Chuyên đề Khoảng cách và góc

1 
Khoảng cách và góc 
Loại 1. Khoảng cách 
A. Tóm tắt lý thuyết 
Cho điểm  0 0M x ;y , đường thẳng : ax by c 0    ( 2 2a b 0  ). Khi đó khoảng cách 
 d M; từ M đến  được tính bởi công thức 
   0 0
2 2
| ax by c |
d M;
a b
 
 

. 
B. Các ví dụ 
Ví dụ 1. [SGK10NC] Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  trong mỗi trường hợp 
sau 
1)  M 13;14 và : 4x 3y 15 0    . 
2)  M 5; 1 và 
x 7 2t
:
y 4 3t
 
 
  
. 
Giải 
1)   4.13 3.14 15
2 24 3
d M; 5 

   . 
2) Từ PTTS của  , khử tham số t , ta được: 
y 4x 7
2 3:


   : 3x 2y 13 0    
    
3.5 2. 1 13
2 23 2
d M; 0
  

   . 
Ví dụ 2. [ĐHA06] Cho các đường thẳng 1d : x y 3 0   , 2d : x y 4 0   , 3d : x 2y 0  . 
Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng 3d sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 1d 
bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng 2d . 
Giải 
3M d  tọa độ M có dạng  M 2a;a . 
Ta có   2a a 3 3 a 11 2 2 21 1
d M;d   

  ,  
 
2a a 4 a 4
2 2 221 1
d M;d   
 
  . 
Do đó    1 2d M;d 2d M;d  
3 a 1 a 4
2 2
2.   3 a 1 2 a 4   
2 
 
   
   
3 a 1 2 a 4
3 a 1 2 a 4
   

   
  
a 11
a 1
 
 
 
 
 
M 22; 11
M 2;1
  


. 
Vậy  M 22; 11  hoặc  M 2;1 . 
Ví dụ 3. [SGK10NC] Cho ba điểm  A 3;0 ,  B 5;4 và  P 10;2 . Viết PTĐTH đi qua P 
đồng thời cách đều A và B . 
Giải 
Giả sử  là đường thẳng cần tìm.  đi qua P  phương trình  có dạng 
   : a x 10 b y 2 0     ( 2 2a b 0  )  : ax by 10a 2b 0     . 
Ta có   3a 10a 2b 7a 2b
2 2 2 2a b a b
d A;   
 
   ,   5a 4b 10a 2b 15a 2b
2 2 2 2a b a b
d B;     
 
   . 
   d A; d B;    7a 2b 15a 2b    
7a 2b 15a 2b
7a 2b 15a 2b
  
    
  
b 2a
a 0

 
. 
* Xét trường hợp b 2a : cho a 1  b 2  x 2x 14 0   . 
* Xét trường hợp a 0 ( b 0 ): :by 2b 0    : y 2 0   . 
Ví dụ 4. Cho tam giác ABC . Biết  A 2;0 ,  B 4; 2 , ABCS 10 và C nằm trên đường 
thẳng d : y x . 
Giải 
* Ta có  1ABC 2S AB.d C;AB   
2SABC
ABd C;AB  . Lại có  AB 6; 2 

  
AB 2 10     d C;AB 10 1 . 
* yx 26 2AB :


  AB : x 3y 2 0   . C d  tọa độ C có dạng  a;a  
   a 3a 2 2 2a 1
2 2 101 3
d C;AB 2  

  . 
Từ  1 và  2 suy ra 2 2a 1
10
10   2a 1 5   
2a 1 5
2a 1 5
 
   
 
a 2
a 3

  
  
 
 
C 2;2
C 3; 3


 
. 
3 
Vậy  C 2;2 hoặc  C 3; 3  . 
Ví dụ 5. [ĐHB02] Cho hình chữ nhật ABCD có tâm  12I ;0 , AB: x – 2y 2 0  và 
AB 2AD . Tìm tọa độ các đỉnh A , B , C , D biết rằng A có hoành độ âm. 
Giải 
* Gọi H là trung điểm của AB  12AH AB , 
1
2IH AD  AH 2IH (do giả thiết 
AB 2AD )  1 .  
 
1 2 52
2221 2
IH d I;AB

 
    2 . Từ  1 và  2  AH 5 . 
* Ta thấy AHI vuông tại H nên  2 2 2 254AI AH HI 3   . A AB  tọa độ A có 
dạng  A 2a 2;a   52AI 2a; a 

       2 22 25 252 4AI 2a a 5a 10a 4       . 
Từ  3 và  4 suy ra 
2 25 25
4 45a 10a    
2a 2a 0   
a 0
a 2

 
  
   
   
thoûa maõn
loaïi
A 2;0
A 2;2
 


. 
* B AB , 2 2BI AI   B 2;2 . 
C I A
C I A
x 2x x
y 2y y
 

 
   C 3;0 , D I B
D I B
x 2x x
y 2y y
 

 
   D 1; 2  . 
Vậy  A 2;0 ,  B 2;2 ,  C 3;0 ,  D 1; 2  . 
Ví dụ 6. Cho 1 1
2 2
: ax by c 0
: ax by c 0
   

   
, ( 2 2a b 0  ). Chứng minh công thức tính khoảng cách 
 1 2d ;  giữa 1 , 2 
  1 21 2 2 2
| c c |d ;
a b

  

. 
Giải 
Lấy  0 0 2M x ;y   0 0 2ax by c 0   . 
Ta có  1 2d ;    1d M;  0 0 12 2
| ax by c |
a b
 


   0 0 2 1 2
2 2
| ax by c c c |
a b
   

  1 2
2 2
| c c |
a b


 (ĐPCM). 
4 
Ví dụ 7. [SGKNC] Viết PTĐTH ' song song và cách đường thẳng : ax by c 0    một 
khoảng bằng h cho trước. 
Giải 
'/ /   phương trình ' có dạng ' : ax by c' 0    . 
 d '; h    
2 2
| c c' | h
a b



  2 2| c c' | h a b    
2 2
2 2
c c' h a b
c c' h a b
   

   
 
2 2
2 2
c' c h a b
c' c h a b
   

  
  
2 2
2 2
' : ax by c h a b 0
' : ax by c h a b 0
     

     
. 
Vậy 2 2' : ax by c h a b 0      hoặc 2 2' : ax by c h a b 0      . 
5 
C. Bài tập 
Bài 1. Tính khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d trong các trường hợp sau 
1)  M 1;1 , d : x y 2 0   . 
2)  M 2;1 , y 1x 11 1d :


 . 
3)  M 1;5 , 
x 2t
d :
y 4 t


 
. 
Bài 2. Cho  0 0M x ;y . Chứng minh   0d M;Ox y ,   0d M;Oy x . 
Bài 3. Cho  P 2;5 và  Q 5;1 . Lập phương trình đường thẳng qua P sao cho khoảng các từ Q 
tới đường thẳng đó bằng 3 . 
Bài 4. [CĐ09NC] Cho các đường thẳng 1:x 2y 3 0    và 2:x y 1 0    . Tìm toạ độ điểm 
M thuộc đường thẳng 1 sao cho khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng 2 bằng 
1
2
. 
Bài 5. [ĐHB04] Cho hai điểm  A 1;1 ,  B 4; 3 . Tìm điểm C thuộc đường thằng 
x – 2y – 1 0 sao cho khoảng cách từ C đến AB bằng 6 . 
Bài 6. Biết diện tích ABC là 32S  ,  A 2; 3 ,  B 3; 2 và trọng tâm G của tam giác thuộc 
đường thẳng có phương trình d : 3x y 8 0   . Tìm tọa độ đỉnh C . 
Bài 7. [ĐHB09NC] Cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh  A 1;4 và các đỉnh B , C thuộc 
đường thẳng x y 4 0   . Xác định toạ độ các điểm B và C , biết diện tích tam giác ABC 
bằng 18 . 
Bài 8. [ĐHD10NC] Cho điểm  A 0;2 và  là đường thẳng đi qua O . Gọi H là hình chiếu 
vuông góc của A trên  . Viết phương trình đường thẳng  , biết khoảng cách từ H đến trục 
hoành bằng AH . 
Bài 9. Cho d : 3x 2y 4 0   . Viết phương trình đường thẳng d' trong các trường hợp sau 
1)  d d,d' 2 . 2)  d d,d' 3 . 
6 
D. Đáp số 
Bài 1 1) 2 . 2) 3 22 . 3) 
1
5
. 
Bài 3 d : x 2 0  hoặc d : 7x 24y 134 0   . 
Bài 4  M 1; 1 hoặc  513 3M ;  . 
Bài 5  C 7;3 hoặc  43 2711 11C ;  . 
Bài 6  C 1; 1 hoặc  C 2; 10  . 
Bài 7 ĐS:  3112 2B ; ,  3 52 2C ; hoặc  3 52 2B ; ,  3112 2C ; . 
Bài 8  : 5 1 x 2 5 2 y 0     hoặc  : 5 1 x 2 5 2 y 0     . 
Bài 9 1) 2) 
7 
Loại 2. Phân giác 
A. Tóm tắt lý thuyết 
Cho hai đường thẳng cắt nhau, có phương trình 
1 1 1 1: a x b y c 0    , 2 2 2 2: a x b y c 0    . 
Khi đó phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng là 
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
a x b y c a x b y c 0
a b a b
   
 
 
. 
B. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. [SGKNC] Cho ABC với  74A ;3 ,  B 1;2 và  C 4;3 . Viết phương trình đường 
phân giác trong góc A . 
Giải 
Ta có 
7x y 34
7 2 31 4
AB :
 

  AB : 4x 3y 2 0   , AC : y 3 0  
 phương trình các đường phân giác góc A là 
4x 3y 2 y 3
5 1
4x 3y 2 y 3
5 1
0
0
  
  
  


 
  
 
 
1
2
4x 2y 13 0 d
4x 8y 17 0 d
   

  
. 
Ký hiệu  F x;y là vế trái của PTĐTH 1d , ta có        F B .F C 5 . 17 85 0      B và 
C nằm về cùng một phía 1d  1d là phân giác ngoài góc A  2d là phân giác trong góc 
A . 
Vậy phương trình đường phân giác trong góc A là 2d : 4x 8y 17 0   . 
Ví dụ 2. Cho 1 : 3x y 7 0    và 1 : 2x 6y 0   . 
1) Chứng minh 1 và 2 cắt nhau và viết phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi 
1 và 2 . 
2) Xác định phân giác góc tù tạo bởi 1 và 2 . 
Giải 
1) Ta có 
3 1
16 0
2 6

  

  1 và 2 cắt nhau. Phương trình hai đường phân giác của các 
góc tạo bởi 1 và 2 là 
8 
   2 22 2
3x y 7 2x 6y 0
3 1 2 6
  
 
   
  
4x 4y 7 0
2x 2y 7 0
  
   
. 
Vậy phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi 1 và 2 là: 
1d : 4x 4y 7 0   và 2d : 2x 2y 7 0   . 
2) Ta thấy   1A 0;7  . Ta có  
 
0 28 7 21
1 2 4 224 4
d A;d  
 
  ,   0 14 7 212 2 2 2 22 2
d A;d  

  . 
Từ    1 2d A;d d A;d  2d là phân giác góc tù tạo bởi 1 và 2 . 
Chú ý: Xét hai đường thẳng cắt nhau 1 và 2 . Giả sử 1d , 2d là hai đường phân giác của các 
góc tạo bởi 1 và 2 . Lấy 1 2A   , tính các khoảng cách từ A đến 1d , 2d . Khi đó 
+) Khoảng cách lớn hơn là khoảng cách từ A đến phân giác góc tù, khoảng cách 
nhỉ hơn là khoảng cách từ A đến phân giác góc nhọn. 
+) Hai khoảng cách bằng nhau trong trường hợp 1 2    . 
Ví dụ 3. [SGKNC] Cho hai đường thẳng 1 : x 2y 3 0    , 2 : 3x y 2 0    . Viết PTĐTH 
 đi qua điểm  P 3;1 và cắt 1 , 2 lần lượt tại A và B một tam giác cân có đáy là AB . 
Giải 
Ta thấy:  thỏa mãn yêu cầu bài toán   vuông góc với một trong hai phân giác của các góc 
tạo bởi 1 và 2 . 
Phương trình hai phân giác của các góc tạo bởi 1 và 2 là 
x 2y 3 3x y 2
5 10
x 2y 3 3x y 2
5 10
0
0
   
   
  


 

  
     
     
1
2
2 3 x 2 2 1 y 3 2 2 0 d
2 3 x 2 2 1 y 3 2 2 0 d
      

      
. 
* 1d    2 2 1; 2 3             : 2 2 1 x 3 2 3 y 1 0       
     : 2 2 1 x 2 3 y 5 2 6 0       . 
* 2d    2 2 1; 2 3             : 2 2 1 x 3 2 3 y 1 0       
     : 2 2 1 x 2 3 y 5 2 6 0       . 
Vậy    : 2 2 1 x 2 3 y 5 2 6 0       hoặc    : 2 2 1 x 2 3 y 5 2 6 0       . 
9 
C. Bài tập 
Bài 1. Viết phương trình hai đường phân giác của hai góc tạo bởi hai đường thẳng 1d và 2d 
trong các trường hợp sau 
1) 1d : x 2y 1 0   , 2d : x 3y 3 0   . 
2) 1
x 2t
d :
y 4 t


 
, 2d : x y 7 0   . 
3) 1
x 3t
d :
y 4 t


 
, 2
x t
d :
y 3t



. 
ĐS: 1) 
   
   
1
2
: 2 1 x 2 2 3 y 2 3 0
: 2 1 x 2 2 3 y 2 3 0
      

      
. 2) 1
2
: 2y 11 0
: 2x 3 0
  
  
. 3) 1
2
: x 2y 6 0
: 2x y 6 0
   
   
. 
Bài 2. Viết phương trình các đường phân giác trong của ABC biết rằng các cạnh của nó nằm 
trên các đường thẳng có phương trình 3x 4y 0  , 4x 3y 0  và 5x 12y 101 0   . 
Bài 3. Cho  A 1;2 ,  B 3; 4 và  C 1; 2  . Hãy lập phương trình các đường phân giác trong 
và xác định tọa độ tâm đường tròn nội tiếp của ABC . 
Bài 4. Cho 1 : 3x y 1 0    và 2
x 2 t
:
y t
 
 

. Hãy lập phương trình phân giác góc nhọn tạo 
bởi 1 và 2 . 
Bài 5. Lập phương trình đường thẳng qua  P 2; 1 sao cho đường thẳng đó cùng với hai đường 
thẳng 1d : 2x y 5 0   và 2d : 3x 6y 1 0   tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của 
1d và 2d . 
ĐS: 
d : 3x y 5 0
d : x 3y 5 0
  
   
. 
Bài 6. [ĐHB10Chuẩn] Cho tam giác ABC vuông tại A , có đỉnh  C 4; 1 , phân giác trong góc 
A có phương trình x y – 5 0  . Viết phương trình đường thẳng BC , biết diện tích tam giác 
ABC bằng 24 và đỉnh A có hoành độ dương. 
ĐS: BC : 3x 4y 16 0   . 
10 
Loại 3. Góc giữa hai đường thẳng 
A. Tóm tắt lý thuyết 
* Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b được ký hiệu là  a,b hoặc đơn giản hơn là 
 a,b và số đo của nó được định nghĩa như sau: 
+) Nếu a và b cắt nhau thì a và b chia mặt phẳng thành bốn góc. Số đo nhỏ nhất của 
các góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b . 
+) Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước số đo góc giữa hai đường thẳng 
a và b bằng 0 . 
* Nhận xét: 
+)  a,b 90  . 
+) Gọi u

 và v

 lần lượt là các véc-tơ chỉ phương của các đường thẳng a và b , ta có: 
 u, v 90 
 
     a,b u, v
 
       cos a,b cos u, v 1
 
. 
 u, v 90 
 
     a,b 180 u, v 
 
        cos a,b cos 180 u, v cos u, v 2    
   
. 
Từ  1 và  2     cos a,b cos u, v
 
. 
* Định lý: 1 1 1 1
2 2 2 2
: a x b y c 0
: a x b y c 0
   

   
    a a b b1 2 1 21 2 2 2 2 2a b . a b1 1 2 2
cos ,

 
   . 
* Nhận xét: 
+)    1 2 1 2cos , cos ,n n  
 
, trong đó 1n

 và 2n

 lần lượt là các véc-tơ pháp 
tuyến của 1 và 2 . 
+) 1 1    1 2 1 2a a b b 0  . 
11 
B. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. [SGKNC] Tìm góc giữa hai đường thẳng 1 , 2 trong các trường hợp sau 
1) 1
x 13 t
:
y 2 2t
 
 
  
 và 2
x 5 2t '
:
y 7 t '
 
 
 
; 
2) 1 : x 5  và 2 : 2x y 14 0    ; 
3) 1
x 4 t
:
y 4 3t
 
 
  
 và 2 : 2x 3y 1 0    . 
Ví dụ 2. [SGKNC] Cho ba điểm  A 4; 1 ,  B 3;2 ,  C 1;6 . Tính góc BAC và góc giữa hai 
đường thẳng AB , AC . 
Ví dụ 3. Cho điểm  A 2; 3 . Lập phương trình đường thẳng  qua A và tạo với đường thẳng 
x 3y 2 0   một góc 45 . 
Ví dụ 4. Xác định tọa độ đỉnh A của tam giác ABC biết rằng tam giác này cân tại A , AB , 
BC có phương trình lần lượt là y 3x 3  , x y 1  và AC qua  73M 0; . 
Giải 
AC qua  73M 0;  phương trình AC có dạng 7b3AC : ax by 0   ( 2 2a b 0  ). 
Đưa phương trình AB , BC về dạng tổng quát ta được: AB : 3x y 3 0   , BC : x y 1 0   . 
Tam giác ABC cân tại A   ABC ACB 
  cos ABC cos ACB 
 
3 1 a b
2 10 2 22 a b
 

 
 
2 2a 2ab b 2
2 2 5a b
 

 
 2 23a 10ab 3b 0    1 . 
* Thay b 0 vào  1 ta được a 0 (loại). 
* Nếu b 0 chia hai vế  1 cho 2b và đặt abt  ta thu được phương trình 
23t 10t 3 0    
1
3t
t 3
  

  
. 
12 
+) 13t    
a 1
b 3   b 3a  . 
Cho a 1  b 3   AC : x 3y 7 0    AC không song song với AB (thỏa mãn). 
A AB AC   
3x y 3 0
A :
x 3y 7 0
  

  
   A 2;3 . 
+) t 3   ab 3   a 3b  . 
Cho b 1   a 3  73AC : 3x y 0    AC AB (loại) 
Vậy  A 2;3 . 
Ví dụ 5. Cho hình chữ nhật ABCD có AB : x – 2y 1 0  , BD : x – 7y 14 0  , AC đi qua 
 M 2;1 . Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật. 
Giải 
B AB BD   
x – 2y 1 0
B :
x – 7y 14 0
 

 
   13215 5B ; . 
AC đi qua M  phương trình AC có dạng:    AC : a x 2 b y 1 0    
 AC : ax by 2a b 0    ( 2 2a b 0  ). 
Ta có:    AC, AB BD;AB     cos AC, AB cos BD;AB 
  
 
a 2b 1 14
5.502 25 a b
 

 
  2 27a 8ab b 0    1 . 
* Thay b 0 vào  1 ta được a 0 (loại). 
* Nếu b 0 chia hai vế  1 cho 2b và đặt abt  ta thu được phương trình 
27t 8t 1 0    1
7
t 1
t
 

 
. 
+) t 1   ab 1   a b  . 
Cho b 1   a 1  AC : x y 1 0    AC không song song với BD (thỏa mãn). 
A AB AC   
x – 2y 1 0
A :
x y 1 0
 

  
   A 3;2 . 
13 
I AC BD   
x y 1 0
I :
x – 7y 14 0
  

 
   572 2I ; . 
C I A
C I A
x 2x x
y 2y y
 

 
   C 4;3 , D I B
D I B
x 2x x
y 2y y
 

 
   14 125 5D ; . 
+) 17t    
a 1
b 7   b 7a  . 
Cho a 1  b 7   AC : x 7y 5 0    AC BD , loại. 
Vậy  A 3;2 ,  13215 5B ; ,  C 4;3 ,  14 125 5D ; . 
Ví dụ 6. [ĐHA12] Cho hình vuông ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh BC , N là điểm trên 
cạnh CD sao cho CN 2ND . Giả sử  11 12 2M ; và đường thẳng AN có phương trình 
2x y 3 0   . Tìm tọa độ điểm A . 
Giải 
Giả sử hình vuông có cạnh là a . Ta có 
2 22 2 2 2 a 5a
4 4AM AB BM a     , 
2 22 2 2 2 a 10a
9 9AN AD DN a     , 
2 2 22 2 2 a 4a 25a
4 9 36MN CM CN     . 
Suy ra: 
2 2 25a 10a 25a2 2 2 2AM AN MN 4 9 36
2AM.AN 2a 5 a 102 .2 3
cos MAN
 
    . 
Ta có: A AN  tọa độ A có dạng  A a;2a 3   11 72 2AM a; 2a 

  1 . 
AN : 2x y 2 0     AN u 1;2

  2 . 
Từ  1 và  2 suy ra    
   
11 7a 2 2a2 2
2 211 75 a 2a2 2
cos u;AM
  
 
   
  

 
. 
Ta thấy MAN là góc nhọn nên 
  cos MAN cos u, AM
 
    2 2cos MAN cos u, AM
 
14 
 
 
   
211 7a 2 2a2 21
2 2 211 75 a 2a2 2
     
 
   
  
 
 
a 1
a 4

 
 
 
 
A 1; 1
A 4;5
 


. 
15 
C. Bài tập 
Bài 1. Cho 1 1 1d : y k x b  và 2 2 2d : y k x b  . 
1) Chứng minh 1 2d d  1 2k k 1  . 
2) Trong trường hợp 1d và 2d không vuông góc. Chứng minh rằng 
  1 21 2
1 2
k k
tan d ,d
1 k .k



. 
Bài 2. Tính góc giữa 1d và 2d trong các trường hợp sau: 
1) 1
x 2t
d :
y 4 t


 
, 2
x 2u
d :
y 2u



. 
2) 1
x 2t
d :
y 4 t


 
, 2d : x y 7 0   . 
3) 1d : x 2y 1 0   , 2d : x 4y 3 0   . 
4) 1d : mx y 2 0   , 2d : x my m 1 0    . 
Bài 3. Viết phương trình đường thẳng  trong các trường hợp sau: 
1)  qua  M 1;1 và tạo với 
x 2t
d :
y 4 t


 
 một góc o30 . 
2)  qua  M 1;1 và tạo với d : x y 2 0   một góc o45 . 
D. Đáp số 
Bài 2 1)  1 2
3cos d ,d
10
 . 2)  1 2
1cos d ,d
10
 . 
 3)  1 2
9cos d ,d
85
 . 4)  1 2 2
2mcos d ,d
m 1


. 
Bài 3 1)  : x 8 75 y 7 75 0      , hoặc  : x 8 75y 7 75 0      . 
 2) : x 1 0   hoặc : y 1 0   .