Chuyên đề Một mở rộng của định lý Simsơn

	Một mở rộng của định lý Simsơn	
Định lý Simsơn được phát biểu như sau: chân các đường vuông góc hạ từ một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp một tam giác xuống 3 cạnh của tam giác đó thuộc một đường thẳng.
Đã có một mở rộng khá quen thuộc của định lý này, đó là: các điểm đối xứng của một điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp một tam giác qua 3 cạnh của tam giác đó thuộc một đường thẳng và đường thẳng đó đi qua trực tâm của tam giác.
Ký hiệu tam giác đó là ABC, M là 1 điểm trên đường tròn ngoại tiếp. là các điểm đối xứng của M qua 3 cạnh BC, CA, AB của tam giác. H là trực tâm tam giác. Thế thì thẳng hàng và H thuộc đường thẳng .
Có thể thấy rằng sự mở rộng trên bao gồm 2 phần: phần mở rộng trực tiếp, đó là sự thẳng hàng được suy ra ngay từ định lý Simsơn; còn phần thứ hai hoàn toàn khác biệt, đó là đường thẳng đi qua 3 điểm đối xứng thì đi qua trực tâm tam giác.
Sự khác biệt đó khiến ta đặt câu hỏi là tại sao lại nghĩ ra điểm trực tâm tam giác ở đó mà không phải là điểm khác? Trực tâm có quan hệ thế nào với điểm trên đường tròn ngoại tiếp và hơn nữa là đối với 3 điểm đối xứng thì có gì đặc biệt?
Ta thấy rằng trong sự mở rộng đó đã nói đến các điểm đối xứng của M qua 3 cạnh tam giác, vậy thì tại sao không xét đến các điểm đối xứng của H? Gọi 3 điểm đối xứng tương ứng là . Ta hãy xét đường nối 3 điểm ; trong phạm vi kiến thức của chúng ta thì hãy xét đến đường tròn và đường thẳng. Ta thấy rằng đường tròn chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, và dĩ nhiên nó đi qua M.
Như vậy thì đường tròn đi qua M và đường thẳng lại đi qua H.
Nếu như ta gọi đường tròn đi qua 3 điểm đối xứng của 1 điểm qua 3 cạnh tam giác là đường tròn Simsơn và coi đường thẳng Simsơn là trường hợp suy biến của đường tròn Simsơn thì ta có thể nói rằng đường tròn Simsơn của điểm H đi qua điểm M và đường tròn Simsơn của điểm M đi qua điểm H.
Ta hãy mở rộng kết quả trên theo hướng đối với 2 điểm bất kỳ, tức là đặt ra bài toán: cho tam giác ABC và 2 điểm M, N. Tìm điều kiện cần và đủ của M và N để đường tròn Simsơn của điểm M đi qua N và ngược lại.
Bởi vì bài toán đặt ra với các vị trí bất kỳ của M, N trên mặt phẳng và vấn đề đang xét liên quan tới điểm thuộc đường tròn nên ở đây ta sử dụng góc định hướng để giải quyết. Để đơn giản xin được thay dấu bằng dấu = và bỏ ký hiệu (mod ) sau các biến đổi.
Gọi các điểm đối xứng của M, N lần lượt qua BC, CA, AB là và X, Y, Z là hình chiếu của M trên 3 cạnh đó tương ứng.
Chú ý đến tính đối xứng trục của các đường thẳng qua AC và qua AB thì ta có:
suy ra: (*)
Biến đổi trên ta không sử dụng điều kiện gì cho nên đẳng thức (*) thu được đúng với mọi cặp điểm M, N.
Bây giờ giả sử rằng đường tròn Simsơn của điểm M qua điểm N tức là .
Ta thấy rằng
= (XY, XM) + (XM, XZ)
= (AC, MC) + (MB, AB) (vì các tứ giác XMYC và XMZB nội tiếp)
=(AC, AB) + (AB, MC) + (MB, AB)
=(AC, AB) + (MB, MC)
Vậy nếu thì 
Tương tự để cho thì 
Thay vào biểu thức (*) ở trên ta sẽ thu được điều kiện sau: (MB, MC) + (NB, NC) = 0
Tức là (vì M và đối xứng qua BC)
Điều đó có nghĩa là .
Nhưng do vai trò bình đẳng giữa các đường tròn cho nên N cũng phải thuộc 2 đường tròn còn lại. Nhưng liệu các đường tròn đó có điểm chung (đồng quy) hay không? Hơn nữa N còn nằm trên đường tròn (từ giả thiết của ta). Cho nên nếu tồn tại điểm N thì đó là điểm chung của cả 4 đường tròn này.
Hãy gọi giao điểm của và là K. Ta có:
= (ZY, ZX) + (BC, BM)
= (ZY, ZM) + (ZM, ZX) + (BC, BM)
= (AC, AM) + (BM, BC) + (BC, BM)
= (AC, AM)
Từ đó suy ra rằng . Tương tự thì .
Như vậy thì 4 đường tròn đồng quy tại K.
Trở lại với bài toán chính của chúng ta thì ta thấy điểm N K chính là điểm cần tìm.
Chú ý rằng vai trò của điểm M và N là như nhau cho nên điều kiện trên cũng phải bình đẳng đối với 2 điểm, tức là M cũng là điểm chung của các đường tròn .
Vậy điều kiện cần sẽ là: M là điểm chung của 4 đường tròn của N và N là điểm chung của 4 đường tròn của M (thực ra chỉ cần 1 trong 2 điểm là điểm chung của 4 đường tròn của điểm kia). Điều kiện đủ được suy ra bằng cách biến đổi ngược lại, dựa vào 1 số kết quả trung gian (không phụ thuộc vào vị trí của M và N) thu được ở trên.
Để ý là phát biểu trên nói rằng M (hay N) là điểm chung của 4 đường tròn chứ không phải là điểm chung duy nhất, tức là có những trường hợp mà các đường tròn trùng nhau, khi đó sẽ có nhiều cặp điểm thỏa mãn yêu cầu đặt ra. Trong trường hợp không suy biến thì đối với mỗi điểm M chỉ tồn tại duy nhất 1 điểm N thỏa mãn.
Bây giờ ta hãy xét 1 trường hợp đặc biệt của kết quả thu được, đó chính là sự mở rộng được nói đến ban đầu của định lý Simsơn. Trong trường hợp này M là trực tâm H của tam giác. Khi đó các đường tròn trùng với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do đó với điểm N bất kỳ trên (ABC) thì đường thẳng (do đường tròn suy biến thành) sẽ luôn luôn đi qua điểm M là trực tâm tam giác.
Ta thấy rằng ở trên đã xét đến các điểm đối xứng của M, N qua các cạnh của tam giác ABC và các biến đổi của chúng ta đều liên hệ đến đối xứng trục. Một cách tương tự ta sẽ nghĩ đến đối xứng tâm. Và sự “tương tự” khiến ta nghĩ đến việc chọn tâm đối xứng là các trung điểm D, E, F của các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.
Gọi các điểm đối xứng của M, N qua D, E, F lần lượt là , và .
Ta hãy xét bài toán giống như trên, tức là tìm điều kiện để nếu thì .
Một cách tương tự ta sẽ dùng biến đổi góc định hướng, với chú ý là do đối xứng tâm nên , do đó biểu thức của chúng ra sẽ rất gọn như sau .
Lại chú ý thêm rằng các đoạn thẳng song song và bằng nhau; cũng tương tự đối với các đoạn thẳng ; cho nên .
Từ đó suy ra nếu tức là thì cũng có hay M cũng thuộc .
Kết luận ta thu được rộng hơn so với bài toán trước rất nhiều, đó là đối với mỗi điểm M thì tập hợp các điểm N thỏa mãn điều kiện bài toán là toàn bộ đường tròn .
Như đã nói ở trên, do vai trò bình đẳng giữa 2 điểm M, N cho nên từ kết luận này ta có thể suy ra 1 bài toán hệ quả như sau: chứng minh rằng các đường tròn đi qua 1 điểm cố định khi N di chuyển trên đường tròn (điểm M).
Ta thấy kết luận đơn giản hơn bài toán trước nhiều, cho nên ta sẽ cố tìm cho nó 1 chứng minh khác cũng đơn giản như kết luận của nó vậy. Hãy chú ý đến các trung điểm, nếu ta vị tự tâm M tỉ số ½ thì đường tròn sẽ trở thành đường tròn (DEF) tức đường tròn Ơle của tam giác ABC. Do đó nếu thì trung điểm của MN sẽ thuộc đường tròn Ơle của tam giác ABC. Kết quả này bình đẳng với M và N cho nên cũng có thể kết luận được M cũng thuộc .
Ta cũng thử xét 1 trường hợp đặc biệt của kết quả này, khi cho M trùng với H, khi đó đường tròn trùng với đường tròn (ABC). Cuối cùng thu được với N bất kỳ trên (ABC).
Ở bài toán ban đầu đặt ra, kết quả thu được nhờ vào sự đồng quy của 4 đường tròn. Vậy ở bài toán này điều đó có xảy ra không?
Gọi K’ là giao điểm của và . Khi đó:
= (BC, AC) + (MC, BC) (do các đoạn thẳng song song)
= (MC, AC)
Điều đó có nghĩa là . Tương tự .
Vậy 4 đường tròn này cũng đồng quy như trên.
Đến đây hãy để ý là các điểm cùng nằm trên 1 đường tròn (cũng tương tự cho 2 bộ 4 điểm còn lại). Cho nên trong 4 đường tròn này thì chỉ có thêm 1 đường tròn là mới. Kết hợp với kết quả của bài toán trước thì ta có tất cả 5 đường tròn đồng quy: .
Bây giờ nhìn lại 1 cách tổng quát, ta thấy từ M có hạ các đường vuông góc, rồi lại có các trung điểm, điều đó khiến ta nghĩ đến đường tròn Ơle. Nếu dùng phép vị tự tâm M tỉ số ½ thế thì các đường tròn sẽ trở thành các đường tròn Ơle của các tam giác MBC, MCA, MAB; còn đường tròn trở thành đường tròn Ơle của tam giác ABC. Từ kết luận về tính đồng quy của các đường tròn suy ra là các đường tròn Ơle của các tam giác MBC, MCA, MAB, ABC đồng quy.
Do vị trí của M bất kỳ nên ta phát biểu kết quả trên theo 1 cách đối xứng đẹp đẽ hơn: cho tứ giác ABCD. Khi đó các đường tròn Ơle của các tam giác ABC, BCD, CDA, DAB đồng quy.
Nếu gọi G là trọng tâm tứ giác thì qua phép đối xứng tâm G thì đường tròn Ơle của tam giác BCD trở thành đường tròn đi qua trung điểm của AB, AC, AD. Tương tự đối với 3 tam giác còn lại thì từ trên sẽ có: các đường tròn đi qua trung điểm các đoạn nối từ 1 đỉnh của tứ giác đến 3 đỉnh còn lại đồng quy.
Lại áp dụng ngược kết quả này vào bài toán ban đầu đối với điểm M thay cho điểm D. Dùng phép vị tự ngược lại tâm M tỉ số 2 thì sẽ suy ra các đường tròn đồng quy.
Sự tương tự khiến ta nghĩ đến sự đồng quy của các đường tròn . Điều này có thể chứng minh như sau:
Gọi T là giao điểm của (ABC) và . Khi đó:
= (YZ, AC) + (MA, AC) + (CA, CB)
= (MZ, MA) + (MA, BC)
= (MZ, BC)
= (MZ, ZX) + (ZX, BC)
suy ra . Tương tự .
Lại chú ý thêm rằng tam giác qua phép vị tự tâm M trở thành tam giác hình chiều của M đối với tam giác ABC. Và đường tròn ngoại tiếp tam giác hình chiếu này cũng đi qua điểm đồng quy của 4 đường tròn Ơle của các tam giác MBC, MCA, MAB, ABC. Vì vai trò của các điểm M, A, B, C bình đẳng nên nếu đổi vai trò của điểm M cho bất cứ điểm nào trong 3 điểm A, B, C ta cũng có kết quả như vậy. Do đó, ta phát biểu lại như sau cho cân đối:
Cho tứ giác ABCD. Gọi các đường tròn ngoại tiếp các tam giác hình chiếu của 1 điểm đối với tam giác tạo bởi 3 điểm còn lại lần lượt là . Gọi các đường tròn Ơle của các tam giác tạo bởi 3 điểm lần lượt là . Khi đó các đường tròn đồng quy.
Kết quả trên có 1 trường hợp đặc biệt. Đó là khi tứ giác ABCD nội tiếp thì các đường tròn Ơle của các tam giác ABC, BCD, CDA, DAB đồng quy tại 1 điểm E, điểm này được gọi là điểm Ơle của tứ giác ABCD. Với kết quả mở rộng này chúng ta có thể gọi điểm đồng quy là điểm Ơle đối với tứ giác bất kỳ, không nhất thiết phải nội tiếp.
Cuối cùng xin nêu một nhận xét: sự đồng quy của 8 đường tròn nói trên thu được là nhờ phép vị tự tâm M tỉ số ½, và do N là điểm đồng quy của 4 trong số 8 đườ ... ờng kính. Gọi là giao điểm 2 tiếp tuyến của tại và . Đường tròn cắt tại .
CMR: Giao điểm của đường phân giác và đường thẳng không phụ thuộc vào cách chọn .
6) cân tại . là tâm nội tiếp tam giác.
là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác và nằm trong tam giác . Đường thằng qua song song với và lần lượt cắt tại và .
Đường thằng qua song song với lần lượt cắt và tại và .
CMR: giao điểm của và nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác .
7) Quadrilateral is inscribed in a circle with center . point is given inside . Let be the circumcenters of triangles , respectively. Prove, that midpoints of segments are collinear.
8) Cho tam giác với trọng tâm . Lấy sao cho đồng quy tại một điểm . Gọi lần lượt là trung điểm và theo thứ tự là trung điểm .
1. Chứng minh rằng đồng quy tại một điểm mà thẳng hàng.
2. Chỉ rõ vị trí hình học của khi
(i) là chân ba đường cao của 
(ii) là chân ba đường phân giác trong của 
9) 10) Bốn đường tròn sắp đặt trong mặt phẳng sao cho . Chứng minh rằng các điểm A',B',C',D' đồng viên (hoặc thẳng hàng) khi và chỉ khi các điểm đồng viên (hoặc thẳng hàng)
11) Cho tam giac ABC nội tiếp (O).Gọi (E) là đường tròn Euler tam giác ABC.MM' là đường kính của (O).Các đường đối cực của M,M; với (E) cắt nhau ở S.Chứng tỏ S nằm trên đường thẳng vuông góc với OH(H là trực tâm ABC).
12)cho tam giác ABC có . Đường tròn nội tiếp tam giác có tâm và tiếp xúc với các cạnh lần lượt tại và .Các đường thẳng lần lượt cắt đường thẳng tại và . CMR: 
13) Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), D là một điểm bất kì trên BC của tam giác. Các đường tròn cùng tiếp xúc với (O), cùng tiếp xúc với đoạn DA và thoe thứ tự tiếp xúc với các đoạn DB, DC. Chứng minh đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
14) Trong mặt phẳng P cho 1 tam giác đều ABC. Gọi A',B',C' theo thứ tự là các hình chiếu trên các đường thẳng BC,CA,AB của 1 điểm M bất kì trên mặt phẳng và G là trọng tâm của . Chứng minh rằng ánh xạ từ là 1 phép biến hình của mặt phẳng
15) Cho nội tiếp trong đường tròn . Với mỗi , ký hiệu 
để chỉ đường thẳng Simpson của điểm đối với tam giác . Xét đường kính thay đổi của . Tìm quỹ tích giao điểm của và 
16) Cho tam giác ABC. Các đường cao AH, BK. Các đường phân giác AE, BF. Gọi O, I lần lượt là tâm đường tròn nội tiêp ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng H,I,K thẳng hàng khi và chỉ khi E,O,F thẳng hàng.
PHEP NGHICH DAO(17,18,19)
17) Cho , , nội tiếp . thuộc tia đối tia . 1 đường tròn tiếp xúc , tiếp xúc ngoài và tiếp xúc tại . CMR: 
18) Cho đường tròn tâm . Dựng hai đường tròn tiếp xúc ngoài nhau tại và tiếp xúc trong . Tiếp tiếp chung ngoài của và cắt ở và . Tiếp tuyến chung trong của chúng cắt tại ; và cùng phía đối với . Chứng minh là tâm nội tiếp 
19)Cho và tiếp xúc trong với nhau tại 
Trên đường tròn ta lấy một điểm bất kỳ và kẻ từ tới các tiếp tuyến.Gọi là giao điểm của các tiếp tuyến với
Tìm quỹ tích tâm nội tiếp tam giác 
20) Cho hai đường tròn không bằng nhau và tiếp xúc nhau tại .Các điểm tương ứng chạy trên sao cho .Đường tròn nằm trong tam giác ,tiếp xúc ngoài với 2 đường tròn và tiếp xúc với tại . CMR: chạy trên 1 đường tròn cố định.
21) Cho điểm ở trong tứ giác lồi. Gọi theo thứ tự là hình chiếu của trên các đường thẳng . Xác định các tứ giác sao cho theo thú tự là hình chiếu của trên các đường thẳng với .
1. Chứng minh rằng các tứ giác đồng dạng.
2. Trong tứ giác đầu tiên, những tứ giác nào dồngdangj với tứ giác 
(Chú ý. ~ có một phép đồng dạng biến tứ giác này thành tứ giác kia.)
22) Đường tròn nội tiếp của tam giác tiếp xúc với tại theo thứ tự đó. Gọi tương ứng là trung điểm của các cạnh và theo thứ tự đối xứng với qua đường phân giác (trong) của các góc . Chứng minh rằng các đường thẳng đồng quy tại một điểm trên đường tròn .
23) Cho tam giác nội tiếp đường tròn . Gọi là tâm đường tròn Ơ-le, lấy điểm thỏa mãn . Giả sử rằng trung trực cắt tại , các điểm được xác định tương tự. Chứng minh rằng cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với .
24) Cho tam giác đều nội tiếp trong đường tròn . Một đường kính thay đổi của cắt các đường thẳng tại theo thứ tự đó. Cmr đường thẳng Ơle của các tam giác giới hạn nên một tam giác đều.
25) Cho đường tròn . Chứng minh rằng tứ giác là điều hòa khi và chỉ khi tồn tại bốn hình tròn thỏa mãn:
1) tiếp xúc 
2) tiếp xúc tại 
3) tiếp xúc 
với 
26) Đường tròn nội tiếp của tam giác tiếp xúc với tại . là điểm bất kỳ trong mặt phẳng của tam giác. Gọi là hình chiếu của theo thứ tự trên các đường thẳng . Chứng minh rằng đường tròn đi qua trọng tâm các tam giác có đường kính bằng 
27)
Cho điểm M ở ngoài đường tròn (O). Kẻ ba đường thẳng sao cho nằm giữa và (A nằm giữa M
28) Hãy phủ định hoặc khẳng định mệnh đề ' Nếu ABCDEF là lục giác lồi có tất cả các cạnh bằng nhau thì AD, BE, CF đồng quy
29) Cho tứ giác nội tiếp đường tròn và là điểm bất kỳ trong mặt phẳng. Gọi theo thứ tự là tâm các đường tròn .
CMR trung điểm của thẳng hàng
30) Cho tam giác và các đừong tròn sao cho 
tiếp xúc với ;
tiếp xúc với và tiếp xúc với ;
tiếp xúc với và tiếp xúc với ;
tiếp xúc với và tiếp xúc với .
Chứng minh rằng 
31) Trong mặt phẳng cho hai tam giác . Lấy các điểm sao cho . Gọi . Chứng minh rằng đồng quy.
32) Cho tứ giác lồi . Lấy đối xứng với qua đường thẳng , đối xứng với qua đường thẳng và đối xứng với qua đường thẳng . Biết rằng . Cmr tứ giác nội tiếp.
33) Cho tam giác nhọn, trực tâm ngoại tiếp đường tròn có . Gọi theo thứ tự là trung điểm , . Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . Cmr thẳng hàng 
34) Trong mặt phẳng, qua điểm O cho trước, kẻ 2005 đường thẳng phân biệt bất kì . Trên mỗi đường thẳng lấy một điểm khác O. Chứng minh rằng có thể chọn các điểm sao cho 
35) 1/Xác định đường thẳng chia đôi chu vi và diện tích tứ giác?
_________________________________
PDatK40SP: Bạn nối 2 cạnh đối ví dụ và cắt nhau tại đỉnh chẳng hạn thì gọi cát tuyến cắt tại thì và hoàn toàn xác định bạn ạ. 
2/Xác định tứ giác có cả đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp ?
36) Nếu là các điểm thuộc cạnh của sao cho thì 
___________
PDatK40SP: Bạn có thể lấy phân giác kẻ từ đỉnh của và từ việc và chung nhau đường phân giác đó; bạn dùng công thức tính khoảng cách đường phân giác để có phương trình bạn ạ.
37) Cho và là tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp của không đều. tiếp xúc tại .
và cắt nhau tại , và cắt nhau tại .
là trung điểm đoạn .
CMR: .
38) Cho 
Gọi là tâm hình vuông nội tiếp tam giác có 2 đỉnh trên ,một đỉnh trên ,một đỉnh trên .
xác định tương tự.
Chứng minh: đồng quy
39) Cho nội tiếp và điểm nằm trong tam giác. Các tia lần lượt cắt tại . Tìm tập hợp điểm để có:
+ Diện tích cho trước.
+ Chu vi cho trước.
Hệ quả: Tìm các điểm để và các điểm để 
40) cho tam giác ABC r là bán kính đường tròn nội tiếp Rlaf bán kính ngoại CMR : 
>2r
41) Cho tam giác 
a) Chứng minh rằng các đường trung tuyến chia tam giác ra thành sáu tam giác con có các tâm đường tròn ngoại tiếp của chúng nằm trên một đường tròn.
b) Hãy tìm tất cả các điểm trong mặt phẳng tam giác sao cho các đường và chia tam giác ra thành sáu tam giác con, sao cho tâm các đường tròn ngoại tiếp của chúng nằm trên một đường tròn.
42) Cho tam giác có . Gọi là trung điểm . Giả sử . Tính độ lớn các góc của tam giác 
43) điểm JEBAREK..
Cho tam giác .Gọi là trực tâm và tâm ngoại tiếp ABC.Gọi là chân đường cao hạ từ A,B,C xuống ba cạnh tương ứng.
 1) Các đường thẳng Euler của đồng qui tại điểm gọi là điểm Jebarek cua tam giác ABC.(Jebarek point)
Tìm tọa độ cực của J đối với .
 2) nằm trên (Đường tròn Euler ) của .
 3)Các đường tròn Euler của các tam giác đồng qui ở J.
Nói cách khác 4 đường tròn có điểm chung.
 4)Gọi là trong tâm ABC.Ba đường tròn có điểm chung.
 5)Với là trung điẻm .
Hai đường thảng SimSon của J đối với tam giác và song song.
44)tiep xuc
Cho tam giác nội tiếp . Đường tròn (') tiếp xúc trong với tại , tiếp xúc với ở .
Nhận xét 1: cho tam giác . là đường tròn bàng tiếp góc . Ngoài đoạn lấy sao cho , . CMR: tứ giác và nội tiếp.
Chứng minh: Gọi S,P,Q là các tiếp điểm của với BC,CA,AB. Do và là phân giác góc , từ đó là phân giác góc và theo tính chất đối xứng thì suy ra và 
suy ra:
Suy ra nội tiếp. Tương tự nội tiếp.
Nghịch đảo ngược lại với tâm phương tích bất kì ta có bài toán quen thuộc:
Hệ quả 1:
Cho tam giác nội tiếp . Đường tròn tiếp xúc trong với tại . Tiếp xúc với ở .Khi đó tâm nội tiếp tam giác (điểm ) nằm trên .
Gọi là phân giác ngoài với thuộc ta có vuông góc với suy ra : mà suy ra đồng viên do đó:
Hệ quả 2:
Phân giác của đi qua Trước đây hệ quả 2 thường dùng để chứng minh hệ quả 1 và phải dùng đến phương pháp trùng không đẹp và gọn. Chứng minh trên rõ ràng tự nhiên và dễ hiểu hơn nhiều.
Gọi là trung điểm cung không chứa 
Áp dụng 2 hệ quả trên cho cắt ở . cắt ở , ta có tam giác đồng dạng với tam giác suy ra suy ra mà dẫn đến vuông góc với suy ra thuộc đường tròn mà cũng thuộc từ đó trùng với (do tam giác ABC không cân).
Hệ quả 3:
cắt ở , khi đó . Điều này dẫn đến bài toán sau:
Hệ quả 4:
Cho tam giác nội tiếp . Đường tròn tiếp xúc trong với tại . Tiếp xúc với . Tương tự có . Đường tròn nội tiếp tiếp xúc với ở .
CMR: .
Hoàn toàn tương tự ta có hệ quả sau:
Hệ quả 5: cho tam giác nội tiếp . là đường tròn bàng tiếp góc . cắt ở (khác ). tiếp xúc với ở . 
CMR: khi và chỉ khi .
Chọn điểm S là tâm nghịch đảo ta sẽ thu được hình vẽ sau:
, cắt nhau tại A và S . PQ là tiếp tuyến chung ngoài, đường thẳng qua A song song với P,Q cắt ở B, ở C. T là điểm đối xứng với A qua trung điểm L của PQ.
Trước hết dễ thấy ===
Mặt khác, từ đó suy ra rằng tam giác PBT đồng dạng với QTC.
Từ đó ((STP),(STB))=((STQ),(STC)).
Hệ quả 6:
Cho AS cắt PQ ở T. CMR: 
Từ hệ quả 6 ta thu được :
Hệ quả 7:
SI cắt BC ở W. CMR: TW là phân giác 
Chứng minh:
=
=
suy ra: 
.=(*)
Ta lại có:
..=1(**)
Từ (*) và (**) suy ra: == suy ra (K,W,B,C)=-1 suy ra TW là phân giác .
1) TWTK và TW//AI
2) AW,BQ<CP đồng qui
41)duong thang ole
Tính chất sau khá hay (Được chứng minh bởi EmelyYanova-Russia)
Cho là tam giác.Gọi là đường tròn Euler của nó 
a)(Định lý Feubach) Chứng minh tiép xúc với ở tương ứng.
b)Gọi cắt ở .Tuơng tự có .Chứng minh F nằm trên (A'B'C');
c) tiếp xúc với ?
d)Nêu nhận xét về các đường tròn tương tự như đường tròn trong câu b) ?
1/Tâm đường tròn Euler thuộc đt Euler và cùng với O,G,H tạo nên 1 hàng điểm điều hòa.
2/ v.v...
3/1 đt bất kỳ qua tâm E đ/tròn Euler thì tống các khoảng cách đại số từ các đỉnh tam giác và trực tâm đến đt đó=0
4/1 đt bất kỳ thì tổng các khoảng cách đs từ các đỉnh và trực tâm đến nó= 4d(E, đường thẳng đó)
(Hãy mở rộng 2 đ/lý 3,4 sang 1 điểm bất kỳ trong tam giác và(mp nếu có thể)),
45)Tam giác nội tiếp trực tâm : qua , đối xứng d qua BC. Tương tự có thì
1/ đồng quy tại điểm trên gọi là điểm Antisteiner(As) của .
2/với mỗi điểm trên tồn tại duy nhất đường thẳng qua nhận là điểm As d gọi là đường thẳng Steiner của 
Cmr chính là ảnh vị tự tâm tỷ só 2 của đường thẳng simson ứng với của tam giác 
3/ Cho cố định trên đường thẳng qua , gọi là đối xứng của qua 
Cmr và đồng quy tại chính As của 
4/Gọi là As của đường thẳng Euler là khoảng cách của đến đường thẳng 
Cmr
(Trilinear coordinates)