Chuyên đề Nguyên hàm- Tích phân - Chuyên đề: Tích phân- Ứng dụng

Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN- ỨNG DỤNG 
--------------------------- 
Kỹ năng: DÙNG VI PHÂN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN 
I- ĐẶT VẤN ĐỀ: 
 Giả sử ( )y F x= là một nguyên hàm của ( )y f x= trên K. 
Ta có: ( ) ( )d ( ) ( ) 
b
a
b
f x x F x F b F a
a
= = -ò 
Định lí: (Nguyên hàm hàm hợp) 
Cho hàm số ( )u u x= có đạo hàm liên tục trên K và hàm số ( )y f u= liên tục sao cho [ ]( )f u x xác 
định trên K . Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f , tức là: ( )( )df u u F u C= +ò thì: 
 [ ] [ ]/ ( ) . ( )d ( ) f u x u x x F u x C= +ò (*) 
Viết gọn lại: ( )( )df u u F u C= +ò . 
Nội dung định lí trên là cơ sở cho phép đổi biến trong việc xác định nguyên hàm và tính tích phân. Nhưng 
nếu thực hiện tính tích phân, thì công thức (*) trở thành: 
 [ ] ( )
( )
( )
/ ( ) . ( )d d 
u bb
a u a
f u x u x x f u u=ò ò (**) 
Nhược điểm của công thức (**) là phải tiến hành đổi cận. Trong một số trường hợp thì việc này tương đối 
không được dễ dàng và làm bài giải dài dòng, không cần thiết. 
Khắc phục điều này, ta biểu diễn công thức (**) lại như sau: 
 [ ] [ ] ( ) d ( ) ( ) 
b
a
b
f u x u x F u x
a
=ò 
II- VÍ DỤ MINH HỌA: 
Ví dụ 1: Tính tích phân 
4
0
tan dI x x
p
= ò 
Gợi ý: 
( )4 4 4
0 0 0
d cossintan d d ln cos ln 24
cos cos 0
xxI x x x x
x x
p p p p
= = = - = - =ò ò ò 
Ví dụ 2: (Khối B- 2003) Tính tích phân 
24
0
1 2sin d
1 sin2
xI x
x
p
-
=
+ò 
Gợi ý: 
Ta có: ( ) ( )
24 4 4
0 0 0
d 1 sin21 2sin cos2 1 1 1d d ln 1 sin2 ln 24
1 sin2 1 sin2 2 1 sin2 2 20
xx xI x x x
x x x
p p p p
+-
= = = = + =
+ + +ò ò ò 
Nhận xét: So với phép đổi biến 1 sin2t x= + thì cách dùng vi phân tỏ ra khoa học hơn. 
Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
Ví dụ 3: Tính tích phân 
( )
ln 3
3
0
d
1
x
x
e xI
e
=
+
ò 
Gợi ý: 
Ta có: 
( )
( ) ( ) ( )
3 12ln 3 ln 3 3
2
3
0 0
ln 3
1d 1 d 1 3 11 2 0
xx
x x
x
ee xI e e
e
- +
- +
= = + + =
- ++
ò ò 
ln 31 1 12 2 2 1
0 2 21 xe
æ ö= - = - - = -ç ÷è ø+
Ví dụ 4: Tính tích phân 
l 3
2
0
d
1
x xI
x
=
+ò 
Gợi ý: Dùng kỷ thuật “thêm, bớt”, ta phân tích: 
( ) ( )2 2l l l l l l l3 2
2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0
1 1 . d d 1d . d d 1d d
1 1 1 1 2 1
x x x xx x x x x x xI x x x x
x x x x x
+ - +
= = = = - = -
+ + + + +ò ò ò ò ò ò ò 
2
21 11 1 2 1 2ln 1
0 02 2 2 2 2
x x -= - + = - = 
Ví dụ 5: Tính tích phân 
l
0
d
1x
xI
e
=
+ò 
Gợi ý: Dùng kỷ thuật “thêm, bớt”, ta phân tích: 
( ) ( )l l l l l l
0 0 0 0 0 0
1 d 1d d d d d
1 1 1 1
x x xx
x x x x
e e ex eI x x x x
e e e e
+ - +
= = = - = -
+ + + +ò ò ò ò ò ò 
1 1 2ln 1 1 ln( 1) ln 2 ln
0 0 1
x ex e e
e
= - + = - + + =
+
Ví dụ 6: Tính tích phân 
3 3
2
2
4 d
2 3 1
xI x
x x
=
- +ò 
Gợi ý: Phân tích: 
( ) /23
2 2 2 2
2 3 14 7 3 7 9 12 3 2 3 . .
2 3 1 2 3 1 4 2 3 1 4 2 3 1
x xx xx x
x x x x x x x x
- +-
= + + = + + +
- + - + - + - +
( ) ( ) ( ) ( )/ /2 2
2 2
2 3 1 2 3 12 1 2 17 9 7 9 1 22 3 . . 2 3 .
4 2 3 1 4 ( 1)(2 1) 4 2 3 1 4 1 2 1
x x x xx x
x x
x x x x x x x x
- + - +é - - - ù æ öë û= + + + = + + + -ç ÷- + - - - + - -è ø
Suy ra: 
( ) /23
2
2
2 3 17 9 1 22 3 . d
4 2 3 1 4 1 2 1
x x
I x x
x x x x
é ù- + æ öê ú= + + + -ç ÷ê ú- + - -è øë û
ò 
 ( ) ( ) ( )
23 3 3 3
2
2 2 2 2
d 2 3 1 d 2 17 9 1 9 2 3 d d
4 2 3 1 4 1 4 2 1
x x x
x x x
x x x x
- + -
= + + + -
- + - -ò ò ò ò 
Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
 ( )2 23 3 3 37 9 9 3 ln 2 3 1 ln 1 ln 2 1 .....2 2 2 24 4 4x x x x x x= + + - + + - - - = 
Ví dụ 6: (Khối D- 2005) Tính tích phân ( )
2
sin
0
cos cos dxI e x x x
p
= +ò 
Gợi ý: 
Ta có: ( ) ( )
2 2 2 2 2
sin sin 2 sin
0 0 0 0 0
1 cos 2cos cos d .cos d cos d d sin d
2
x x x xI e x x x e x x x x e x x
p p p p p
+
= + = + = +ò ò ò ò ò 
 ( )
2 2 2
sin sin
0 0 0
1 1 1 1 d sin d cos 2 d sin 2 12 2 2
2 2 2 4 40 0 0
x xe x x x x e x x e
p p p p p p
p
= + + = + + = - +ò ò ò 
III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 
Tính các tích phân sau: 
1) 
4
sin
0
( .cos tan )dxI e x x x
p
= +ò 2)
2
2 2
0
sin2 d
cos 4sin
xI x
x x
p
=
+
ò 3) 
ln 5
ln 3
d
2 3x x
xI
e e-
=
+ -ò 
4) 
2
0
sin2 .cos d
1 cos
x xI x
x
p
=
+ò 5) 
1
3 2
0
. 1 dI x x x= -ò 6) 
1 2 2
0
2 d
2 1
x x
x
x e x eI x
e
+ +
=
+ò 
Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
Nhóm kỹ năng: NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ PHÂN THỨC 
 Nội dung: 
 Để tìm nguyên hàm của hàm số ( )
( )
P x
Q x
, trong đó ( ), ( )P x Q x là các đa thức, ta thực hiện như sau: 
- Nếu bậc của P(x) không nhỏ hơn bậc của Q(x), thì ta tách phần nguyên ra, tức là biểu biễn: 
1( ) ( )( )
( ) ( )
P x P xM x
Q x Q x
= + , trong đó M(x) là đa thức, và 1( )
( )
P x
Q x
 là phân thức có bậc của 1( )P x nhỏ hơn 
bậc của Q(x). 
- Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẩu, thì ta phân tích mẫu thành tích các nhị thức bậc nhất và các 
tam thức bậc hai có biệt số âm: 
 2 2( ) ( ) ...( ) 4 0m nQ x x a x px q p q= - + + D = - < 
- Phân tích phân thức hữu tỉ thành các phân thức đơn giản: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) 1 2 ... ...12
1 1 2 2 ...1 22 2
AA AP x m
n m m x am x a x ax a x px q
B x CB x C B x C n n
n n x px qx px q x px q
= + + + +
- -- -- + +
++ +
+ + +
- + ++ + + +
 - Đồng nhất hai vế để tìm các hệ số 1 2 1, ,..., , ,...,m nA A A B B 
 Cuối cùng việc tìm nguyên hàm của các phân thức hữu tỉ được đưa về nguyên hàm của đa thức và 
các phân thức hữu tỉ đơn giản. 
 LUYỆN TẬP: 
Bài tập 1: Xác định các nguyên hàm sau: 
4
1 2
3 1 4 2a) d b) d
4 2 1
x x xI x I x
x x
+ + -
= =
- +ò ò 
Gợi ý: 
a) Ta có: 1
3 1 3( 4) 13 1d d 3d 13 d 3 13ln 4
4 4 4
x xI x x x x x x C
x x x
+ - +
= = = + = + - +
- - -ò ò ò ò 
b) Biểu diễn: 
4 3 24 2 47 1 1.
2 1 2 6 12 24 24 2 1
x x x x x
x x
+ -
= - + + +
+ +
Lúc đó: 
4 3 2 4 3 2
2
4 2 47 1 1 47 1d . d ln 2 1
2 1 2 6 12 24 24 2 1 8 18 24 24 24
x x x x x x x x xI x x x C
x x
æ ö+ -
= = - + + + = - + + + + +ç ÷+ +è øò ò
Bài tập 2: Xác định các nguyên hàm sau: 
 1 2 32 2 2
3 1 1a) d b) d c) d 
4 5 6 2 3 1
I x I x I x
x x x x x
= = =
- - + - +ò ò ò 
Gợi ý: 
a) Ta có: 
1 2
3 1 3 ( 2) ( 2) 3 1 1 3 2d 3 d d d ln
4 ( 2)( 2) 4 ( 2)( 2) 4 2 2 4 2
x x xI x x x x C
x x x x x x x x
+ - - -æ ö= = = = - = +ç ÷- - + - + - + +è øò ò ò ò 
b) Tương tự: 
Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
 2 2
1 1 ( 2) ( 3) 1 1 3d d d d ln
5 6 ( 2)( 3) ( 2)( 3) 3 2 2
x x xI x x x x C
x x x x x x x x x
- - - -æ ö= = = = - = +ç ÷- + - - - - - - -è øò ò ò ò 
c) Phân tích: 
( )
2
1 1
12 3 1 2 1
2
x x x x
=
- + æ ö- -ç ÷è ø
Hướng 1: 
( )
( )
( )
3 2
1 1
1 1 2d d d
1 12 3 1 2 1 1
2 2
x x
I x x x
x x x x x x
é ùæ ö- - -ç ÷ê úè øê ú= = =
- + æ ö æ öê ú- - - -ç ÷ ç ÷ê úè ø è øë û
ò ò ò 
 1 1 1 2 2 d ln ln1 11 2 1
2 2
x xx C C
x xx x
æ ö
ç ÷ - -
= - = + = +ç ÷- -ç ÷- -
è ø
ò 
Hướng 2: 
( ) ( ) ( ) ( )3 2
1 1 (2 1) 2( 1)d d d
2 3 1 1 2 1 1 2 1
x xI x x x
x x x x x x
- - -
= = =
- + - - - -ò ò ò 
( )2
11 2 d ln 1 2ln 2 1 ln
1 2 1 2 1
x
x x x C C
x x x
-æ ö= - = - - - + = +ç ÷- -è ø -ò 
Nhận xét: Hướng 2 giải quyết tốt và gọn gàng hơn. 
Bài tập 3: Xác định các nguyên hàm sau: 
2 3
2 2 2
2 1 2a) b) c) 
5 4 5 6 3 2
x x x x xdx dx dx
x x x x x x
+ + +
- + - + - +ò ò ò 
Gợi ý: 
a) Phân tích: 
( ) ( ) ( )2
2 1 2 1 
5 4 1 4 1 4
x x A B x
x x x x x x
+ +
= = + "
- + - - - -
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 ( 4) ( 1) (*)
1 4 1 4
x A x B x
x x x x
+ - + -Û =
- - - -
Cách 1: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
42 1(*) 
1 4 1 4
A B x A Bx x
x x x x
+ + - -+Û = "
- - - -
( ) ( ) 2 1 4
2 1
4 1 3
x A B x A B
A B A
A B B
Û + = + + - -
+ = = -ì ìÛ Ûí í- - = =î î
Cách 2: (*) 2 1 ( 4) ( 1) x A x B x xÛ + = - + - " (**) 
 Thay 1x = vào (**): 5 5 1A A= - Û = - 
 Thay 4x = vào (**): 9 3 3B B= Û = 
Lúc đó: 
2 2
2 1 1 3 2 1 1 1 d d 3 d ln 1 3ln 4
5 4 1 4 5 4 1 4
x x x x x x x C
x x x x x x x x
+ - +
= + Þ = - + = - - + - +
- + - - - + - -ò ò ò 
Nhận xét: Cách giải 2, tỏ ra khoa học và tốt hơn cách 1. 
Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
Bài tập 4: Xác định các nguyên hàm sau: 
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 32 53 2
4 1a) d b) c) d
3 2 1 3 1
x x x xI x I dx I x
x x x x x x
- + +
= = =
- + - + -ò ò ò 
Gợi ý: a) Phân tích: ( )
2 2 2
3 2 2
4 4 4
3 2 ( 1)( 2)3 2
x x x x x x
x x x x x xx x x
- + - + - +
= =
- + - -- +
 Sử dụng đồng nhất thức: ( )
2 4 
( 1)( 2) 1 2
x x A B C x
x x x x x x
- +
= + + "
- - - -
2 4 ( 1)( 2) ( 2) ( 1) 
( 1)( 2) ( 1)( 2)
x x A x x Bx x Cx x x
x x x x x x
- + - - + - + -Û = "
- - - -
 2 4 ( 1)( 2) ( 2) ( 1) x x A x x Bx x Cx x xÛ - + = - - + - + - " (*) 
Thay 0x = vào (*), ta được: 4 2 2A A= Û = 
Thay 1x = vào (*), ta được: 4 4B B= - Û = - 
Thay 2x = vào (*), ta được: 6 2 3C CÛ = Û = . 
Lúc đó: 
2
1 3 2
4 2 4 3d d 2ln 4ln 1 3ln 2
3 2 1 2
x xI x x x x x C
x x x x x x
- + -æ ö= = + + = - - + - +ç ÷- + - -è øò ò 
b) Phân tích: 
( ) ( )
( )
2
2 2
1 
1 ( 1) 31 3
x A B C x
x x xx x
+
= + + "
- - +- +
 ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
1 ( 1)( 3) ( 3) ( 1) 
1 3 1 3
 1 ( 1)( 3) ( 3) ( 1) (*)
x A x x B x C x x
x x x x
x A x x B x C x x
+ - + + + + -Û = "
- + - +
Û + = - + + + + - "
Thay 1x = vào (*) ta được: 52 5
2
B B= Û = 
Thay 3x = - vào (*) ta được: 510 16
8
C C= Û = 
Thay 0x = vào (*) ta được: 3 1 191 3 3
3 8
B CA B C A + -= - + + Û = = 
Lúc đó: 
( ) ( )
2
2 2 2
19 551 19 5 1 58 82 d ln 1 . ln 3
1 ( 1) 3 8 2 1 81 3
xI dx x x x C
x x x xx x
æ ö+ ç ÷= = + + = - - + + +
- - + -ç ÷- + è ø
ò ò 
c) Phân tích: 
( )
2
5 2 3 4 51 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1
x A B C D E
x x x x xx
= + + + +
- - - - --
Sử dụng phương pháp đ ồng nhất thức như trên. 
Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
Bài tập tương tự: Xác định các nguyên hàm sau: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3
2 2 2
2
3
2
2 2 1 21) 2) 3) 
4 9 5 4 3 2
2 6 2 6 24) 5) 6) 
2 3 1 1 2 4 3
7) 
6 5
x x xdx dx dx
x x x x x
x x x xdx dx dx
x x x x x x x
x x dx
x x
+ +
- - + - +
- + + +
- - - - - -
+
- +
ò ò ò
ò ò ò
ò ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 2
2 32
3 2 5
2 2 4 22
1 5 17 18 5 8) 9) 
1 22
2 1 110) 11) 12) 
8 161 31
x x xdx dx
x xx x
x x x xdx dx dx
x xx xx
- + -
- --
- + +
- +- ++
ò ò
ò ò ò
Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
Kỹ năng: TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC 
I- KIẾN THỨC CHUẨN BỊ: 
* Một số công thức quan trọng cần lưu ý: 
* TÍCH THÀNH TỔNG: 
[ ]1cos cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b= - + + 
[ ]1sin sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b= - - + 
[ ]1sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b= - + + 
* Đặc b ...  pháp tích phân từng phần với: 
2
2
d dx
u x
e x v
= -ì
í
=î
Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
ĐỀ 28: (Dự bị -2006): 
2
1
( 2)ln dI x x x= -ò 
Gợi ý: Rõ ràng, bài này được giải theo phương pháp tích phân từng phần với: 
ln
( 2)d d
u x
x x v
=ì
í - =î
ĐỀ 29: (Khối B-2006): 
ln 5
ln 3
d
2 3x x
xI
e e-
=
+ -ò 
Gợi ý: Biến đổi: 
( ) ( )2 2
d d d( )d22 3 3 3 2 3 2
x x
x x x x x x x
x
x x e ex
e e e e e e ee
- = = =+ - + - - + - +
Ta có: 
( )
ln 5
2
ln 3
d
3 2
x
x x
eI x
e e
=
- +
ò 
Đặt d dx xt e t e x= Þ = 
5 : 5
ln 3 : 3
x t
x t
= =
Þ
= =
Lúc đó: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
5 5 5 5
2
3 3 3 3
51 2d d 1 1 2 3 1 3d d ln ln ln ln
33 2 1 2 1 2 2 1 1 4 2 2
t tt t tI t t
t t t t t t t t t
- - - -æ ö= = = = - = = - =ç ÷- + - - - - - - -è øò ò ò ò 
ĐỀ 30: (Dự bị -2006): 
10
5
d
2 1
xI
x x
=
- -ò 
Gợi ý: Đặt 21 1 2 dt dt x t x t x= - Û = - Þ = 
10 : 3
5 : 2
x t
x t
= =
Þ
= =
Lúc đó: ( )
3 3 3
2 2 22
2 2 2
2 d 2 d 2 2 2 d
2 1 2 1 2 11 2
t t t t tI t
t t t t t tt t
-æ ö= = = +ç ÷- + - + - ++ - è øò ò ò 
 2
3 32 2 ln 2 1 2ln 1 2ln 2 1
2 21 1
t t t
t t
æ ö æ ö= - + - = - - = +ç ÷ ç ÷- -è ø è ø
ĐỀ 31: (Dự bị -2006): 
1
3 2ln d
1 ln
e xI x
x x
-
=
+ò 
Gợi ý: Đặt 2
11 ln 1 ln 2 d dt x t x t t x
x
= + Þ = + Û =
3: 
2
1: 1
x e t
x t
= =Þ
= =
Lúc đó: 
( ) ( )
3 3
22 2 3
2
1 1
33 2 1 2.2 d 2 5 2 d 2 5 ...23
1
t tI t t t t t
t
- - æ ö
= = - = - =ç ÷
è øò ò
ĐỀ 32: (Khối D- 2007): 3 2
1
ln d
e
I x x x= ò 
Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
Gợi ý: Rõ ràng, bài này được giải theo phương pháp tích phân từng phần với: 
2
3
ln
d d
u x
x x v
ì =ï
í
=ïî
(Bước tính thực hiện 2 lần) 
ĐỀ 33: (Dự bị - 2007): 
4
0
2 1 d
1 2 1
xI x
x
+
=
+ +ò 
Gợi ý: Đặt ( )1 11 2 1 d d d d 1 d
12 1
t x t x x x t t
tx
= + + Þ = = Þ = -
-+
4 : 3
0 : 1
x t
x t
= =
Þ
= =
Lúc đó: ( ) ( )
23 3 3 32 3
2
1 1 1 1
311 2 1 1. 1 d d d 2 d 2 ln
13
tt t t tI t t t t t t t t
t t t t
- æ ö- - + æ ö= - = = = - + = - +ç ÷ç ÷è ø è øò ò ò ò
27 1 14 3ln 36 ln 3 2
3 3 3
+æ ö æ ö= - + - - =ç ÷ ç ÷è ø è ø
ĐỀ 34: (Dự bị - 2007): ( )
1
2
0
1
d
4
x x
I x
x
-
=
-ò 
Gợi ý: Dùng kỹ năng tích phân hàm phân thức. 
 Biểu diễn: 
( ) 2
2 2 2 2
1 1 2 41 .
4 4 2 4 4
x x x x x
x x x x
- -
= = + +
- - - -
Lúc đó: 
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1
2 2 2 2
0 0 0
1 1
2
0 0
2
1 2 4 1 2 11 . d 1 . d 4 d
2 4 4 2 4 4
2 21 2 1 . d d
2 4 2 2
32 ln1 11 2 1 1 1 1 3 64 1 ln 4 ln 1 ln 3 ln 4 ln 1 ln 3 ln 4
0 02 2 2 2 4 2 2
x xI x x x
x x x x
x xx x x
x x x
xx
x
æ ö æ ö æ ö= + + = + +ç ÷ ç ÷ ç ÷- - - -è ø è ø è ø
é ù+ - -æ ö= + + ê úç ÷- + -è ø ë û
+-æ ö æ ö= + - + = + - + = + - =ç ÷ ç ÷+è ø è ø
ò ò ò
ò ò
2
ĐỀ 35: (Dự bị -2007): 
2
2
0
cos dI x x x
p
= ò 
Gợi ý: Rõ ràng, bài này được giải theo phương pháp tích phân từng phần với: 
2
cos d d
u x
x x v
ì =
í
=î
ĐỀ 36: (A- 2008): 
46
0
tan d
cos2
xI x
x
p
= ò 
Gợi ý: Chú ý: 
2
2
1 tancos2
1 tan
xx
x
-
=
+
Biến đổi: 
( ) ( ) ( )
4 24 4 4
2
2 2 2
tan 1 tantan tan tand d . 1 tan d d tan
cos2 1 tan 1 tan 1 tan
x xx x xx x x x x
x x x x
+
= = + =
- - -
Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
Ta có: ( )
4 46 6
2
2
0 0
tan tand . 1 tan d
cos2 1 tan
x xI x x x
x x
p p
= = +
-ò ò 
Đặt ( )2tan d 1 tan dt x t x x= Þ = + 
1: 
6 3
0 : 0
x t
x t
p
= =
Þ
= =
Lúc đó: 
1
3 4
2
0
d ...
1
tI t
t
= =
-ò 
ĐỀ 37: (Khối B- 2008): 
( )
4
0
sin
4 d
sin 2 2 1 sin cos
x
I x
x x x
p
pæ ö-ç ÷è ø=
+ + +ò 
Gợi ý: Biến đổi: 
( ) ( ) ( )
sin
2 sin cos4
sin 2 2 1 sin cos 2 1 1 sin 2 2 sin cos
x
x x
x x x x x x
pæ ö-ç ÷ -è ø =
+ + + + + + +
( )
( ) ( )
/
2
sin cos2 
2 1 sin cos 2 sin cos
x x
x x x x
+
= -
+ + + +
Ta có: 
( ) ( ) ( ) ( )
4 4
2
0 0
2 sin cos 2 cos sin. d . d 
2 1 1 sin 2 2 sin cos 2 1 sin cos 2 sin cos
x x x xI x x
x x x x x x x
p p
- -
= = -
+ + + + + + + +ò ò 
Đặt ( )sin cos d cos sin dt x x t x x x= + Þ = - : 24
0 : 1
x t
x t
p
= =
Þ
= =
Lúc đó: 
( ) ( )
2 2
22
1 1
2 d 2 d 2 1 2 22. . . ln 1 ln 2 1
2 2 2 2 1 2 201
t tI t
t t t tt
= - = - = = + = +
+ + ++ò ò 
ĐỀ 38: (Khối D- 2008) 
2
3
1
ln dxI x
x
= ò 
Gợi ý: Rõ ràng, bài này được giải theo phương pháp tích phân từng phần với: 
3
ln
1 d d
u x
x v
x
=ìï
í
=ïî
ĐỀ 39: (Dự bị -2008): 
3
3
1
2
d
2 2
x xI
x
=
+ò 
Gợi ý: Đặt 3 23 2 2 2 2 3 d 2dt x t x t t x= + Û = + Þ = 
3
3: 2
1 : 3
2
x t
x t
= =
Þ
= =
Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
Lúc đó: 
( )
( ) ( )
3 3 3
3
3 3 3 4
2 2 3 2
3
3 3 3
2
33 3 3 32 . d 2 . d 2 d .....
2 4 4 4 4 3
t
tI t t t t t t t t t
t
-
æ ö
= = - = - = - =ç ÷
è øò ò ò
ĐỀ 40: (Dự bị -2008): 
2
0
sin 2 d
3 4sin cos 2
xI x
x x
p
=
+ -ò 
Gợi ý: Biến đổi: ( ) 22
sin 2 2sin .cos sind d .cos d
3 4sin cos 2 sin 2sin 13 4sin 1 2sin
x x x xx x x x
x x x xx x
= =
+ - + ++ - -
Ta có: 
2
2
0
sin .cos d
sin 2sin 1
xI x x
x x
p
=
+ +ò 
Đặt sin d cos dt x t x x= Þ = 
: 1
2
0 : 0
x t
x t
p
= =
Þ
= =
Lúc đó: 
1 1
2 2 2
0 0
1 2 2 1d . d
2 1 2 2 1 2 1
t tI t t
t t t t t t
+æ ö= = -ç ÷+ + + + + +è øò ò 
( )
1 1
2
22
0 0
1 11 2 2 1 1 1 1 1 ln 4 1 . d d ln 2 1 ln 4 1
0 02 2 1 2 1 2 2 21
t t t t t
t t tt
+ +æ ö æ ö= - = + + - = - - =ç ÷ ç ÷+ + +è ø è ø+ò ò 
ĐỀ 41: (Dự bị -2008): 
2
0
1 d
4 1
xI x
x
+
=
+ò 
Gợi ý: Đặt 24 1 4 1 2 d 4dt x t x t t x= + Þ = + Þ =
2 : 3
0 : 1
x t
x t
= =
Þ
= =
Lúc đó: 
( )
( )
2
2 3 3 3
2
0 1 1
1
31 1 1 1 1 27 1 54d . . d 1 d 3 1
12 8 8 3 8 3 3 64 1
t
x tI x t t t t t
tx
-
æ ö+ æ ö= = = - = - = - - + =ç ÷ ç ÷+ è øè øò ò ò
ĐỀ 42: (Dự bị -2008): 
1 3
2
0
d
4
xI x
x
=
-
ò 
Gợi ý: 
Cách 1: Đặt sin d cos dx t x t t= Þ =
1: 
2
0 : 0
x t
x t
p
= =
Þ
= =
Lúc đó: 
3 32 2 2 2
3 2
2
0 0 0 0
sin sin.cos d .cos d sin d sin .sin d
cos1 sin
t tI t t t t t t t t t
tt
p p p p
= = = =
-
ò ò ò ò 
 ( ) ( )
32
2
0
cos 1 2 1 cos d cos cos 12
3 3 30
tt t t
p pæ ö
= - - = - = - =ç ÷
è øò
Cách 2: Biến đổi: 
1 13 2
2 2
0 0
d . d
4 4
x xI x x x
x x
= =
- -
ò ò 
Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
Đặt 2 2 24 4 2 d 2 dt x t x t t x x= - Þ = - Þ = - 
1: 3
0 : 2
x t
x t
= =Þ
= =
Lúc đó: ( )
1 3 23 2 3
2
2
0 2 3
24d 2 . d 2 4 d 2 4 ....
3 34
x t tI x t t t t t
tx
æ ö-
= = - = - = - =ç ÷
- è øò ò ò
ĐỀ 43: (Dự bị -2008): 
1
2
2
0
. d
4
x xI x e x
x
æ ö
= -ç ÷
-è ø
ò 
Gợi ý: Biến đổi: 
1 1
2
1 22
0 0
. d d
4
x xI x e x x I I
x
= - = -
-
ò ò 
* Rõ ràng, 1I được giải theo phương pháp tích phân từng phần với: 2 d dx
u x
e x v
=ì
í
=î
* Tính 
( ) ( )
/21 1 1
2 2
2 2 2 2
0 0 0
4 11 1 1d d d 4 4 2 3
02 24 4 4
xxI x x x x
x x x
-
= = - = - - = - - = -
- - -
ò ò ò . 
Lúc đó: 1 2 ....I I I= - = 
ĐỀ 44: (Khối A- 2009): ( )
2
3 2
0
cos 1 cos dI x x x
p
= -ò 
Gợi ý: Biến đổi: 
 ( ) ( )23 2 3 2 2 4 21 cos2 1 cos2cos 1 cos cos .cos cos cos .cos 1 sin cos2 2
x xx x x x x x x x x+ +- = - = - = - - 
Ta có: ( ) ( ) ( )
2 2 223 2 2
1 2
0 0 0
1cos 1 cos d 1 sin cos d 1 cos 2 d
2
I x x x x x x x x I I
p p p
= - = - - + = +ò ò ò 
* Tính ( )
2 22
1
0
1 sin cos dI x x x
p
= -ò . 
Đặt sin d cos dt x t x x= Þ =
: 1
2
0 : 0
x t
x t
p
= =
Þ
= =
Lúc đó: ( ) ( ) ( )
1 1 5 32 2 22 2 4 2
1
0 0 0
12 1 2 81 sin cos d 1 d 2 1 d 1
5 3 5 3 150
t tI x x x t t t t t t
p
æ ö
= - = - = - + = - + = - + =ç ÷
è øò ò ò
* Tính ( )
2
2
0
21 1 sin 2 11 cos 2 d
2 2 2 2 2 40
xI x x x
p p
p pæ ö æ ö= - + = - + = - = -ç ÷ ç ÷è ø è øò 
Suy ra: 1 2
8
15 4
I I I p= + = + 
Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
ĐỀ 45: (Khối B-2009): 
3
2
1
3 ln d
( 1)
xI x
x
+
=
+ò 
Gợi ý: Biến đổi: 
3 3 3
1 22 2 2
1 1 1
3 ln 1 lnd 3 d d
( 1) ( 1) ( 1)
x xI x x x I I
x x x
+
= = + = +
+ + +ò ò ò . 
* Tính 
3
1 2
1
31 3 3 3 33 d
1( 1) 1 4 2 4
I x
x x
æ ö= = - = - - =ç ÷+ + è øò . 
* Rõ ràng, 2I được giải theo phương pháp tích phân từng phần với: 
( )2
ln
1 d d
1
u x
x v
x
=ì
ï
í =ï +î
Lúc đó: 1 2 ....I I I= + = 
ĐỀ 46: (Khối D-2009): 
3
1
d
1x
xI
e
=
-ò 
Gợi ý: Đặt 
d1 d d d
1
x x tt e t e x x
t
= - Þ = Þ =
+
33: 1
1: 1
x t e
x t e
= = -Þ
= = -
Lúc đó: 
( )( )
( ) ( )
( )( )
( )
( )
( )3 3 31 1 13
1 1 1 1
1d d 1 1d d
1 1 1 1
e e e
x
e e e
t tx tI t t
e t t t t t t
- - -
- - -
+ - æ ö= = = = -ç ÷- + + +è øò ò ò ò 
( )
( )
3
3 3 2
3 3 2
1 1 1 1 1 ln ln ln ln . ln
1 11
et e e e e e e
t e e e e ee
-
- - - + +
= = - = =
+ --
Nhận xét: Cận của tích phân thành lập, tương đối phức tạp, ta có thể đặt xt e= . 
ĐỀ 47: (Khối A- 2010): 
1 2 2
0
2 d
2 1
x x
x
x e x eI x
e
+ +
=
+ò 
Gợi ý: Biến đổi: 
( )22 2 21 22 d d d
2 1 2 1 2 1
x xx x x
x x x
x e ex e x e ex x x x
e e e
+ + æ ö+ +
= = +ç ÷+ + +è ø
Ta có: 
1 1 1
2 2
1 2
0 0 0
d d d
2 1 2 1
x x
x x
e eI x x x x x I I
e e
æ ö
= + = + = +ç ÷+ +è øò ò ò
* Tính 
1 3
2
1
0
1 1d
3 30
xI x x= = =ò 
* Tính 
1
2
0
d
2 1
x
x
eI x
e
=
+ò . 
Đặt 2 1 d 2 dx xt e t e x= + Þ =
1: 2 1
0 : 3
x t e
x t
= = +
Þ
= =
Lúc đó: 
1 2 1
2
0 2
2 11 1 1 1 2 1d d ln ln
2 1 2 2 2 22
ex
x
ee eI x t t
e t
+ + +
= = = =
+ò ò 
Chuyên đề NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN Luyện thi Đại học 2010 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán Trường THPT Phong Điền 
Suy ra: 1 2
1 1 2 1ln .
3 2 2
eI I I += + = + 
ĐỀ 48: (Khối B- 2010): 2
1
ln d
(2 ln )
=
+ò
e xI x
x x
Gợi ý: 
Cách 1: Đặt 
: 11ln d d 
1: 0
x e t
t x t x
x tx
= =
= Þ = Þ
= =
Lúc đó: 
( )
( ) ( )21 1 1 1 1
2 2 2 2 2
0 0 0 0 0
1 2 4 2 d 4 41 22d d d d
4 4 4 4 2 4 4 4 42
t t tt tI t t t t
t t t t t t t tt
+ - + +
= = = = -
+ + + + + + + ++ò ò ò ò ò 
( )
( )
21 1
2
22
0 0
d 4 4 1 11 1 1 2 1 9 1 3 1 2 d ln 4 4 ln ln
0 02 4 4 2 2 2 4 3 2 32
t t
t t t
t t tt
+ +
= - = + + + = - = -
+ + ++ò ò 
Cách 2: Đặt 
: 312 ln d d 
1: 2
x e t
t x t x
x tx
= =
= + Þ = Þ
= =
Lúc đó: 
3 3 3
2 2
2 2 2
3 32 1 1 2 3 1d d 2 d ln ln
2 2 2 3
tI t t t t
t t t t
-
= = - = + = -ò ò ò 
Nhận xét: Phương án đổi biến ở cách 2, hiệu quả và ngắn gọn hơn. 
ĐỀ 49: (Khối D- 2010): 
1
32 ln dæ ö= -ç ÷è øò
e
I x x x
x
Gợi ý: 
Ta có: 1 2
1 1 1
3 ln2 ln d 2 .ln d 3 d
e e e xI x x x x x x x I I
x x
æ ö= - = - = +ç ÷è øò ò ò 
* Rõ ràng, 2I được giải theo phương pháp tích phân từng phần với: 
ln
2 d d
u x
x x v
=ì
í =î
* Tính ( )
2
2
1 1
ln ln 33 d 3 ln d ln 3
12 2
e e ex xI x x x
x
= = = =ò ò 
Suy ra: 1 2 ....I I I= + =