Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012
DẠNG 1: XÉT TÍNH ĐỒNG BIẾN- NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
Bài tập 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 1 DẠNG 1: XÉT TÍNH ĐỒNG BIẾN- NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ Bài tập 1: Xét tính đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau: ( )( )+= - = Î - = + - + 2 2 1 a) ( ) 4 b) ( ) 1;2 c) ( ) 4 1 x f x x x f x x f x x x x Bài giải: a) TXĐ: { }\ 1D = Ta có: 2 / 2 2( ) 0 (1 ) - + = = - x xf x x / 0 4( ) 0 2 0 = Þ =é = Û ê = Þ =ë x y f x x y Bảng biến thiên: 1 1 lim , lim lim , lim x x x x y y y y + - ®+¥ ®-¥ ® ® = -¥ = +¥ = -¥ = +¥ Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng: ( ) ( )0;1 , 1;2 Hàm số nghịch biến trên các khoảng: ( ) ( );0 , 2;-¥ +¥ b) TXĐ: D = Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 / 2 2 2 2 2 1 1 . 1 1 11( ) 1 1 1 1 1 xx x x x x xxf x x x x x x + - + + - + -+= = = + + + + + ( ) 0 1 2f x x yÞ = Û = Þ = Lập bảng biến thiên: Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng: ( )-1;1 . Hàm số nghịch biến trên khoảng: ( )1;2 . c) Điều kiện: 24 0 2 2x x- ³ Û - £ £ Hay TXĐ: [ ]2;2D = - 0 4 00 1 2 f(x) f/(x) x 0 + _0 0 2 -1x f/(x) f(x) 21 Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 2 Ta có: 2 / 2 2 4( ) 1 4 4 x x xf x x x - - = - = - - / 2 2 2 2 2 ( ) 0 4 0 4 0 2 0 2 2 4 2 f x x x x x x x x x x x = Û - - = Û - = £ £ £ £ì ì Û Û Þ =í í - = =î î Lập bảng biến thiên: Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng: ( )-2; 2 . Hàm số nghịch biến trên khoảng: ( )2;2 . Bài tập 2: Cho hàm số y x x= +2sin cos . a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên pé ùê úë û 0; 3 và nghịch biến trên p pé ùê úë û ; 3 . b) Chứng minh rằng với mọi ( )mÎ -1;1 , phương trình x x m+ =2sin cos (*) có nghiệm duy nhất thuộc đoạn [ ]p0; . Bài giải: a) Hàm số liên tục trên [ ]p0; và ( ) ( )y x x x x x x p= - = - Î/ 2sin cos sin sin 2cos 1 , 0; . Vì ( )x xpÎ Þ >0; sin 0 nên trên ( )p0; : ( )y x x xp p= Û = Û = Î/ 10 cos , 0; . 2 3 Lập bảng biến thiên: Kết luận: Hàm số đồng biến trên pé ùê úë û 0; 3 và nghịch biến trên p pé ùê úë û ; 3 . b) Ta có: x pé ù" Îê úë û 0; 3 , ta có ( )y y y ypæ ö£ £ Û £ £ç ÷è ø 5 0 1 3 4 nên phương trình (*) không có nghiệm với ( )mÎ -1;1 . 2 2 x f'(x) f(x) 2 0 -2 20 ++ _ -2 2 -1 5 4 1 _+ p 30 0 p y y' x Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 3 x p pé ù" Îê úë û ; 3 , ta có ( )y y y ypp æ ö£ £ Û - £ £ç ÷è ø 5 1 3 4 . Theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục ( )m æ öÎ - Ì -ç ÷è ø 5 1;1 1; 4 , tồn tại một số thực c p pæ öÎç ÷è ø ; 3 sao cho ( )y c = 0 . Số c là nghiệm của phương trình x x m+ =2sin cos và vì hàm số nghịch biến trên p pé ùê úë û ; 3 nên trên đoạn này, phương trình (*) có nghiệm duy nhất. Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc đoạn [ ]p0; . DẠNG 2: HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN DÌ Phương pháp: Sử dụng điều kiện cần và đủ của tính đơn điệu: · Hàm số y f x= ( ) đồng biến trên D f x x DÛ ³ " Î/ ( ) 0, . · Hàm số y f x= ( ) nghịch biến trên D f x x DÛ £ " Î/ ( ) 0, . Lưu ý: Dấu “=” chỉ xãy ra tại hữu hạn điểm. Bài tập 1: Tìm m để hàm số cosy x m x= + đồng biến trên . Bài giải: TXĐ: D = Ta có: / 1 siny m x= - Để hàm số đồng biến trên / 0, y xÛ ³ " Î . Cách 1: / 1 sin 0, sin 1, (1)y m x x m x x= - ³ " Î Û £ " Î * Với 0m = thì (1) luôn đúng. * Với 0m > thì (1) 1 1sin , 1 0 1x x m m m Û £ " Î Û ³ Û < £ . * Với 0m < thì (1) 1 1sin , 1 1 0x x m m m Û ³ " Î Û £ - Û - £ < . Kết luận: Các giá trị m thỏa y.c.b.t là 1 1m- £ £ . Cách 2: { }/ /1 sin 0, min min 1 ;1 0y m x x y m m= - ³ " Î Û = - + ³ 1 0 1 1 1 0 m m m - ³ìÛ Û - £ £í + ³î . Kết luận: Các giá trị m thỏa y.c.b.t là 1 1m- £ £ . Bài tập 2: Tìm m để các hàm số sau đây đơn điệu trên các khoảng đã chỉ ra: ( )y f x x x m x m= = - + + + - +3 21a) ( ) 2 2 1 3 2 3 nghịch biến trên . ( ) ( )my f x x m x m x m+= = - + + - + -3 2 22b) ( ) 2 8 1 3 nghịch biến trên . Bài giải: a) TXĐ: D = Ta có: y x x m= - + + +/ 2 4 2 1 có mD = +/ 2 5 và a = - <1 0 . Hàm số y f x= ( ) nghịch biến trên khi chỉ khi y x£ " Î/ 0, . Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 4 y.c.b.t a m m <ì Û Û D £ Û + £ Û £ -í D £î / / 0 2 0 2 5 0 50 Kết luận: Vậy các giá trị m cần tìm là m £ - 2 5 . b) TXĐ: D = Ta có: ( ) ( )y m x m x m= + - + + -/ 22 2 2 8 có mD = +/ 2 5 và a = - <1 0 . Hàm số y f x= ( ) nghịch biến trên khi chỉ khi y x£ " Î/ 0, . TH 1: m = -2 lúc đó y x= - < " Î/ 10 0, suy ra hàm số y f x= ( ) nghịch biến trên . TH 2: Xét m ¹ -2 . Lúc đó: y.c.b.t ( ) ma m m + << ìì ïÛ Û Û < -í í + <D £ ïî î / 2 00 2 10 2 00 . Kết luận: Vậy các giá trị m cần tìm là m £ -2 . Chú ý: 1) Nếu y ax bx c= + +/ 2 thì: * a b c y x a é = =ì íê ³îê³ " Î Û ê >ìêíD £êîë / 0 0 0, 0 0 * a b c y x a é = =ì íê £îê£ " Î Û ê <ìêíD £êîë / 0 0 0, 0 0 2) Hàm số đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trên D thì hàm số phải xác định trên D. Bài tập 3: Tìm m để hàm số 4mxy x m + = + nghịch biến trên ( );1-¥ . Bài giải: TXĐ: { }\= -D m Ta có: ( ) ( ) 2 / 2 4 m y x m x m - = ¹ - + Hàm số nghịch biến trên ( );1-¥ khi chỉ khi ( ) ( ) / 20, ;1 4 0 2 1 1;1 y x m m mm ì < " Î -¥ ì - <ï Û Û - < £ -í í - ³- Ï -¥ îïî . Bài tập 3: Tìm m để hàm số ( )3 23 1 4y x x m x m= + + + + nghịch biến trên ( )1;1- . Bài giải: TXĐ: = D Ta có: / 23 6 1y x x m= + + + Hàm số nghịch biến trên ( ) ( )/1;1 0, 1;1y x- Û £ " Î - Cách 1: ( ) ( ) ( )/ 2 20, 1;1 3 6 1 0, 1;1 3 6 1, 1;1y x x x m x m x x x£ " Î - Û + + + £ " Î - Û £ - - - " Î - ( )1;1 min ( )m g x - Û £ với 2( ) 3 6 1g x x x= - - - . Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 5 Bài toán trở thành: Tìm ( )1;1 min ( )g x - với 2( ) 3 6 1g x x x= - - - . Hướng 1: Để ý hệ số 3 0a = - < nên parabol ( ) 2: 3 6 1P x x- - - có bề lõm hướng xuống dưới nên giá trị ( ) { }1;1 1 1min ( ) min lim ( ), lim ( )x xg x g x g x+ -- ®- ®> . Ta có: 1 lim ( ) 2 x g x +®- = - và 1 lim ( ) 10 x g x -® = - nên ( ) ( ) 1;1 min ( ) 10, 1;1g x x - > - " Î - Suy ra: ( )23 6 1, 1;1 10m x x x m£ - - - " Î - Û £ - . Hướng 2: Xét hàm số ( )2( ) 3 6 1, 1;1g x x x x= - - - " Î - Ta có: ( )/ ( ) 6 6 0, 1;1 ( )g x x x g x= - - < " Î - Þ nghịch biến trên ( )1;1- và: 1 lim ( ) 2 x g x +®- = - , 1 lim ( ) 10 x g x -® = - . Xét bảng biến thiên: Kết luận: Giá trị m cần tìm là 10m £ - . Cách 2: Xét phương trình = + + + =/ 23 6 1 0y x x m với ( ) = >ìï íD = - + = -ïî / 3 0 9 3 1 6 3 a m m TH 1: /0 0 y xD £ Þ ³ " Î ( không thỏa ) TH 2: / 0 6 3 0 2m mD > Û - > Û < . Phương trình / 0y = có hai nghiệm - - - - + -= =1 2 3 6 3 3 6 3 , 3 3 m m x x với 1 2x x< . Theo bảng xét dấu: x -¥ 1 2 x x +¥ /y + 0 - 0 + Để ( ) 1/ 1 2 2 3 6 3 11 30, 1;1 1 1 1 3 6 3 1 3 m x y x x x x m ì- - - £ -ï£ -ì ï£ " Î - Û £ - < £ Û Ûí í³ - + -î ï ³ïî 3 6 3 1 3 6 3 3 6 3 0 23 3 6 3 3 6 3 3 6 3 6 101 3 m m m m m m m m ì- - - £ -ï ì ì- - - £ - - - £ " £ï ï ïÛ Û Ûí í í - + - - + - ³ - ³ Û £ -ï ïï î î³ïî Kết luận: Giá trị m cần tìm là 10m £ - . 1 -2 -10 g(x) g/(x) x -1 Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 6 DẠNG 3: VẬN DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I- NỘI DUNG Ý TƯỞNG: Định nghĩa: Hàm số ( )y f x= đồng biến trên D ( ) ( )1 2 1 2 1 2, :x x D x x f x f xÛ " Î < Þ < Hàm số ( )y f x= đồng biến trên D ( ) ( )1 2 1 2 1 2, :x x D x x f x f xÛ " Î Đặt vấn đề: Để chứng minh một bất đẳng thức dạng: A B> (1) trên D thì hoàn toàn chúng ta có thể có ý tưởng như sau: Bước 1: Đưa BĐT về dạng ( ) 0>f x trên D ( nếu thấy : ( ) 0a D f a$ Î = ) Lúc đó: ( ) 0 ( ) ( )> Û >f x f x f a Bước 2: Với x a> cần chỉ rõ f là hàm đồng biến. Lưu ý: 1) Đối với dạng chứng minh ( ) ( ), f x f y x y> > hoàn toàn tương tự. 2) Nhắc lại một số BĐT quan trọng: a. Bất đẳng thức Cauchy: 0, 0 : 2 .a b a b a b" ³ ³ + ³ . Dấu “=” xãy ra khi chỉ khi a b= . b. Mở rộng BĐT Cauchy: 3, , 0 : 3 . .a b c a b c a b c" ³ + + ³ . Dấu “=” xãy ra khi chỉ khi a b c= = . c. Hệ quả Cauchy: 2 2 1 1 10 : 2. : 2 3a a a a a a a a a " > + ³ " + = + + ³ d. Chứa giá trị tuyệt đối: , a a a b a b a b£ - £ + £ + e. Kết quả lượng giác: 3 2: 1 1 1, t sint sint sin t sin t sint" £ Û - £ £ £ £ f. ( ) ( ), , ( ) hoÆc t¨ng, hoÆc gi¶m trªn D f x f y x y D x y f x = Îì Þ =í î II- VÍ DỤ MINH HỌA: Bài tập 1: Chứng minh sin>x x trên 0; 2 pæ ö ç ÷è ø bằng cách xét khoảng đơn điệu: ( ) sin= -f x x x . Bài giải: Ta có / ( ) 1 cos 0, 0; 2 pé ö= - ³ " Î ÷êë ø f x x x Do cos 1, £ "x x . Suy ra hàm số ( ) sin= -f x x x là hàm số đồng biến trên 0; 2 pé ö ÷êë ø . Từ đây 0 ( ) (0)x f x f> Û > hay sin 0- >x x (đ.p.c.m) Lưu ý: Mục đích xét tính đơn điệu của hàm f trên 0; 2 pé ö ÷êë ø nhằm “lấy số 0” trong bất đẳng thức 0 ( ) (0)x f x f> Û > . Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 7 Bài tập 2: Chứng minh: 2 1 cos , 0 2 - x x x . Giải: Ta xét hàm số 2 ( ) 1 cos 2 = - - xf x x ( 0)³x . Đạo hàm ( )/ ( ) sin sin 0, 0= - + = - - £ " ³f x x x x x x theo ví dụ trên. Suy ra hàm số đã cho nghịch biến với 0x > . Từ đây do 0 ( ) (0)x f x f> Û < hay 2 1 cos 0 2 - - < x x (đ.p.c.m) Bài tập 3: Chứng minh rằng: ( )sin sin 2 cos cos , 0 2 pa a b b b a a b- > - < < < Bài giải: BĐT sin 2cos sin 2cos , 0 2 pa a a b b b a bÛ + > + < < < Xét hàm số: ( ) sin 2cos 0 2 p = + £ <f t t t t t . Ta có: / //( ) cos sin 0 ( ) sin 0, 0 2 2 p pæ ö= - £ < Þ = - £ £ <ç ÷è ø f t t t t t f t t t t . Suy ra / ( )f x nghịch biến với 0x > . Do đó / /( ) (0) 0f x f< = suy ra ( )f x nghịch biến với 0x > . Từ đây: 0 ( ) ( ) 2 f fpa b a b Û sin 2cos sin 2cosa a a b b b+ > + (đ.p.c.m) Bài tập 4: (ĐHSPHNII-98) Chứng minh trong mọi tam giác ABC nhọn ta luôn có: ( ) ( )2 1sin sin sin tan tan tan 3 3 p+ + + + + >A B C A B C Bài giải: Phân tích: 2 1 2 1 2 1sin tan sin tan sin tan 0 3 3 3 3 3 3 A A A B B B C C Cæ ö æ ö æ öÛ + - + + - + + - >ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø Xét hàm số: 2 1( ) sin tan 3 3 f t t t t= + - với 0; 2 t pé öÎ ÷êë ø . Ta có: / 2 2 2 2 1 1 1 1 1( ) cos 1 2cos 1 cos cos 1 3 3cos 3 cos 3 cos f t t t t t t t t æ ö æ ö= + - = + - = + + -ç ÷ ç ÷è ø è ø (*) Do 0; cos 0 2 t tpé öÎ Þ >÷êë ø nên áp dụng BĐT Cauchy: 2 3 2 2 1 coscos cos 3 3 cos cos tt t t t + + ³ = Từ (*) suy ra: / 2 1 1 1( ) cos cos 1 .3 1 0 0; 3 cos 3 2 f t t t t t pæ ö é ö= + + - ³ - = " Îç ÷ ÷êè ø ë ø Vậy hàm số ( )f t đồng biến trên 0; 2 pé ö ÷êë ø . Từ 0 ( ) (0) 0t f t f> Û > = Với ( ) 2 1, , 0; 0; : 0 (0) 0 sin tan 0 2 2 3 3 A B C A f A F A A Ap pæ ö é öÎ Ì > Û > = Û + - >ç ÷ ÷êè ø ë ø (1) Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 8 Tương tự: 2 1sin tan 0 3 3 B B B+ - > (2) và 2 1sin tan 0 3 3 C C C+ - > (3) Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta có đ.p.c.m. Bài tập 5: Chứng minh rằng: 2 3 0, *: 1 ... 2! 3! ! e " > Î > + + + + + n x x x xx n x n Bài giải:Chøng minh b»ng ph¬ng ph¸p quy n¹p. 2 3 2 3 1, 1 1 ... 2! 3! ! 1 ... 0. 0 2! 3! ! 1 ( ) 1 xKhi ta cã: e (§óng) Gi¶ sö b.®.t ®óng víi , nghÜa lµ: Ta chøng minh, b.®.t còng ®óng víi . ThËt vËy: XÐt hµm sè = > + = > + + + + + Û + + + + + - < " ³ = + = + + k x k x n x x x xn k e x k x x xx e x k n k xf x x [ ) 2 3 1 2 3 / ... . 2! 3! ! ( 1)! ( ) 1 ... 0, 0. ( ) 2! 3! ! ( ) (0) 0 Ta cã: VËy nghÞch biÕn trªn 0;+ Suy ra: (®.p.c.m) + + + + + - + = + + + + + - < " ³ ¥ < = k k x k x x x x e k k x x xf x x e x f x k f x f Nhận xét: Ở ví dụ này chúng ta đã sử dụng định nghĩa tính đơn điệu của hàm số: 1) Hàm số ( )y f x= đồng biến trên D: : ( ) ( )x y f x f y" £ £ 2) Hàm số ( )y f x= nghịch biến trên D: : ( ) ( )x y f x f y" £ ³ III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài tập 1: Cho hàm số 4( ) tan , 0; 4 f x x x x p p é ù= - Îê úë û a. Xét chiều biến thiên của hàm số trên 0; 4 pé ù ê úë û b. Chứng minh rằng 4tan , 0; 4 x x x p p é ù£ " Îê úë û Bài tập 1: Chứng minh các bất đẳng thức trên các miền đã chỉ ra: 1) tan 0 2 pæ ö> < <ç ÷è ø x x x 2) 3 tan 0 3 2 pæ ö> + < <ç ÷è ø xx x x 3) 3 sin ( 0) 6 > - > xx x x 4) 3 sin ( 0) 6 < - < xx x x 5) 2 sin2 ( 0)> >x x x Bài tập 2: Chứng minh các bất đẳng thức sau: a. CMR: sin tan 2 0; 2 pæ ö+ > Îç ÷è ø x x x x ü Vận dụng kết quả trên: Chứng minh bất đẳng thức sau: Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 9 1 1 1 2 2 2 3 3 0; 2 cos cos cos , A B C x A B C p+ + + æ ö+ + > Îç ÷è ø b. CMR: sin tan 12 2 2 , 0; 2 p+ æ ö+ ³ Îç ÷è ø x x x x c. CMR: 3 13sin tan 22 2 2 , 0; 2 p+ æ ö+ > Îç ÷è ø xx x x Bài tập 3: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1) tan 0 tan 2 a a pa b b b æ ö< < < <ç ÷è ø 2) (Đề 78) Chứng minh trong mọi tam giác ABC nhọn ta luôn có: sin sin sin tan tan tan 2p+ + + + + >A B C A B C Bài tập 4: ( ) ( ) 10. 2 2ln 1 Cho Chøng minh r»ng: xx y x y x y y æ ö+ > > - - - < ç ÷+è ø Giới thiệu: ỨNG DỤNG TRONG VIỆC GIẢI PT, BPT, HPT Bài tập 1: Cho hàm số ( ) 22 2= -f x x x . a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng [ )2;+¥ . b) Chứng minh rằng phương trình 22 2 11- =x x có một nghiệm duy nhất. Giải: a) TXĐ: [ )D 2;= +¥ . Đạo hàm: ( ) ( ) 2 / 5 8( ) 2 2 2 0, 2; 2 2 2 x xxf x x x x x -æ ö = - + = > " Î +¥ç ÷- -è ø Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng [ )2;+¥ . b) Nhận xét: Hàm số liên tục trên [2;3] và có f(2) = 0, f(3) = 18. Vì 0 < 11 < 18 nên ( )c 2;3$ Î sao cho ( ) 11f c = . Số thực c là một nghiệm của phương trình và vì ( )f x đồng biến trên [ )2;+¥ nên c là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. Bài tập 2: Giải phương trình: 5 3 1 3 4 0+ - - + =x x x (3) Giải: Đặt 5 3( ) 1 3 4= + - - +f x x x x với 1 3 £x .Ta có ( )f x là hàm liên tục trên 1; 3 æ ù-¥ç úè û và: / 4 2 3 1( ) 5 3 0, 32 1 3 f x x x x x = + + > " < - . Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng 1; 3 æ ù-¥ç úè û . Mặt khác ( 1) 0f - = , nên 1x = - là một nghiệm của (3) và cũng là nghiệm duy nhất của phương trình này. Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 10 Bài tập: Giải các hệ phương trình, hệ bất phương trình sau: 2 2 2 6 12 8tan tan , 6 12 85 2 22 3 4 6 12 8 3 3 3 a) b) y x xx y y x x y z y y x y x z z p p p ì = - +- = -ì ïï æ ö- < < = - +í íç ÷+ = è øï ïî = - +î 3 3 8 4 5 5 c) 1 x x y y x y ì - = -ï í + =ïî d) î í ì >--+ <++ 01093 045 23 2 xxx xx
Tài liệu đính kèm: