Chuyên đề Nhị thức Newton và ứng dụng

CHUYÊN ĐỀ NHỊ THỨC NEWTON VÀ ỨNG DỤNG
A.LÍ THUYẾT:
1.Các hằng đẳng thức
2.Nhị thức Newton( Niu-tơn)
a.Định lí:
	Kết quả:
*
*
b.Tính chất của công thức nhị thức Niu-tơn :
-Số các số hạng của công thức là n+1
-Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn luôn bằng số mũ của nhị thức: (n-k)+k=n
-Số hạng tổng quát của nhị thức là: 
(Đó là số hạng thứ k+1 trong khai triển )
-Các hệ số nhị thức cách đều hai số hạng đầu, cuối thì bằng nhau.
-
-
-Tam giác pascal:	1
Khi viết các hệ số lần lượt với n = 0,1,2,... ta được bảng
N
k
0
1
2
3
4
5
....
0
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
1
4
1
4
6
4
1
5
1
5
10
10
5
1
Trong tam giác số này, bắt đầu từ hàng thứ hai, mỗi số ở hàng thứ n từ cột thứ hai đến cột n-1 bằng tổng hai số đứng ở hàng trên cùng cột và cột trước nó. Sơ dĩ có quan hệ này là do có công thức truy hồi
 (Với 1 < k < n)
3.Một sô công thức khai triển hay sử dụng:
4.Dấu hiệu nhận biết sử dụng nhị thức newton.
a.Khi cần chứng minh đẳng thức hay bất đẳng thức mà có với i là số tự nhiên liên tiếp.
b. Trong biểu thức có thì ta dùng đạo hàm 
Trong biểu thức có thì ta nhân 2 vế với xk rồi lấy đạo hàm
Trong biểu thức có thì ta chọn giá trị của x=a thích hợp.
Trong biểu thức có thì ta lấy tích phân xác định trên thích hợp.
Nếu bài toán cho khai triển thì hệ số của xm là Cin sap cho phương trình có nghiệm 
 đạt MAX khi hay với n lẽ, với n chẵn.
B.ỨNG DỤNG CỦA NHỊ THỨC NEWTON.
I.Các bài toán về hệ số nhị thức.
1.Bài toán tìm hệ số trong khai triển newton.
Ví dụ 1:(Đại học Thuỷ lợi cơ sở II, 2000) Khai triển và rút gọn đa thức:
Ta được đa thức:	
Xác định hệ số a9.
Giải:
Hệ số x9 trong các đa thức lần lượt là:
Do đó:	
=11+55+220+715+2002=3003
Ví dụ 2:(ĐHBKHN-2000) Giải bất phương trình: 
Giải:
Điều kiện:x là số nguyên dương và 
Ta có: dất phương trình đã cho tương đương với:
Vì x là nghiệm nguyên dương và nên 
Ví dụ 3: (ĐH KA 2004) Tìm hệ số của x8 trong khai triển đa thức của: 
Giải:
Cách 1: Ta có: 
Vậy ta có hệ số của x8 là: thoã 
Hệ số trong khai triển của x8 là:=238
Cách 2: Ta có:
Nhận thấy: x8 chỉ có trong các số hạng:
Số hạng thứ 4:
Số hạng thứ 5:
Với hệ số tương đương với: A8==238
Ví dụ 4:(ĐH HCQG, 2000)
Tìm hệ số x8 trong khai triển 
Cho biết tổng tất cả các hệ sô của khai triển nhị thức bằng 1024. Hãy tìm hệ số a của số hạng ax12 trong khai triển đó.( ĐHSPHN, khối D,2000)
Giải:
Số hạng thứ (k+1) trong khai triển là:
Ta chọn 
Vậy số hạng thứ 3 trong khai triển chứa x8 và có hệ số là:
Ta có:
Với x=1 thì:
Do đó hệ số a (của x12) là:
Ví dụ 5:(HVKTQS, 2000) Khai triển đa thức:
Tìm max
Giải:
Gọi ak là hệ số lớn nhất của khai triển suy ra: 
Từ đây ta có hệ phương trình:
2.Bài toán tìm sô hạng trong khai triển newton.
Ví dụ 6: Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển: 
Giải:
Số hạng thứ 21 trong khai triển là: 
Ví dụ 7:
Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau 
Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau 
Giải:
Khai triển có 21+1=22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số thứ 11 và 12.
Số hạng thứ 11 là: 
Số hạng thứ 12 là: 
Khai triển có 20+1=21 số hạng. Nên số hạng đứng giữa 2 số là số hạng thứ 
( Với [x] là ký hiệu phần nguyên của x nghĩa là sô nguyên lớn nhất không vượt quá x).
Ví dụ 8: (ĐH Khối D-2004) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển.
với 
Giải:
Số hạng tổng quát trong khai triển: 
Ứng với số hạng không chứa x ta có: 
Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là: 
Ví dụ 9: (ĐH SPHN-2001) Cho khai triển nhị thức:
Hãy tìm số hạng lớn nhất.
Giải:
Ta có: 
Ta có ak đạt được max 
Vậy max 
Bài tập áp dụng
Bài 1: (ĐH TK-2002) Gọi a1, a2,, a11 là các hệ số trong khai triển sau:
Hãy tìm hệ số a5
Bài 2: Tìm hệ số của x5 trong khai triển ( Khối D-2007)
Bài 3: Tìm hệ số của x5y3z6t6 trong khai triển đa thức ( Đề 4 “TH&TT” -2003)
Bài 4: (TT ĐH- chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An) Xác định hệ số của x11 trong khai triển đa thức: biết:
Bài 5: (LAISAC) Khai triển ta được Biết rằng ba hệ số đầu a0, a1, a2 lập thành cấp số cộng. Tính số hạng thứ x4
II. Áp dụng nhị thứ Newton để chứng minh hệ thức và tính tổng tổ hợp.
Thuần nhị thức Newton
Dấu hiệu nhận biết: Khi các số hạng của tổng đó có dạng thì ta sẽ dùng trực tiếp nhị thức Newton: . Việc còn lại chỉ là khéo léo chọn a,b.
Ví dụ 10: Tính tổng 
Giải:
Dễ dàng thấy tổng trên có dạng như dấu hiệu nêu trên. Ta sẽ chọn a=3, b=-1. Khi đó tổng trên sẽ bằng (3-1)16=216
Ví dụ 11: ( ĐH Hàng Hải-2000) Chứng minh rằng:
Giải:
Lấy (1) + (2) ta được: 
Chọn x=3 suy ra: 
2.Sử dụng đạo hàm cấp 1,2.
a.Đạo hàm cấp 1.
Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp tăng dần hoặc giảm dần từ 1,2,3,,n hay n,,3,2,1 tức là số hạng đó có dạng hoặc thì ta có thể dùng đạo hàm cấp 1 để tính. Cụ thể:
Lấy đạo hàm hai vế theo x ta được:
Đến đây thay x,a bằng hằng số thích hợp ta được tổng cần tìm.
Ví dụ 12:(ĐH BKHN-1999) Tính tổng 
Giải:
Ta thấy tổng cần tính có dạng như VP(1). Việc còn lại chỉ cần chọn a=1,x=-1 ta tính được tổng băng 0.
Cách khác: Sử dụng đẳng thức ta tính được tổng bằng:
Ví dụ 13:Tính tổng: 
Giải:
Hệ số trước tổ hợp giảm dần từ 2008,2007,,1 nên dùng đạo hàm là điều dễ hiểu:
Bây giờ nếu đạo lấy đạo hàm thì chỉ được trong khi đó đề đến 2008 do đó ta phải nhân thêm với x vào đẳng thức trên rồi mới dùng đạo hàm:
Thay x=1 vào ta tìm được tổng là 2009.22006
b.Đạo hàm cấp 2.
Dấu hiệu: Khi hệ số đứng trước tổ hợp có dạng 1.2,2.3,,(n-1)n hay (n-1)n,,3.2,2.1 hay 12,22,,n2 (không kể dấu) tức có dạng hay tổng quát hơn thì ta có thể dùng đạo hàm đến cấp 2 để tính. Xét đa thức
Khi đó đạo hàm hai vế theo x ta được:
Đạo hàm lần nữa:
Đến đây ta gần như giải quyết xong ví dụ toán chỉ việc thay a,b,x bởi các hằng số thích hợp nữa thôi.
Ví dụ14: (ĐH AN-CS Khối A 1998) Cho 
a.Tính 
b.Chứng minh răng:
Giải:
a. 
b. Ta có
Từ câu b thay (n-1)=(n+1) thì ta có một bài toán khác:
b’. Chứng minh rằng:
Với bài toán này ta giải như sau:
Xét nhị thức:
Nhân 2 vế của đẳng thức với đồng thời lấy đạo hàm cấp 2 hai vế theo biến x ta được:
Cho x=2 ta được ĐPCM
Bài tập áp dụng
Bài 1:(CĐSP Bến Tre Khối A-2002) Chứng minh rằng: 
Bài 2:(CĐ Khối T-M-2004)Chứng minh rằng : 
Bài 3:(ĐHKTQD-2000) Chứng minh:
Bài 4: Rút gọn tổng: 
III.Một số phương pháp khác:
Ví dụ 15: (ĐHQG TP.HCM 1997) Cho 
Chứng minh: 
Giải:
Suy ra hệ số xk trong (1+x)n .(1+x)m là 
Và hệ số xk trong khai (1+x)m+n là 
Đồng nhất thức: (1+x)n .(1+x)m = (1+x)n+m
Ta được: ĐPCM
Ví dụ16: (Đề2-TH&TT-2008) S2= với n là số tự nhiên lẻ
Giải:
Ta có:
Mặt khác ta có: hệ số của xn là: 
Trong khi đó: 
Nên hệ số của xn là (**)
Từ (*) và (**) 
Bài tập áp dụng
Bài 1: Chứng minh rằng:
a) (ĐH Luật-2001)
b) ( Đề 1-TH&TT-2008)
Bài 2: Tính các tổng sau:
a) 
b)
Bài 3: Đặt . Chứng minh