Chuyên đề Mặt tròn xoay - Dạng toán: Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 1 
Dạng toán: MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN 
Phương pháp: 
 1. Chứng minh mặt cầu S(O;R) ngoại tiếp đa diện: 
 Thông thường ta chứng minh mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của đa diện thông qua một 
số nhận xét quan trọng sau: 
- Điểm M thuộc S(O;R) OM RÛ = . 
- Điểm M thuộc S(O;R) khi chỉ khi M nhìn đường kính dưới 1 góc vuông. 
 2. Điều kiện cần và đủ: 
 - Để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp là đáy của hình chóp có đường tròn ngoại 
tiếp. 
 - Để một hình lăng có mặt cầu ngoại tiếp là hình lăng trụ đó phải là hình lăng trụ đứng 
 và có đáy lăng trụ là một đa giác nội tiếp. 
 3. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng: 
 Cho đoạn thẳng AB. Mặt phẳng ( )a được gọi là 
 mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB khi mp ( )a 
 đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với AB. 
Thuật toán: XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP. 
 Cho hình chóp 1 2. ... nS A A A (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp). Thông 
thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực hiện theo hai bước: 
 Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Dựng D : trục đường tròn 
ngoại tiếp đa giác đáy. 
 Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực ( )a của một cạnh bên. 
Lúc đó : - Tâm O của mặt cầu: { }mp( ) OaDÇ = 
 - Bán kính: ( )R SA SO= = . Tuỳ vào từng trường hợp. 
I
B
A
a
a
H
O
I
D
C
B
A
S
Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 2 
Lưu ý: Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. 
 1. Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn 
ngoại tiếp đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy. 
 Tính chất: : M MA MB MC" ÎD = = 
 Suy ra: MA MB MC M D= = Û Î 
 2. Các bước xác định trục: 
 - Bước 1: Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. 
 - Bước 2: Qua H dựng D vuông góc với mặt phẳng đáy. 
 VD: Một số trường hợp đặc biệt 
 a. Tam giác vuông b. Tam giác đều c. Tam giác bất kì 
 3. Lưu ý: Kỹ năng tam giác đồng dạng 
 SMOD đồng dạng với SO SMSIA 
SA SI
D Þ = 
 4. Nhận xét quan trọng: 
MA MB MC
M S SM
SA SB SC
= =ì
$ Þí = =î
, : là trục đường tròn ngoại tiếp ABCD 
D
H
M
C
B
A
H
A
B C
D
D
C
B
A
H
B
A
C
H
D
A
M
I
O
S
Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 3 
BÀI TẬP MINH HỌA: 
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC với ( )SA ABC^ và 2SA a= . Xác định tâm và bán kính 
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC trong các trường hợp sau: 
 a) Tam giác ABC vuông cân tại B, với 3BC a= . 
 b) Tam giác ABC vuông cân tại A, với 3AB a= . 
 c) Tam giác ABC đều cạnh 3a . 
 d) **Tam giác ABC có , 2AB a AC a= = và  030BAC = 
Hướng dẫn: 
 a) Tam giác ABC vuông cân tại B, với 3BC a= . 
b) Tam giác ABC vuông cân tại A, với 3AB a= . 
K
O
I d
D
a 3 a 3
2a
A
B
C
S
K
O
S
C
B
A
2a
a 3
D
dI
Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 4 
 c) Tam giác ABC đều cạnh 3a . 
 d) **Tam giác ABC có , 2AB a AC a= = và  030BAC = 
Bài tập 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên bằng 3a . 
Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. 
Hướng dẫn: 
G
I
K
M
S
A
B
C
3a
2a
M
K
G
S
C
B
A
2a
3a
3a
D
d
I
K
R'
O
300
a
2a
S
A
B
C
D
2a
I
d
Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 5 
Hoàn toàn tương tự, các em giải quyết bàn tập sau: 
Bài tập 2-1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với cạnh đáy bằng 2a và cạnh bên hợp 
với đáy 1 góc 060 . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. 
Bài tập 2-2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với cạnh đáy bằng 2a và mặt bên hợp với 
đáy 1 góc 060 . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. 
Chúng ta xem xét bài tập sau 
Bài tập 3: Hình chóp tam giác S.ABC có SA SB SC a= = = và có chiều cao bằng h . Xác 
định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích mặt cầu. 
Hướng dẫn: 
Do SA SB SC a= = = nên S thuộc trục đường tròn ABC . 
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , suy ra SO là đường cao và .SO h= 
Ta xem bài tập 3, là dạng tổng quát của các bài toán tương tự và đặc biệt sau: 
S
A G
I
K
N
h
M
a
C
B
A
S
K
I
O
h
a
K
I
OA
S
Chuyên đề MẶT TRÒN XOAY Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 6 
Bài tập 3-1: Hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a và 
SA SB SC a= = = . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích 
mặt cầu. 
Hướng dẫn: 
Do SA SB SC a= = = nên S thuộc trục đường tròn ABC . 
Gọi G là trọng tâm của ABC , suy ra SG là đường cao. 
Bài tập 3-2: Hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A với 2AB a= và 
SA SB SC a= = = . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích 
mặt cầu. 
Hướng dẫn: 
2a
G
I
K
S
A
B
C
a
M
S
A G
I
Ka
C
A
S
B
K
I