Chuyên đề Khảo sát hàm số - Chủ đề 2: Cực trị hàm số

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 1 
Chủ đề 2: CỰC TRỊ HÀM SỐ 
I- LÝ THUYẾT: 
1- Định nghĩa: Cho hàm số ( )y f x= xác định và liên tục trên ( );a b ( có thể a là -¥ , b 
là +¥ ) và điểm ( )0 ;x a bÎ . 
a. Nếu tồn tại số 0h > sao cho 0( ) ( )f x f x< với mọi ( )0 0;x x h x hÎ - + và 0x x¹ 
thì ta nói hàm số ( )f x đạt cực đại tại 0x . 
b. Nếu tồn tại số 0h > sao cho 0( ) ( )f x f x> với mọi ( )0 0;x x h x hÎ - + và 0x x¹ 
thì ta nói hàm số ( )f x đạt cực tiểu tại 0x . 
2- Chú ý: 
a. Nếu hàm số ( )f x đạt cực đại ( cực tiểu) tại 0x thì 0x được gọi là điểm cực đại ( 
điểm cực tiểu) của hàm số; 0( )f x được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) 
của hàm số, kí hiệu là C§ ( )CTf f , còn điểm ( )0 0 0; ( )M x f x được gọi là điểm cực 
đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số. Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi 
chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực 
tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số. 
3- Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: 
3-1. Định lý: Nếu hàm số ( )y f x= có đạo hàm tại 0x và đạt cực trị tại đó thì ( )/ 0 0f x = 
Lưu ý: Định lý khẳng định tại các điểm 0x mà ( )/ 0 0f x ¹ thì 0x không phải là 
điểm cực trị của hàm số. Nếu ( )/ 0 0f x = thì chưa thể khẳng định 0x là điểm cực 
trị. 
3-2. Định lý: (DẤU HIỆU I) 
 Nếu hàm số ( )y f x= có đạo hàm trong khoảng ( );a b và ( ) ( )/ 0 00, ;f x x a b= Î . 
a. Nếu qua 0x đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương, tức là 
/
0( ) 0, f x x x< " < và 
/
0( ) 0, f x x x> " > thì hàm số đạt cực tiểu tại 0x . 
b. Nếu qua 0x đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm , tức là
/
0( ) 0, f x x x> " > 
và / 0( ) 0, f x x x< " < thì hàm số đạt cực đại tại 0x . 
 3-3. Định lý: (DẤU HIỆU II) 
 Nếu hàm số ( )y f x= có đạo hàm trong khoảng ( );a b và ( ) ( )/ 0 00, ;f x x a b= Î . 
a. Nếu // 0( ) 0f x < thì hàm số đạt cực đại tại 0x . 
b. Nếu // 0( ) 0f x > thì hàm số đạt cực tiểu tại 0x . 
x a b
f / (x)
f(x)
x 0
0+ -
CD
CT
- +0
x 0
f(x)
f / (x)
bax
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 2 
4- Một số nhận xét quan trọng: 
a. Nếu 0x là điểm cực trị thì ( )/ 0 0f x = . Nói cách khác 0x là nghiệm của phương 
trình ( )/ 0f x = . Hay ( ) ( )/ /§ 0 C CTf x f x= = 
b. Các quy tắc tìm các điểm cực trị của hàm số: 
QUY TẮC I QUY TẮC II 
Bước 1: Tìm TXĐ 
Bước 2: Tính ( )/f x . Xác định các điểm tới 
hạn. 
Bước 3: Lập bảng biến thiên. Kết luận. 
Bước 1: Tìm TXĐ 
Bước 2: Tính ( )/f x . Giải phương trình 
( )/ 0f x = và kí hiệu ix ( 1, 2,...i = ) là các 
nghiệm của nó. 
Bước 3: Tính ( )//f x và ( )// if x . Kết luận 
II- CÁC DẠNG TOÁN: 
DẠNG 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
Bài tập 1: Tìm cực trị của các hàm số sau: 
( ) ( )a) b) 2 c) 3y x y x x y x x= = + = - 
Bài giải: 
a) y x= 
TXĐ: D R= 
Ta có: 
 khi 0
 khi 0
x x
y x
x x
³ì
= = í- <î
. Suy ra: /
1 khi 0
1 khi 0
x
y
x
>ì
= í- <î
Bảng biến thiên: 
Kết luận: Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0x = và (0) 0f = . 
b) ( )2 y x x= + 
TXĐ: D R= 
Ta có: ( )
( )
( )
2 khi 0
2
2 khi 0
x x x
y x x
x x x
ì + ³ï= + = í
- + <ïî
. Suy ra: /
2 2 khi 0
2 2 khi 0
x x
y
x x
+ >ì
= í- - <î
/ 0 1y x= Û = - . Hàm số liên tục tại 0x = , không có đạo hàm tại 0x = . 
Bảng biến thiên: 
0
0
f(x)
f/(x)
x
0
0
1
_+ +
-1
0
f(x)
f'(x)
x
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 3 
Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại điểm 1x = - và ( 1) 1f - = . Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 0x = 
và (0) 0f = . 
c) ( )3y x x= - 
TXĐ: D R= 
Ta có: ( )
( )
( )
3 khi 0
3
3 khi 0
x x x
y x x
x x x
ì - ³ï= - = í
- - <ïî
. Suy ra: 
( )
/
3 1
 khi 0
2
3 khi 0
2
x
x
xy
x x x
x
ì -
>ïï= í
-ï + - <ï -î
/ 0 1y x= Û = . 
Hàm số liên tục tại 0x = , không có đạo hàm tại 0x = . 
Bảng biến thiên: 
Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại điểm 0x = và (0) 0f = . Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 1x = 
và (1) 2f = - . 
Bài tập 2: Tìm cực trị của các hàm số sau: 
2 2 3 2a) 4 b) 2 3 c) 3y x x y x x y x x= - = - - = - + 
Bài giải: 
a) 24y x x= - 
TXĐ: [ ]2;2D = - 
Ta có: ( )
2
/ /
2
24 2 , 2;2 0
4 2
xxy x y
x x
é =-
= Î - Þ = Û ê
- = -êë
Bảng biến thiên: 
Kết luận: Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 2x = - và ( )2 2f - = - . Hàm số đạt cực đại tại điểm 
2x = và ( )2 2f = . 
x
f'(x)
f(x)
0
1
++ _
0
0
-2
2
-2
0
0 _
2- 2 2-2x
f'(x)
f(x)
0 +_
0
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 4 
b) 22 3y x x= - - 
TXĐ: ( ); 3 3;D ù é= -¥ - È +¥û ë 
Ta có: 
( ) ( ) ( ) ( )
2
/ /
2
2 3
2 , ; 3 3; 0 2
; 3 3;3
x xxy x y x
xx
ì - =ï= - Î -¥ - È +¥ Þ = Û Û =í
Î -¥ - È +¥- ïî
Bảng biến thiên: 
Kết luận: Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 2x = và ( )2 3f = . Hàm số không có cực đại. 
b) 3 23y x x= - + 
TXĐ: ( ];3D = -¥ 
Ta có: 
( ) ( ) { }
( ) { }
2 2
/ /
3
3 2 2 0
, ;3 \ 0 0 2
;3 \ 02 3
x x x x
y x y x
xx x
- - ì - =ï= Î -¥ Þ = Û Û =í Î -¥- + ïî
Hàm số không tồn tại đạo hàm tại 0, 3 x x= = . 
Bảng biến thiên: 
Kết luận: Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 2x = và ( )2 3f = . Hàm số không có cực đại. 
Bài tập 2: Tìm cực trị của các hàm số sau: 
( )a) =2sin2 3 b) 3 2cos cos 2y f x x y x x= - = - - 
Bài giải: 
a) ( ) =2sin2 3y f x x= - 
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên R . 
Ta có: ( )/ 4 2 0
4 2
cos y x x k kp p= = Û = + Î và // 8sin 2y x= - . 
Lúc đó: //
8 2
8sin
8 2 14 2 2
 khi 
 khi 
k n
y k k
k n
p p p p
- =ìæ ö æ ö+ = - + = íç ÷ ç ÷ = +è ø è ø î
Vậy hàm số đạt cực đại tại các điểm 2
4 2 4 2 4
x k n np p p p p p= + = + = + và 1
4
y np pæ ö+ = -ç ÷è ø
0
23x
f'(x)
f(x)
- 3
++ _
3
0
_
3
2
0
0
_ +
2
0
f(x)
f'(x)
x
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 5 
và hàm số đạt cực tiểu tại các điểm ( )2 1
4 2 4 2
x k np p p p= + = + + và ( )2 1 5
4 2
y np pé ù+ + = -ê úë û
. 
b) 3 2cos cos 2y x x= - - 
Hàm số đã cho xác định và liên tục trên R . 
Ta có: 
( )/ /
sin 0
2 22sin 2sin 2 2sin 1 2 0 0 31 2 0
2 2
3
cos
cos
x x k
x ky x x x x y
x
x k
p
p p
p p
= Û =é
ê éê = +ê= + = + Þ = Û ê + = Û êê êê = - +êëë
và // 2cos 4cos 2y x x= + . 
Lúc đó: // 2 22 6cos 3 0
3 3
y kp ppæ ö± + = = - <ç ÷è ø
 và ( )// 2cos 4 0, y k k kp p= + > " Î . 
Vậy hàm số đạt cực đại tại các điểm 2 2
3
x kp p= ± + và 2 92
3 2
y kp pæ ö± + =ç ÷è ø
và hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x kp= và ( ) ( )2 1 cosy k kp p= - . 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 
1) Tìm cực trị của các hàm số sau: 
4
3 2 2
5 3 2
1 4 4a) ( ) 3 b) ( ) 3 c) ( ) 2 6 
3 3 4
2 1 3 3d) ( ) e) ( ) +2 f) ( ) 
1 5 3 1
= - - + = + - = - +
- - +
= = - =
+ -
xf x x x x f x x f x x
x
x x x x xf x f x f x
x x
2) Tìm cực trị của các hàm số sau: 
2 2
5 3
a) ( ) 2sin2 3 b) ( ) 4 c) ( ) 8 d) ( ) sin2 2
e) ( ) 3 2cos cos2 f) 2 1 g) ( ) sin cos
f x x f x x x f x x f x x x
f x x x y x x x f x x x
= - = - = - = - +
= - - = - - + = +
DẠNG 2: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
Bài tập 1: Tìm m để hàm số ( )3 23 1 1y mx mx m x= + - - - có cực trị. 
Bài giải: 
TXĐ: D R= . 
Ta có: / 23 6 1y mx mx m= + - + . 
Hàm số có cực trị / 0yÛ = có hai nghiệm phân biệt và /y đổi dấu khi qua hai nghiệm đó. 
 TH1: /0 1 0 m y x R= Þ = > " Î nên hàm số không có cực trị. 
 TH2: 0m ¹ . Yêu cầu ( )/ 2 10 12 3 0 ;0 ;4y m m m
æ öÛ D > Û - > Û Î -¥ È +¥ç ÷è ø
. 
Kết luận: Vậy các giá trị m cần tìm là: ( ) 1;0 ;
4
m æ öÎ -¥ È +¥ç ÷è ø
. 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 6 
Bài tập 2: Tìm m để hàm số ( )
2 1 1
1
x m x
y
mx
+ - +
=
-
 có cực trị. 
Bài giải: 
* Với 20 1m y x x= Þ = - + - , ta thấy hàm số đạt cực đại tại 1
2
x = . Suy ra giá trị 0m = thỏa 
bài toán. 
* Với 0m ¹ Þ TXĐ: 1\D R
m
ì ü= í ý
î þ
. 
Ta có: 
( )
2
/
2
2 1 2
1
mx x my
mx
- + -
=
-
. Đặt 2( ) 2 1 2g x mx x m= - + - . 
Hàm số có cực trị / 0yÛ = có hai nghiệm phân biệt và /y đổi dấu khi qua hai nghiệm đó. 
 ( ) 0g xÛ = có hai nghiệm phân biệt 1
m
¹ . 
y.c.b.t 
( )
2
0 1 1 2 0
2 1 0,1 10 1 2 0
g m m
m m m
g m
m m
D >ì ì - - >
ï ïÛ Û Û - + > "í íæ ö ¹ - + - ¹ç ÷ï ïîè øî
Kết luận: Vậy hàm số có cực trị với mọi m . 
Bài tập 3: Cho hàm số ( )4 3 24 3 1 1y x mx m x= + + + + . Tìm m để: 
 a) Hàm số có 3 cực trị. b) Hàm số có cực tiểu mà không có cực đại. 
Bài giải: 
TXĐ: D R= . 
Ta có: ( ) ( )/ 3 2 24 12 6 1 4 12 6 6y x mx m x x x mx m= + + + = + + + 
2
/ ( ) 4 12 6 6 00
0
g x x mx m
y
x
é = + + + =
= Û ê =ë
a) Hàm số có 3 cực trị / 0yÛ = có 3 nghiệm phân biệt và /y đổi dấu khi qua 3 nghiệm đó. 
 ( ) 0g xÛ = có hai nghiệm phân biệt 0¹ 
y.c.b.t ( ) { }
20 3 3 2 2 0 1 7 1 7; ; \ 1
3 3(0) 0 6 6 0
g m m m
g m
ìD > æ ö æ ö- - >ì - +ïÛ Û Û Î -¥ È +¥ -ç ÷ ç ÷í í¹ + ¹î ï è ø è øî
b) Để ý rằng: 
 * Nếu phương trình ( ) 0g x = vô nghiệm thì ( ) 0, g x x> " Î , nên 0x = là điểm cực 
tiểu và hàm số không cực đại. 
 * Nếu phương trình ( ) 0g x = có nghiệm kép thì ( ) 0, g x x³ " Î , nên 0x = là điểm 
cực tiểu và hàm số không cực đại. ( do sự thay đổi dấu của /y ) 
Theo nhận xét trên thì yêu cầu bài toán 2 1 7 1 70 3 2 2 0
3 3g
m m m- +Û D £ Û - - £ Û £ £ 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 7 
Bài tập 4: Tìm m để hàm số 22 2 4 5y x m x x= - + + - + có cực đại. 
Bài giải: 
TXĐ: D R= . 
Ta có: 
( )
/ //
2 32
22 . ,
4 5 4 5
x my m y
x x x x
-
= - + =
- + - +
. 
 * Nếu 0m = thì 2 0, y x= - < " Î nên hàm số không có cực trị. 
 * Nếu 0m ¹ , để ý, vì dấu của //y chỉ phụ thuộc vào m nên để hàm số có cực đại thì 
trước hết // 0 0y m< Û < . 
Khi đó hàm số có cực đại / 0yÛ = có nghiệm. 
Ta có: ( ) ( )2/ 0 2 2 1 2 (1)y x m x= Û - + = - 
Đặt 2t x= - thì (1) trở thành: ( )
2
2 2 2
2
00 0 )
2 1 14 1
4
 ( do tt m
mt t
m t t
m
£ì£ <ìï ï= + Û Ûí í- = =ï ïî -î
Þ (1) có nghiệm 2 4 0 2 0 ( do )m m m- > Û < - < . 
Kết luận: Các giá trị m cần tìm là 2m < - . 
Bài tập 5: 
 1) Xác định giá trị tham số m để hàm số 
2 1( ) x mxy f x
x m
+ +
= =
+
 đạt cực đại tại 2.x = 
 2) Xác định giá trị tham số m để hàm số 3 2( ) ( 3) 1f x x m x m= + + + - đạt cực đại tại 1.x = - 
Bài giải: 
1) TXĐ: { }\D R m= - 
Ta có: 
( )
2 2
/
2
2 1( ) x mx mf x
x m
+ + -
=
+
Cách 1: Hàm số đạt cực đại tại / 2
1
2 (2) 0 4 3 0
3
m
x f m m
m
= -é
= Þ = Û + + = Û ê = -ë
Với 3m = - , ta có: 
( )
( )
2
2
6 8 3
3
x xy x
x
- +
= ¹
-
/ 20
4
x
y
x
=éÞ = Û ê =ë
Bảng biến thiên: 
+0
4x
f'(x)
f(x)
0
2
+ _
1
5
3
_
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 8 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực đại tại 2x = , do đó 3m = - thỏa mãn. 
Hoặc: Kiểm tra dấu của //y tại 2, 4 x x= = . 
Tương tự, với 1m = - . 
Chú ý: Lập luận sau đây  ... i giải: 
TXĐ: { }\ 1D R= 
Ta có: 
( )
2
/
2
2 2
1
x x my
x
- - -
=
-
. 
 / 20 ( ) 2 2 0 ( 1)y g x x x m x= Û = - - - = ¹ 
* Hàm số có cực đại, cực tiểu Û phương trình / 0y = có hai nghiệm phân biệt 1 2, x x 
 ( ) 0g xÛ = có hai nghiệm phân biệt khác 1. 
/ 3 01 ( 2) 0
3 (*)
3(1) 0
mm
m
mg
+ >ìD = - - - > ìÛ Û Û > -í í ¹ -¹ îî
Khi đó: 1 1/
2 2
1 3 2 2 3
0
1 3 2 2 3
x m y m m
y
x m y m m
é = - + Þ = + - +
= Û ê
= + + Þ = + + +êë
 ( Để ý 1 2x x< ) 
Bảng biến thiên: 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy điểm CT của đồ thị hàm số là: ( )1 3; 2 2 3A m m m+ + + + + 
Do ( )2( ) 2 2 3 1 3 1 3 4A P m m m mÎ Û + + + = + + + + + - 
 3 1 2m mÛ + = Û = - thỏa (*) 
Kết luận: Vậy 2m = - là giá trị cần tìm. 
y2
y1
x2
+0
x
f'(x)
f(x)
0
x1
+ _
1
_
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 17 
Chú ý: Ngoài việc thay trực tiếp 1 11 3 2 2 3x m y m m= - + Þ = + - + , thì ta có thể vận 
dụng ( hoặc để kiểm tra ) kết quả của bài toán cơ bản 2. 
 Nếu 0x là điểm cực trị của hàm số 
( )
( )
u xy
v x
= thì 
( )
( )
0
0
0
u x
y
v x
= 
Bài tập 1: Cho hàm số ( )
2 21 4 2
1
x m x m m
y
x
- + - + -
=
-
. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm 
số có cực trị sao cho tích các giá trị cực trị của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất. 
Bài giải: 
TXĐ: { }\ 1D R= 
Ta có: 
( )
2 2
/
2
2 3 3
1
x x m my
x
- + - +
=
-
. 
 / 2 20 ( ) 2 3 3 0 ( 1)y g x x x m m x= Û = - + - + = ¹ 
* Hàm số có cực đại, cực tiểu Û phương trình / 0y = có hai nghiệm phân biệt 1 2, x x 
 ( ) 0g xÛ = có hai nghiệm phân biệt khác 1. 
2/ 2
2
3 2 03 2 0
1 2 (*)
(1) 0 3 2 0
m mm m
m
g m m
ì- + - >ìD = - + - > ïÛ Û Û < <í í¹ - + ¹ïî î
Khi đó: 
2 2
1 1/
2 2
2 2
1 3 2 1 2 3 2
0
1 3 2 1 2 3 2
x m m y m m m
y
x m m y m m m
é = - - + - Þ = - + - + -
ê= Û
ê = + - + - Þ = - - - + -ë
 ( Để ý 1 2x x< ) 
Ta có: ( ) ( )2 21 2. 1 2 3 2 1 2 3 2y y m m m m m m= - + - + - - - - + - 
 ( ) ( )
2
2 2 2 7 4 41 4 3 2 5 14 9 5
5 5 5
m m m m m mæ ö= - - - + - = - + = - - ³ -ç ÷è ø
Suy ra: ( )1 2. miny y bằng 
4
5
- khi 7
5
m = ( thỏa (*) ). 
Kết luận: Vậy 7
5
m = là yêu cầu bài toán. 
Bài tập 1: Cho hàm số: 
2 ( 1) 3 2
1
x m x my
x
- + + +
=
-
. Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có 
cực đại và cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực tiểu cùng dấu. 
Bài giải: 
TXĐ: { }\ 1D R= 
Ta có: 
( )
2
/
2
2 2 1
1
x x my
x
- - -
=
-
. 
 / 20 ( ) 2 2 1 0 ( 1)y g x x x m x= Û = - - - = ¹ 
* Hàm số có cực đại, cực tiểu Û phương trình / 0y = có hai nghiệm phân biệt 1 2, x x 
 ( ) 0g xÛ = có hai nghiệm phân biệt khác 1. 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 18 
/ 2 2 02 2 0
1 (*)
2 2 0(1) 0
mm
m
mg
+ >ìD = + > ìÛ Û Û > -í í- - ¹¹ îî
Cách 1: 
Khi đó: 1 1/
2 2
1 2 2 1 2 2 2
0
1 2 2 1 2 2 2
x m y m m
y
x m y m m
é = - + Þ = - - +
= Û ê
= + + Þ = - + +êë
 ( Để ý 1 2x x< ) 
Hai giá trị cực trị cùng dấu Û ( ) ( )1 2. 1 2 2 2 1 2 2 2 0y y m m m m= - - + - + + > 
( ) ( )
( ) ( )
2 21 4 2 2 10 7 0
;5 4 2 5 4 2;
m m m m
m
Û - - + = - - >
Û Î -¥ - È + +¥
Đối chiếu điều kiện (*), ta có các giá trị m cần tìm là: ( ) ( )1;5 4 2 5 4 2;mÎ - - È + +¥ . 
Cách 2: Dùng kết quả về Đồ thị hàm phân thức 
2 2 
1
ax bx cy
dx e
+ + æ ö= ç ÷+ è ø
Theo trên, để hàm số có hai trị khi chỉ khi ( ) ( );5 4 2 5 4 2;mÎ -¥ - È + +¥ . 
Để hàm số có hai giá trị cực trị cùng dấu Û Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai 
điểm phân biệt khác 1. 
Yc.b.t 2( ) ( 1) 3 2 0h x x m x mÛ = - + + + = có hai nghiệm phân biệt khác 1. 
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 10 7 01 4 3 2 0 ;5 4 2 5 4 2;
2 2 0(1) 0
h m mm m m
mh
ì ì - - ¹D = + - + >ïÛ Û Û Î -¥ - È + +¥í í
+ ¹¹ï îî
Đối chiếu điều kiện (*), ta có các giá trị m cần tìm là: ( ) ( )1;5 4 2 5 4 2;mÎ - - È + +¥ . 
Kết quả tương tự: 
Để hàm số có hai giá trị cực trị trái dấu Û Đồ thị hàm số không cắt trục hoành. 
Bài tập 1: Cho hàm số: 
2 2 2
1
x mxy
x
+ +
=
+
. 
Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có cực đại và cực tiểu đồng thời khoảng cách từ các 
điểm cực trị của đồ thị hàm số tới đường thẳng : 2 0x yD + + = bằng nhau. 
Bài giải: 
TXĐ: { }\ 1D R= 
Ta có: 
( )
2
/
2
2 2 2
1
x x my
x
+ + -
=
+
. 
 / 20 ( ) 2 2 2 0 ( 1)y g x x x m x= Û = + + - = ¹ - 
* Hàm số có cực đại, cực tiểu Û phương trình / 0y = có hai nghiệm phân biệt 1 2, x x 
 ( ) 0g xÛ = có hai nghiệm phân biệt khác 1- . 
/ 3 2 03 2 0 3 (*)
2 3 0 2( 1) 0
mm
m
mg
- >ìD = - > ìÛ Û Û <í í - ¹- ¹ îî
Gọi ( ) ( )1 1 2 2; , ;A x y B x y là các điểm cực trị của đồ thị hàm số. 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 19 
Do 1 2, x x là nghiệm của phương trình 
2( ) 2 2 2 0g x x x m= + + - = , nên ta có định lí Vi-et: 
 1 2
1 2
2
. 2
x x
x x m
+ = -ì
í = -î
 (1) 
Sử dụng kết quả đã chứng minh ở trên, ta có: 1 1
2 2
2 2
2 2
y x m
y x m
= +ì
í = +î
Theo giả thiết: ( ) ( ) 1 1 2 2 1 2
2 2
; ; 3 2 2 3 2 2
2 2
x y x y
A B x m x m
+ + + +
D = D Û = Û + + = + +d d 
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
3 2 2 3 2 2 0 3 4 4 0
3 4 4 0
x m x m x x x x m
x x m x x
Û + + - + + = Û - é + + + ù =ë û
Û + + + = ¹ ( Do ) (2)
Thay (1) vào (2) ta được: 13( 2) 4 4 0
2
m m- + + = Û = ( thỏa (*) ). 
Kết luận: Vậy 1
2
m = là yêu cầu bài toán. 
Bài tập 1: Cho hàm số: 
( )2 2 31 4mx m x m m
y
x m
+ + + +
=
+
. Với giá trị nào của m thì hàm số có 
một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (II) và một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (IV) của 
mặt phẳng tọa độ. 
Bài giải: 
TXĐ: { }\D R m= - 
Ta có: 
341 my mx
x m
= + +
+
Þ Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số: ( )1 0 y mx m= + ¹ 
Đạo hàm 
( )
2 2 3
/
2
2 3mx m x my
x m
+ -
=
+
. 
 / 2 2 30 ( ) 2 3 0 ( )y g x mx m x m x m= Û = + - = ¹ - (*) 
Giả sử ( ) ( )1 1 2 2; , ; A x y B x y ( )1 2x x< là các điểm cực trị của đồ thị hàm số, thì 1 2, x x là các 
nghiệm của (*). 
Yêu cầu bài toán 
1 2
2 1
0
0
 (1)
A thuéc gãc phÇn t­ thø (II)
 (2)
B thuéc gãc phÇn t­ thø (IV)
HÖ sè gãc cña tiÖm cËn xiªn ©m (3)
x x
y y
< <ì
ì ïÛ Û < <í í
î ïî
 ( ) 4(1) (0) 0 0 3 0 0. hay mg P m mÛ < < Û - < Û ¹ (a) 
 (2)Û Đồ thị không cắt trục hoành 
( ) ( )
( ) ( )
2 2 3
2 4 22 3
0 1 4 0
0 0
15 2 1 01 4 4 0
 hay v« nghiÖmy mx m x m m x m
m m
m mm m m m
Û = + + + + = ¹ -
¹ì ¹ìïÛ Ûí í
- - + <D = + - + < îïî
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 20 
 2
0
1 1; ;1
5 5
5
m
m
m
¹ì æ ö æ öïÛ Û Î -¥ - È +¥í ç ÷ ç ÷> è ø è øïî
 (b) 
 (3) 0mÛ < (c) 
Giao các tập ở điều kiện (a), (b) và (c) ta được: 1 .
5
m < - 
Bài tập 1: Cho hàm số: 
2 8x mxy
x m
+ -
=
-
. Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị 
của đồ thị hàm số. 
Bài giải: 
TXĐ: { }\D R m= 
Ta có: 
( )
2 2
/
2
2 8x mx my
x m
- - +
=
-
. 
 / 2 20 ( ) 2 8 0 ( )y g x x mx m x m= Û = - - + = ¹ 
* Hàm số có cực đại, cực tiểu Û phương trình / 0y = có hai nghiệm phân biệt 1 2, x x 
 ( ) 0g xÛ = có hai nghiệm phân biệt khác m . 
( ) ( )
2/
2
2 8 00
; 2 2; (*)
( ) 0 2 8 0
m
m
g m m
ì - >ìD > ïÛ Û Û Î -¥ - È +¥í í¹ - + ¹ïî î
Gọi ( ) ( )1 1 2 2; , ; A x y B x y là các điểm cực trị của đồ thị hàm số, thì 1 2, x x là các nghiệm của (*). 
Cách 1: Viết theo thuật toán trực tiếp 
2
1/
2
1
2 8
0
2 8
x m m
y
x m m
é = - -
ê= Û
ê = - -ë
 . Từ đây tính ra y . 
Viết phương trình theo đại số hoặc hình học. 
Cách 2: Kỹ thuật phân tích 1 
2
1/
2
1
2 8
0
2 8
x m m
y
x m m
é = - -
ê= Û
ê = - -ë
 Tọa độ A là nghiệm của hệ: 
( )
2
1
2 2
2
1 1 1 1 12
1
2
1
1 1
2 8
2 8 2 82 2 2 8 2
2 8
2 8
2
x m m
m my x m x m x m m m x m
x m m
x m m
y x m
ì = - -
ï
í - -
= + + = + + = + + - - = +ï - - -î
ì = - -ïÛ í
= +ïî
Tương tự, ta cũng có của B: 
2
2
2 2
2 8
2
x m m
y x m
ì = + -ï
í
= +ïî
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 21 
Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: 2y x m= + với ( ) ( ); 2 2;mÎ -¥ - È +¥ . 
Cách 3: Kỹ thuật phân tích 2 
 * Định m để hàm số có cực trị: ( ) ( ); 2 2;mÎ -¥ - È +¥ . 
 * Tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số thỏa hệ: 
( )
( ) ( )
2 22 2
2 2 22 2 2
2 2
2 8 02 8 0
 8 2 88 2
2 8 0
2
2
x mx mx mx m
x mx x mx mx mx x mx my yx m x m x m
x mx m
x m x m
y x m
x m
ì - - + =ì - - + =
ï ïÛí í + - + - - ++ - - -= = =ï ï-î - -î
ì - - + =
ïÛ í - +
= = +ï -î
Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: 2y x m= + với ( ) ( ); 2 2;mÎ -¥ - È +¥ . 
Cách 4: Dùng kết quả của bài toán cơ bản. 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 
1) Cho hàm số 3 2 2 22( 1) ( 4 1) 2( 1)y x m x m m x m= + - + - + - + . Tìm m để hàm số có cực đại 
và cực tiểu tại 1 2, x x sao cho: ( )1 2
1 2
1 1 1
2
x x
x x
+ = + 
2) Cho hàm số 
2 ( 1) 1x m x my
x m
+ + + -
=
-
. Tìm m để đồ thị hàm số có điểm CĐ, CT: 
 a. Cùng phía Ox. b. Khác phía Ox c. Cùng phía Oy d. Khác phía Oy 
3) Cho hàm số 
2 3
4
x x my
x
- + +
=
-
. Tìm m để 1 24y y= + với 1 2, y y lần lượt là CĐ, CT của hàm 
số. 
4) Cho hàm số 
22 3x x my
x m
- +
=
-
. Tìm m để hàm số có CĐ, CT thoả 8y y- >C§ CT . 
5) Cho hàm số 
2 2 32 (4 1) 32 2
2
mx m x m my
x m
+ + + +
=
+
. Tìm m để đồ thị hàm số có một điểm cực 
trị thuộc góc phần tư thứ hai và điểm cực trị kia thuộc góc phần tư thứ tư của mp(Oxy). 
6) Cho hàm số 
2 ( 1) 4 2
1
x m x my
x
- + + -
=
-
. Xác định m để: 
a. Tích giá trị CĐ và giá trị CT nhỏ nhất. 
b. Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị. 
7) Cho hàm số 2 3 3my x x
x
= - + + . Xác định m để hàm số có ba điểm cực trị. Khi đó chứng 
minh rằng cả ba điểm cực trị đều nằm trên đường cong ( )23 1y x= - . 
8) Cho hàm số 4 2( 1) 1y x m x= + + + . 
a. Tìm m để hàm số có CĐ, CT 
b. Viết phương trình đường cong qua các điểm cực trị của hàm số. 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 22 
9) Chứng minh các điểm cực trị của đt hàm số 4 3 21 3 8
4
y x x x x= - - + nằm trên 1 parabol. 
10) Cho hàm số 3 2 23y x x m x m= - + + . Tìm m để đồ thị hàm số có các điểm CĐ, CT: 
 a. Nằm hai phía với đường thẳng : 2 5x yD - = . 
b. Đối xứng qua đường thẳng : 2 5x yD - = . 
11) Cho hàm số: 
2 22( 1) 4
2
x m x m my
x
+ + + +
=
+
. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho 
cực đại và cực tiểu cùng với gốc tọa độ tạo thành tam giác vuông tại O. 
12) Cho hàm số: 
2 ( 1) 1
1
x m x my
x
+ + + +
=
+
. Chứng minh rằng: Với mọi m hàm số luôn có cực 
đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20 . 
13) Cho hàm số: 
2 2 22 5 3x m x m my
x
+ + - +
= . Tìm 0m > để hàm số đạt cực tiểu tại 
( )0;2 .x mÎ 
14) Cho hàm số: 
2 ( 2) 3 2
1
x m x my
x
+ + + +
=
+
. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu sao cho 
1
2
2 2
C§ C§y y+ > .