Chuyên đề luyện thi đại học: Phương pháp giải các bài tập hình không gian trong kỳ thi tuyển sinh đại học

 1 
Chuyên đề luyện thi đại học 
PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH 
KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH 
Biên soạn: GV Nguyễn Trung Kiên 0988844088 
Trong kỳ thi TSĐH bài toán hình không gian luôn là dạng bài tập gây khó khăn cho học 
sinh. Nguyên nhân cơ bản là do học sinh chưa biết phân biệt rõ ràng dạng bài tập để lựa 
chọn công cụ, phương pháp giải cho phù hợp. Bài viết này sẽ giúp học sinh giải quyết 
những vướng mắc đó. 
Phần 1: Những vấn đề cần nắm chắc khi tính toán 
- Trong tam giác vuông ABC (vuông tại A) đường cao AH thì ta luôn có: 
b=ctanB, c=btanC; 2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= = 
- Trong tam giác thường ABC ta có: 
2 2 2
2 2 2 2 cos ;cos
2
b c a
a b c bc A A
bc
+ −
= + − = . Tương 
tự ta có hệ thức cho cạng b, c và góc B, C: 
- 
1 1 1
sin sin sin
2 2 2ABC
S ab C bc A ac B∆ = = = 
- V(khối chóp)= 1 .
3
B h (B là diện tích đáy, h là chiều cao) 
- V(khối lăng trụ)=B.h 
- V(chóp S(ABCD)= 1
3
(S(ABCD).dt(ABCD)) 
- Tính chất phân giác trong AD của tam giác ABC: . .AB DC AC DB= 
- Tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm 3 trung trực. Tâm vòng tròn nội tiếp là giao điểm 
3 phân giác trong của tam giác. 
Phương pháp xác định đường cao các loại khối chóp: 
- Loại 1: Khối chóp có 1 cạnh góc vuông với đáy đó chính là chiều cao. 
- Loại 2: Khối chóp có 1 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là đường kẻ từ 
mặt bên đến giao tuyến. 
- Loại 3: Khối chóp có 2 mặt kề nhau cùng vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao 
tuyến của 2 mặt kề nhau đó. 
C B 
H 
A 
 2 
- Loại 4: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên cùng tạo với đáy 1 góc 
bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy. 
- Loại 5: Khối chóp có các mặt bên đều tạo với đáy 1 góc bằng nhau thì chân đường cao 
chính là tâm vòng tròn nội tiếp đáy. 
Sử dụng các giả thiết mở: 
- Hình chóp có 2 mặt bên kề nhau cùng tạo với đáy góc α thì chân đường cao hạ từ đỉnh 
sẽ rơi vào đường phân giác góc tạo bởi 2 cạnh nằm trên mặt đáy của 2 mặt bên (Ví dụ: 
Hình chóp SABCD có mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với đáy góc α thì chân 
đường cao hạ từ đỉnh S thuộc phân giác góc BAC) 
- Hình chóp có 2 cạnh bên bằng nhau hoặc hai cạnh bên đều tạo với đáy một góc α thì 
chân đường cao hạ từ đỉnh rơi vào đường trung trực của đoạn thẳng nối 2 đỉnh của 2 cạnh 
cạnh nằm trên mặt đáy của 2 mặt bên mà hai đỉnh đó không thuộc giao tuyến của 2 mặt 
bên. (Ví dụ: Hình chóp SABCD có SB=SC hoặc SB và SC cùng tạo với đáy một góc α 
thì chân đường cao hạ từ S rơi vào đường trung trực của BC) 
Việc xác định được chân đường cao cũng là yếu tố quan trọng để tìm góc tạo bởi đường 
thẳng và mặt phẳng hoặc góc tạo bởi 2 mặt phẳng. 
Ví dụ: Cho khối chóp SABCD có mặt bên SAD vuông góc (ABCD), góc tạo bởi SC và (ABCD) 
là 600, góc tạo bởi (SCD) và (ABCD) là 450, đáy là hình thang cân có 2 cạnh đáy là a, 2a; cạnh 
bên bằng a. Gọi P,Q lần lượt là trung điểm của SD,BC.Tìm góc tạo bởi PQ và mặt phẳng 
(ABCD).Tính V khối chóp? 
Rõ ràng đây là khối chóp thuộc dạng 2. Từ đó ta dễ dàng tìm được đường cao và xác định các 
góc như sau: 
- Kẻ SH vuông góc với AD thì SH là đường 
cao(SC,(ABCD))= ˆ ˆ;( , ( )) )SCH SM ABCD HMS= , với M là chân đường cao kẻ từ H lên 
CD 
- Từ P hạ PK vuông góc với AD ta có ˆ( , ( ))PQ ABCD PQK= 
Phần 3: Các bài toán về tính thể tích 
D A 
B C 
M 
H 
S 
P 
Q 
 K 
 3 
A. Tính thể tích trực tiếp bằng cách tìm đường cao: 
Câu 1) (TSĐH A 2009) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D., 
có AB=AD=2a; CD=a. Góc giữa 2 mặt phẳng (SCB) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm 
AD biết 2 mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích khối chóp 
SABCD? 
HD giải: Vì 2 mặt phẳng (SBC) và (SBI) cùng vuông góc với (ABCD) mà (SBI) và (SCI) có 
giao tuyến là SI nên SI là đường cao. Kẻ IH vuông góc với BC ta có góc tạo bởi mặt phẳng 
(SBC) và (ABCD) là 0ˆ 60SHI = . Từ đó ta tính được: 
212; 5; ( ) ( ) 3
2
IC a IB BC a S ABCD AD AB CD a= = = = + = 
2 2
2 21 3
. ( ) ( ) ( ) ( ) 3
2 2 2
a aIH BC S IBC S ABCD S ABI S CDI a a= = − − = − − = nên 
2 ( )S IBCIH
BC
= =
3 3
5
a . Từ đó V(SABCD)= 33 15
5
a . 
Câu 2) (TSĐH D 2009) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, 
AB=a; AA’=2a; A’C=3a. Gọi M là trung điểm của đoạn A’C’, I là trung điểm của AM và A’C’. 
Tính V chóp IABC theo a? 
HD giải: 
- ABC A’B’C’ là lăng trụ đứng nên các mặt bên đều vuông góc với đáy. 
Vì I∈(ACC’) ⊥ (ABC), từ I ta kẻ IH ⊥ AC thì IH là đường cao và I chính là trọng tâm tam giác 
AA’C’ 2 4
3 3
IH CI aIH
AA CA
⇒ = = ⇒ =
′ ′
Có 
22 2 2 2 2AA 9 4 5 2AC A C a a a BC AC AB a′ ′= − = = = ⇒ = − = 
S 
I A 
B 
H 
D 
C 
 4 
V(IABC)= 31 1 4 1 4. ( ) . . .2 .
3 3 3 2 9
aIH dt ABC a a a= = ( đvtt) 
B. Tính thể tích bằng cách sử dụng công thức tỉ số thể tích hoặc phân chia khối đa diện 
thành các khối đa diện đơn giản hơn 
Khi gặp các bài toán mà việc tính toán gặp khó khăn thì ta phải tìm cách phân chia khối đa diện 
đó thành các khối chóp đơn giản hơn mà có thể tính trực tiếp thể tích của nó hoặc sử dụng công 
thức tính tỉ sốthể tích để tìm thể tích khối đa diện cần tính thông qua 1 khối đa diện trung gian 
đơn giản hơn. 
Các em học sinh cần nắm vững các công thức sau: 
( ) . .
( ) . .
V SA B C SA SB SC
V SABC SA SB SC
′ ′ ′ ′ ′ ′
= (1) Công thức này chỉ được dung cho khối chóp tam giác 
B’ C’ M 
A’ 
B 
A 
I 
H 
C 
S 
A’ 
B’ 
C’ 
A 
B 
C 
 5 
Câu 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, 0ˆ 60BAD = , SA vuông góc với 
đáy(ABCD), SA=a. Gọi C là trung điểm SC, mặt phẳng (P) đi qua AC song song với BD cắt các 
cạnh SB, SD của hình chóp tại B’, D’. Tính thể tích khối chóp 
HD giải: 
 Gọi O là giao 2 đường chéo ta suy ra AC’ và SO cắt nhau tại trọng tâm I của tam giác SAC. Từ 
I thuộc mặt phẳng (P)(SDB) kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB, SD tại B’, D’ là 2 giao 
điểm cần tìm. 
Ta có: 1 2;
2 3
SC SD SB SI
SC SD SB SO
′ ′ ′
= = = = 
Dễ thấy ( ) ( ) ( ) ( )2 ; 2SAB C D SAB C SAB C SABCV V V V′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= =
( ) ( ) . . 1
( ) ( ) . . 3
V SAB C D V SAB C SA SB SC
V ABCD V SABC SA SB SC
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
⇒ = = =
 Ta có 3( )
1 1 1 3 3
ˆ
. ( ) . . . . . .
3 3 3 2 6SABCD
V SA dt ABCD SA AD AB sinDAB a a a a= = = = 
3
( )
3
18SAB C D
V a
′ ′ ′
= (đvtt) 
Câu 2) (Dự bị A 2007) 
 Cho hình chóp SABCD là hình chữ nhật AB=a, AD=2a, cạng SA vuông góc với đáy, cạnh SB 
hợp với đáy một góc 600. Trên cạnh SA lấy M sao cho AM= 3
3
a
. Mặt phẳng BCM cắt DS tại 
N. Tính thể tích khối chóp SBCMN. 
HD giải: 
Từ M kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD tại N là giao điểm cần tìm, góc tạo bởi SB và 
(ABCD) là 0ˆ 60SBA = . Ta có SA=SBtan600=a 3 . 
S 
B’ 
C’ 
D’ 
O 
B C 
D A 
 6 
Từ đó suy ra SM=SA-AM= 3 2 3 23
3 3 3
SM SN
a a a
SA SD
− = ⇒ = = 
Dễ thấy ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2SABCD SABC SACD SABC SACDV V V V V= + = = 
 ( ) ( ) ( )SBCMN SMBC SMCNV V V= + 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1. . . 1. . .
( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2. . . 2. . .
1 2 5
3 9 9
V SMBCN V SMBC V SMCN V SMCN V SMCN SM SB SC SM SC SN
V SABCD V SABCD V SABC V SACD SA SB SC SA SC SD
+
⇒ = = + = +
= + =
Mà 3 3( ) ( )
1 1 2 3 10 3
. ( ) 3 .2
3 3 3 27SABCD SMBCN
V SA dt ABCD a a a a V a= = = ⇒ = 
Phần 4: Các bài toán về khoảng cách trong không gian 
A. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng 
Về bản chất khi tìm khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng ta tìm hình chiếu vuông góc của 
điểm đó lên mặt phẳng. Tuy nhiên 1 số trường hợp tìm hình chiếu trở nên vô cùng khó khăn, khi 
đó việc sử dụng công thức tính thể tích trở nên rất hiệu quả. 
Ta có V(khối chóp)= 1 3.
3
VB h h
B
⇒ = 
Câu 1) Cho hình chóp SABC có góc tạo bởi 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC) là 600, ABC,SBC là 
các tam giác đều cạnh a. Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mp(SAC).(Đề dự bị khối A 2007) 
HD: 
Cách 1: Coi B là đỉnh khối chóp BSAC từ giả thiết ta suy ra BS=BA=BC=a. Gọi O là chân 
đường cao hạ từ B xuống mp(SAC). O chính là tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác SAC. Gọi M là 
S 
M 
N 
A D 
C B 
 7 
trung điểm BC ta có ;SM BC AM BC⊥ ⊥ . Nên góc tạo bởi (SBC) và (ABC) là 
0 a 3
ˆ 60 AS=
2
SMA SM AM= ⇒ = = . 
Bây giờ ta tìm vị trí tâm vòng ngoại tiếp tam giác SAC. 
Tam giác SAC cân tại C nên tâm vòng tròn ngoại tiếp nằm trên trung trực của SA và CN (N là 
trung diểm của SA). Kẻ trung trực của SC cắt trung trực của SA tại O là điểm cần tìm 
2 2
2 2 3
2 1316cos
4
SA aSC aNCSNC
SC SC a
 
−
− 
 
= = = = 
2
2 2 22 4 32 ;
ˆ 13cos 13 13
SC
a a aOC BO BC OC a
SCN
⇒ = = = − = − = . 
Cách 2: 0( ) ( )
1 22 2 . ( ) . .sin 60
3 3.2SABCD SABM
aV V BM dt SAM AM MS= = = 3 3 ( )
16
a dt SAC= 
=
21 1 13 3 39 3 ( ) 3
.AS= . . ( , ( )
2 2 4 2 16 ( ) 13
a V SABC aCN a a d B SAC
dt SAC
= ⇒ = =
Câu 2) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang 0ˆˆ 90ABC BAD= = , BA=BC=2a, 
AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA= 2a , gọi H là hình chiếu của A lên SB. Chứng 
minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mp(SCD) (TSĐH D 2007) 
HD giải: Ta có 2 2 2 22; 6; 2AC a SD SA AD a SC SA AC a= = + = = + = . Ta cũng dễ dàng 
tính được 2CD a= . Ta có 2 2 2SD SC CD= + nên tam giác SCD vuông tại C. 
O 
S 
P 
C 
M 
B 
A 
N 
 8 
2 2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 1 .AS . 2 2
AS 3AB AS 2
2
2 23
33 3
AB a aAH a
AH AB a a
aSHSH SA AH a
SB a
= + ⇒ = = =
+ +
⇒ = − = ⇒ = =
21. .( ) 1( ) ( ) ( ) . ;
2 2 2
AB BC AD adt BCD dt ABCD dt ABD AB AD+= − = − =
2
2
3
1( ) . 2
2
( ) . . 2 1 1. 2. 2
; ( ) . ( )( ) . . 3 3 3.2 6
dt SCD SC CD a
V SHCD SH SC SD a aV SBCD SA dt BCD a
V SBCD SB SC SD
= =
= = = = =
32( )
9
V SHCD a= .Ta có 3
2
3 ( ) 2 1( /( )) .3( ) 9 32
V SHCD ad H SCD a
dt SCD a
= = = 
B. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian 
Khi tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta tìm đoạn vuông 
góc chung của 2 đường thẳng đó, Nếu việc tìm đoạn vuông góc chung gặp khó khăn thì ta tiến 
hành theo phương pháp sau: 
- Dựng (tìm) mặt phẳng trung gian (P) chứa a song song với b sau đó tính khoảng cách từ 1 
điểm bất kỳ trên b đến mp(P) hoặc ngược lại dựng mp(P) chứa b song song với a sau đó tính 
khoảng cách từ 1 điểm a đến (P). 
- Khi tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng ta có thể vận dụng 1 trong 2 phương pháp đã 
trình bày ở mục A. 
B 
C 
D A 
H 
S 
 9 
Câu 1) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông AB=BC=a, cạnh bên 
2AA a′ = . Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA B C′ ′ ′ và 
khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM, B’C.(TSĐH D2008) 
HD giải: 3 2( ) .
2
V ABCA B C S h a′ ′ ′ = = . Gọi N là trung điểm của BB’ ta có B’C song song với 
mp(AMN). Từ đó ta có: ( , ) ( , ( )) ( , ( ))d B C AM d B AMN d B AMN′ ′= = vì N là trung điểm của BB’. 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (AMN), vì tứ diện BAMN là tứ diện vuông tại B nên ta 
có 2 2 2 2
1 1 1 1
7
aBH
BH BA BN BM
= + + ⇒ =
 chính là khoảng cách giữa AM và B’C. 
(Chú ý:1) Trong bài toán này ta đã dựng mặt phẳng trung gian là mp(AMN) để tận dụng điều 
kiện B’C song song với ( ... ỉnh B đến mặt phẳng 
(SAC). 
 18 
Câu 34) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy. 
Cho AB=a; SA= 2a . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB; SC. Chứng minh 
SC ⊥ (AHK) và tính thể tích khối chóp OAHK. 
Câu 35) Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB=2R và điểm C thuộc nửa 
vòng (SAB;SBC)=600. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh tam giác 
AHK vuông và tính VSABC 
Câu 36) Lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy là tam giác vuông AB=AC=a; AA1= 2a . Gọi M, N 
lần lượt là trung điểm của AA1 và BC1. Chứng minh rằng MN là đoạn vuông góc chung của AA1 
và BC1. Tính thể tích khối chóp MA1BC1 
Câu 37) Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn 
AA1. Chứng minh BM ⊥ B1C và tính ( )1;BM B Cd 
Câu 38) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có đáy là hình vuông cạnh a. E là điểm đối xứng 
của D qua trung điểm SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN 
vuông góc với BD và tính khoảng cách giữa MN và AC theo a. 
Câu 39) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang, góc ABC= góc BAD= 900; AD=2a; 
BA=BC=a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA= 2a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A 
trên SB. 
a) Chứng minh rằng tam giác SCD vuông 
b) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) 
Câu 40) Cho hình chóp SABC mà mỗi mặt bên là 1 tam giác vuông. SA=SB=BS=a. Gọi M, N, 
E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC. D là điểm đối xứng của S qua E, I là giao 
điểm của AD và (SMN) 
a) Chứng minh rằng AD vuông góc với SI 
b) Tính theo a thể tích khối tứ diện MBSI 
Câu 41) Cho hình hộp đứng ABCDA’B’C’D’ có các cạnh AB=AD=a; AA’= 3
2
a
và góc 
BAD=600. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của A’D’ và A’B’. Chứng minh AC’ vuông góc 
với mặt phẳng (BDMN) và tính thể tích khối chóp ABDMN. 
Câu 42) Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=2a, cạnh SA vuông 
góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 600. Trên cạnh SA lấy M sao cho 3
3
aAM = , 
mặt phẳng (BCM) cắt SD tại N. Tính thể tích khối chóp SBCNM. 
Câu 43) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Góc BAD=600. SA vuông 
góc với mặt phẳng (ABCD), SA=a. Gọi C’ là trung điểm của SC, mặt phẳng (P) đi qua AC’ và 
song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’. Tính thể tích của khối 
chóp SAB’C’D’. 
Câu 44) Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có A’ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB=a, cạnh 
bên AA’=b. Gọi α là góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (A’BC). Tính tanα và thể tích khối chóp 
A’BB’CC’. 
Câu 45) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy =a. Gọi SH là đường cao của hình 
chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt phẳng (SBC) bằng b. Tính thể tích khối chóp 
SABCD. 
 19 
Câu 46) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh =a và điểm K thuộc cạnh CC’ sao 
cho: 2
3
aCK = . Mặt phẳng α đi qua A, K và song song với BD chia khối lập phương thành 2 
khối đa diện. Tính thể tích của 2 khối đa diện đó. 
Câu 47) Cho 1 hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có 2 đỉnh liên tiếp A; B nằm trên 
đường tròn đáy thứ nhất, 2 đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ 2 cùa hình trụ. Mặt phẳng 
(ABCD)tạo với đáy hình trụ góc 450. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ. 
Câu 48) Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, SA và SB là 2 đường sinh. Biết SO=3a, 
khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) bẳng a, diện tích tam giác SAB=18a2. Tính thể tích và 
diện tích xung quanh. 
Câu 49) Cho hình trụ có 2 đáy là 2 hình tròn tâm O và O’. Bán kính đáy bằng chiều cao và bằng 
a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’ lấyđiểm B sao cho 
AB=2a. 
a) Tính diện tích toàn phần của hình trụ và thể tích của khối trụ 
b) Tính thể tích tứ diện OO’AB. 
Câu 50) Cho hình chóp cụt tam giác đều ngoại tiếp 1 hình cầu bán kính r cho trước. Tính thể tích 
khối chóp cụt biết rằng cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh nhỏ. (Hình chóp ngoại tiếp hình cầu nếu hình 
cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp). 
Câu 51) Cho hình chóp tam giác đều SABC có độ dài cạnh bên bằng a. Các mặt bên hợp với mặt 
phẳng đáy một góc α . Tính thể tích khối cầu nội tiếp hình chóp. 
Câu 52) Cho hình chóp SABCD. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy. 
Đáy ABCD là tứ giác nội tiếp trong đường tròn tâm O, bán kính R. Xác định tâm và tính thể tích 
khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD biết SA=h. 
Câu 53) Hình cầu đường kính AB=2R. Lấy H trên AB sao cho AH=x ( 0<x<2R). Mặt phẳng (P) 
vuông góc với AB tại H cắt mặt cầu theo giao tuyến là hình tròn (C), MNPQ là hình vuông nội 
tiếp trong hình tròn giao tuyến (C). 
a) Tính bán kính đường tròn giao tuyến. Tính độ dài MN, AC. 
b) Tính thể tích khối đa diện tạo bởi 2 hình chóp AMNPQ và BMNPQ. 
Câu 54) Cho tứ diện ABCD có AB=BC=AC=BD=a; AD=b. Hai mp(ACD) và (BCD) vuông góc 
với nhau. 
a) Chứng minh tam giác ACD vuông. 
b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. 
Câu 55) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD cạnh đáy bằng a, tâm đáy là O, chiều cao SH=
2
a
a) CMR tồn tại mặt cầu O tiếp xúc với tất cả các mặt bên của hình chóp. Tính bán kính của 
mặt cầu 
b) (P) là mặt phẳng song song với (ABCD) và cách (ABCD) một khoảng x(0<x<R). Std là 
diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp (bỏ đi phần diện tích nằm trong mặt cầu) Xác 
định x để Std= 2Rpi 
Câu 56) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD cạnh đáy và chiều cao cùng bằng a. Gọi E, K lần 
lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC. 
a) Tính diện tích xung quanh của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SEBK 
b) Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp SEBK. 
Câu 57) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD, cạnh đáy có độ dài bằng a, cạnh bên tạo với cạnh 
đáy 1 góc 300. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. 
 20 
ĐÁP SỐ: 
Câu 1) ĐS: 1
2
Câu 2) 
3 2 6) ; )
6 6
a a
a b 
Câu 3) 
316
45
a S 
Câu 4) 8 3 
Câu 5) 3 5
10
V = 
Câu 6) 
) 20 5; 10 5b V V= = 
Câu 7) 60 34 ( )
17
cm 
Câu 8) 
2 10 ( )
16
aS dvdt= 
Câu 10) 21
7
Câu 11) 
32 57 3 3) ; )
19 50
a a
a b
Câu 12) 
3 2
12
aV =
Câu 13) 
3
2
4 3
;cos
3cos .sin 3
a
α
α α
=
Câu 14) 
3 2
36
aV =
Câu 15) 
34 2 5
;
9 5
a aV d= = 
Câu 16) 33 15
5
V a= 
Câu 17) 
39
208
aV =
Câu 18) V=3a3 
2 2
2 2 2
' ' '
2 3
tan ;
3
6A BB CC
b a
a
a b aV
α
−
=
−
=
Câu 19) 
3
6
aV = 
Câu 20) 2
2
aAH = 
Câu 21) 
3 3 52 ;
10
aV a h= = 
Câu 22) 
3 6
12
aV = 
Câu 23) 
3 3
12
aV = 
Câu 24) 
3
16
aV =
Câu 25) 
33 3) ; )
4 6
a a
a b
Câu 26) 
3
)
36
a
c
Câu 27) 
3 2 7) ; )
2 7
a a
a b
Câu 28) 
33 5
;cos
3 5
a aV ϕ= =
Câu 29) 
3
3) ; )
3
a
a a b
Câu 30) 
3 1
;cos
2 4
aV α= =
Câu 31) 
3 3
96
aV = 
Câu 32) 5
3
ad = 
Câu 33) 3 13
13
ad = 
Câu 34) 
32
27
aV = 
Câu 35) 
3 6
12
RV = 
Câu 36) 
3 3
12
aV = 
Câu 37) 10
30
ad = 
Câu 38) 2
4
ad = 
Câu 39) 
3
ah = 
Câu 40) 
3
36
aV = 
Câu 41) 
33
16
aV = 
Câu 42) 
310 3
27
aV =
Câu 43) 
33
18
aV =
Câu44
2 2
2 2 2
' ' '
2 3
tan ;
3
6A BB CC
b a
a
a b aV
α
−
=
−
=
Câu 45) 
3
2 2
2
.
3 16
a bV
a b
=
−
Câu 46) 
3 3
1 2
2
;
3 3
a aV V= =
Câu 47) 
3
2
3 2 ( );
16
3
2xq
aV dvtt
aS
pi
pi
=
=
 21 
Câu 49) 
2 3
3
4 ; ;
3 ( )
12
TP
OOAB
S a V a
aV dvtt
pi pi= =
=
Câu 50) 27 3V r= 
Một số bài tập tự luyện 
1) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ đáy là tam giác cân có BC=AB=a, góc ˆ .BAC α= Mặt phẳng 
(BA’C’) tạo với đáy lăng trụ một góc
6
piβ = . 
Tính thể tích lăng trụ theo ,a α 
Tính diện tích BA’C’ và tính khoảng cách từ đỉnh B’ đến mặt phẳng (BA’C’). 
2) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng (ABC’) tạo với mặt 
bên (BCC’B’) một gócα . Gọi I, J là hình chiếu của A lên BC và BC’. 
Chứng minh ˆAIJ α= 
Tính theo a thể tích khối lăng trụ. 
3) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C” đáy là tam giác đều. Tam giác ABC’ có diện tích bằng 3 và 
tạo với đáy một gócα thay đổi 0
2
pi
α
 
< < 
 
. Tìm α để thể tích khối lăng trụ lớn nhất. 
4) Cho khối lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, CA=CB=a. Mặt 
phẳng (AA’B) vuông góc với mặt phẳng (ABC) , ˆ' 3, 'AA a A AB= nhọn. Góc của mặt phẳng 
(A’AC) và (ABC) bằng 060 . Tính thể tích khối lăng trụ. 
5) Cho lăng trụ xiên ABCA’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ 
lên mặt phẳng (ABC) trùng với O là tâm đường tròn (ABC). Biết ˆ '
4
BAA pi= . Tính thể tích và 
diện tích xung quanh của lăng trụ theo a. 
6) Cho lăng trụ xiên ABCA’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông tại A với AB=a, BC=2a. Mặt bên 
ABB’A’ là hình thoi, mặt bên BCC’B’ nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, 2 mặt này tạo 
nhau 1 gócα . 
Xác định gócα 
Tính theo a vàα thể tích hình lăng trụ. 
7) Cho hình hộp xiên ABCDA’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. 0ˆ 60BAD = , 
AA’=A’B=AD và cạnh bên tạo với đáy gócα . 
Xác định góc α và chân đường cao vẽ từ A’ 
Tính thể tích V của hình hộp theo a vàα . 
8) Cho ABCDA’B’C’D’ hình lập phương cạnh a. Lấy M trên cạnh AB với AM=x (0<x<a). Gọi 
(P) là mặt phẳng qua M và A’C’. 
Tính diện tích thiết diện tạo bởi (P) và hình lập phương 
Tìm x để mặt phẳng (P) chia hình lập phương thành 2 khối đa diện mà thể tích khối này bằng 2 
lần thể tích khối đa diện kia. 
 22 
9) Trên các cạnh SA,SB của tứ diện SABC lấy các điểm M,N sao cho 1 , 2
2
SM SN
MA NB
= = . Một 
mặt phẳng (α )đi qua MN và song song với SC chia tứ diện thành 2 phần . Tính tỉ số thể tích hai 
phần đó. 
10) Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông A,BC = a ,SA = SB = SC = 2a và 
ˆABC α= . Gọi H là hình chiếu của S trên BC. 
Tính thể tích khối chóp SABC theo a và 
Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAH). 
Cho (P) là mặt phẳng qua A , trọng tâm tam giác SBC và song song với BC chia khối chóp 
SABC thành 2 phần. Tính thể tích mỗi phần 
11) Cho khối chóp DABC có mặt (DBC) vuông góc với đáy , các mặt bên (DAB) và (DAC) 
cùng hợp với đáy góc 0( 90 )α α < . Tính thể tích của khối chóp trong các trường hợp sau 
a) ABC là tam giác vuông tại A có AB = a , AC = 2a ; 
b) ABC là tam giác đều có cạnh bằng a. 
12) Cho hình chóp tứ giác đều SABCD. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng 2a. 
Góc giữa các mặt bên và mặt đáy làα . 
Tính thể tích khối chóp theo a và α 
Xác định α để thể tích khối chóp nhỏ nhất. 
13) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Gọi M, N là trung điểm 
của AB, AD, H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với (ABCD) và 3SH = . 
Tính thể tích khối chóp SCDNM và khoẳng cách giữa DM và SC theo a (A 2010) 
14) Cho lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’ có AB=a góc tạo bới (A’BC) và (ABC) bằng 600. 
Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ và tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại 
tiếp khối chóp GABC theo a. (B 2010) 
15) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. SA=a. Hình chiếu vuông 
góc của S lên (ABCD) là điểm H thuộc AC sao cho 
4
ACAH = . Gọi CM là đường cao tam giác 
SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích SMBC theo a. (D 2010)