc công thứcNewton- Leibnitz để tính tích phân nh− trên đ−ợc. Vì trên đoạn [ ]2;0 hàm số f(x)= 1 1 −x không liên tục không tồn tại tích phân I = ∫ − 2 0 1x dx Ví dụ14: Tính tích phân I = ∫ − + 0 2 2)1( dxx Bạn C làm nh− sau: Đặt u = (x+1) 2 u du x dudxdxxdu 2)1(2 )1(2 =+=⇒+=⇒ Với x=-2 thì u = -1. Với x= 0 thì u=1. Do đó I = ∫∫ ∫ ==+ − 1 1 0 2 1 1 2 2 1 2 )1( u u ududxx du=0 Vậy bài toán sai ở đâu? Nguyên nhân và cách khắc phục? Phân tích : Nhận thấy rằng u =(x+1)2 không phải là hàm số đơn điệu trên đoạn [ ]0;2− nên không thể đổi biến, đổi cận nh− lời giải trên đ−ợc . GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 17 Hơn nữa lời giải trên còn sai lầm khi viết dx = u du x du 2)1(2 =+ . Nh− vậy đã từ u = (x+1)2 suy ra x+1= u ,điều này chỉ viết đ−ợc khi x 1−≥ Lời giải đúng: Cách 1: Ta có I= 3 2 3 1 3 1 2 0 3 )1()1()1()1( 0 2 0 2 3 22 =+=− +=++==+∫ ∫ − − xxdxIdxx Cách 2:Ta có I= ∫ ∫ ∫ − − − − +++=+ 0 2 1 2 0 1 222 )1()1()1( dxxdxxdxx Xét I1= đặt u= (x+1)∫− − + 1 2 2 ,)1( dxx 2 .)1(2 dxxdu +=⇒ Do x nên x+1[ 1;2 −−∈ ] 0≤ Vậy x+1 = - u dudxu 2−=⇒ . Khi x=-2 thì u = -1; Khi x=-1 thì u= 0. Do đó I1= 3 1 0 1 322 )1( 1 0 1 2 0 1 2 ===−=+ ∫∫ ∫− − uuduu u ududxx Xét I2= T−ơng tự nh− trên ta có I∫ − + 1 1 2 .)1( dxx 2= 3 1 Vậy I=I1+I2= 3 2 Ví dụ15: Xét tích phân I = ∫ − − 0 2 2 2coscos π xdxx Bạn D làm nh− sau: Hiển nhiên, ta có: xx 2coscos2 − 0≥ ⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡−∈∀ 0; 2 πx do đó I 0≥ Mặt khác I= ∫ − − 0 2 2 2coscos π xx dx= ∫ − −− 0 2 22 )1cos2(cos π xx dx = ∫ − − 0 2 2cos1 π x dx = 1 2 0 cossin 0 2 −=−−=∫ −π πxxdx Vậy -1 (!) 0≥ Vậy bài toán sai ở đâu? Nguyên nhân và cách khắc phục? Phân tích: Lời giải sai lầm khi biến đổi biểu thức x2cos1− =sinx. AA =2Nhớ rằng: Lời giải đúng: Ta có :I= ∫ − − 0 2 2 2coscos π xx dx= ∫ − −− 0 2 22 )1cos2(cos π xx dx GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 18 = ∫ − − 0 2 2cos1 π x dx= 1 2 0 cossinsin 0 2 0 2 =−== ∫∫ −− ππ πxxdxdxx Chú ý: các bài toán t−ơng tự: 2. ∫ − − 2 2 2sin1 π π x dx 3. ∫ +π 0 2cos1 x dx ∫ +π2 0 sin1 xdx 1. Ví dụ16 : Xét tích phân I = ∫ gxdxcot Khi tính tích phân I = . Một học sinh làm nh− sau: ∫ gxdxcot Ta có : I = dx x xgxdx∫ ∫= 2sincoscot , áp dụng ph−ơng pháp tìm nguyên hàm từng phần bằng cách đặt ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = −=⇒ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = = xv dx x xdu xdxdv x u sin sin cos cos sin 1 2 ta đ−ợc: I= )(!101. sin cos1 sin cos.sinsin sin 1 2 =⇒+=+=+ ∫∫ IHayIdxxxdxx xxxx Vậy bài toán sai ở đâu? Nguyên nhân và cách khắc phục? Phân tích lời giải trên là sai. Vì các nguyên hàm của một hàm số khác nhau một hằng số, nên khi áp dụng ph−ơng pháp tìm nguyên hàm từng phần mà không chú ý đến hằn số thì số đó sẽ dẫn tới điều vô lý 0=1(!) Chú ý: T−ơng tự sai lầm ở trên các em cũng dẫn tới điều vô lý “Mọi số tự nhiên đều bằng nhau” Giả sử: F(x) là một nguyên hàm của f(x).Ta có I= ∫ += CxFdxxf )()( Trong đó C là hằng số tuỳ ý, lần l−ợt cho C bằng các số tự nhiên tuỳ ý m, n ta đ−ợc: I =F(x)+ m =F(x)+ n⇒m = n(!) Vậy mọi số tự nhiên đều bằng sao? Ví dụ17: Tính tích phân I = ∫ + π 0 sin1 x dx Ta làm nh− sau: Đặt t = tg 2 x thì dx= 21 2 t dt + Do đó I = Cxtg C t tdt t dt x dx + + −=++ −=++=+=+ ∫∫∫ − 2 1 2 1 1.2)1()1(2 )1( 2 sin1 2 2 Theo công thức Newton- Leibnitz, ta có: I = 01 2 2 1 2 0 2 1 2 sin10 tgtgxtgx dx +++ −= + −=+∫ π ππ Vì tg 2 π không xác định nên tích phân cần tính không tồn tại. Vậy bài toán sai ở đâu? Nguyên nhân và cách khắc phục? GV:Trịnh Quang Hoà-THPT Hiệp Hoà 3 19 Phân tích: Đây là sai lầm của nhiều em học sinh hay dùng công thức l−ợng giác để biểu diễn sinx, cosx, tgx qua tg 2 x Việc tg 2 π không xác định ở trên chỉ suy ra đ−ợc tích phân đã cho không tính đ−ợc ph−ơng pháp đó. Lời giải đúng: I = ∫∫∫ −=+=+ πππ π 0 20 20 ) 42 (cos2 1 ) 2 cos 2 (sinsin1 x dx xx dx x dx = tg( 2 )4 ( 40 ) 42 =−−=− ππππ tgtgx Ví dụ18: Xét hypebol xác định bởi ph−ơng trình:y2- x2 + 1 = 0 (H) TH1: Nếu cắt (H) bởi đ−ờng thẳng x = 2 và gọi giao điểm của chúng là M,N Thể tích V1 của khối tròn xoay do tam giác cong MAN quay xung quanh trục ox tạo thành là: V1= ππππ 3 4 1 2 ) 3 ()1( 2 1 2 1 3 22 =−=−=∫ ∫ xxdxxdxy TH2:Bây giờ cắt (H) bởi hai đ−ờng thẳng x=-2, x=2 thì thể tích V2 của khối tròn xoay do tam giác cong MAN và M’A’N’quay xung quanh ox là : V2= ππππ 3 4 2 2 ) 3 ()1( 2 2 2 2 3 22 =−−=−=∫ ∫− − x xdxxdxy Vậy Voi cũng bằng Kiến −? Phân tích: Từ PT y2-x2+1= 0 suy ra hàm số y không xác định với 1x < . Nhờ hình vẽ ta có V= ππ ∫ ∫− − ==+ 1 2 2 1 22 3 8...dxydxy Hiệp hoà , ngày 25 tháng 4 năm 2008 Trịnh Quang Hoà
Tài liệu đính kèm: