Chuyên đề Nhị thức Newton

Trần Mạnh Tùng tungtoan.sky.vn
CHUYÊN ĐỀ
NHỊ THỨC NEWTON
A. TÓM TẮT GIÁO KHOA VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
ĐỊNH NGHĨA
Nhị thức Newton là khai triển tổng lũy thừa có dạng:
 .
Số hạng thứ k+1 là , , thường được gọi là số hạng tổng quát.
Tính chất
i) .
ii) .
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
I. Dùng định nghĩa và tính chất chứng minh hoặc rút gọn đẳng thức
Ví dụ 1. Chứng minh đẳng thức với .
Giải
Áp dụng tính chất ta có:
 .
Ví dụ 2. Tính tổng .
Giải
Áp dụng tính chất ta có:
 .
Cách khác:
.
Vậy .
Ví dụ 3. Rút gọn tổng:
.
Giải
Áp dụng công thức ta có:
 với .
Suy ra:
.
Vậy .
II. Khai triển nhị thức Newton
1. Dạng khai triển
Dấu hiệu nhận biết:
Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa là 1 hoặc 1 và – 1 xen kẽ nhau.
i) Khai triển hoặc .
ii) Cộng hoặc trừ hai vế của 2 khai triển trên.
Ví dụ 4. Tính tổng .
Giải
Ta có khai triển:
.
Vậy .
Ví dụ 5. Rút gọn tổng .
Giải
Ta có các khai triển:
 (1)
 (2)
Cộng (1) và (2) ta được:
.
Vậy .
Ví dụ 6. Rút gọn tổng .
Giải
Ta có các khai triển:
 (1)
 (2)
Trừ (1) và (2) ta được:
.
Vậy .
2. Dạng đạo hàm
2.1. Đạo hàm cấp 1
Dấu hiệu nhận biết:
Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa tăng dần từ 1 đến n (hoặc giảm từ n đến 1) (không kể dấu).
Hai khai triển thường dùng:
 (1)
 (2)
i) Đạo hàm 2 vế của (1) hoặc (2).
ii) Cộng hoặc trừ (1) và (2) sau khi đã đạo hàm rồi thay số thích hợp.
Ví dụ 7. Tính tổng .
Giải
Ta có khai triển:
 (1)
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
 (2)
Thay x = – 2 vào (2) ta được:
.
Vậy .
Ví dụ 8. Rút gọn tổng .
Giải
Ta có khai triển:
 (1)
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
 (2)
Thay x = 2 và x = – 2 lần lượt vào (2) ta được:
 (3)
 (4)
Cộng hai đẳng thức (3) và (4) ta được:
Vậy .
Ví dụ 9. Rút gọn tổng .
Giải
Ta có khai triển:
 (1)
Nhân 2 vế (1) với x ta được:
 (2)
Đạo hàm 2 vế của (2) ta được:
 (3)
Thay x = 1 vào (3) ta được:
.
Cách khác:
Ta có khai triển:
 (1)
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
 (2)
Thay x = 1 vào (1) và (2) ta được:
 (3)
 (4)
Cộng (3) và (4) ta được:
.
Vậy .
Ví dụ 10. Cho tổng , với .
 Tính n, biết .
Giải
Ta có khai triển:
 (1)
Nhân 2 vế (1) với x2 ta được:
 (2)
Đạo hàm 2 vế của (2) ta được:
 (3)
Thay x = 1 vào (3) ta được:
.
.
Cách khác:
Ta có khai triển:
 (1)
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
 (2)
Thay x = 1 vào (1) và (2) ta được:
 (3)
 (4)
Nhân (3) với 2 rồi cộng với (4) ta được:
.
.
Vậy .
2.2. Đạo hàm cấp 2
Dấu hiệu nhận biết:
Các hệ số đứng trước tổ hợp và lũy thừa tăng (giảm) dần từ 1.2 đến (n–1).n hoặc tăng (giảm) dần từ 12 đến n2 (không kể dấu).
Xét khai triển:
 (1)
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
 (2)
i) Tiếp tục đạo hàm 2 vế của (2) ta được:
 (3)
ii) Nhân x vào 2 vế của (2) ta được:
 (4)
Đạo hàm 2 vế của (4) ta được:
 (5)
Ví dụ 11. Tính tổng .
Giải
Ta có khai triển:
 (1)
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
 (2)
Đạo hàm 2 vế của (2) ta được:
 (3)
Thay x = – 1 vào đẳng thức (3) ta được:
.
Vậy S = 0.
Ví dụ 12. Rút gọn tổng .
Giải
Ta có khai triển:
 (1)
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
 (2)
Nhân x vào 2 vế của (2) ta được:
 (3)
Đạo hàm 2 vế của (3) ta được:
 (4)
Thay x = 1 vào đẳng thức (4) ta được
.
Vậy .
3. Dạng tích phân
Dấu hiệu nhận biết:
Các hệ số đứng trước tổ hợp (và lũy thừa) giảm dần từ 1 đến hoặc tăng dần từ đến 1.
Xét khai triển:
 (1).
Lấy tích phân 2 vế của (1) từ a đến b ta được:
.
Trong thực hành, ta dễ dàng nhận biết giá trị của n.
Để nhận biết 2 cận a và b ta nhìn vào số hạng .
Ví dụ 13. Rút gọn tổng .
Giải
Ta có khai triển:
.
Vậy .
Ví dụ 14. Rút gọn tổng .
Giải
Ta có khai triển:
.
Vậy .
Ví dụ 15. Rút gọn tổng sau:
.
Giải
Ta có khai triển:
.
.
Vậy .
III. Tìm số hạng trong khai triển nhị thức Newton
1. Dạng tìm số hạng thứ k
Số hạng thứ k trong khai triển là .
Ví dụ 16. Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển .
Giải
Số hạng thứ 21 là .
2. Dạng tìm số hạng chứa xm
i) Số hạng tổng quát trong khai triển là (a, b chứa x).
ii) Giải phương trình , số hạng cần tìm là và hệ số của số hạng chứa xm là M(k0).
Ví dụ 17. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển .
Giải
Số hạng tổng quát trong khai triển là:
.
Số hạng không chứa x ứng với .
Vậy số hạng cần tìm là .
Ví dụ 18. Tìm số hạng chứa x37 trong khai triển .
Giải
Số hạng tổng quát trong khai triển là:
.
Số hạng chứa x37 ứng với .
Vậy số hạng cần tìm là .
Ví dụ 19. Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển .
Giải
Số hạng tổng quát trong khai triển là .
Suy ra số hạng chứa x3 ứng với .
+ Với k = 2: nên số hạng chứa x3 là .
+ Với k = 3: có số hạng chứa x3 là .
Vậy số hạng cần tìm là .
Cách khác:
Ta có khai triển của là:
.
Số hạng chứa x3 chỉ có trong và .
+ .
+ .
Vậy số hạng cần tìm là .
3. Dạng tìm số hạng hữu tỉ
i) Số hạng tổng quát trong khai triển là ( là hữu tỉ).
ii) Giải hệ phương trình .
Số hạng cần tìm là .
Ví dụ 20. Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển .
Giải
Số hạng tổng quát trong khai triển là .
Số hạng hữu tỉ trong khai triển thỏa điều kiện:
.
+ Với k = 0: số hạng hữu tỉ là .
+ Với k = 6: số hạng hữu tỉ là .
Vậy số hạng cần tìm là và .
4. Dạng tìm hệ số lớn nhất trong khai triển Newton
Xét khai triển có số hạng tổng quát là .
Đặt ta có dãy hệ số là .
Để tìm số hạng lớn nhất của dãy ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: giải bất phương trình ta tìm được k0 và suy ra .
Bước 2: giải bất phương trình ta tìm được k1 và suy ra .
Bước 3: số hạng lớn nhất của dãy là .
Chú ý:
Để đơn giản trong tính toán ta có thể làm gọn như sau:
Giải hệ bất phương trình . Suy ra hệ số lớn nhất là .
Ví dụ 21. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển .
Giải
Khai triển có số hạng tổng quát là .
Ta có:
 .
+ Với k = 2: hệ số là .
+ Với k = 3: hệ số là .
Vậy hệ số lớn nhất là 5,44.
Ví dụ 22. Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển .
Giải
Khai triển có số hạng tổng quát là .
Ta có:
 .
Vậy hệ số lớn nhất là .
5. Dạng tìm hệ số chứa xk trong tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân (tham khảo)
Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân với công bội q khác 1 là:
.
Xét tổng như là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân với và công bội .
Áp dụng công thức ta được:
.
Suy ra hệ số của số hạng chứa xk trong S(x) là nhân với hệ số của số hạng chứa trong khai triển .
Ví dụ 23. Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển và rút gọn tổng sau:
.
Giải
Tổng S(x) có 15 – 4 + 1 = 12 số hạng nên ta có:
.
Suy ra hệ số của số hạng chứa x4 là hệ số của số hạng chứa x5 trong .
Vậy hệ số cần tìm là .
Nhận xét:
Bằng cách tính trực tiếp hệ số của từng số hạng trong tổng ta suy ra đẳng thức:
.
Ví dụ 24*. Tìm hệ số của số hạng chứa x2 trong khai triển và rút gọn tổng sau:
.
Giải
Ta có:
.
Đặt:
 và .
Suy ra hệ số của số hạng chứa x2 của S(x) bằng tổng hệ số số hạng chứa x và x2 của f(x), bằng tổng 2 lần hệ số số hạng chứa x2 và 3 lần hệ số số hạng chứa x3 của F(x).
Tổng F(x) có 100 số hạng nên ta có:
.
Suy ra hệ số số hạng chứa x2 và x3 của F(x) lần lượt là và .
Vậy hệ số cần tìm là .
Nhận xét:
Bằng cách tính trực tiếp hệ số của từng số hạng trong tổng ta suy ra đẳng thức:
.
Ví dụ 25*. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển và rút gọn tổng sau:
.
Giải
Ta có:
.
Đặt:
 và .
Suy ra hệ số của số hạng chứa x của S(x) bằng tổng hệ số số hạng không chứa x và chứa x của f(x), bằng tổng hệ số số hạng chứa x và 2 lần hệ số số hạng chứa x2 của F(x).
Tổng F(x) có n số hạng nên ta có:
.
Suy ra hệ số số hạng chứa x và x2 của F(x) lần lượt là và .
Vậy hệ số cần tìm là .
Nhận xét:
Bằng cách tính trực tiếp hệ số của từng số hạng trong tổng ta suy ra đẳng thức:
.
B. BÀI TẬP
Tính giá trị của các biểu thức
1) 	2) 
Rút gọn các biểu thức 
3) 	4) 
5) , với 	6) , với 
7) , với 
8) , với 
Rút gọn các tổng khai triển sau
9) 
10) 
11) 
12) 
13) 
14) 
15) 
Rút gọn các tổng đạo hàm sau
16) 
17) 
18) 
19) 
20) 
21) 
22) 
23) 
24) 
25) 
Rút gọn các tổng tích phân sau
26) 
27) , trong đó:
.
28) 
Tìm số hạng trong các khai triển sau
29) Số hạng thứ 13 trong khai triển 
30) Số hạng thứ 18 trong khai triển 
31) Số hạng không chứa x trong khai triển 
32) Số hạng không chứa x trong khai triển 
33) Số hạng chứa a, b và có số mũ bằng nhau trong khai triển 
Tìm hệ số của số hạng trong các khai triển sau
34) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển 
35) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển 
36) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển 
37) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển 
38) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển 
39) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển 
40) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển:
41) Hệ số của số hạng chứa trong khai triển:
42) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển .
 Từ đó suy ra giá trị của tổng 
43) Rút gọn tổng 
44) Rút gọn tổng 
Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển của các tổng sau
45) 	46) 	47) 	48) 
Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển của các tổng sau
49) 	50) 	51) .
C. HƯỚNG DẪN GIẢI
1) .
2) .
3) .
4) Từ câu 3 ta có:
 .
5) 
 .
6) .
7) 
.
8) 
 .
9) (1)
 (2)
Cộng (1) và (2) ta được .
10) Trừ 2 khai triển , ta được .
11) .
12) (1 + 1)2007 + (1 – 1)2007.
13) – .
14) 
.
15) 
.
16) (1)
Đạo hàm 2 vế của (1) ta được:
 (2)
Thay x = – 2 vào 2 vế của (2) ta được:
.
17) 	18) .
19) Khai triển, đạo hàm và thay x = 1 của (3 + x)n suy ra .
20) Khai triển, đạo hàm và thay x = 1 của (2 + 3x)n suy ra .
21) Khai triển, đạo hàm 2 lần và thay x = 1 của (1 + x)n suy ra .
22) Tương tự 21) .
23) Khai triển, đạo hàm 2 lần và thay x = 1 của (x + 1)n suy ra .
24) Khai triển (1 + x)n, đạo hàm, nhân với x rồi đạo hàm lần nữa, thay x = 3, .
25) Tương tự 24) .
26) Khai triển (1 + x)n, tích phân từ 1 đến 2, .
27) 
. Vậy .
28) Khai triển (1 + x)2007, tích phân từ – 1 đến , .
29) 	30) 	31) .
32) Số hạng tổng quát của là .
Suy ra số hạng không chứa x ứng với k thỏa .
Vậy số hạng không chứa x là .
33) Số hạng tổng quát của là .
Suy ra . Vậy số hạng cần tìm là .
34) 	35) .
36) 
 .
Suy ra hệ số của số hạng chứa chỉ có trong 2 số hạng và .
+ nên có hệ số chứa x8 là .
+ nên có hệ số chứa x8 là .
Vậy hệ số cần tìm là .
37) 
 .
Thực hiện phép nhân phân phối ta suy ra hệ số của số hạng chứa chỉ có trong 3 số hạng:
, và .
Vậy hệ số cần tìm là .
38) 
 .
Suy ra hệ số của số hạng chứa chỉ có trong 2 số hạng và .
+ là hệ số của số hạng chứa .
+ có hệ số của số hạng chứa là .
Vậy hệ số cần tìm là .
39) (Tương tự) 1695.
40) Áp dụng công thức cấp số nhân cho tổng 48 số hạng ta có:
.
Suy ra hệ số của số hạng chứa là hệ số của số hạng chứa của .
Vậy hệ số cần tìm là .
41) Áp dụng công thức cấp số nhân cho 20 số hạng ta có:
.
Suy ra hệ số của số hạng chứa là hệ số của số hạng chứa của .
Vậy hệ số cần tìm là .
42) .
Thực hiện phép nhân phân phối ta suy ra hệ số của số hạng chứa là:
.
Mặt khác có hệ số của số hạng chứa x10 là .
Vậy .
43) .
Thực hiện phép nhân phân phối ta suy ra hệ số của số hạng chứa là:
.
Mặt khác có hệ số của số hạng chứa x10 là .
Vậy .
44) 	45) Số hạng cần tìm là .
46) Số hạng cần tìm là và .
47) Số hạng cần tìm là và .
48) Số hạng cần tìm là , và .
49) Hệ số lớn nhất là 	50) Hệ số lớn nhất là .
51) Hệ số lớn nhất là .