Chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán hay và khó

CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! 
 1 
HÀM SỐ 
1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
 Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số 
I. Kiến thức cơ bản 
1. Định nghĩa 
Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K: 
+ Hàm số y = f(x) đƣợc gọi đồng biến trên khoảng K nếu: 
1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x K x x f x f x 
+ Hàm số y = f(x) đƣợc gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu: 
1 2 1 2 1 2, , ( ) ( )x x K x x f x f x 
2. Qui tắc xét tính đơn điệu 
a. Định lí 
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K: 
+ Nếu f‟(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số đồng biến 
+ Nếu f‟(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến 
b. Qui tắc 
B1: Tìm tập xác định của hàm số 
B2: Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm xi (i = 1, 2,,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác 
định. 
B3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên. 
B4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến. 
II. Các ví dụ 
Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số 
Ví dụ 1. Xét sự đồng biến và nghịc biến của hàm số: 
3 2 2
4 2
1 1
. y = 2 2 b. y = -x 3 4 e. y = x ( 3), (x > 0)
3 2
x - 1
c. y = x 2 3 . y = 
x +1
a x x x x x
x d
Ví dụ 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau: 
2 3 4 2 3 2
2
2
. y = 3x 8 b. y = x 8 5 c. y = x 6 9
3- 2x x 2 3
. y = e. y = f. y = 25-x
x + 7 1
a x x x x
x
d
x
Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định. 
Phƣơng pháp 
+ Dựa vào định lí. 
Ví dụ 3. 
Chứng minh hàm số 22y x x nghịch biến trên đoạn [1; 2] 
Ví dụ 4 
a. Chứng minh hàm số 2 9y x đồng biến trên nửa khoảng [3; + ). 
b. Hàm số 
4
y x
x
 nghịc biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2] 
Ví dụ 5. Chứng minh rằng 
a. Hàm số 
3
2 1
x
y
x
 nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó. 
b. Hàm số 
22 3
2 1
x x
y
x
 đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. 
c. Hàm số 2 8y x x nghịch biến trên R. 
CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! 
 2 
Dạng 2. Tìm giá trị của tham số để một hàm số cho trƣớc đồng biến, nghịch biến trên khoảng xác định cho trƣớc 
Phƣơng pháp: 
+ Sử dụng qui tắc xét tính đơn điêu của hàm số. 
+ Sử dụng định lí dấu của tam thức bậc hai 
Ví dụ 6. 
Tìm giá trị của tham số a để hàm số 3 2
1
( ) ax 4 3
3
f x x x đồng biến trên R. 
Ví dụ 7. 
Tìm m để hàm số 
2 25 6
( )
3
x x m
f x
x
 đồng biến trên khoảng (1; ) 
Ví dụ 8. Với giá trị nào của m, hàm số: 2
1
m
y x
x
 đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. 
Ví dụ 9 
Xác định m để hàm số 
3
2( 1) ( 3)
3
x
y m x m x đồng biến trên khoảng (0; 3) 
Ví dụ 10 
Cho hàm số 
4mx
y
x m
a. Tìm m để hàm số tăng trên từng khoảng xác định 
b. Tìm m để hàm số tăng trên (2; ) 
c. Tìm m để hàm số giảm trên ( ;1) 
Ví dụ 11 
Cho hàm số 3 23(2 1) (12 5) 2y x m x m x . Tìm m để hàm số: 
a. Liên tục trên R 
b. Tăng trên khoảng (2; ) 
Ví dụ 12 (ĐH KTQD 1997) 
Cho hàm số 3 2 2ax (2 7 7) 2( 1)(2 3)y x a a x a a đồng biến trên [2:+ ) 
Dạng 3. Sử dụng chiều biến thiên để chứng minh BĐT 
Phƣơng pháp 
Sử dụng các kiến thức sau: 
+ Dấu hiệu để hàm số đơn điệu trên một đoạn. 
+ f ( x) đồng biến trên [a; b] thì ( ) ( ) ()f a f x f 
+ f(x) nghịch biến trên [a; b] thì ( ) ( ) ( )f a f x f b 
Ví dụ 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
2
2 3
1 1
. tanx > sinx, 0< x < b. 1 + 1 1 , 0 < x < +
2 2 8 2
x x
. cosx > 1 - , 0 d. sinx > x - , x > 0
2 6
x
a x x x
c x
Ví dụ 2. 
Chohàm số f(x) = 2sinx + tanx – 3x 
a. Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0;
2
b. Chứng minh rằng 2sin tan 3 , (0; )
2
x x x x 
Ví dụ 3 
Cho hàm số ( ) t anx - xf x 
CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! 
 3 
a.Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng 0;
2
b. Chứng minh 
3
tan , (0; )
3 2
x
x x x 
Ví dụ 3 
Cho hàm số 
4
( ) t anx, x [0; ]
4
f x x 
a. Xét chiều biến thiên của hàm số trên [0; ]
4
b. Chứng minh rằng 
4
tan , [0; ]
4
x x x 
 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số 
Phƣơng pháp: 
Dựa vào 2 qui tắc để tìm cực trị của hàm số y = f(x) 
Qui tắc I. 
B1: Tìm tập xác định. 
B2: Tính f‟(x). Tìm các điểm tại đó f‟(x) = 0 hoặc f‟(x) 
không xác định. 
B3. Lập bảng biến thiên. 
B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị 
Qui tắc II. 
B1: Tìm tập xác định. 
B2: Tính f‟(x). Giải phƣơng trình f‟(x) = 0 và kí hiệu 
là xi là các nghiệm của nó. 
B3: Tính f ”(xi) 
B4: Dựa vào dấu của f ” (xi) suy ra cực trị 
( f ”(xi) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại xi; ( f ”(xi) < 0 
thì hàm số có cực đại tại xi) 
* Chú ý: Qui tắc 2 thƣờng dùng với hàm số lƣợng giác hoặc việc giải phƣơng trình f‟(x) = 0 phức tạp. 
Ví dụ 1. Tìm cực trị của hàm số 3 22 3 36 10y x x x 
Qui tắc I. 
TXĐ: R 
2
2
' 6 6 36
' 0 6 6 36 0
2
3
y x x
y x x
x
x
+
- - 54
71
++ - 00
2-3 +-
y
y'
x
Vậy x = -3 là điểm cực đại và ycđ =71 
 x= 2 là điểm cực tiểu và yct = - 54 
Qui tắc II 
TXĐ: R 
2
2
' 6 6 36
' 0 6 6 36 0
2
3
y x x
y x x
x
x
y”= 12x + 6 
y‟‟(2) = 30 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và 
 yct = - 54 
y‟‟(-3) = -30 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = -3 và 
ycđ =71 
Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau: 
CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! 
 4 
2 3 4 3
3 2 4 2
3 2
. y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432
. y = x 3 24 7 d. y = x - 5x + 4
e. y = -5x + 3x - 4x + 5 
a x x
c x x
3 f. y = - x - 5x 
Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau: 
2 2
2 2
2
2
x+1 x 5 (x - 4)
. y = b. y = c. y = 
x 8 1 2 5
9 x 3 3 x
. y = x - 3 + e. y = f. y =
x - 2 1 x 4
x
a
x x x
x
d
x
Bài 3. Tìm cực trị các hàm số 
2
2 2
3
2 2
x+1 5 - 3x
. y = x 4 - x b. y = c. y =
x 1 1 - x
x x
. y = e. y = f. y = x 3 - x 
10 - x 6
a
d
x
Bài 4. Tìm cực trị các hàm số: 
. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx
1
d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f.
2
a
c y = 2sinx + cos2x víi x [0; ]
Dạng 2. Xác lập hàm số khi biết cực trị 
Để tìm điều kiện sao cho hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x = a 
B1: Tính y‟ = f‟(x) 
B2: Giải phƣơng trình f‟(a) = 0 tìm đƣợc m 
B3: Thử lại giá trị a có thoả mãn điều kiện đã nêu không ( vì hàm số đạt cực trị tại a thì f‟(a) = 0 
không kể CĐ hay CT) 
Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y = x3 – 3mx2 + ( m - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2 
LG 
2' 3 6 1y x mx m . 
Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thì y‟(2) = 0 23.(2) 6 .2 1 0 1m m m 
Với m = 1 ta đƣợc hàm số: y = x3 – 3x2 + 2 có : 2
0
' 3 6 ' 0
2
x
y x x y
x
 tại x = 2 hàm số đạt giá trị cực 
tiểu 
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm 
Bài 1. Xác định m để hàm số 3 23 5 2 ®³t cùc ®³i t³i x = 2y mx x x 
Bài 2. Tìm m để hàm số 3 2
2
( ) 5 cã cùc trÞ t³i x = 1. Khi ®ã h¯m sè cã C§ hay CT
3
y x mx m x 
Bài 3. Tìm m để hàm số 
2 1
 ®³t cùc ®³i t³i x = 2
x mx
y
x m
Bài 4. Tìm m để hàm số 3 2 22 2 ®³t cùc tiÓu t³i x = 1y x mx m x 
Bài 5. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số: 3 2( ) axf x x bx c đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f(1) = -3 và đồ thị 
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 
Bài 6. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số ( )
1
q
f x xp
x
 đạt cực đại tại điểm x = -2 và f(-2) = -2 
Hướng dẫn: 
2
'( ) 1 , x -1
( 1)
q
f x
x
+ Nếu 0 th× f'(x) > 0 víi x -1. Do ®ã h¯m sè lu«n ®ång biÕn . H¯m sè kh«ng cã cùc trÞ.q 
+ Nếu q > 0 thì: 
CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! 
 5 
2
2
12 1
'( ) 0
( 1) 1
x qx x q
f x
x x q
Lập bảng biến thiên để xem hàm đạt cực tại tại giá trị x nào. 
Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị 
Bài toán: „Tìm m để hàm số có cực trị và cực trị thoả mãn một tính chất nào đó.‟ 
Phƣơng pháp 
B1: Tìm m để hàm số có cực trị. 
B2: Vận dụng các kiến thức khác Chú ý: 
 Hàm số 3 2ax ( 0)y bx cx d a có cực trị khi và chỉ khi phƣơng trình y‟ = 0 có hai nghiệm phân 
biệt. 
 Cực trị của hàm phân thức 
( )
( )
p x
y
Q x
. Giả sử x0 là điểm cực trị của y, thì giá trị của y(x0) có thể đƣợc tính 
bằng hai cách: hoặc 0 0
0 0
0 0
( ) '( )
( ) hoÆc y(x )
( ) '( )
P x P x
y x
Q x Q x
Ví dụ . Xác định m để các hàm số sau có cực đại và cực tiểu 
2
3 21 x 2 4. y = ( 6) 1 . y = 
3 2
mx m
a x mx m x b
x
Hƣớng dẫn. 
a. TXĐ: R 
 2' 2 6y x mx m . 
Để hàm số có cực trị thì phƣơng trình: 2 2 6 0 cã 2 nghiÖm ph©n biÖtx mx m 
2
3
' 6 0
2
m
m m
m
b. TXĐ: \ 2 
2 2
2 2
2
(2 )( 2) ( 2 4) 4 4 4
'
( 2) ( 2)
¯m sè cã cùc ®³i, cùc tiÓu khi ' 0 ã hai nghiÖm ph©n biÖt kh²c -2 4 4 4 0
' 0 4 4 4 0
0
4 8 4 4 0 0
x m x x mx m x x m
y
x x
H y c x x m
m
m
m m
Bài 1. Tìm m để hàm số 3 23 2. Víi gi² trÞ n¯o cña m th× h¯m sè cã C§, CT?y x mx 
Bài 2. Tìm m để hàm sô 
2 3( 1) 1x m m x m
y
x m
 luôn có cực đại và cực tiểu. 
Bài 3. Cho hàm số 3 22 ± 12 13y x x . Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực tiểu của đồ thị 
cách đều trục tung. 
Bài 4. Hàm số 3 22( 1) 4 1
3
m
y x m x mx . Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu. 
Bài 5. Cho hàm 
2
1
x mx
y
x
. Tìm m để hàm số có cực trị 
Bài 6. Cho hàm số 
2 2 4
2
x mx m
y
x
. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu. 
Dạng 4. Tìm tham số để các cực trị thoả mãn tính chất cho trƣớc. 
Phƣơng pháp 
+ Tìm điều kiện để hàm số có cực trị 
CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! 
 6 
+ Vận dụng các kiến thức về tam thức, hệ thức Viet để thoả mãn tính chất. 
Ví dụ . 
Bài1. Tìm cực trị của các hàm số sau: 
2 3 4 3
3 2 4 2
3 2
. y = 10 + 15x + 6x b. y = x 8 432
. y = x 3 24 7 d. y = x - 5x + 4
e. y = -5x + 3x - 4x + 5 
a x x
c x x
3 f. y = - x - 5x 
Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau: 
2 2
2 2
2
2
x+1 x 5 (x - 4)
. y = b. y = c. y = 
x 8 1 2 5
9 x 3 3 x
. y = x - 3 + e. y = f. y =
x - 2 1 x 4
x
a
x x x
x
d
x
Bài 3. Tìm cực trị các hàm số 
2
2 2
3
2 2
x+1 5 - 3x
. y = x 4 - x b. y = c. y =
x 1 1 - x
x x
. y = e. y = f. y = x 3 - x 
10 - x 6
a
d
x
Bài 4. Tìm cực trị các hàm số: 
. y = x - sin2x + 2 b. y = 3 - 2cosx - cos2x c. y = sinx + cosx
1
d. y = sin2x e. y = cosx + os2x f.
2
a
c y = 2sinx + cos2x víi x [0; ]
Bài 5. Xác định m để hàm số 3 23 5 2 ®³t cùc ®³i t³i x = 2y mx x x 
Bài 6. Tìm m để hàm số 3 2
2
( ) 5 cã cùc trÞ t³i x = 1. Khi ®ã h¯m sè cã C§ hay CT
3
y x mx m x 
Bài 7. Tìm m để hàm số 
2 1
 ®³t cùc ®³i t³i x = 2
x mx
y
x m
Bài 8. Tìm m để hàm số 3 2 22 2 ®³t cùc tiÓu t³i x = 1y x mx m x 
Bài 9. Tìm các hệ số a, b, c sao cho hàm số: 3 2( ) axf x x bx c đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f(1) = -3 và đồ thị 
cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 
Bài 10. Tìm các số thực q, p sao cho hàm số ( )
1
q
f x xp
x
 đạt cực đại tại điểm x = -2 và f(-2) = -2 
Bài 11. Tìm m để hàm số 3 23 2. Víi gi² trÞ n¯o cña m th× h¯m sè cã C§, CT?y x mx 
Bài 12. Tìm m để hàm sô 
2 3( 1) 1x m m x m
y
x m
 luôn có cực đại và cực tiểu. 
Bài 13. Cho hàm số 3 22 ± 12 13y x x . Tìm a để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực tiểu của đồ thị 
cách đều trục tung. 
Bài 14. Hàm số 3 22( 1) 4 1
3
m
y x m x mx . Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu. 
Bài 15. Cho hàm 
2
1
x mx
y
x
. Tìm m để hàm số có cực trị 
Bài 16. Cho hàm số 
2 2 4
2
x mx m
y
x
. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu. 
CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! 
 7 
 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ ...  1x thì có một số t với 0;
2
t sao cho : sin t x và một số y với 0;
2
y sao cho 
cosx y 
 Với mỗi số thực x có ;
2 2
t sao cho : tanx t 
 Nếu : x , y là hai số thực thỏa: 2 2 1x y , thì có một số t với 0 2t , sao cho sin , cosx t y t 
Từ đó chúng ta có phƣơng pháp giải toán : 
 Nếu : 1x thì đặt sin t x với ;
2 2
t hoặc cosx y với 0;y 
 Nếu 0 1x thì đặt sin t x , với 0;
2
t hoặc cosx y , với 0;
2
y 
 Nếu : x , y là hai số thực thỏa: 2 2 1x y , thì đặt sin , cosx t y t với 0 2t 
 Nếu x a , ta có thể đặt : 
sin
a
x
t
, với ;
2 2
t , tƣơng tự cho trƣờng hợp khác 
 x là số thực bất kỳ thi đặt : tan , ;
2 2
x t t 
Tại sao lại phải đặt điều kiện cho t như vậy ? 
Chúng ta biết rằng khi đặt điều kiện x f t thì phải đảm bảo với mỗi x có duy nhất một t , và điều 
kiện trên để đảm bào điều này . (xem lại vòng tròn lƣợng giác ) 
2. Xây dựng phƣơng trình vô tỉ bằng phƣơng pháp lƣợng giác nhƣ thế nào ? 
Từ công phƣơng trình lƣợng giác đơn giản: cos3 sint t , ta có thể tạo ra đƣợc phƣơng trình vô tỉ 
Chú ý : 
3cos3 4cos 3cost t t ta có phƣơng trình vô tỉ: 
3 24 3 1x x x (1) 
Nếu thay x bằng 
1
x
 ta lại có phƣơng trình :
2 2 24 3 1x x x (2) 
Nếu thay x trong phƣơng trình (1) bởi : (x-1) ta sẽ có phƣơng trình vố tỉ khó: 
3 2 24 12 9 1 2x x x x x 
(3) 
Việc giải phƣơng trình (2) và (3) không đơn giản chút nào ? 
Tƣơng tự nhƣ vậy từ công thức sin 3x, sin 4x,.hãy xây dựng những phƣơng trình vô tỉ theo kiểu 
lƣợng giác . 
3. Một số ví dụ 
Bài 1. Giải phƣơng trình sau : 
2
3 32 2 11 1 1 1
33
x
x x x 
Giải: 
Điều kiện : 1x 
Với [ 1;0]x : thì 
3 3
1 1 0x x (ptvn) 
CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! 
 31 
[0;1]x ta đặt : cos , 0;
2
x t t . Khi đó phƣơng trình trở thành: 
1 1
2 6 cos 1 sin 2 sin cos
2 6
x t t t vậy phƣơng trình có nghiệm : 
1
6
x 
Bài 2. Giải các phƣơng trình sau : 
1) 
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
x x
x x
x x
 HD: 
1 2cos
tan
1 2cos
x
x
x
2) 
2 21 1 1 2 1x x x Đs: 
1
2
x 
3) 
3 3 2x x x HD: chứng minh 2x vô nghiệm 
Bài 3 . Giải phƣơng trình sau: 3 6 1 2x x 
Giải: Lập phƣơng 2 vế ta đƣợc:
3 3 18 6 1 4 3
2
x x x x 
Xét : 1x , đặt cos , 0;x t t . Khi đó ta đƣợc 
5 7
cos ;cos ;cos
9 9 9
S mà phƣơng trình bậc 3 có 
tối đa 3 nghiệm vậy đó cũng chính là tập nghiệm của phƣơng trình. 
Bài 4. .Giải phƣơng trình 
2
2
1
1
1
x
x
Giải: đk: 1x , ta có thể đặt 
1
, ;
sin 2 2
x t
t
Khi đó ptt: 
2
cos 0
1
1 cot 1 1
sin sin 2
2
t
t
x t
Phƣơng trình có nghiệm : 2 3 1x 
Bài 5 .Giải phƣơng trình : 
2
22
2
2
11
1
2 2 1
xx
x
x x x
Giải: đk 0, 1x x 
Ta có thể đặt : tan , ;
2 2
x t t 
Khi đó pttt.
22sin cos2 cos2 1 0 sin 1 sin 2sin 0t t t t t t 
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm 
1
3
x 
Bài tập tổng hợp 
Giải các phương trình sau 
3
3 2 21 2 2x x x x 
3 2 41 1 1 1x x x x x 
2 24 2 4 16 2 4 16 2 9 16x x x x 
CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! 
 32 
22 2 30 2007. 30 4 2007 30. 2007x x x 
2
12 8
2 4 2 2
9 16
x
x x
x
33 31 1 2x x x 
3 3 1 2 1x x x 
4 5 3 1 2 7 3x x x x 
2 23 1 3 1x x x x 
4 3 10 3 2x x (HSG Toàn Quốc 2002) 
2 2 5 2 10x x x x x 
23 4 1 2 3x x x 
2 33 1 3 2 3 2x x x 
2 32 11 21 3 4 4 0x x x (OLYMPIC 30/4-2007) 
2 2 2 22 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x 
2 22 16 18 1 2 4x x x x 
2
2 3 3 22
3 1
x x
x x
x
12 2 1 3 9x x x 
3 244 1 1x x x x 
24 3 3 4 3 2 2 1x x x x x 
2(2004 )(1 1 )x x x 
( 3 2)( 9 18) 168x x x x x 
2 4 233 1 1
3
x x x x 
2 2233 32 1 3 1 1 0x x x 
22008 4 3 2007 4 3x x x 
2 23 2 1 1 1 3 8 2 1x x x x 
2 12 1 36x x x 
3 34 1 1 2 2 1x x x x 
1 1 1
2 1 3
x
x x
x x x
2 25 14 9 20 5 1x x x x x 
33 6 1 8 4 1x x x 
215 30 4 2004 30060 1 1
2
x x x 
24 9 7 7
28
x
x x 
2 24 4 10 8 6 10x x x x 
3 x x x x 
CHUYÊN ĐỀ: PHƢƠNG TRÌNH VÔ TỶ 
I. PHƢƠNG PHÁP BIỂN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG 
Dạng 1 : Phƣơng trình 
(*)
0
x D
A B A B
A B
Lưu ý: Điều kiện (*) đƣợc chọn tuỳ thuôc vào độ phức tạp của 0A hay 0B 
Dạng 2: Phƣơng trình 
2
0B
A B
A B
Dạng 3: Phƣơng trình 
+) 
0
0
2
A
A B C B
A B AB C
 (chuyển về dạng 2) 
 +) 3 3 3 33 33 .A B C A B A B A B C 
và ta sử dụng phép thế : 3 3A B C ta đƣợc phƣơng trình : 33 . .A B A B C C 
Bài 1: Giải phƣơng trình: 
a) 
2 1 1x x 
b) 2 3 0x x 
f) 3 2 1x x 
g) 9 5 2 4x x 
CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! 
 33 
c) 
2 1 1x x 
e) 3 2 1 3x x 
h) 3 4 2 1 3x x x 
i) 
2 2( 3) 10 12x x x x 
II.PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 
Phƣơng pháp đặt ẩn phụ thông thƣờng. 
-Nếu bài toán có chứa ( )f x và ( )f x khi đó đặt ( )t f x (với điều kiện tối thiểu là 0t . đối với các 
phƣơng trình có chứa tham số thì nhất thiết phải tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ). 
-Nếu bài toán có chứa ( )f x , ( )g x và ( ). ( )f x g x k (với k là hằng số) khi đó có thể đặt : ( )t f x , 
khi đó ( )
k
g x
t
-Nếu bài toán có chứa ( ) ( ) ; ( ). ( )f x g x f x g x và ( ) ( )f x g x k khi đó có thể đặt: 
( ) ( )t f x g x suy ra 
2
( ). ( )
2
t k
f x g x 
-Nếu bài toán có chứa 
2 2a x thì đặt sinx a t với 
2 2
t hoặc cosx a t với 0 t 
-Nếu bài toán có chứa 
2 2x a thì đặt 
sin
a
x
t
 với ; \ 0
2 2
t hoặc 
cos
a
x
t
 với 
0; \
2
t 
-Nếu bài toán có chứa 
2 2x a ta có thể đặt .tanx a t với ;
2 2
t 
 Bài 1: Giải phƣơng trình: 
a) 
2 2 2 8 12 2x x x x 
b) 
2 22 5 2 3 9 3 3x x x x 
c) 
2 24 6 2 8 12x x x x 
d) 
2 23 15 2 5 1 2x x x x 
e) 
2( 4)( 1) 3 5 2 6x x x x 
f) 
2 22 5 2 2 2 5 6 1x x x x 
g) 
2 23 2 2 2 6 2 2x x x x 
h) 
2 2 11 31x x 
i) 
2( 5)(2 ) 3 3x x x x 
Bài 2: Giải phƣơng trình: 
a) 
3
3 2 21 2 1x x x x 
b) 
3 32 21 1 1 1 2 1x x x x 
c) 
2 21 2 1 2 1 0x x x x 
d) 
6 4 2 264 112 56 7 2 1x x x x 
e) 
2
35
121
x
x
x
Bài 2: Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm: 
2 23 2 2x x m x x 
Bài 3: Cho phƣơng trình: 
2 1x x m 
-Giải phƣơng trình khi m=1 
-Tìm m để phƣơng trình có nghiệm. 
Bài 4: Cho phƣơng trình: 
22 3x mx x m 
-Giải phƣơng trình khi m=3 
-Với giá trị nào của m thì phƣơng trình có nghiệm. 
CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! 
 34 
f) 
1
3 1 4 3 3
3
x
x x x
x
Bài 3: Cho phƣơng trình: 
2
1 1
1
m
x x
-Giải phƣơng trình với 
2
2
3
m 
-Tìm m để phƣơng trình có nghiệm. 
Bài 4: Cho phƣơng trình: 
2 22 2 2 3 0x x x x m 
-Giải phƣơng trình với m = 9 
-Tìm m để phƣơng trình có nghiệm. 
2. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn 
Là việc sử dụng một ẩn phụ chuyển phƣơng trình ban đầu thành một phƣơng trình với một ẩn phụ nhƣng các hệ 
số vẫn còn chứa x. 
-Từ những phƣơng trình tích 1 1 1 2 0x x x , 2 3 2 3 2 0x x x x 
Khai triển và rút gọn ta sẽ đƣợc những phƣơng trình vô tỉ không tầm thƣờng chút nào, độ khó của phƣơng trình 
dạng này phụ thuộc vào phƣơng trình tích mà ta xuất phát. 
Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phƣơng trình dạng này .Phƣơng pháp giải đƣợc thể hiện qua các ví dụ sau . 
Bài 1. Giải phƣơng trình :
2 2 23 2 1 2 2x x x x 
Giải: 
2 2t x , ta có : 
2
3
2 3 3 0
1
t
t x t x
t x
Bài 2. Giải phƣơng trình : 
2 21 2 3 1x x x x 
Giải: 
Đặt : 
2 2 3, 2t x x t 
Khi đó phƣơng trình trở thnh : 
21 1x t x 2 1 1 0x x t 
Bây giờ ta thêm bớt , để đƣợc phƣơng trình bậc 2 theo t có chẵn 
2 2
2
2 3 1 2 1 0 1 2 1 0
1
t
x x x t x t x t x
t x
Từ một phƣơng trình đơn giản : 1 2 1 1 2 1 0x x x x , khai triển ra ta sẽ đƣợc pt sau 
Bài 3. Giải phƣơng trình sau : 
24 1 1 3 2 1 1x x x x 
Giải: 
Nhận xét : đặt 1t x , pttt: 4 1 3 2 1x x t t x (1) 
Ta rt 
21x t thay vo thì đƣợc pt: 
23 2 1 4 1 1 0t x t x 
Nhƣng không có sự may mắn để giải đƣợc phƣơng trình theo t 
2
2 1 48 1 1x x không có 
dạng bình phƣơng . 
Muốn đạt đƣợc mục đích trên thì ta phải tách 3x theo 
2 2
1 , 1x x 
Cụ thể nhƣ sau : 3 1 2 1x x x thay vào pt (1) ta đƣợc: 
Bài 4. Giải phƣơng trình: 
22 2 4 4 2 9 16x x x 
CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! 
 35 
Giải . 
Bình phƣơng 2 vế phƣơng trình: 2 24 2 4 16 2 4 16 2 9 16x x x x 
Ta đặt : 22 4 0t x . Ta đƣợc: 
29 16 32 8 0x t x 
Ta phải tách 2 2 29 2 4 9 2 8x x x làm sao cho t có dạng chình phƣơng . 
Nhận xét : Thông thƣờng ta chỉ cần nhóm sao cho hết hệ số tự do thì sẽ đạt đƣợc mục đích. 
Bài tập: Giải các phƣơng trình sau: 
a) 
3 3(4 1) 1 2 2 1x x x x b) 
2 21 2 2x x x x 
c) 
2 21 2 2x x x x d) 
2 24 ( 2) 2 4x x x x x 
3. Phƣơng pháp đặt ẩn phụ chuyển về hệ. 
a) Dạng thông thƣờng: Đặt ,u x v x và tìm mối quan hệ giữa x và x từ đó tìm đƣợc hệ 
theo u,v. Chẳng hạn đối với phƣơng trình: m ma f x b f x c ta có thể đặt: 
m
m
u a f x
v b f x
 từ đó 
suy ra 
m mu v a b . Khi đó ta có hệ 
m mu v a b
u v c
Bài tập: Giải các phƣơng trình sau: 
a) 3 2 1 1x x b) 3 9 2 1x x c) 
21 ( 1) 0x x x x x x 
b) Dạng phƣơng trình chứa căn bậc hai và lũy thừa bậc hai: 
2( )ax b c dx e x với 
d ac
e bc
Cách giải: Đặt: dy e ax b khi đó phƣơng trình đƣợc chuyển thành hệ: 
2
22( )
dy e ax bdy e ax b
dy e c dx e x c dy e x dy e
 ->giải 
Nhận xét: Dể sử dụng đƣợc phƣơng pháp trên cần phải khéo léo biến đổi phƣơng trình ban đầu về dạng thỏa mãn 
điều kiện trên để đặt ẩn phụ.Việc chọn ; thông thƣờng chúng ta chỉ cần viết dƣới dạng 
: ' '
n nx p a x b là chọn đƣợc. 
c) Dạng phƣơng trình chứa căn bậc ba và lũy thừa bậc ba. 
33 ax b c dx e x với 
d ac
e bc
Cách giải: Đặt 3dy e ax b khi đó phƣơng trình đƣợc chuyển thành hệ: 
3 33
3 3 3( ) ( )
dy e ax bdy e ax b c dy e acx bc
dy e c dx e x c dx e ac d x dy bcc dx e x dy e
Bài tập: Giải các phƣơng trình sau: 
1) 
21 4 5x x x 
2) 
23 1 4 13 5x x x 
3) 
3 32 3 3 2x x 
7) 
24 13 5 3 1 0x x x 
8) 
24 13 5 3 1 0x x x 
9) 
3 23 481 8 2 2
3
x x x x 
CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! 
 36 
4) 
24 9 7 7 0
28
x
x x x 
5) 
3 31 2 2 1x x 
6) 
3 33 335 35 30x x x x 
10) 
33 6 1 8 4 1x x x 
11) 
215 30 4 2004 30060 1 1
2
x x x 
12) 
3 23 3 5 8 36 53 25x x x 
II. PHƢƠNG PHÁP HÀM SỐ 
Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phƣơng trình là dạng toán khá quen thuộc. Ta có 3 hƣớng áp dụng sau 
đây: 
Hướng 1: Thực hiện theo các bƣớc: 
Bước 1: Chuyển phƣơng trình về dạng: ( )f x k 
Bước 2: Xét hàm số ( )y f x 
Bước 3: Nhận xét: 
 Với 
0 0( ) ( )x x f x f x k do đó 0x là nghiệm 
 Với 
0 0( ) ( )x x f x f x k do đó phƣơng trình vô nghiệm 
 Với 
0 0( ) ( )x x f x f x k do đó phƣơng trình vô nghiệm 
 Vậy 
0x là nghiệm duy nhất của phƣơng trình 
Hướng 2: thực hiện theo các bƣớc 
Bước 1: Chuyển phƣơng trình về dạng: ( ) ( )f x g x 
Bước 2: Dùng lập luận khẳng định rằng ( )f x và g(x) có những tính chất trái ngƣợc nhau và xác định 
0x sao cho 
0 0( ) ( )f x g x 
Bước 3: Vậy 
0x là nghiệm duy nhất của phƣơng trình. 
Hướng 3: Thực hiện theo các bƣớc: 
Bước 1: Chuyển phƣơng trình về dạng ( ) ( )f u f v 
Bước 2: Xét hàm số ( )y f x , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu 
Bước 3: Khi đó ( ) ( )f u f v u v 
Ví dụ: Giải phƣơng trình : 
2 22 1 2 4 4 4 3 2 9 3 0x x x x x 
pt
2 2
2 1 2 2 1 3 3 2 3 3 2 1 3x x x x f x f x 
Xét hàm số 
22 3f t t t , là hàm đồng biến trên R, ta có 
1
5
x 
Bài tập: Giải phƣơng trình: 
24 1 4 1 1x x , 31 4 5x x x , 21 3x x x , 2 31 2 2x x x x ,
1 2 3x x ,
22 1 3 4x x x