Chuyên đề Khối Tròn Xoay

I. Mặt cầu – Khối cầu:
1. Định nghĩa: Mặt cầu: S(O;R) = {M | OM = R} · Khối cầu: V(O;R) = {M | OM R}
2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng. Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P). Gọi d = d(O; (P)).
 +) Nếu d < R thì (P) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn nằm trên (P), có tâm H và bán kính r = 
 +) Nếu d = R thì (P) tiếp xúc với (S) tại tiếp điểm H. ((P) đgl tiếp diện của (S))
 +) Nếu d > R thì (P) và (S) không có điểm chung.
Khi d = 0 thì (P) đi qua tâm O và đgl mặt phẳng kính, đường tròn giao tuyến có bán kính bằng R đgl đường tròn lớn.
3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng. Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng D. Gọi d = d(O; D).
 +) Nếu d < R thì D cắt (S) tại hai điểm phân biệt.
 +) Nếu d = R thì D tiếp xúc với (S). (D đgl tiếp tuyến của (S)).
 +) Nếu d > R thì D và (S) không có điểm chung.
4. Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp 
Mặt cầu ngoại tiếp
Mặt cầu nội tiếp
Hình đa diện 
Tất cả các đỉnh của hình đa diện
đều nằm trên mặt cầu
Tất cả các mặt của hình đa diện
đều tiếp xúc với mặt cầu
Hình trụ 
Hai đường tròn đáy của hình trụ
nằm trên mặt cầu
Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy
và mọi đường sinh của hình trụ
Hình nón 
Mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn
đáy của hình nón
Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và
mọi đường sinh của hình nón
5. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
 Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh của đa diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông thì tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó.
 Cách 2: Để xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
 – Xác định trục của đáy ( là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).
 – Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên.
 – Giao điểm của (P) và là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
II. Diện tích – Thể tích
Cầu
Tru
Nón
Diện tích 
S = 4R2
Sxq = 2Rh
Stp = Sxq + 2.S1đáy
Sxq =Rl
Stp = Sxq + Sđáy
Thể tích 
ÔN TẬP KHỐI TRÒN XOAY
Bài 1. Cho một tứ diện đều có cạnh là a.
 a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó
Bài 2. Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 600 .
 a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
 b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu tương ứng.
Bài 3. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a, góc giữa mặt bên và đáy là .
 a) Tính bán kính các mặt cầu ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp.
 b) Tính giá trị của tan để các mặt cầu này có tâm trùng nhau.
Bài 4. Cho tứ diện ABCD, biết AB = BC = AC = BD = a, AD = b. Hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) vuông góc với nhau. Chứng minh tam giác ACD vuông và Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 5. Cho hình cầu tâm O bán kính R và đường kính SS’. Một mặt phẳng vuông góc với SS’ cắt hình cầu theo một đường tròn tâm H. Gọi ABC là tam giác đều nội tiếp trong đường tròn này. Đặt SH = x (0 < x <2R).
 a) Tính các cạnh của tứ diện SABC theo R, x.
 b) Xác định x để SABC là tứ diện đều, khi đó tính thể tích của tứ diện và chứng minh rằng các đường thẳng S’A, S’B, S’C đôi một vuông góc với nhau.
Bài 6. Trong mặt phẳng (P), cho hình thang cân ABCD với AB = 2a, BC = CD = DA = a.Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với (P) ta lấy một điêm di động S. Một mặt phẳng qua A vuông góc với SB, cắt SB, SC, SD lần lượt tại P, Q, R.
 a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, P, Q, R luôn thuộc một mặt cầu cố định. Tính Scầu.
 b) Cho SA = . Tính diện tích của tứ giác APQR.
Bài 7. Cho một đoạn thẳng IJ có chiều dài c. Trên đường thẳng vuông góc với IJ tại I ta lấy hai điểm A, A’ đối xứng qua I và IA = IA’ = a. Trên đường thẳng vuông góc với IJ tại J và không song song với AA’ ta lấy hai điểm B, B’ đối xứng qua J và JB = JB’ = b.
 a) Chứng minh rằng tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA’B’B nằm trên đường thẳng IJ.
 b) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA’B’B theo a, b, c.
Bài 8. Cho tứ diện ABCD với AB = AC = a, BC = b. Hai mặt phẳng (BCD) và (ABC) vuông góc với nhau và . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
Bài 9. Cho hình cầu bán kính R. Từ một điểm S bất kỳ trên mặt cầu, dựng ba cát tuyến bằng nhau, cắt mặt cầu tại A, B, C sao cho: . Tính thể tích V của tứ diện SABC theo R và .
Bài 10. Cho tứ diện SABC có SA(ABC), SA = a, AB = b, AC = c. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:
 a) b) và b = c c) và b = c.
Bài 11. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Xác định tâm, bán kính và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho.
Bài 12. Một hình trụ có bán kính đáy R và có thiết diện qua trục là một hình vuông.
 a) Tính Sxq và Stp của hình trụ. b) Tính V khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong khối trụ đã cho.
Bài 13. Một hình trụ có bán kính đáy R và đường cao . A và B là 2 điểm trên 2 đường tròn đáy sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là 300 .
 a) Tính Sxq và Stp của hình trụ. b) Tính thể tích khối trụ tương ứng.
Bài 14. Bên trong hình trụ tròn xoay có một hình vuông ABCD cạnh a nội tiếp mà 2 đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ 1 của hình trụ, 2 đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ 2 của hình trụ. Mặt phẳng chứa hình vuông tạo với đáy hình trụ một góc 450 . Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ đó.
Bài 15. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.
 Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón và Tính thể tích khối nón tương ứng.
Bài 16. Cho hình nón có đường cao SO = h, bán kính đáy R.Gọi M là điểm trên đoạn OS, OM = x (0< x < h).
 a) Tính diện tích thiết diện (C) vuông góc với trục tại M.
 b) Tính thể tích V của khối nón đỉnh O và đáy (C) theo R, h và x. Xác định x sao cho V đạt giá trị lớn nhất.
Bài 17. Một hình nón đỉnh S có chiều cao SH = h và đường sinh bằng đường kính đáy. Một hình cầu có tâm là trung điểm O của đường cao SH và tiếp xúc với đáy hình nón.
 a) Tính diện tích của phần mặt nón nằm trong mặt cầu. b) Tính S mặt cầu và so sánh với Stp của mặt nón.
Bài 18. Cho hình nón tròn xoay đỉnh S. Trong đáy của hình nón đó có hình vuông ABCD nội tiếp, cạnh bằng a. Biết rằng , (00 < a < 450 ) . Tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón.
Bài 19. Cho hình nón có bán kính đáy bằng R và góc ở đỉnh là . Trong hình nón có một hình trụ nội tiếp. Tính bán kính đáy và chiều cao của hình trụ, biết rằng thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuông.
Bài 20. Cho hình nón có bán kính đáy R, góc giữa đường sinh và đáy của hình nón là .Một mặt phẳng (P) song song với đáy của hình nón, cách đáy hình nón một khoảng h, cắt hình nón theo đường tròn (C). Tính bán kính đường tròn (C) theo R, h và .