Chuyên đề Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và đoạn vuông góc chung

Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 1 
Chủ đề: KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG 
 THẲNG CHÉO NHAU VÀ ĐOẠN VUÔNG GÓC CHUNG 
 Chuyên đề “Hình Học Không Gian” nói chung và chủ đề “Khoảng cách giữa hai 
đường thẳng chéo nhau và đoạn vuông góc chung” nói riêng, là một chủ đề tương đối 
khó khăn với đa số học sinh. Chúng tôi biên soạn tài liệu này nhằm giúp các em nhìn nhận 
vấn đề trên dễ dàng hơn và có hệ thống hơn. 
I-NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP: 
 Để xác định Khoảng cách giữa hai đường thẳng a, b chéo nhau và đoạn vuông góc chung, 
thông thường dùng 2 phương pháp cơ bản sau: 
Phương pháp 1: 
Bước 1: Xác định mặt phẳng ( ) aa ^ 
tại A và )(a cắt b. 
Bước 2: Chiếu vuông góc b xuống ( )a 
được hình chiếu 'b . 
Bước 3: Kẻ 'AH b^ , dựng hình chữ 
nhật AHKP. 
Dể dàng chứng minh: PK là đoạn vuông 
góc chung của 2 đường thẳng a và b . 
Trong trường hợp đặt biệt :
( )
( )
b
a
a
a
ì Ìï
í
^ïî
+ Dựng AH b^ Þ AH là đoạn vuông 
góc chung của 2 đường thẳng a và b . 
Phương pháp 2: 
Bước 1: Xác định mặt phẳng ( ) // aa và 
( )b aÌ . 
Bước 2: Chiếu vuông góc đường thẳng 
a trên mặt phẳng ( )a được đường thẳng 
'a , { }'a b KÇ = 
Bước 3: Dựng hình chữ nhật AHKP. 
Dễ dàng chứng minh được: KP là đoạn 
vuông góc chung của 2 đường thẳng a 
và b . 
I
H
K
P
A
b'
ba
a
a
a
b
A
H
K
P
b
H
A
a'
a
a
Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 2 
II-MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HOẠ: 
Bài tập 1: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung 
của AB và CD. 
Hướng dẫn: 
Bước 1: Chọn mặt phẳng ( )AHB . 
Rõ ràng: ( )CD AHB^ 
Bước 2: Dễ thấy, ( )AB AHBÌ . 
Dựng HK AB HK^ Þ là đoạn vuông góc chung 
của AB và CD. 
Bước 3: Tính HK: 
Xét AHKD vuông tại K: 2 2HK AH AK= - 
Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có ( )SA ABCD^ , đáy ABCD là hình chữ nhật. Dựng 
đoạn vuông góc chung của : a) SA và CD . b) AB và SC. 
 Hướng dẫn: 
a) Xác đ ịnh và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và CD: 
Bước 1: Chọn mặt phẳng ( )ABCD . 
Rõ ràng: ( )SA ABCD^ 
Bước 2: Dễ thấy, ( )CD ABCDÌ . 
và AD CD AD^ Þ là đoạn vuông góc chung 
của SA và CD. 
Bước 3: Tính AD (tùy theo giả thiết) 
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và SC: 
Bước 1: Chọn mặt phẳng ( )SAD . 
Dễ chứng minh được: ( )AB SAD^ 
Bước 2: Chiếu SC trên ( )SAD : 
Ta có: ( )CD SAD SD^ Þ là hình chiếu của SC trên ( )SAD . 
+ Dựng AH SD AH^ Þ là khoảng cách của SC và AB. 
+ Dựng hình chữ nhật AHKPÞ KP là đoạn vuông góc 
chung của 2 đường thẳng SC và AB. 
Bước 3: Tính AH. 
Xét SADD vuông tại A: 2 2 2
1 1 1
AH SA AD
= + . 
Bài tập 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, các mặt bên là các hình vuông cạnh a. 
a) Hình lăng trụ có đặc điểm gì? 
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa A’B và B’C’. 
Hướng dẫn: 
a) Hình lăng trụ đứng tam giác đều cạnh a. 
b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa A’B và B’C’: 
K
D
C
B
H
A
S
A
B C
D
P
K
H
D
CB
A
S
Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 3 
Bước 1: Chọn mặt phẳng ( )' 'AII A . 
Dễ chứng minh được: ( )' ' ' 'B C AII A^ 
Bước 2: Chiếu A’B trên ( )' 'AII A : 
Ta có: ( )' ' 'BI AII A A I^ Þ là hình chiếu của A’B trên ( )' 'AII A . 
+ Dựng ' ' 'I H A I I H^ Þ là khoảng cách của A’B và B’C’. 
+ Dựng hình chữ nhật HKPI’Þ KP là đoạn vuông góc 
chung của 2 đường thẳng A’B và B’C’. 
Bước 3: Tính I’H. 
Xét Xét ' 'A I ID vuông tại I’: 2 2 2
1 1 1
' ' ' 'I H A I II
= + . 
Bài tập 15: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAD cạnh a nằm trong 2 mp vuông 
góc nhau. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng: 
 a) AD và SB b) SA và BD 
Hướng dẫn: 
a) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SB và AD: 
Bước 1: Chọn mặt phẳng ( )SIM . 
Dễ chứng minh được: ( )AD SIM^ 
Bước 2: Chiếu SB trên ( )SIM : 
Ta có: ( )BM SIM SM^ Þ là hình chiếu của SB trên ( )SIM . 
+ Dựng IH SM IH^ Þ là khoảng cách của SB và AD. 
+ Dựng hình chữ nhật HKPIÞ KP là đoạn vuông góc 
chung của 2 đường thẳng SB và AD. 
Bước 3: Tính IH. 
Xét SIMD vuông tại I: 2 2 2
1 1 1
IH IS IM
= + . 
b) Xác đ ịnh và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BD: 
Bước 1: Chọn mặt phẳng ( ) ( )//SEA BD SEAÞ . 
Bước 2: Chiếu BD trên ( )SEA : 
Gọi L và J là trung điểm EA và DO IL SLÞ ^ . 
+ Dựng ( )IH SL IH SEA^ Þ ^ . 
+ Dựng ( )//JR IH JR SEAÞ ^ 
Suy ra: ( ) ( )( ) ( )( ), , ,d d dBD SA BD SAE J SAE JR= = = 
+ Dựng hình chữ nhật RKPJÞ KP là đoạn vuông góc 
chung của 2 đường thẳng SA và BD. 
Bước 3: Tính JR. 
Ta có: 2 .JR IH= Xét SILD vuông tại I: 2 2 2
1 1 1
IH IS IL
= + . 
P
K
H
I
CA
B
A'
B'
C'
I'
MP
K H
I
D C
BA
S
R
J
OE
S
A B
CD
I
H
K
P
L
Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 4 
Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB= a, 
BC= a , AD=3a , CD= a 7 , SA= a 2 . Khi SA ^ (ABCD) , hãy dựng và tính độ dài đoạn 
vuông góc chung giữa các đường thẳng : 
a) SA và CD b) AB và SD c) AD và SC 
Hướng dẫn: 
a) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và CD: 
Bước 1: Chọn mặt phẳng ( )ABCD . 
Rõ ràng: ( )SA ABCD^ 
Bước 2: Dễ thấy, ( )CD ABCDÌ . 
Dựng AH CD AH^ Þ là đoạn vuông góc chung 
của SA và CD. 
Bước 3: Tính AH: 
Xét ACDD vuông tại A: 2 2 2
1 1 1
AH AC AD
= + . 
b) Xác đ ịnh và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và SD: 
Bước 1: Chọn mặt phẳng ( )SAD . 
Rõ ràng: ( )AB SAD^ 
Bước 2: Dễ thấy, ( )SD SADÌ . 
Dựng AK SD AK^ Þ là đoạn vuông góc chung của SD và AB. 
Bước 3: Tính AK: 
Xét SADD vuông tại A: 2 2 2
1 1 1
AK AS AD
= + . 
c) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AD và SC: 
Bước 1: Chọn mặt phẳng ( )SAB . 
Dễ chứng minh được: ( )AD SAB^ 
Bước 2: Chiếu SB trên ( )SIM : 
Ta có: ( )BC SAB SB^ Þ là hình chiếu của SC 
 trên ( )SAB . 
+ Dựng AI SB AI^ Þ là khoảng cách của SB và AD. 
+ Dựng hình chữ nhật AIJPÞ JP là đoạn vuông góc 
chung của 2 đường thẳng SC và AD. 
Bước 3: Tính AI. 
Xét SABD vuông tại I: 2 2 2
1 1 1
AI AS AB
= + . 
Bài tập 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy AB= a, đường cao SO= h. xác 
định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng SB và AD. 
Hướng dẫn: 
F Giải bằng Phương pháp 2: 
Bước 1: Chọn mặt phẳng ( )SBC . 
Dễ chứng minh được: ( )//AD SBC 
Bước 2: Chiếu AD trên ( )SBC (hay tính ( ),d AD SB ) 
K
H
S
A
D
B C 
CB
D
A
S
I J
P
Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 5 
Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC và AD ON BCÞ ^ 
Ta có: ( ) ( )SMN SBC^ , dựng ( )OH SN OH SBC^ Þ ^ 
+ Dựng ( )//MI OH MI SBCÞ ^ 
Suy ra: ( ) ( )( ) ( )( ), , ,d d dAD SB AD SBC M SBC MI= = = 
+ Dựng hình chữ nhật MIKPÞ KP là đoạn vuông góc 
chung của 2 đường thẳng SB và AD. 
Bước 3: Tính MI. Ta có: 2 .MI OH= 
Xét SOND vuông tại O: 2 2 2
1 1 1
OH OS ON
= + . 
Bài tập 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là 
trung điểm AC và AD. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường thẳng 
DM và D’N. 
Hướng dẫn: 
F Giải bằng Phương pháp 2: 
Bước 1: Chọn mặt phẳng ( )'D NJ . (với hình bình hành DJIM) 
Dễ chứng minh được: ( )// 'DM D NJ 
Bước 2: Chiếu DM trên ( )'D NJ . (hay tính ( ), 'd DM D N ) 
Do ( )// 'DJ MI DJ IJ IJ D JDÞ ^ Þ ^ . 
Ta có: ( ) ( )' 'D JD D NJ^ , dựng ( )' 'DH D J DH D NJ^ Þ ^ 
Suy ra: 
( ) ( )( ) ( )( ), ' , ' , 'd d dDM D N DM D NJ D D NJ DH= = = 
+ Dựng hình chữ nhật HKPDÞ KP là đoạn vuông góc 
chung của 2 đường thẳng DM và D’N. 
Bước 3: Tính DH. 
Xét 'D DJD vuông tại D: 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 4
' ' 'DH DD DJ DD MI DD AM
= + = + == + . 
Bài tập 7: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ .Hãy xác định đoạn vuông góc chung 
của BD’, B’C. 
Hướng dẫn: 
Bước 1: Chọn mặt phẳng ( )' 'ABC D . 
Dễ dàng chứng minh ( )' ' 'BC ABC D^ 
Bước 2: Dễ thấy, ( )' ' 'BD ABC DÌ . 
Dựng 'HK BD HK^ Þ là đoạn vuông góc 
chung của BD’ và B’C. 
Bước 3: Tính HK: Ta có 1 '
2
HK C P= 
Xét ' 'BC DD vuông tại C’: 2 2 2
1 1 1
' ' ' 'C P C D C B
= + 
O
P
K I
H
S
A
B
C
D
M
N
P
KH
J
IN
D
C
BA
B'
C'
A'
D'
M
P
K
H
D
C
BA
B'
C'
A'
D'
Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 6 
Bài tập 8: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Hãy xác định đoạn vuông góc 
chung của hai đương thẳng A’C’ và B’C. 
Hướng dẫn: 
Bước 1: Chọn mặt phẳng ( )' 'DBB D . 
Dễ chứng minh được: ( )' ' ' 'A C DBB D^ 
Bước 2: Chiếu B’C trên ( )' 'DBB D : 
Ta có: ( )' 'OC DBB D^ 
'B OÞ là hình chiếu của B’C trên ( )' 'DBB D . 
+ Dựng ' ' 'O H B O O H^ Þ là khoảng cách của A’C’ và B’C. 
+ Dựng hình chữ nhật O’HKPÞ KP là đoạn vuông góc 
chung của 2 đường thẳng A’C’ và B’C. 
Bước 3: Tính O’H. 
Xét ' 'O B OD vuông tại O’: 2 2 2
1 1 1
' ' ' 'O H O B OO
= + . 
Bài tập 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, cạnh bên SA = a, 
SA ^ (ABC), I là trung điểm cạnh BC. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa 
hai đường thẳng SI và AB. 
Hướng dẫn: 
F Giải bằng Phương pháp 2: 
Bước 1: Chọn mặt phẳng ( )SIJ , với //IJ AB và AJ IJ^ . 
Dễ chứng minh được: ( )//AB SIJ 
Bước 2: Chiếu AB trên ( )SIJ (hay tính ( ),d AB SI ) 
Ta có: ( ) ( )SAJ SIJ^ , dựng ( )AH SJ AH SIJ^ Þ ^ 
Suy ra: ( ) ( )( ) ( )( ), , ,d d dAB SI AB SIJ A SIJ AH= = = 
+ Dựng hình chữ nhật AHKPÞ KP là đoạn vuông góc 
chung của 2 đường thẳng AB và SI. 
Bước 3: Tính AH. Xét SAJD vuông tại A: 2 2 2
1 1 1
AH AJ SA
= + . 
Bài tập10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, J lần lượt là tâm các hình 
vuông AĐ’A’ và BCC’B’. Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa hai đường 
thẳng CI và AJ. 
Hướng dẫn: 
F Giải bằng Phương pháp 2: 
Bước 1: Chọn mặt phẳng ( )'AA J . 
Dễ chứng minh được: ( )// 'CI AA J 
Bước 2: Chiếu IC trên ( )'AA J (hay tính ( ),d CI AJ ) 
Dựng IH MJ^ , để ý rằng ( )'A A MIJ^ . 
Ta có: ( )'
'
IH MJ
IH AA J
IH A A
^ì Þ ^í ^î
Suy ra: ( ) ( )( ) ( )( ), , ' , 'd d dCI AJ CI AA J I AA J IH= = = 
P
H
K
O'
D
C
BA
B'
C'
A'
D'
O
P
KH
J I
S
A B
C 
P
K
HM
J
I
D
D'
A'
C'
B'
A B
C
Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 7 
+ Dựng hình chữ nhật IHKPÞ KP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng AJ và CI. 
Bước 3: Tính IH. 
Xét MIJD vuông tại I: 2 2 2
1 1 1
IH IM IJ
= + . 
Bài tập 11: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi , cạnh 2a , 
cạnh bên AA’= a 2 , AD’^ BA’.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD’ và BA’ . 
Hướng dẫn: 
F Giải bằng Phương pháp 2: 
Bước 1: Chọn mặt phẳng ( )'AD E , với 
// '
'
BE DD
BE DD
ì
í =î
. 
Dễ chứng minh được: ( )' // 'A B AD E 
Bước 2: Chiếu A’B trên ( )'AD E (hay tính ( )' , 'd A B AD ) 
Ta có: ( ) ( ) ( )' ' ' ' '
'
AI BD
AI BB D B AD E BB D B
AI BB
^ì Û ^ Þ ^í ^î
Dựng ( )' 'BH D E BH AD E^ Þ ^ 
Suy ra: ( ) ( )( ) ( )( )' , ' ' , ' , 'd d dA B AD A B AD E B AD E BH= = = 
+ Dựng hình chữ nhật BHKPÞ KP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng A’B và 
AD’. 
Bước 3: Tính BH. 
Xét IBED vuông tại B: 2 2 2
1 1 1
BH BE BI
= + . 
Bài tập 12: Cho hình lăng trụ đứng tam giác đều ABC.A’B’C’, đáy ABC có cạnh a, cạnh 
bên bằng h. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BC’. 
Hướng dẫn: 
F Giải bằng Phương pháp 2: 
Bước 1: Chọn mặt phẳng ( )'BDC , với 
//CD AB
CD AB
ì
í =î
. 
Dễ chứng minh được: ( )// 'AC BDC 
Bước 2: Chiếu AC trên ( )'BDC (hay tính ( ), 'd AC BC ) 
Gọi I là trung điểm BD. 
Ta có: ( ) ( ) ( )' ' '
'
CI BD
BD CC I BDC CC I
CC BD
^ì Û ^ Þ ^í ^î
Dựng ( )' 'CH C I CH BDC^ Þ ^ 
Suy ra: ( ) ( )( ) ( )( ), ' , ' , 'd d dAC BC AC BDC C BDC CH= = = 
+ Dựng hình chữ nhật CHKPÞ KP là đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng AC và 
BC’. 
Bước 3: Tính CH. 
Xét 'ICCD vuông tại C: 2 2 2
1 1 1
'CH CI CC
= + . 
I
P
K
H
E
A B
C
D
A'
B'
C'D'
DI
C'
B'
A'
B
A C
HK
P
Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 8 
Bài tập 13: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo AC’=2a và 
AB=AA’= a. 
 a) Chứng minh: '' CDAC ^ 
 b) d(D,(ACD’). 
 c) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa AC’, CD’. 
Hướng dẫn: 
a) Do ' ' 'AA AB a ABB A= = Þ là hình vuông. 
Suy ra: ( )
'
' ' ' '
' '
CD DC
CD ADCB CD AC
CD A D
^ì Û ^ Þ ^í ^î
. 
b) Ta có: ( ) ( ) ( )' ' 'CD ADCB ADI AD C^ Þ ^ 
và ( ) ( )'ADI AD C AIÇ = . 
Dựng DH AI^ 
( ) ( )( )' , 'dDH AD C D AD C DHÞ ^ Û = 
Xét 'ADCD vuông tại D: 2 2 2
1 1 1
'DH DA DC
= + . 
c) Theo câu a, ( )' 'CD ADCB^ và ( ) { }' 'CD ADCB IÇ = . 
Dựng 'IK AC IK^ Þ là đoạn vuông góc chung của AC’ và CD’. 
Xét 'DACD đồng dạng với 'KICD , ta có: ' . '
' '
KI KC AD KCKI
AD DC DC
= Û = . 
Bài tập 14: Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’. 
 a) Chứng minh: )''(' CDBABC ^ 
 b) Xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa AB’ và BC’. 
Hướng dẫn: 
a) Chứng minh ( )' ' 'BC A B CD^ : 
Ta có: ( )
' '
' ' '
'
BC B C
BC A B CD
BC CD
^ì Û ^í ^î
. 
b) Xác đ ịnh và tính độ dài đoạn vuông góc chung giữa AB’ và BC’: 
Bước 1: Chọn mặt phẳng ( )' 'A B CD . 
Dễ chứng minh được: ( )' ' 'BC A B CD^ 
Bước 2: Chiếu AB’ trên ( )' 'A B CD : 
Ta có: ( )' 'AH A B CD^ 
'HBÞ là hình chiếu của AB’ trên ( )' 'A B CD . 
+ Dựng 'IJ B H IJ^ Þ là khoảng cách của AB’ và BC’. 
+ Dựng hình chữ nhật IJKPÞ KP là đoạn vuông góc 
chung của 2 đường thẳng AB’ và BC’. 
Bước 3: Tính IJ. 
Xét 'CB DD đồng dạng với 'JB ID , ta có: ' . '
' '
IJ IB CD IBIJ
CD B D B D
= Û = . 
D' C'
B'A'
D C
BA
H K
I
J
P
I
D'
A'
C'B'
A
B
C
D
K
H
Chuyên đề HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Luyện thi Đại học 2013 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền 9 
P
H
K
I M
60 0
O
C
BA
S
D
K
H
I
O
A
D
C
B
III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 
Bài tập 15: Tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, AD ^ BC, AD= a và 
d(D,BC)= a. H là trung điểm của BC . 
 a) Chứng minh: BC ^ (ADH) b) DI ^ (ABC) 
 c) Xác định và tính đoạn vuông góc chung giữa AD và BC. 
Gợi ý: 
a) Kẻ )(AHDBC
BCAD
BCAH
^Þ
î
í
ì
^
^
b) 
)(),( ABCBCAHDI
AHDI
aDHAD
BCDI
º^Þ
^Þ
î
í
ì
==
^
c) HK 
Bài tập 16: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc 060ˆ =A và 
có đường cao SO= a .Tính: 
 d(O,(SBC)) d(AD,SB) 
Gợi ý: 
a) OH. Dựng (SOP) ^ (SBC).Kẻ OH ^ SP. 
b) IK. Dựng (STM) ^ (SBC). Kẻ IK ^ SM.