Chuyên đề Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số 
 - 1 - 
SỞ GIÁO DỤC & ðÀO TẠO ðỒNG NAI 
Trường THPT BC Lê Hồng Phong 
Giáo viên thực hiện 
NGUYỄN TẤT THU 
Năm học: 2008 – 2009 
Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số 
 - 2 - 
MỤC LỤC 
MỤC LỤC.................................................................................................................................... 1 
LỜI MỞ ðẦU.............................................................................................................................. 3 
I. SỬ DỤNG CSC – CSN ðỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ DẠNG 
DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ðẶC BIỆT. ............................................................ 4 
II. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ðỂ XÁC ðỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ........... 24 
III. ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI 
TOÁN VỀ DÃY SỐ - TỔ HỢP............................................................................................... 30 
BÀI TẬP ÁP DỤNG ................................................................................................................. 41 
KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ ...................................................................................................... 45 
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................................ 46 
Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số 
 - 3 - 
LỜI MỞ ðẦU 
 Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan ñến dãy số là một phần 
quan trọng của ñại số và giải tích lớp 11 , học sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải 
các bài toán liên qua ñến dãy số và ñặc biệt là bài toán xác ñịnh công thức số hạng tổng 
quát của dãy số . Hơn nữa ở một số lớp bài toán khi ñã xác ñịnh ñược công thức tổng 
quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như ñược giải quyết. Do ñó xác ñịnh công 
thức tổng quát của dãy số chiếm một vị trí nhất ñịnh trong các bài toán dãy số. 
 Chuyên ñề “Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số ” 
nhằm chia sẻ với các bạn ñồng nghiệp một số kinh nghiệm giải bài toán xác ñịnh CTTQ 
của dãy số mà bản thân ñúc rút ñược trong quá trình học tập và giảng dạy. 
 Nội dung của chuyên ñề ñược chia làm ba mục : 
 I: Sử dụng CSC – CSN ñể xây dựng phương pháp tìm CTTQ của một số dạng dãy số 
có dạng công thức truy hồi ñặc biệt. 
 II: Sử dụng phương pháp thế lượng giác ñể xác ñịnh CTTQ của dãy số 
 III: Ứng dụng của bài toán xác ñịnh CTTQ của dãy số vào giải một số bài toán về 
dãy số - tổ hợp . 
 Một số kết quả trong chuyên ñề này ñã có ở một số sách tham khảo về dãy số, tuy 
nhiên trong chuyên ñề các kết quả ñó ñược xây dựng một cách tự nhiên hơn và ñược sắp 
xếp từ ñơn giản ñến phức tạp giúp các em học sinh nắm bắt kiến thức dễ dàng hơn và 
phát triển tư duy cho các em học sinh. 
 Trong quá trình viết chuyên ñề, chúng tôi nhận ñược sự ñộng viên, giúp ñỡ nhiệt 
thành của BGH và quý thầy cô tổ Toán Trường THPT BC Lê Hồng Phong. Chúng tôi 
xin ñược bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc. 
 Vì năng lực và thời gian có nhiều hạn chế nên ở chuyên ñề sẽ có những thiếu sót. Rất 
mong quý Thầy – Cô và các bạn ñồng nghiệp thông cảm và góp ý ñể chuyên ñề ñược tốt 
hơn. 
Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số 
 - 4 - 
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ðỊNH 
CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ 
I. SỬ DỤNG CSC – CSN ðỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ 
DẠNG DÃY SỐ CÓ CÔNG THỨC TRUY HỒI ðẶC BIỆT. 
Trong mục này chúng tôi xây dựng phương pháp xác ñịnh CTTQ của một số dạng dãy 
số có công thức truy hồi dạng ñặc biệt. Phương pháp này ñược xây dựng dựa trên 
các kết quả ñã biết về CSN – CSC , kết hợp với phương pháp chọn thích hợp. Trước hết 
chúng ta nhắc lại một số kết quả ñã biết về CSN – CSC . 
1. Số hạng tổng quát của cấp số cộng và cấp số nhân 
 1.1: Số hạng tổng quát của cấp số cộng 
ðịnh nghĩa: Dãy số ( )
n
u có tính chất 1n nu u d−= + 2n∀ ≥ , d là số thực không ñổi 
gọi là cấp số cộng . 
d : gọi là công sai của CSC; 
1
u : gọi số hạng ñầu, 
n
u gọi là số hạng tổng quát của cấp số 
ðịnh lí 1: Cho CSC ( )
n
u . Ta có : 1 ( 1)nu u n d= + − (1). 
ðịnh lí 2: Gọi nS là tổng n số hạng ñầu của CSC ( )nu có công sai d. Ta có: 
 1
S [2 ( 1) ]
2n
n
u n d= + −
 (2). 
 1. 2: Số hạng tổng quát của cấp số nhân 
ðịnh nghĩa: Dãy số ( )
n
u có tính chất 
1
. *
n n
u q u n+ = ∀ ∈ ℕ gọi là cấp số nhân công 
bội q . 
ðịnh lí 3: Cho CSN ( )
n
u có công bội q . Ta có: 11
n
n
u u q −=
 (3). 
ðịnh lí 4: Gọi 
n
S là tổng n số hạng ñầu của CSN ( )
n
u có công bội q . Ta có: 
1
1 -
1 -
n
n
q
S u
q
=
 (4). 
Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số 
 - 5 - 
2. Áp dụng CSC – CSN ñể xác ñịnh CTTQ của một số dạng dãy số ñặc biệt 
Ví dụ 1.1: Xác ñịnh số hạng tổng quát của dãy số ( )
n
u ñược xác ñịnh bởi: 
1 1
1, 2 2
n n
u u u n
−
= = − ∀ ≥ . 
Giải: 
Ta thấy dãy ( )
n
u là một CSC có công sai 2d = − . Áp dụng kết quả (1) ta có: 
1 2( 1) 2 3
n
u n n= − − = − + . 
Ví dụ 1.2: Xác ñịnh số hạng tổng quát của dãy số ( )
n
u ñược xác ñịnh bởi: 
1 1
3, 2 2
n n
u u u n
−
= = ∀ ≥ . 
Giải: 
Ta thấy dãy ( )
n
u là một CSN có công bội 2q = . Ta có: 13.2n
n
u −= . 
Ví dụ 1.3: Xác ñịnh số hạng tổng quát của dãy ( )
n
u ñược xác ñịnh bởi: 
1 1
2, 3 1 2
n n
u u u n
−
= − = − ∀ ≥ . 
Giải: 
Trong bài toán này chúng ta gặp khó khăn vì dãy ( )
n
u không phải là CSC hay CSN! Ta 
thấy dãy ( )
n
u không phải là CSN vì xuất hiện hằng số 1− ở VT. Ta tìm cách làm mất 
1− ñi và chuyển dãy số về CSN. 
Ta có: 3 11
2 2
− = − + nên ta viết công thức truy hồi của dãy như sau: 
1 1
1 3 1
3 3( )
2 2 2n n n
u u u
− −
− = − = − (1). 
ðặt 
1
1 5
2 2n n
v u v= − ⇒ = − và 
1
3 2
n n
v v n
−
= ∀ ≥ . Dãy ( )
n
v là CSN công bội 3q = 
1 1
1
5
. .3
2
n n
n
v v q − −⇒ = = − . Vậy 1 5 1.3
2 2 2
n
n n
u v= + = − + 1,2,...,..n∀ = . 
Nhận xét: Mẫu chốt ở cách làm trên là ta phân tích 3 11
2 2
− = − + ñể chuyển công thức 
truy hồi của dãy về (1), từ ñó ta ñặt dãy phụ ñể chuyển về dãy ( )
n
v là một CSN. Tuy 
nhiên việc làm trên có vẻ không tự nhiên lắm! Làm thế nào ta biết phân tích 
3 1
1
2 2
− = − + ? Ta có thể làm như sau: 
Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số 
 - 6 - 
Ta phân tích 11 3
2
k k k− = − ⇒ = . 
Với cách làm này ta xác ñịnh ñược CTTQ của dãy 1 0
1
( ) :
 2n
n n
u x
u
u au b n
−
 =

= + ∀ ≥
. 
Thật vậy: 
* Nếu 1a = thì dãy ( )
n
u là CSC có công sai d b= nên 
1
( 1)
n
u u n b= + − . 
* Nếu 1a ≠ , ta viết 
1 1
ab b
b
a a
= −
− −
. Khi ñó công thức truy hồi của dãy ñược viết như 
sau: 
1
( )
1 1n n
b b
u a u
a a−
+ = +
− −
, từ ñây ta có ñược: 1
1
( )
1 1
n
n
b b
u u a
a a
−+ = +
− −
Hay 
1
1
1
1
1
n
n
n
a
u u a b
a
−
−
−
= +
−
. 
Vậy ta có kết quả sau: 
Dạng 1: Dãy số 
1 0 1
( ) : , 2
n n n
u u x u au b n
−
= = + ∀ ≥ ( , 0a b ≠ là các hằng số) có 
CTTQ là: 
1
1
1
1
( 1) khi 1
 1
. khi a 1
1
n
n n
u n b a
u a
u a b
a
−
−
 + − =

= 
−
+ ≠
 −
. 
Ví dụ 1.4: Xác ñịnh CTTQ của dãy ( )
n
u ñược xác ñịnh : 
1 1
2; 2 3 1
n n
u u u n
−
= = + − . 
Giải: ðể tìm CTTQ của dãy số ta tìm cách làm mất 3 1n − ñể chuyển về dãy số là một 
CSN. Muốn làm vậy ta viết : 
3 1 3 5 2 3( 1) 5n n n − = − − + − +  (2). 
Khi ñó công thức truy hồi của dãy ñược viết như sau: 
3 5 2 3( 1) 5
n n
u n u n + + = + − +  . 
ðặt 3 5
n n
v u n= + + , ta có: 
1
10v = và 1 1
1 1
2 2 .2 10.2n n
n n n
v v n v v − −
−
= ∀ ≥ ⇒ = = 
Vậy CTTQ của dãy ( ) : 3 5 5.2 3 5 1,2,3,...n
n n n
u u v n n n= − − = − − ∀ = . 
Chú ý : 1) ðể phân tích ñược ñẳng thức (2), ta làm như sau: 
Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số 
 - 7 - 
3 1 2 ( 1)n an b a n b − = + − − +  . Cho 1; 2n n= = ta có: 
2 3
5 5
a b a
b b
 
− = = − 
⇔ 
− = = −  
. 
2) Trong trường hợp tổng quát dãy ( ) 1
1
:
( ) 2n
n n
u
u
u au f n n
−


= + ∀ ≥
, trong ñó ( )f n 
là một ña thức bậc k theo n , ta xác ñịnh CTTQ như sau: 
Phân tích ( ) ( ) ( 1)f n g n ag n= − − (3) với ( )g n cũng là một ña thức theo n . Khi ñó ta 
có: 1
1 1
( ) ( 1) ... (1)n
n n
u g n a u g n a u g−
−
   
− = − − = = −    
Vậy ta có: 1
1
(1) ( )n
n
u u g a g n− = − +  . 
Vấn ñề còn lại là ta xác ñịnh ( )g n như thế nào ? 
Ta thấy : 
*Nếu 1a = thì ( ) ( 1)g n ag n− − là một ña thức có bậc nhỏ hơn bậc của ( )g n một bậc và 
không phụ thuộc vào hệ số tự do của ( )g n , mà ( )f n là ña thức bậc k nên ñể có (3) ta 
chọn ( )g n là ña thức bậc 1k + , có hệ số tự do bằng không và khi ñó ñể xác ñịnh ( )g n 
thì trong ñẳng thức (3) ta cho 1k + giá trị của n bất kì ta ñược hệ 1k + phương trình, 
giải hệ này ta tìm ñược các hệ số của ( )g n . 
* Nếu 1a ≠ thì ( ) ( 1)g n ag n− − là một ña thức cùng bậc với ( )g n nên ta chọn ( )g n là 
ña thức bậc k và trong ñẳng thức (3) ta cho 1k + giá trị của n thì ta sẽ xác ñịnh ñược 
( )g n . 
Vậy ta có kết quả sau: 
Dạng 2: ðể xác ñịnh CTTQ của dãy ( )
n
u ñược xác ñịnh bởi: 1 0
1
. ( )
n n
u x
u a u f n
−
 =

= +
, trong 
ñó ( )f n là một ña thức bậc k theo n ; a là hằng số. Ta làm như sau: 
 Ta phân tích: ( ) ( ) . ( 1)f n g n a g n= − − với ( )g n là một ña thức theo n . Khi ñó, ta ñặt 
( )
n n
v u g n= − ta có ñược: 1
1
(1) ( )n
n
u u g a g n− = − +  . 
 Lưu ý nếu 1a = , ta chọn ( )g n là ña thức bậc 1k + có hệ số tự do bằng không, còn nếu 
1a ≠ ta chọn ( )g n là ña thức bậc k . 
Ví dụ 1.5: Cho dãy số 1
1
2
( ) :
2 1n
n n
u
u
u u n
−
 =

= + +
. Tìm CTTQ của dãy ( )
n
u . 
Giải: Ta phân tích 2 22 1 ( ) ( 1) ( 1) ( 1)n g n g n a n n b n n   + = − − = − − + − −   
Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số 
 - 8 - 
( trong ñó 2( )g n an bn= + ). 
Cho 0, 1n n= = ta có hệ: 2
1 1
( ) 2
3 2
a b a
g n n n
a b b
 
− + = = 
⇔ ⇒ = + + = =  
. 
2 2 1
n
u n n⇒ = + − . 
Ví dụ 1.6: Cho dãy số 1
1
1
( ) :
3 2 ; 2,3,...nn
n n
u
u
u u n
−
 =

= + =
.Tìm CTTQ của dãy ( )
n
u . 
Giải: Ta vẫn bắt chước cách làm trong các ví dụ trên, ta phân tích: 
12 .2 3 .2n n na a −= − . Cho 1n = , ta có: 12 2 2.2 3.2.2n n na −= − ⇒ = − + 
Nên ta có: 1 1
1 1
2.2 3( 2.2 ) ... 3 ( 4)n n n
n n
u u u− −
−
+ = + = = + 
Vậy 1 15.3 2n n
n
u − += − . 
Chú ý : Trong trường hợp tổng quát dãy 
1
( ) : . . n
n n n
u u a u bα
−
= + , ta phân tích 
1. .n n nk akα α α −= − với ( )a α≠ . 
Khi ñó: ( ) ( )1 11 1. . ...n n nn nu kb a u kb a u bkα α − −−− = − = = − 
Suy ra 1
1
( ) .n n
n
u a u bk bk α−= − + . 
Trường hợp aα = , ta phân tích 1. ( 1).n n nn nα α α α −= − − 
( )1 11 1. ( 1). ... ( )n n nn nu bn u b n u bα α α α α− −−⇒ − = − − = = − 
1
1
( 1) n n
n
u b n uα α −⇒ = − + . Vậy ta có kết quả sau. 
Dạng 3: ðể xác ñịnh CTTQ của dãy 1
1
( ) :
. . 2nn
n n
u
u
u a u b nα
−


= + ∀ ≥
, ta làm như 
sau: 
 • Nếu 1
1
( 1) n n
n
a u b n uα α α −= ⇒ = − + . 
 ... ia ( )P thành ( 1)1
2
n n +
+ miền, mỗi miền này nằm 
trong một miền của 
n
b và chia miền ñó làm hai phần.Vậy 
2
1
2
2n n
n n
b b+
+ +
= + . 
Từ ñó, ta có: 
2( 1)( 6)
6n
n n n
b
+ − +
= . 
Ví dụ 3.15: Trong một cuộc thi ñấu thể thao có m huy chương, ñược phát trong n ngày 
thi ñấu. Ngày thứ nhất, người ta phất một huy chương và 1
7
 số huy chương còn lại. 
Ngày thứ hai, người ta phát hai huy chương và 1
7
 số huy chương còn lại. Những ngày 
còn lại ñược tiếp tục và tương tự như vậy. Ngày sau cùng còn lại n huy chương ñể phát 
. Hỏi có tất cả bao nhiêu huy chương và ñã phát trong bao nhiêu ngày? (IMO 1967). 
Giải: Gọi 
k
a là số huy chương còn lại trước ngày thứ k
1
a m⇒ = , khi ñó ta có: 
1
1
6 6 6
( 36) 6 42
7 7 7
k
k k k
k
a a a m k
−
+
 
= − ⇒ = − − + 
 
1
6
( 36) 6 42
7
n
n
a n m n
−
 
⇒ = = − − + 
 
1
7
36 7( 6)
6
n
m n
−
 
⇒ − = −  
 
Vì ( )6,7 1= và 16 6n n− > − nên ta có 6 0 6 36n n m− = ⇔ = ⇒ = . 
Vậy có 36 huy chương ñược phát và phát trong 6 ngày. 
Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số 
 - 39 - 
Ví dụ 3.16: Có bao nhiêu xâu nhị phân ñộ dài n trong ñó không có hai bit 1 ñứng cạnh 
nhau? 
Giải: Gọi 
n
c là số xâu nhị phân ñộ dài n thỏa mãn ñiều kiện ñầu bài. 
Ta có 
1
2c = ; 
2
3c = . 
Xét xâu nhị phân ñộ dài n thỏa mãn ñiều kiện ñầu bài có dạng 
1 2 2 1
......
n n n
a a a a a
− −
 . 
Có hai trường hợp 
 • 1
n
a = . Khi ñó 
1
0
n
a
−
= và 
2 2 1
......
n
a a a
−
 có thể chọn là một xâu bất kỳ ñộ dài 2n − 
thỏa ñiều kiện. Có 
2n
c
−
 xâu như vậy, suy ra trường hợp này có 
2n
c
−
 xâu. 
 • 0
n
a = . Khi ñó 
1 2 1
......
n
a a a
−
 có thể chọn là một xâu bất kỳ ñộ dài 1n − thỏa ñiều 
kiện. Có 
1n
c
−
xâu như vậy, suy ra trường hợp này có 
1n
c
−
 xâu. 
Vậy tổng cộng xây dựng ñược 
1 2
n n
c c
− −
+ xâu, hay 
1 2n n n
c c c
− −
= + . 
1 1
5 2 1 5 2 5 1 5
2 25 5
n n
n
c
− −
   
− − − +
⇒ = +   
   
   
. 
Ví dụ 3.17: Cho số nguyên dương n . Tìm tất cả các tập con A của tập 
{ }1,2,3,...,2X n= sao cho không tồn tại hai phần tử ,x y A∈ thỏa mãn: 2 1x y n+ = + 
(Thụy Sỹ 2006). 
Giải: 
ðể giải bài toán này ta sẽ ñi ñếm số tập con A của X thỏa mãn luôn tôn tại hai phần tử 
,x y A∈ sao cho 2 1x y n+ = + (ta gọi tập A có tính chất T ). 
Gọi 
n
a là số tập con A của tập { }1,2,...,2n có tính chất T 
Khi ñó các tập con { }1,2,...,2 ,2 1,2 2A n n n⊂ + + xảy ra hai trường hợp. 
TH1: Trong tập A chứa hai phần tử 1 và 2 2n + , trong trường hợp này số tập A có tính 
chất T chình bằng số tập con của tập gồm 2n phần tử { }2,3,4,...,2 ,2 1n n + và số tập 
con của tập này bằng 22 n . 
TH2: Trong tập A không chứa ñầy ñủ hai phần tử 1 và 2 2n + . Khi ñó A phải chứa 
một tập 'A là tập con của tập { }2,3,4,...,2 ,2 1n n + sao cho có hai phần tử ', ' ' :x y A∈ 
' ' 2 3x y n+ = + . Ta thấy số tập con 'A như trên chính bằng số tập con của tập 
{1,2,...,2 }n có tính chất T (Vì ta trừ các phần tử của { }2,3,4,...,2 ,2 1n n + ñi một ñơn 
vị ta ñược tập {1,2,...,2 }n và ', ' ' :x y A∈ ' ' 2 1x y n+ = + ) 
Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số 
 - 40 - 
Hơn nữa với mỗi tập 'A ta có ñược ba tập A (bằng cách ta chọn A là 'A hoặc {1} 'A∪ 
hoặc {2 2} 'n A+ ∪ ) 
Do vậy: 2
1
3 2 4 3n n n
n n n
a a a+ = + ⇒ = − 
Vậy số tập con thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 4 3n n
n
a− = . 
Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số 
 - 41 - 
Bài tập áp dụng 
Bài 1: Tìm CTTQ của các dãy số sau 
1) 1 2 1 11; 0, 2 1, 2n n nu u u u u n n+ −= = − + = + ≥ 
2) 
1 2 1 1
0; 0, 2 3.2 , 2n
n n n
u u u u u n+ −= = − + = ≥ 
3) 
1 2 1 1
0; 0, 2 3 2 , 2n
n n n
u u u u u n n+ −= = − − = + ≥ 
4) 
1 2 3 1 2 3
0, 1, 3, 7 11. 5. , 4
n n n n
u u u u u u u n
− − −
= = = = − + ≥ 
5) 
1
1
1
3
3
2 3
 2
1 ( 3 2)
n
n
n
u
u
u n
u
−
−

=

 + −
 = ∀ ≥

− −
. 
Bài 2: Cho dãy số { }nb xác ñịnh bởi : ( )1 2
1 2
2.
3
1, 2
n n n
b b b
n N n
b b
− −

= +
∈ ≥
= =
Chứng minh rằng 5 ,
2
n
n
b n N
 
≤ ∀ ∈ 
 
Bài 3: Cho dãy số { }nu thoả mãn như sau : 0 1
1 2
,
1, 9
10. , 2
n
n n n
u Z N
u u
u u u n N n
+
− −
 ∈ ∀ ∈

= =

= − ∀ ∈ ≥

Chứng minh : , 1k N k∀ ∈ ≥ . 
2 2
1 1
1) 10 . 8
k k k k
u u u u
− −
+ − = − 
1
2) 5. 4
k k
u u
−
− ⋮ và 23. 1 2
k
u − ⋮ 
Bài 4: Cho dãy số 
n
x xác ñịnh như sau: 0 1
1 2
1; 0
2 2 2
n n n
x x
x x x n
− −
 = =

− + = ∀ ≥
. 
Xác ñịnh số tự nhiên n sao cho : 
1
22685
n n
x x+ + = . 
Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số 
 - 42 - 
Bài 5: Cho dãy ( )
n
x ñược xác ñịnh bởi 0 1
1 1
1; 5
6 1
n n n
x x
x x x n+ −
 = =

= − ∀ ≥
. 
Tìm { }lim 2n nx x (TH&TT T7/253). 
Bài 6: Xét dãy 
1
1
( ) :
2n
a a = và 
1
1 2
2 2
1
1 (1 )
 1
2
n
n
a
a n+
 
 
− −
= ∀ ≥ 
 
 
 
. 
Chứng minh rằng: 
1 2 2005
... 1,03a a a+ + + < (TH&TT T10/335). 
Bài 7: Cho dãy 2
0 1
( ) : 2; 4 15 60 1
n n n n
a a a a a n+= = + − ∀ ≥ . Hãy xác ñịnh CTTQ 
của 
n
a và chứng minh rằng số 
2
1
( 8)
5 n
a + có thể biểu diễn thành tổng bình phương của 
ba số nguyên liên tiếp với 1n∀ ≥ (TH&TT T6/262). 
Bài 8: Cho dãy số { }( )p n ñược xác ñịnh như sau: (1) 1;p = 
( ) (1) 2 (2) ... ( 1) ( 1)p n p p n p n= + + + − − 2n∀ ≥ . Xác ñịnh ( )p n (TH&TT T7/244). 
Bài 9: Xét dãy 1 3 2
1
2
( ) :
3 2 9 9 3 2n
n n
u
u
u u n n n n
−
 =

= + − + − ∀ ≥
. Chứng minh rằng 
với mỗi số nguyên tố p thì 
1
1
2000
p
i
i
u
−
=
∑ chia hết cho p (TH&TT T6/286). 
Bài 10: Dãy số thực 0 2
1
( ) :
2 1 0n
n n
x a
x
x x n+
 =

= − ∀ ≥
. 
Tìm tất cả các giá trị của a ñể 0 0
n
x n< ∀ ≥ (TH&TT T10/313). 
Bài 11: Dãy số 
0 1
1
( ) : 1,
2n
x x x= = và 1
2
1 1
.
2002 2001 2000
n n
n
n n n n
x x
x
x x x x
+
+
+ +
=
+ +
0n∀ ≥ . Hãy tìm CTTQ của 
n
x (TH&TT T8/298). 
Bài 12: Cho dãy số ( )
n
a ñược xác ñịnh như sau: 
1
1
1
1
2
( ) :
 1
2 1
n
n
n
n
a
a a
a n
na
−
−

=

 = ∀ ≥
+
. 
Tính tổng 
1 2 1998
...a a a+ + + . 
Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số 
 - 43 - 
Bài 13: Cho dãy số ( )
n
a ñược xác ñịnh bởi : 
1 2
1.2.3, 2.3.4, ...,a a= = ( 1)( 2)
n
a n n n= + + . 
ðặt 
1 2
...
n n
S a a a= + + + . Chứng minh rằng 4 1
n
S + là số chính phương . 
(HSG Quốc Gia – 1991 Bảng B ) 
Bài 14: Cho hai dãy số ( ),( )
n n
a b ñược xác ñịnh như sau: 
0 0
2; 1a b= = và 
1 1 1
2
, 0n n
n n n n
n n
a b
a b a b n
a b+ + +
= = ∀ ≥
+
. 
Chứng minh rằng các dãy ( )
n
a và ( )
n
b có cùng một giới hạn chung khi n → +∞ . 
Tìm giới hạn chung ñó. ( HSG Quốc Gia – 1993 Bảng A ngày thứ 2) 
Bai 15: Cho các số nguyên ,a b . Xét dãy số nguyên ( )
n
a ñược xác ñịnh như sau 
0 1 2 3 2 1
; ; 2 2; 3 3 0
n n n n
a a a b a b a a a a a n+ + += = = − + = − + ∀ ≥ 
 ) a Tìm CTTQ của dãy ( )
n
a . 
 ) b Tìm các số nguyên ,a b ñể 
n
a là số chính phương với 1998n∀ ≥ . 
(HSG Quốc Gia – 1998 Bảng B). 
Bài 16: Cho dãy số 0
1
3
( ) :
(3 )(6 ) 18 1n
n n
a
a
a a n
−
 =

− + = ∀ ≥
. Tính 
1
1n
i i
a
=
∑ 
(Trung Quốc – 2004 ). 
Bài 17: Cho dãy số 
0
2
1 1
1
( ) : 7 45 36
 1
2
n
n n
n
a
a a a
a n
− −
 =

 + −
 = ∀ ≥

. Chứng minh 
 1) 
n
a là số nguyên dương với 0n∀ ≥ . 
1
2) 1
n n
a a+ − là số chính phương 0n∀ ≥ . ( Trung Quốc – 2005 ). 
Bài 18: Cho dãy số 1 2
1 2
1; 2
( ) :
4 3n
n n n
u u
u
u u u n
− −
 = =

= − ∀ ≥
. Chứng minh rằng 
2 1
3
n
u −
 là số 
chính phương ( Chọn ñội tuyển Nghệ an – 2007 ). 
Bài 19: Cho dãy số 0 1
1 2
3
12;
( ) : 2
. 3 2
n
n n n
b b
b
b b b n
− −

= =

 + = ∀ ≥
. Tính 
2007
0
i
i
b
=
∑ ( Moldova 2007). 
Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số 
 - 44 - 
Bài 20: Có n tấm thẻ ñược ñánh số từ 1 ñến n . Có bao nhiêu cách chọn ra một số thẻ 
(ít nhất 1 tấm) sao cho tất cả các số viết trên các tấm thẻ này ñều lớn hơn hoặc bằng số 
tấm thẻ ñược chọn. 
Bài 21: Cho dãy ( )
n
u ñược xác ñịnh bởi: 
1
2
1
1
1; 0 1
1 1
 2
n
n
n
n
u u n
u
u n
u
−
−
 = > ∀ ≥

+ −
= ∀ ≥

. Chứng minh 
rằng 1
1 2
1
... 1 1 ( )
4 2
n
n
u u u
pi
−
 
+ + + ≥ + − 
 
 (HSG Quảng Bình 2008 – 2009 ). 
Bài 22: Cho dãy ña thức : 3( ) 6 9P x x x= − + và ( ) ( (...( ( ))))
n
P x P P P x= n lần. Tìm 
số nghiệm cảu ( )P x và ( )
n
P x ? (Dự tuyển Olympic). 
Bài 23: Xác ñịnh hệ số 2x trong khai triển chính quy của ña thức 
2 2 2 2 2( ) (...((( 2) 2) 2) ...) 2)
k
Q x x= − − − − − (có k dấu ngoặc). 
Bài 24: Cho dãy 
0 1 1 1
: 1, 1, 4 1
n n n n
x x x x x x n+ −= = = − ∀ ≥ và dãy số 
( ) 0 1 1 1: 1, 2, 4 1n n n ny y y y y y n+ −= = = − ∀ ≥ . Chứng minh rằng: 
2 23 1 0
n n
y x n= + ∀ ≥ (Canada – 1998 ). 
Bài 25: Có bao nhiêu tam giác có ñộ dài các cạnh là các số tự nhiên không vượt quá 2n 
(Macedonian – 1997 ). 
Bài 26: Cho dãy số ( )
n
u ñược xác ñịnh như sau: 
0 1
1u u= = và 
1 1
14
n n n
u u u+ −= − với 
1n∀ ≥ . Chứng minh rằng với 0n∀ ≥ thì 2 1
n
a − là một số chính phương (Chọn ñội 
tuyển Romania 2002). 
Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số 
 - 45 - 
KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 
 Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung liên quan ñến chuyên ñề với sự góp ý của ñồng 
nghiệp vận dụng chuyên ñề vào giảng dạy ñã thu ñược một số kết quả sau 
1) Học sinh trung bình trở lên có thể vận dụng một số kết quả cơ bản trong chuyên ñề 
vào giải bài toán xác ñịnh CTTQ của một số dạng dãy số có dạng truy hồi ñặc biệt. 
2) Học sinh giỏi có thể vận dụng các kết quả trong chuyên ñề ñể tham khảo phục vụ 
trong những kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh và cấp Quốc Gia. 
3) Tạo ñược sự hứng thú cho học sinh khi học về bài toán dãy số. 
4) Là tài liệu tham khảo cho học sinh và giáo viên. 
5) Qua ñề tài giáo viên có thể xây dựng các bài toán về dãy số. 
Bên cạnh những kết quả thu ñược, chuyên ñề còn một số hạn chế sau: 
1) Trong chuyên ñề chưa xây dựng ñược phương pháp xác ñịnh CTTQ của một số 
dãy số mà các hệ số trong công thức truy hồi biến thiên. 
2) Chưa ñưa vào một số phương pháp xác ñịnh CTTQ của dãy số dựa vào một số kiến 
thức liên quan ñến Toán cao cấp như phương pháp hàm sinh... 
Hy vọng các ñồng nghiệp sẽ phát triển, mở rộng và khắc phục một số hạn chế nói trên. 
Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát của dãy số 
 - 46 - 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
 [1] ðại Số và Giải Tích lớp 11 Nâng Cao 
 [2] Các bài thi Olympic Toán THPT Việt Nam, Tủ sách TH&TT – NXB GD 2007 
 [3] Một số bài toán chọn lọc về dãy số , Nguyễn Văn Mậu, NXBGD – 2003 
 [4] Các phương pháp ñếm nâng cao, Trần Nam Dũng 
 [5] Tạp chí Toán Học Và Tuổi Trẻ 
 [6] Các diễn ñàn Toán học như: maths.vn ; diendantoanhoc.net ; mathscop.org  
 [7] Tuyển tập các chuyên ñề thi Olympic 30 – 4 Khối 11 
 [8] Phép quy nạp trong hình học, Yaglom – L.I.Golovina – IM (Khổng Xuân Hiển 
dịch xuất bản năm 1987)