Chuyên đề ôn thi đi học môn Toán - Bất đẳng thức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO BẮC NINH 
TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2 
CHUYÊN ðỀ ÔN THI ðẠI HỌC MÔN TOÁN 
 NGUYỄN VĂN XÁ 
TỔ TOÁN 
TRƯỜNG THPT YÊN PHONG SỐ 2 
CHUYÊN ðỀ ÔN THI ðẠI HỌC MÔN TOÁN 
BẤT ĐẲNG THỨC 
 LỜI NÓI ðẦU 
 ðược sự tạo ñiều kiện của lãnh ñạo Nhà trường và sự cổ vũ của ñông 
ñảo ñồng nghiệp, tổ Toán ñã tổ chức biên soạn tài liệu ôn thi ðại học, gồm 
nhiều chuyên ñề bám sát cấu trúc ñề thi do Bộ Giáo dục và ðào tạo qui ñịnh. 
Tài liệu này ra ñời ñóng góp vào những nỗ lực chung của toàn trường trong 
việc từng bước nâng cao chất lượng dạy và học. Trong quá trình biên soạn, 
chúng tôi vừa trao ñổi với các ñồng nghiệp trong và ngoài tổ, vừa tham khảo 
các tài liệu luyện thi hiện có, vừa căn cứ vào tình hình thực tế học sinh trong 
trường. Vì vậy, mặc dù hiện nay những tài liệu luyện thi ðại học có rất nhiều, 
chúng tôi vẫn hi vọng tài liệu này mang tiếng nói của riêng mình. 
 Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC này là một phần trong bộ tài liệu nói 
trên. Ban ñầu chúng tôi có ý ñịnh biên soạn chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC VÀ 
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT, nhưng do thời gian không cho phép nên 
chúng tôi mới chỉ ñề cập ñến một số vấn ñề về bất ñẳng thức, vận dụng bất 
ñẳng thức ñể tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, còn các vấn ñề chung về giá trị 
lớn nhất, nhỏ nhất, cũng như ứng dụng của nó chúng tôi chưa có ñiều kiện trình 
bày. Tới ñây, chúng tôi sẽ cố gắng biên soạn bổ sung các nội dung ñó thành 
một chuyên ñề khác hoặc cũng có thể tiếp nối vào chuyên ñề này. 
 Vì nhiều lí do mà chất lượng của tài liệu này còn nhiều ñiều ñáng bàn. 
Chúng tôi rất mong các ñồng nghiệp, các bạn học sinh chỉ giúp những chỗ sai 
sót hoặc chưa hợp lí ñể chúng tôi kịp thời khắc phục. Các ý kiến xin vui lòng 
gửi về email: toan.thptyenphong2@gmail.com. 
 Chúng tôi bày tỏ sự kính trọng và biết ơn tới ñồng chí Hiệu trưởng và 
ñồng chí Tổ trưởng vì những giúp ñỡ của các ñồng chí ñể tài liệu này ñược 
hoàn thành. Chúng tôi cũng chân thành cảm ơn các ñồng nghiệp, các học sinh 
ñã quan tâm tới tài liệu này. 
 TÀI LIỆU THAM KHẢO 
[01] Bộ Giáo dục và ðào tạo – Bộ sách giáo khoa, sách bài tập, sách giáo viên THPT môn Toán 
(cơ bản và nâng cao) – NXB GDVN, 2010. 
[02] Bộ Giáo dục và ðào tạo – Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán 10, 11, 
12 –NXB GDVN, 2010. 
[03] Nguyễn An Ninh (cb) – Cấu trúc ñề thi môn Toán, Vật Lí, Hoá Học, Sinh Học năm 2010 – 
NXB GDVN, 2010. 
[04] Võ Anh Dũng (tcb), Trần ðức Huyên (cb) – Giải toán ðại số và Lượng giác 11 – NXB 
GDVN, 2009. 
[05] Võ Anh Dũng (tcb), Trần ðức Huyên (cb) – Giải toán Giải tích 11 – NXB GDVN, 2009. 
[06] Võ Anh Dũng (tcb), Trần ðức Huyên (cb) – Giải toán Hình học 11 – NXB GDVN, 2009. 
[07] Võ Anh Dũng (tcb), Trần ðức Huyên (cb) – Giải toán Hình học 10 – NXB GDVN, 2009. 
[08] Võ Anh Dũng (tcb), Trần ðức Huyên (cb) – Giải toán ðại số 10 – NXB GDVN, 2009. 
[09] Võ Anh Dũng (tcb), Trần ðức Huyên (cb) – Giải toán Lượng giác 10 – NXB GDVN, 2009. 
[10] Trần Phước Chương, ðỗ Thanh Sơn, Nguyễn Vũ Thanh – Rèn luyện kĩ năng giải các dạng 
bài tập ðại số 10 nâng cao – NXB GDVN, 2007. 
[11] Nguyễn Văn Quí, Nguyễn Tiến Dũng, Nguyễn Việt Hà – Các dạng toán về Bất ñẳng thức, 
Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất – NXB ðà Nẵng, 1998. 
[12] Trần Tuấn ðiệp, Nguyễn Phú Trường, Ngô Long Hậu – Giới thiệu ñề thi tuyển sinh vào 
ðại học, Cao ñẳng trong toàn quốc môn Toán – NXB Hà Nội, 2010. 
[13] Trần Văn Hạo (cb) – Chuyên ñề luyện thi vào ðại học: Bất ñẳng thức, Giá trị lớn nhất, nhỏ 
nhất – NXB GD, 2001. 
 MỤC LỤC 
 Trang 
LỜI NÓI ðẦU 1 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 2 
MỤC LỤC 3 
1. KHÁI NIỆM BẤT ðẲNG THỨC 4 
1.1. ðịnh nghĩa ........ 4 
1.2. Một số tính chất ........ 4 
1.3. Bất ñẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt ñối .. 4 
1.4. Bất ñẳng thức Côsi  5 
1.5. Bất ñẳng thức lượng giác . 5 
1.6. Bất ñẳng thức hình học . 6 
2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ðẲNG THỨC 7 
2.1. Phương pháp biến ñổi tương ñương, biến ñổi hệ quả; phương pháp làm trội .. 7 
2.2. Phương pháp phản chứng . 11 
2.3. Phương pháp qui nạp toán học . 11 
2.4. Phương pháp vận dụng các bất ñẳng thức ñã biết  14 
2.5. Phương pháp vận dụng kiến thức lượng giác  17 
 2.6. Phương pháp vận dụng kiến thức hình học 19 
 2.7. Phương pháp vận dụng kiến thức hàm số.. 20 
3. VẬN DỤNG BẤT ðẲNG THỨC ðỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 31 
3.1. Nhắc lại ñịnh nghĩa giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. 31 
3.2. Một số ví dụ vận dụng bất ñẳng thức ñể tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. 31 
4. BÀI TẬP THAM KHẢO 34 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
4 
1. KHÁI NIỆM BẤT ðẲNG THỨC 
1.1 ðịnh nghĩa 
 Cho hai số thực a và b. Ta nói “a lớn hơn b” và viết “a > b” (hoặc viết “b < a”) 
nếu a – b là số dương (hay b – a là số âm), lúc ñó ta cũng nói “b nhỏ hơn a”. Ta nói “a 
lớn hơn hoặc bằng b” và viết “a ≥ b” (hoặc viết “b ≤ a”) nếu a – b là số không âm (hay 
b – a là số không dương), lúc ñó ta cũng nói “b nhỏ hơn hoặc bằng a”. Như vậy: 
a b a b 0; a b a b 0;
a b a b 0; a b a b 0.
> ⇔ − > < ⇔ − <
≥ ⇔ − ≥ ≤ ⇔ − ≤
 Các mệnh ñề có dạng “a > b” hoặc “a < b” hoặc “a ≥ b” hoặc “a ≤ b” ñược gọi 
là bất ñẳng thức. Trong ñó, khi cần thiết, hai bất ñẳng thức ñầu tiên ñược gọi là bất 
ñẳng thức nghiêm ngặt, và hai bất ñẳng thức sau gọi là bất ñẳng thức không ngặt. Nếu 
không nói gì thêm, khi ñề cập ñến bất ñẳng thức thì ta hiểu ñó là các mệnh ñề ñúng. 
Bài toán chứng minh bất ñẳng thức là bài toán chứng minh bất ñẳng thức ñã cho là 
mệnh ñề ñúng. 
1.2. Một số tính chất 
 Chúng ta ñề cập tới ở ñây một số tính chất thường gặp của bất ñẳng thức. 
 1) a b a c
b c
>
⇒ >
>
 (tính chất bắc cầu). 
 2) a b a c b c (a b c a c b)< ⇔ + < + < + ⇔ − < (cộng hai vế bất ñẳng thức với cùng 
một số). 
 3) a b a c b d
c d
<
⇒ + < +
<
 (cộng vế với vế hai bất ñẳng thức cùng chiều). 
 4) a b a ba.c b.c; a.c b.c
c 0 c 0
< < 
⇒  
> < 
 (nhân hai vế của bất ñẳng thức với một số 
khác 0). 
 5) 0 a b ac bd
0 c d
≤ <
⇒ < ≤ <
 (nhân vế với vế hai bất ñẳng thức cùng chiều có các vế không 
âm). 
 6) 0 a b 1 1
a b 0 a b
< <
⇒ > < <
 (nghịch ñảo hai vế (cùng dấu) bất ñẳng thức). 
 7) Nếu n ∈ℕ thì 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1a b a b a b.+ + + +< ⇔ < ⇔ < 
 Nếu n *∈ℕ và 0 a b≤ < thì n na b< và n na b.< 
 8) Nếu a > 1 thì u va a u v. 
 9) Nếu 0, a 0, b 0α > > > thì a b a b.α α> ⇔ > 
 Nếu 0, a 0, b 0α > thì a b a b.α α> ⇔ < 
 10) a b a b, a,b 0.+ ≥ + ∀ ≥ Dấu “=” xảy ra khi a.b = 0. 
Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
5
5 
11) 2nx 0, x , n *.≥ ∀ ∈ ∀ ∈ℝ ℕ Ta hay sử dụng bất ñẳng thức ở dạng 2x 0, x .≥ ∀ ∈ℝ 
12) Nhờ công thức khai triển nhị thức Niu−tơn, với x 0, n *,≥ ∈ℕ ta có 
n n(1 x) 1 nx ... x 1 nx,+ = + + + ≥ + bất ñẳng thức n(1 x) 1 nx+ ≥ + ñược gọi là bất ñẳng thức 
Béc−nu−li. Từ bất ñẳng thức Béc−nu−li hoặc nhờ bất ñẳng thức Côsi ta có 
n 1 na 1 a, n ,n 1, a 0.+ ∀ >ℕ 
13) Nếu a, b là các số nguyên và a < b thì a 1 b.+ ≤ 
1.3. Bất ñẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt ñối 
 1) |a| ≥ 0, dấu “=” xảy ra khi a = 0. 
 2) |a| + a ≥ 0, dấu “=” xảy ra khi a ≤ 0. 
 2) | a | | b | | a b | || a | | b || .+ ≥ + ≥ − 
 | a | | b | | a b | a.b 0; || a | | b || | a b | a.b 0.+ = + ⇔ ≥ − = + ⇔ ≤ 
 3) Nếu b ≥ 0 thì a b| a | b b a b; | a | b .
a b
≥
≤ ⇔ − ≤ ≤ ≥ ⇔  ≤ −
1.4. Bất ñẳng thức Côsi 
1) Bất ñẳng thức Côsi cho hai số không âm a, b: a b ab.
2
+ ≥ Dấu “=” xảy ra khi a = b. 
2) Bất ñẳng thức Côsi cho ba số không âm a, b, c: 3a b c abc.
3
+ + ≥ 
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c. 
3) Bất ñẳng thức Côsi cho n số không âm a1, a2, , an: 1 2 n n 1 2 n
a a ... a
a a ...a .
n
+ + + ≥ 
Dấu “=” xảy ra khi a1= a2 = = an. 
4) Hệ quả: Với n số dương a1, a2, , an ta có 21 2 n
1 2 n
1 1 1(a a ... a )( ... ) n .
a a a
+ + + + + + ≥ 
Dấu “=” xảy ra khi a1= a2 = = an. 
5) Với n số không âm a1, a2, , an, kí hiệu 1 2 n1 1
n
a a ... aS ;
C
+ + +
=
i j
1 i j n
2 2
n
a a
S ;
C
≤ < ≤
=
∑
i j k
1 i j k n
3 3
n
a a a
S ;
C
≤ < < ≤
=
∑
 ; 1 2 nn n
n
a a ...aS ;
C
= (ở ñó kn
n!C , n,k ,n k).
k!.(n k)!= ∀ ∈ ≥− ℕ Ta 
có dãy bất ñẳng thức 3 n1 2 3 nS S S ... S ,≥ ≥ ≥ ≥ dấu “=” xảy ra khi a1= a2 = = an. 
Một số tác giả gọi ñây là dãy bất ñẳng thức xen kẽ Côsi. 
1.5. Bất ñẳng thức lượng giác 
2 21) a.sin x b.cos x a b , x .+ ≤ + ∀ ∈ℝ Dấu “=” xảy ra khi a.cosx = b.sinx. 
Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học 6
Hệ quả: 1 sin x 1; 1 cos x 1.− ≤ ≤ − ≤ ≤ 
2) tan x cot x 2, x k ,k .
2
pi
+ ≥ ∀ ≠ ∈ℤ Dấu “=” xảy ra khi x k ,k .
4
pi
= ± + pi ∈ℤ 
1.6. Bất ñẳng thức hình học 
 1) Với ba ñiểm bất kì A, B, C thì AB AC BC,+ ≥ dấu “=” xảy ra khi A thuộc ñoạn BC. 
 2) Với mọi u, v  ta có u v u v ,+ ≥ +    dấu “=” xảy ra khi u, v  cùng hướng. 
 3) Với mọi u, v  ta có u . v u.v ,≥    dấu “=” xảy ra khi u, v  cùng phương. 
 4) Ba số dương a, b, c là ñộ dài ba cạnh một tam giác khi và chỉ khi tổng của hai số bất 
kì trong ba số ñó lớn hơn số còn lại. 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
7 
2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ðẲNG 
THỨC 
2.1. Phương pháp biến ñổi tương ñương, biến ñổi hệ quả; phương 
pháp làm trội 
 ðể chứng minh bất ñẳng thức A > B ta có thể chứng minh A – B > 0. Ta thường 
vận dụng các phép biến ñổi tương ñương ñể chuyển bất ñẳng thức A – B > 0 thành bất 
ñẳng thức luôn ñúng hoặc giả thiết. Ta cũng có thể xuất phát từ giả thiết hoặc một 
mệnh ñề ñúng nào ñó, qua các phép biến ñổi hệ quả dẫn ñến bất ñẳng thức A – B > 0. 
 Lưu ý một số sự kiện: 
i) 2A 0, A .≥ ∀ ∈ℝ Dấu”=” xảy ra khi A = 0. 
ii) a 0, a ,≥ ∀ ∈ℝ dấu “=” xảy ra khi a = 0. 
iii) a a 0, a ,+ ≥ ∀ ∈ℝ dấu “=” xảy ra khi a 0.≤ 
iv) 
n n
2 2
k k i j
k 1 k 1 1 i j n
( a ) a 2. a a .
= = ≤ < ≤
= +∑ ∑ ∑ 
v) 
n
n k n k k
n
k 0
(a b) C a b .−
=
+ = ∑ 
vi) n n n 1 n 2 n 3 2 n 2 n 1a b (a b)(a a b a b ... ab b ).− − − − −− = − + + + + + 
vii) 3 3 3 2 2 2a b c 3abc (a b c)(a b c ab bc ca).+ + − = + + + + − − − 
 ðể chứng minh bất ñẳng thức có dạng 1 nu ... u+ + ≤ α ta có thể chứng minh 
k k k 1u v v , k 1,2,...,n,+≤ − ∀ = và chứng minh 1 k 1v v .+− ≤ α 
 ðể chứng minh bất ñẳng thức có dạng 1 2 nu .u ...u ≤ α ta có thể chứng minh 
k
k
k 1
v
u , k 1,2,...,n,
v +
≤ ∀ = và chứng minh 1
k 1
v
.
v +
≤ α 
 ðể chứng minh bất ñẳng thức có dạng a + b + c ≤ x + y + z ta có thể chứng 
minh 
a b 2z
b c 2x
c a 2y
+ ≤

+ ≤
 + ≤
 hoặc 
2a y z
2b z x.
2c x y
≤ +
 ≤ +
 ≤ +
 ðể chứng minh bất ñẳng thức có dạng abc xyz≤ (với a, b, c, x, y, z 0)≥ ta có 
thể chứng minh 
2
2
2
ab z
bc x
ca y
 ≤
 ≤
 ≤
 hoặc 
2
2
2
a yz
b zx.
c xy
 ≤
 ≤
 ≤

 VÍ DỤ 1. 
1) Chứng minh rằng 8 5 2 1a a a a 0 (1), a .
3
− + − + > ∀ ∈ℝ 
Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
8
8 
2) Chứng minh rằng 2 2 2 2 2(ax by) (a b )(x y ) (2), a,b,x, y+ ≤ + ... . Chứng minh 
rằng 
34 RV .
3 3
pi≤ 
Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
37
37 
11) Chứng minh 
3 3 3
2 2 2
a b c 3
, a, b,c 1.
2a 1 b 1 c 1
+ + ≥ ∀ ≥
+ + +
12) Chứng minh 
4 4 4
2 2 2
a b c 1, a,b,c 1.
a 1 b 1 c 1
+ + ≥ ∀ ≥
+ + +
13) Cho a, b, c, d > 0, ab + bc + cd + da = 4, chứng minh 
4 4 4
3 3 3 3 3 3
a b c 4
.
3a 2b b 2c c 2a
+ + ≥
+ + +
Bài 15. Cho ba số dương a, b, c thoả mãn 2 2 2a b c 1.+ + = Tìm GTNN của biểu thức 
2 2 2 2 2 2
a b c
P .
b c c a a b
= + +
+ + +
Bài 16. a) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn 1 2 3 1.
a b c
+ + = Chứng minh abc 162.≥ 
b) Cho a > b > −1. Chứng minh 2
4
a 3.
(a b)(b 1)
+ ≥
− +
c) Cho a > b > 0. Chứng minh 2
1
a 2 2.
b(a b)
+ ≥
−
d) Cho a, b, c 0,≥ 3a b c .
4
+ + = Chứng minh 3 3 3a 3b b 3c c 3a 3.+ + + + + ≤ 
e) Cho x > 0, chứng minh 2
2
1 2
(x 1) ( 1) 16.
xx
+ + + ≥ 
f) Cho x, y, z > 0, chứng minh 
3 2 3 2 3 2 2 2 2
2 y2 x 2 z 1 1 1
.
x y y z z x x y z
+ + ≤ + +
+ + +
g) Cho a 1,b 1,≥ ≥ chứng minh a b 1 b a 1 ab.− + − ≤ 
h) Cho x > 0, y > 0, chứng minh 
y
2x y x ye .
x
+ +< 
Bài 17. 1) Cho 2 2x y 1,+ = chứng minh x 1 y y 1 x 2 2 .+ + + ≤ + 
2) Cho 2 2 2 2x y u v 1,+ = + = chứng minh u(x y) v(x y) 2.− + + ≤ 
3) Cho a, b, c > 0 thỏa mãn a 25b 64c 49,+ + = chứng minh 4 9 16 49.
a b c
+ + ≥ 
4) Cho 2 2
16 9 1,
m n
+ = chứng minh 2 2m n 7.+ ≥ 
Bài 18. Cho 2 2 2 2x xy y 16, y yz z 3,+ + = + + = chứng minh xy yz zx 8.+ + ≤ 
Bài 19. Cho a 1, b 1,≥ ≥ chứng minh 
2 2a 1 b 1 1.
ab
− + − ≤ 
Bài 20. Cho a b c 0, ab bc ca 0, abc 0,+ + > + + > > chứng minh a > 0, b > 0, c > 0. 
Bài 21. Cho n ,∈ℕ n > 3, chứng minh: n n 1 2 n(1) n (n 1) ; (2) (n!) n .−≥ + ≥ 
Bài 22. 1) Cho x y 0,+ ≥ chứng minh 
x y x y
1 1 2
.
1 4 1 4 1 2 +
+ ≥
+ + +
2) Cho x + y + z = 0, chứng minh x y z3 4 3 4 3 4 6.+ + + + + ≥ 
i) Cho n,k∈ℕ và 0 k n,≤ ≤ chứng minh rằng n n n 22n k 2n k 2nC .C (C ) .− + ≤ 
Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
38
38 
Bài 23. 1) Cho x, y, z > 0, xyz = 1, chứng minh 
2 2 2x y z 3
.
1 y 1 z 1 x 2
+ + ≥
+ + +
2) Cho x > 0, y > 0, chứng minh 2y 9(1 x)(1 )(1 ) 256.
x y
+ + + ≥ 
3) Cho x, y, z > 0, 1 1 1 2,
1 x 1 y 1 z
+ + ≥
+ + +
 chứng minh xyz 1 .
8
≤ 
Bài 24. 1) Cho a, b, c > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của a b cP .
b c c a a b
= + +
+ + +
2) Cho a, b, c > 0, a + b + c = 2abc, tìm GTLN của 
2 2 2
2 2 2
P .
a bc b ca c ab
= + +
+ + +
Bài 25. Cho a, b, c > 0 và a b c 1,
m n p
+ + = chứng minh 2m n p ( a b c) .+ + ≥ + + 
Bài 26. Chứng minh rằng 2 2 25 5x 2 x 13x 9 5x 24x 5 , x .+ + − + + ≥ + − ∀ ∈ℝ 
Bài 27. Cho a, b, c, d > 0, c + d < a + b, chứng minh 
2 2 2c (a c) a
.
c d a b c d a b
−
+ ≥
+ + − − +
Bài 28. Cho a, b > 0, a b 1,+ ≤ chứng minh 2 21 1 25(a ) (b ) .
a b 2
+ + + ≥ 
Bài 29. Cho 2 2a b 4,+ = chứng minh 2 23a 8ab 3b 20.+ − ≤ 
Bài 30. Cho 2 2 2 2a b 2a 2b 1 0, c d 17 6(c d),+ + + + = + + = + chứng minh rằng 
2 24 2 2 (a c) (b d) 4 2 2.− ≤ − + − ≤ + 
Bài 31. Cho 2 2a b 1, c d 3,+ = + = chứng 9 6 2ac bd cd .
4
+
+ + ≤ 
Bài 32. Cho 2 2x y 2x 2y 1 0.+ − − + = Chứng minh rằng 
2 23(x y ) 2(1 3)x 2( 3 1)y 2xy 2 2.− − + + − + + ≤ 
Bài 33. Tìm giá trị lớn nhất của 2 2 2 2P a 1 b b 1 a 3(ab (1 a )(1 b )) .= − + − + − − − 
Bài 34. Chứng minh với mọi x, y ta có 
2 2
2 2
2x(1 y ) 2y(1 x ) 1.
(x 1)(y 1)
− + − ≤
+ +
Bài 35. Cho 0 < x, y, z < 1, chứng minh x(1−z) + y(1−x) + z(1 − y) < 1. 
Bài 36. Cho a, b, c là ñộ dài ba cạnh một tam giác, chứng minh: 
1) Nếu tam giác ñó nhọn thì a2, b2, c2 lại là ñộ dài ba cạnh của một tam giác. 
2) Nếu a b c≤ ≤ thì 2(a b c) 9bc.+ + ≤ 
3) Nếu a < b < c thì 3 2 2 3 2 2 3 2 2a (b c ) b (c a ) c (a b ) 0.− + − + − < 
4) 
2 2 2 2 2 2a b b c c a2 3.
a b c
+ + + + +≤ ≤
+ +
5) 2 2 2a (b c a) b (c a b) c (a b c) 3abc.+ − + + − + + − ≤ 
6) a b c a c b 1.
b c a c b a
+ + − − − ≤ 
7) Nếu chu vi tam giác bằng 1 thì 2 2 2 1a b c .
2
+ + < 
Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
39
39 
Bài 37. 1) Cho x > 0, y > 0, x + y = 1, chứng minh x y 2.
1 x 1 y
+ ≥
− −
2) Cho x, y, z > 0, x + y + z = 1, chứng minh x y z 3 .
x 1 y 1 z 1 4
+ + ≤
+ + +
Bài 38. Chứng minh rằng 3 n 143 4 n 1n 2 ... n 1, n *.
2 3 n
+
+
< + + + + < + ∀ ∈ℕ 
Bài 39. 1) Cho x > 0, y > 0, 2 3 6,
x y
+ = tìm GTNN của biểu thức S = x + y. 
2) Cho x, y, z > 0, x y z 1,+ + ≤ tìm GTNN của 1 1 1A x y z .
x y z
= + + + + + 
Bài 40. 1) Cho f(x) = ax2 + bx + c thỏa mãn f ( 1) 1, f (0) 1, f (1) 1,− ≤ ≤ ≤ chứng minh 
rằng 5f (x)
4
≤ với mọi x 1.≤ 
2) Cho 0 < a, b, c < 2, chứng minh có ít nhất một trong các bất ñẳng thức sau ñây là sai: 
a(2 – b) > 1; b(2 – c) > 1; c(2 – a) > 1. 
Bài 41. 1) Cho 2 2 2(x 1) (y 2) (z 1) 1,− + − + − = tìm GTLN của T x 2y 3z 8 .= + + − 
2) Cho a 1, b 1,a b 4,> > + ≤ tìm GTNN của 
4 4
3 3
a bP .
(b 1) (a 1)
= +
− −
3) Cho tam giác ABC nhọn, tìm GTNN của F t anA tan B tan C 2. t anA.tan B.tan C.= + + + 
4) Tìm giá trị nhỏ nhất của a b cA
b c 1 c a 1 a b 1
= + +
+ + + + + +
 với a, b, c ≥ 0 và a + b + c = 3. 
5) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
3 2
2
abB
2a b b
=
+ +
 với a, b > 0. 
6) Tìm giá trị nhỏ nhất của a b cC
ab 2bc
+ +
=
+
 với a, b, c > 0. 
7) Cho 2 2 2x y z 1,+ + = tìm GTLN, NN của P x y z xy yz zx.= + + + + + 
8) Cho [ ]x, y, z 0;2 , x y z 3,∈ + + = tìm GTLN, N của 2 2 2S x y z .= + + 
9) Cho x + y = 2, tìm GTNN của các biểu thức 2 2 4 4 8 8A x y ; B x y ; C x y .= + = + = + 
10) Cho ba số không x, y, z thỏa mãn x y z 1,+ + ≤ hãy 
a) Tìm GTNN của 1 1 1S .
1 x 1 y 1 z
= + +
+ + +
b) Tìm GTLN của 2 2 2
x y zT .
1 x 1 y 1 z
= + +
+ + +
11) Cho hai số dương x, y thỏa mãn 3x y ,
2
+ = tìm GTNN của 2 1N .
x 2y
= + 
12) Với tam giác ABC bất kì, tìm GTLN của M 6cos A 3(cos B cosC).= + + 
13) Tìm GTNN của 2 2 2 2Q (1 x) y (1 x) y 2 y .= − + + + + + − 
Bài 42. 1)Chứng minh rằng với mọi số thự nhiên n > 1 ta có: 
 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
a) ... 2. b) ... 1 .
n 1 n 2 n 3 3n 1 n2 3 n
+ + + + < + + + < −
+ + + +
2) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có: 
3) Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn 2 2 2a b c 3,+ + = tìm giá trị nhỏ nhất của biể
thức 1 1 1 3P (a b c).
a b c 2
= + + + + + 
u
Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
40
40 
4 4 3 3 2 2a) a b a b ab . b) a b ab a b 1 0.+ ≥ + + − − − + ≥ 
3) Chứng minh các bất ñẳng thức 
8 5 2
bc ca ab
a) a b c, a,b,c 0. b)(a b)(b c)(c a) 8abc, a,b,c 0.
a b c
c)a a a a 1 0, a . d)ab(a b) bc(b c) ca(c a) 6abc, a,b,c 0.
e)(a 2b)(b 2c)(c 2a) 27abc, a,b,c 0.
+ + ≥ + + ∀ > + + + ≥ ∀ ≥
− + − + > ∀ ∈ + + + + + ≥ ∀ ≥
+ + + ≥ ∀ ≥
ℝ
4 4a b
 f )(1 ) (1 ) 32, a,b 0.
b a
+ + + ≥ ∀ >
4) Chứng minh rằng với mọi a, b, c, d không âm ta có 4a b c d abcd.
4
+ + + ≥ 
5) Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z, t ta có 4 4 4 4x y z t 4xyzt.+ + + ≥ 
6) Cho hai số dương x, y ta ñặt x y 1 1 1m , g xy, h ( ).
2 2 x y
+
= = = + Chứng minh 
a) m g h. b) m g g h.≥ ≥ − ≥ − 
7) Cho x, y, z > 0, xyz = 1, chứng minh 
3 3 3 3 3 3x y y z z x 3
.
x y y z z x 2
+ + ≥
+ + +
8) Cho x, y, z > 0, xy yz zx 2xyz,+ + ≤ chứng minh
2 2 2
2 2 2 2 2 2
3x y z
xy yz zx 9.
x y y z x z
+ + + ≥
+ +
9) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn xyz(x y z) 1,+ + = chứng minh (x y)(y z) 2.+ + ≥ 
10) Cho hai số dương x, y thỏa mãn x y 1,+ ≤ chứng minh 2 22 2
1 1
x y 17.
x y
+ + + ≥ 
Bài 43. 1) Cho a,b,c 0,≥ chứng minh 3 3 3 2 2 2a b b c c a a bc ab c abc .+ + ≥ + + 
2) Cho a, b, c > 0, 3a b c ,
2
+ + ≤ chứng minh 2 2 2
1 1 1 27
a b c .
2a b c
+ + + + + ≥ 
3) Cho 0 y x 1,≤ ≤ ≤ chứng minh rằng 1x y y x .
4
− ≤ 
4) Cho 26x 8xy 3 5,+ − = chứng minh 2 2x y 1.+ ≥ 
5) Cho tam giác ABC, gọi x, y, z lần lượt là khoảng cách từ ñiểm M ở bên trong tam 
giác ñến các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng 
2 2 2a b c
x y z
2R
+ +
+ + ≤ (với a, 
b, c là ñộ dài ba cạnh, R là bán kính ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC). 
Bài 44. 1) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x y z) 3yz,+ + = chứng minh rằng 
3 3 3(x y) (x z) 3(x y)(x z)(y z) 5(y z) .+ + + + + + + ≤ + 
2) Cho 0 − 
3) Cho a,b,c 2,≥ chứng minh b c c a a blog a log b log c 1.+ + ++ + > 
4) Chứng minh 2 xsin cos x4 2.2 4, x .+ ≥ ∀ ∈ℝ 
5) Cho x, y, z > 0, x y z 1,+ + ≤ chứng minh 2 2 22 2 2
1 1 1
x y z 82.
x y z
+ + + + + ≥ 
6) Cho x, y, z > 0, xyz =1, chứng minh 
3 3 3 3 3 31 x y 1 y z 1 z x 3 3.
xy yz zx
+ + + + + +
+ + ≥ 
Chuyên ñề BẤT ðẲNG THỨC ôn thi ðại học 
Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số 2 – Bắc Ninh 
41
41 
7) Cho a b 0,≥ > chứng minh bất ñẳng thức a b b a
a b
1 1(2 ) (2 ) .
2 2
+ ≤ + 
8) Cho a, b, c > 0, chứng minh 2 2 2
2 2 2 1 1 1
.
ab bc caa bc b ca c ab
+ + ≤ + +
+ + +
9) Chứng minh với x > 0 thì 
2
x x x1 x 1 1 .
2 8 2
+ − < + < + 
10) So sánh hai số epi và epi . So sánh hai số 2010 2010 và 2011 2011. 
11) Cho a > 0, b > 0, a + b = c, chứng minh nếu x 1> thì x x xa b c ,+ < nếu 0 < x < 1 thì 
x x xa b c .+ > 
12) Cho a, b, c, k > 0, chứng minh rằng 
2 3 3 2 3 3 2 3 3
2 2 2
(k k 1)b a (k k 1)c b (k k 1)a c (k 2)(a b c).
ab kb bc kc ca ka
− − − − − − − − −
+ + ≤ − + +
+ + +
13) Cho x, y, z, t 0,≥ chứng minh rằng 2 2 2 2 2
x y z t 4(x y z t)
.
1 y 1 z 1 t 1 x 4 (x y z t)
+ + +
+ + + ≥
+ + + + + + + +
Bài 45. 1) Cho 3(x y) 4xy 2,+ + ≥ tìm GTNN của 4 4 2 2 2 2A 3(x y x y ) 2(x y ) 1.= + + − + + 
2) Cho hai số thực không âm x, y thỏa mãn x y 1,+ = tìm GTLN, NN của biểu thức 
2 2S (4x 3y)(4y 3x) 25xy.= + + + 
3) Cho a, b,c 0, a b c 1,≥ + + = tìm GTNN của biểu thức 
2 2 2 2 2 2 2 2 2M 3(a b b c c a ) 3(ab bc ca) 2 a b c .= + + + + + + + + 
4) Tìm GTNN của hàm số 2 2y x 4x 21 x 3x 10.= − + + − − + + 
5) Cho x 0, y 0,3x y 1,> > + ≤ tìm GTNN của 1 1A .
x xy
= + 
6) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1, tìm GTNN của biểu thức 
2 2 2x (y z) y (z x) z (x y)P .
y y 2z z z z 2x x x x 2y y
+ + +
= + +
+ + +
7) Cho x, y, z > 0, tìm GTNN của biểu thức x 1 y 1 z 1P x( ) y( ) z( ).
2 yz 2 zx 2 xy
= + + + + + 
8) Cho x2 + y2 =1, tìm GTLN, NN của biểu thức 
2
2
2(x 6xy)P .
1 2xy 2y
+
=
+ +
9) Cho x 0, y 0,≥ ≥ tìm GTLN, NN của 2 2
(x y)(1 xy)P .
(1 x) (1 y)
− −
=
+ +
10) Cho 2y 0, x x y 12,≤ + = + tìm GTLN, NN của A xy x 2y 17.= + + + 
11) Cho 5x 0, y 0, x y ,
4
> > + = tìm GTNN của 4 1A .
x 4y
= + 
12) Cho 2 2 2a, b,c 0, a b c 1,> + + = tìm GTNN của ab bc caP .
c a b
= + + 
13) Cho 0 x 3, 0 y 4,≤ ≤ ≤ ≤ tìm GTLN của P (3 x)(4 y)(2x 3y).= − − + 
Bài 46. Chứng minh 
n n
n
a b a b
, n , n 2, a,b 0
2 2
+ +
≤ ∀ ∈ ≥ ∀ ≥ℕ 
Bài 47. Cho a, b,c 1,≥ chứng minh 2010 2010 2010
abc 6029 2010.
a b c
+ ≥
+ +
 (xem ví dụ 2).