Chuyên đề Khảo sát hàm số - Chủ đề 1: Tính đơn điệu của hàm số

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 1 
 Chủ đề 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 
I- LÝ THUYẾT: 
 1) Nhắc lại: 
 Hàm số ( )y f x= gọi là đồng biến (hay tăng) trên ( );a b khi chỉ khi: 
 ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 , ; : x x a b x x f x f x" Î < Û < 
 Hàm số ( )y f x= gọi là nghịch biến (hay giảm) trên ( );a b khi chỉ khi: 
 ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 , ; : x x a b x x f x f x" Î 
Về mặt đồ thị: 
Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên ( );a b có đồ thị là đường đi lên (đi xuống). 
 2) Hàm số hằng: 
Định lý: Nếu hàm số ( )y f x= có đạo hàm trên khoảng ( );a b và ( )/ ( ) 0, ;= " Îf x x a b 
thì hàm số ( )y f x= không đổi (hay gọi là hàm hằng y c= ) trên ( );a b . 
 3) Điều kiện cần và đủ của tính đơn điệu: 
Định lý: Giả sử hàm số ( )y f x= só đạo hàm trên ( );a b . 
a. Hàm số ( )y f x= đồng biến (hay tăng) trên ( );a b khi chỉ khi ( )/ ( ) 0 , ;f x x a b³ " Î 
b. Hàm số ( )y f x= nghịch biến (hay giảm) trên ( );a b khi chỉ khi ( )/ ( ) 0 , ;f x x a b£ " Î 
(dấu " "= chỉ xãy ra tại hữu hạn điểm) 
 Đồng biến Nghịch biến 
Lưu ý: Khái niệm điểm tới hạn của hàm số ( )y f x= . Điểm tới hạn của của hàm số là điểm 
mà tại đó: + Hàm số và đạo hàm không xác định. 
 + Nghiệm của phương trình / ( ) 0f x = . 
THUẬT TOÁN 
Xét sự biến thiên của hàm số 
 Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. 
 Bước 2: Tính đạo hàm / ( )f x , giải phương trình / ( ) 0f x = 
 Bước 3: Tính các giới hạn, các điểm tới hạn. 
 Bước 4: Lập bảng biến thiên của hàm số và kết luận. 
II- LUYỆN TẬP: 
DẠNG 1: XÉT TÍNH ĐỒNG BIẾN- NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ 
Bài tập1: Xác định tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau: 
2 2 3 2
2
4 2
11) ( ) 2 3 5 2) ( ) 4 3 3) ( ) 3 8 2 
3
3 1 24) ( ) 2 3 5) ( ) 6) ( ) 
1 1
17) ( ) 4 1 8) ( )
1
f x x x f x x x f x x x x
x x xf x x x f x f x
x x
f x x f x
x
= - + = + - = - + -
+ -
= - + = =
- -
= - + =
-
21 4 4 9) ( ) 
1 1
x x xf x
x x
+ - +
=
- -
Độc giả tự giải quyết 
f(x)
bax
x a b
f(x)
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 2 
Bài tập 2: Xét tính đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau: 
2 4 4a) ( )
1
x xf x
x
- +
=
-
 b) ( ) 4 = -f x x x 
( )( ) 2
2
1
c) ( ) 1;2 d) ( ) 4
1
+
= Î - = + -
+
x
f x x f x x x
x
Bài giải: 
a) TXĐ: { }\ 1D = 
Ta có: 
2
/
2
2( ) 0
(1 )
- +
= =
-
x xf x
x
/ 0 4( ) 0
2 0
= Þ =é
= Û ê = Þ =ë
x y
f x
x y
Bảng biến thiên: 
1 1
lim , lim
lim , lim
x x
x x
y y
y y
+ -
®+¥ ®-¥
® ®
= -¥ = +¥
= -¥ = +¥
Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng: ( ) ( )0;1 , 1;2 
 Hàm số nghịch biến trên các khoảng: ( ) ( );0 , 2;-¥ +¥ 
b) ( ) 4 = -f x x x 
TXĐ: ( ];4D = -¥ 
Ta có: / 8 3( ) 4 0
2 4 4
x x
f x x
x x
-
= - - = =
- -
/ 8 16 3( ) 0
3 9
f x x y= Û = Þ = 
Bảng biến thiên: 
 lim
x
y
®-¥
= -¥ 
Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng: 8;
3
æ ö-¥ç ÷è ø
 Hàm số nghịch biến trên khoảng: 8 ;4
3
æ ö
ç ÷è ø
0
4
00
1 2
f(x)
f/(x)
x 0
4
0
x
f/(x)
f(x)
0
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 3 
c) TXĐ: D = 
Ta có : 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
22
/
2 2 2 2 2
1 1 . 1 1 11( )
1 1 1 1 1
xx x x x x xxf x
x x x x x
+ - + + - + -+= = =
+ + + + +
( ) 0 1 2f x x yÞ = Û = Þ = 
Lập bảng biến thiên: 
Kết luận: 
Hàm số đồng biến trên khoảng: ( )-1;1 . 
Hàm số nghịch biến trên khoảng: ( )1;2 . 
d) Điều kiện: 24 0 2 2x x- ³ Û - £ £ 
Hay TXĐ: [ ]2;2D = - 
Ta có: 
2
/
2 2
4( ) 1
4 4
x x xf x
x x
- -
= - =
- -
/ 2 2
2 2 2
( ) 0 4 0 4
0 2 0 2
2
4 2
f x x x x x
x x
x
x x x
= Û - - = Û - =
£ £ £ £ì ì
Û Û Þ =í í
- = =î î
Lập bảng biến thiên: 
Kết luận: 
Hàm số đồng biến trên khoảng: ( )-2; 2 . 
Hàm số nghịch biến trên khoảng: ( )2;2 . 
Bài tập 2: Cho hàm số y x x= +2sin cos . 
+ _0
0
2
-1x
f/(x)
f(x)
21
2 2
x
f'(x)
f(x)
2
0
-2 20
++ _
-2 2
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 4 
 a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên pé ùê úë û
0;
3
 và nghịch biến trên p pé ùê úë û
;
3
. 
 b) Chứng minh rằng với mọi ( )mÎ -1;1 , phương trình x x m+ =2sin cos (*) có nghiệm 
duy nhất thuộc đoạn [ ]p0; . 
Bài giải: 
a) Hàm số liên tục trên [ ]p0; và ( ) ( )y x x x x x x p= - = - Î/ 2sin cos sin sin 2cos 1 , 0; . 
Vì ( )x xpÎ Þ >0; sin 0 nên trên ( )p0; : ( )y x x xp p= Û = Û = Î/ 10 cos , 0; .
2 3
Lập bảng biến thiên: 
Kết luận: Hàm số đồng biến trên pé ùê úë û
0;
3
 và nghịch biến trên p pé ùê úë û
;
3
. 
b) Ta có: 
x
pé ù" Îê úë û
0;
3
, ta có ( )y y y ypæ ö£ £ Û £ £ç ÷è ø
5
0 1
3 4
 nên phương trình (*) không có nghiệm với 
( )mÎ -1;1 . 
x
p pé ù" Îê úë û
;
3
, ta có ( )y y y ypp æ ö£ £ Û - £ £ç ÷è ø
5
1
3 4
. Theo định lý về giá trị trung gian của hàm 
số liên tục ( )m æ öÎ - Ì -ç ÷è ø
5
1;1 1;
4
, tồn tại một số thực c p pæ öÎç ÷è ø
;
3
 sao cho ( )y c = 0 . 
Số c là nghiệm của phương trình x x m+ =2sin cos và vì hàm số nghịch biến trên p pé ùê úë û
;
3
 nên 
trên đoạn này, phương trình (*) có nghiệm duy nhất. 
Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thuộc đoạn [ ]p0; . 
------------------------------ 
DẠNG 2: HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN DÌ 
Phương pháp: Sử dụng điều kiện cần và đủ của tính đơn điệu: 
· Hàm số y f x= ( ) đồng biến trên D f x x DÛ ³ " Î/ ( ) 0, . 
· Hàm số y f x= ( ) nghịch biến trên D f x x DÛ £ " Î/ ( ) 0, . 
Lưu ý: Dấu “=” chỉ xãy ra tại hữu hạn điểm. 
-1
5
4
1
_+
p
30
0
p
y
y'
x
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 5 
Bài tập 1: Tìm m để hàm số cosy x m x= + đồng biến trên . 
Bài giải: 
TXĐ: D = 
Ta có: / 1 siny m x= - 
Để hàm số đồng biến trên / 0, y xÛ ³ " Î . 
Cách 1: / 1 sin 0, sin 1, (1)y m x x m x x= - ³ " Î Û £ " Î 
 * Với 0m = thì (1) luôn đúng. 
 * Với 0m > thì (1) 1 1sin , 1 0 1x x m
m m
Û £ " Î Û ³ Û < £ . 
 * Với 0m < thì (1) 1 1sin , 1 1 0x x m
m m
Û ³ " Î Û £ - Û - £ < . 
Kết luận: Các giá trị m thỏa y.c.b.t là 1 1m- £ £ . 
Cách 2: { }/ /1 sin 0, min min 1 ;1 0y m x x y m m= - ³ " Î Û = - + ³ 
1 0
1 1
1 0
m
m
m
- ³ìÛ Û - £ £í + ³î
. 
Kết luận: Các giá trị m thỏa y.c.b.t là 1 1m- £ £ . 
Bài tập 2: Tìm m để các hàm số sau đây đơn điệu trên các khoảng đã chỉ ra: 
 ( )y f x x x m x m= = - + + + - +3 21a) ( ) 2 2 1 3 2
3
 nghịch biến trên . 
 ( ) ( )my f x x m x m x m+= = - + + - + -3 2 22b) ( ) 2 8 1
3
 nghịch biến trên . 
Bài giải: 
a) TXĐ: D = 
Ta có: y x x m= - + + +/ 2 4 2 1 có mD = +/ 2 5 và a = - <1 0 . 
Hàm số y f x= ( ) nghịch biến trên khi chỉ khi y x£ " Î/ 0, . 
y.c.b.t 
a
m m
<ì
Û Û D £ Û + £ Û £ -í
D £î
/
/
0 2
0 2 5 0
50
Kết luận: Vậy các giá trị m cần tìm là m £ - 2
5
. 
b) TXĐ: D = 
Ta có: ( ) ( )y m x m x m= + - + + -/ 22 2 2 8 có mD = +/ 2 5 và a = - <1 0 . 
Hàm số y f x= ( ) nghịch biến trên khi chỉ khi y x£ " Î/ 0, . 
TH 1: m = -2 lúc đó y x= - < " Î/ 10 0, , suy ra hàm số y f x= ( ) nghịch biến trên . 
TH 2: Xét m ¹ -2 . Lúc đó: 
y.c.b.t 
( )
ma
m
m
+ << ìì ïÛ Û Û < -í í + <D £ ïî î
/
2 00
2
10 2 00
. 
Kết luận: Vậy các giá trị m cần tìm là m £ -2 . 
Chú ý: 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 6 
1) Nếu y ax bx c= + +/ 2 thì: 
 * 
a b
c
y x
a
é = =ì
íê ³îê³ " Î Û ê >ìêíD £êîë
/
0
0
0, 
0
0
 * 
a b
c
y x
a
é = =ì
íê £îê£ " Î Û ê <ìêíD £êîë
/
0
0
0, 
0
0
2) Hàm số đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trên D thì hàm số phải xác định trên D. 
Bài tập 3: Tìm m để hàm số 4mxy
x m
+
=
+
 nghịch biến trên ( );1-¥ . 
Bài giải: 
TXĐ: { }\= -D m 
Ta có: 
( )
( )
2
/
2
4
m
y x m
x m
-
= ¹ -
+
Hàm số nghịch biến trên ( );1-¥ khi chỉ khi 
( )
( )
/ 20, ;1 4 0
2 1
1;1
y x m
m
mm
ì < " Î -¥ ì - <ï Û Û - < £ -í í
- ³- Ï -¥ îïî
. 
Chú ý: Trong 4 hàm số cơ bản: 
Hàm bậc ba: ( )3 2 0y ax bx cx d a= + + + ¹ Hàm trùng phương: ( )4 2 0y ax bx c a= + + ¹ 
Hàm nhất biến: ( ) ax by ad bc
cx d
+
= ¹
+
 Hàm 2/1: 
2ax bx cy
dx e
+ +
=
+
Đối với hàm số ax by
cx d
+
=
+
: Để hàm số ax by
cx d
+
=
+
 đồng biến trên D / 0, y x DÛ > " Î . 
Ví dụ: 
( )
=é+ -
= Þ = = Û ê+ = -+ ë
2
/
2
24 4
0
2
mmx m
y y
x m mx m
Xét /2 42 : 2 2 0 2
2
xm y x y x
x
+
= = = " ¹ - Þ = " ¹ -
+
: Không thỏa mãn điều kiện định lý về 
điều kiện cần vả đủ của tính đơn điệu. 
Bài tập 4: Tìm m để hàm số ( )3 23 1 4y x x m x m= + + + + nghịch biến trên ( )1;1- . 
Bài giải: 
TXĐ: =D 
Ta có: / 23 6 1y x x m= + + + 
Hàm số nghịch biến trên ( ) ( )/1;1 0, 1;1y x- Û £ " Î - 
Cách 1: 
( ) ( ) ( )/ 2 20, 1;1 3 6 1 0, 1;1 3 6 1, 1;1y x x x m x m x x x£ " Î - Û + + + £ " Î - Û £ - - - " Î - 
( )1;1
min ( )m g x
-
Û £ với 2( ) 3 6 1g x x x= - - - . 
Bài toán trở thành: Tìm 
( )1;1
min ( )g x
-
 với 2( ) 3 6 1g x x x= - - - . 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 7 
Hướng 1: Để ý hệ số 3 0a = - < nên parabol ( ) 2: 3 6 1P x x- - - có bề lõm hướng xuống 
dưới nên giá trị 
( ) { }1;1 1 1min ( ) min lim ( ), lim ( )x xg x g x g x+ -- ®- ®> . 
Ta có: 
1
lim ( ) 2
x
g x
+®-
= - và 
1
lim ( ) 10
x
g x
-®
= - nên 
( )
( )
1;1
min ( ) 10, 1;1g x x
-
> - " Î - 
Suy ra: ( )23 6 1, 1;1 10m x x x m£ - - - " Î - Û £ - . 
Hướng 2: Xét hàm số ( )2( ) 3 6 1, 1;1g x x x x= - - - " Î - 
Ta có: ( )/ ( ) 6 6 0, 1;1 ( )g x x x g x= - - < " Î - Þ nghịch biến trên ( )1;1- và: 
1
lim ( ) 2
x
g x
+®-
= - , 
1
lim ( ) 10
x
g x
-®
= - . 
Xét bảng biến thiên: 
Kết luận: Giá trị m cần tìm là 10m £ - . 
Cách 2: Xét phương trình = + + + =/ 23 6 1 0y x x m với 
( )
= >ìï
íD = - + = -ïî
/
3 0
9 3 1 6 3
a
m m
TH 1: /0 0 y xD £ Þ ³ " Î ( không thỏa ) 
TH 2: / 0 6 3 0 2m mD > Û - > Û < . 
Phương trình / 0y = có hai nghiệm - - - - + -= =1 2
3 6 3 3 6 3
, 
3 3
m m
x x với 1 2x x< . 
Theo bảng xét dấu: 
x -¥ 1 2 x x +¥ 
/y + 0 - 0 + 
Để ( ) 1/ 1 2
2
3 6 3 11 30, 1;1 1 1
1 3 6 3 1
3
m
x
y x x x
x m
ì- - - £ -ï£ -ì ï£ " Î - Û £ - < £ Û Ûí í³ - + -î ï ³ïî
3 6 3 1 3 6 3 3 6 3 0 23
3 6 3 3 6 3 3 6 3 6 101
3
m
m m m
m m m m
ì- - - £ -ï ì ì- - - £ - - - £ " £ï ï ïÛ Û Ûí í í
- + - - + - ³ - ³ Û £ -ï ïï î î³ïî
Kết luận: Giá trị m cần tìm là 10m £ - . 
Bài tập 5: Tìm m để hàm số 3 21 ( 1) ( 3) 4
3
y x m x m x= - + - + + - đồng biến trên ( )0;3 
1
-2
-10
g(x)
g/(x)
x -1
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 8 
Lời giải: 
TXĐ: =D 
Ta có: / 2 2( 1) 3y x m x m= - + - + + 
Hàm số đồng biến trên ( )0;3 ( )/ 2 2( 1) 3 0, 0;3y x m x m xÛ = - + - + + ³ " Î 
2(2 1) 2 3m x x xÛ + ³ + - 
2 2 3 ( ) (*)
2 1
x xm g x
x
+ -Û ³ =
+
 ( do ( )2 1 0, 0;3x x+ > " Î ) 
Ta có: ( )
2
/
2
2 2 8( ) 0, 0;3
(2 1)
x xg x x
x
+ +
= > " Î
+
Þ ( )g x là hàm số đồng  ...  Do đó TH này không tồn tại m thỏa y.c.b.t 
Kết luận: Với 2m = thì yêu cầu bài toán được thỏa. 
Thử lại: Với 2m = thì hàm số trở thành: ( )
22 2 2 0
1
x xy x x
x
+
= = " >
+
. Rõ ràng hàm số này 
đồng biến trên ( )0;É +¥ . 
Bài tập 8: Tìm m để hàm số = + + +3 23y x x mx m nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1. 
Bài giải: 
TXĐ: =D 
Ta có: = + +/ 23 6y x x m có / 9 3mD = - . 
 * Nếu / 0 3mD £ Û ³ thì / 0, y x³ " Î và do đó, trường hợp này không thỏa. 
 * Nếu / 0 3mD > Û < thì / 0y = có hai nghiệm phân biệt ( )1 2 1 2, x x x x< và hàm số 
nghịch biến trên [ ]1 2;x x với độ dài 2 1l x x= - . 
Theo định lý Vi-et, ta có: 
1 2
1 2
2
3
x x
mx x
+ = -ì
ï
í
=ïî
Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 1lÛ = 
( ) ( )2 22 1 1 2 1 2
4 91 1 4 1
3 4
x x x x x x m mÛ - = Û + - = Û - = Û = 
( thỏa 3m < ) 
Kết luận: 9
4
m = là y.c.b.t 
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: 
Bài tập 1: Xác định tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau: 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 10 
4 3
2
2
2
2 2
2
1
1) ( ) 2 2 1 2) ( )
3) ( ) 2 3 4) ( ) 4
3
5) ( ) 6) ( )
1 1
3
7) ( )
x
f x x x x f x
x
f x x x f x x x
x x
f x f x
x x
x x
f x
-
= - + + =
= - - = -
+
= =
+ -
- +
=
2 2
2 2
2 1
8) ( )
2 1 4 3
9) ( ) 2 4 1 10) ( ) 2 4
f x
x x x x
f x x x f x x x
=
+ - - +
= - + + = - + +
(§HAN-97) (§HL-94) 
Bài tập 2: Chứng minh rằng : 
1) Hàm số 2 1
=
+
xy
x
 đồng biến trên khoảng ( )1;1- và nghịch biến trên các khoảng 
( ); 1-¥ - và ( )1;+¥ . 
2) Hàm số 22y x x= - đồng biến trên khoảng ( )0;1 và nghịch biến trên ( )1;2 . 
3) Hàm số ( ) sin= -f x x x tăng trên khoảng ;
2 2
p pæ ö-ç ÷è ø
. Từ đó suy ra rằng với mọi 
0x > ta có sin>x x . 
4) Với mọi giá trị của tham số m , hàm số 
2 2 2
1
x m x my
x
+ + -
=
+
 đồng biến trên từng khoảng 
xác định của nó. 
5) Chứng minh rằng: Hàm số 
1
2
mxy
x m
-
=
+
 luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó. 
Bài tập 3: Xác định các giá trị tham số để các hàm số sau đơn điệu trên khoảng đã chỉ ra: 
1) Hàm số ( )3 22 2 1 ®ång biÕn trªn 1;y x x mx= - - - +¥ . 
2) Hàm số ( ) ( ) ( )3 2 21 2 2 8 1
3
= + - + + - + -y m x m x m x m nghịch biến trên . 
3) Hàm số 
2 2 2x mx my
x m
- + +
=
-
 đồng biến trên từng khoảng xác định. 
4) Hàm số 2 ( 6) 3y mx m x= - + + nghịch biến trên khoảng ( )1;- +¥ . 
5) Hàm số 3 2
1
3
y ax ax x= - + - luôn nghịch biến trên . 
6) Hàm số 
2 22 3
2
x ax ay
x a
- +
=
-
 đồng biến trên ( )1;+¥ . 
7) Hàm số 3 2
1 (2 1) 2
3
y x ax a x a= - + - - + nghịch biến trên ( )2;0- . 
8) Hàm số ( )4 nghÞch biÕn trªn ;1mxy
x m
+
= -¥
+
9) (ĐHQG HN 2000) Tìm m để hàm số 3 23y x x mx m= + + + nghịch biến trên một đoạn 
có độ dài bằng 1. 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 11 
Bài tập 4: Tìm m để các hàm số sau: 
 a) 3 2( ) 2 2 1y f x x x mx= = - - - đồng biến trên ( )1;+¥ . 
 b) 3 2( ) 3 2y f x mx x x m= = - + + - đồng biến trên ( )3;0- . 
 c) ( ) ( )3 21( ) 2 1 1
3
y f x mx m x m x m= = + - + - + đồng biến trên ( )2;+¥ . 
 d) 
2 (1 ) 2
2 3
mx m x my
x
+ - +
=
-
 đồng biến trên [ )4;+¥ 
 e) ( ) ( )
2 6 5 2 1 3
1
mx m x my x
+ + - -=
+
 nghịch biến trên [ )1;+¥ 
DẠNG 3: VẬN DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: 
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 
I- NỘI DUNG Ý TƯỞNG: 
Định nghĩa: 
Hàm số ( )y f x= đồng biến trên D ( ) ( )1 2 1 2 1 2, :x x D x x f x f xÛ " Î < Þ < 
Hàm số ( )y f x= đồng biến trên D ( ) ( )1 2 1 2 1 2, :x x D x x f x f xÛ " Î 
 Đặt vấn đề: Để chứng minh một bất đẳng thức dạng: A B> (1) trên D thì hoàn toàn chúng ta 
có thể có ý tưởng như sau: 
 Bước 1: Đưa BĐT về dạng ( ) 0>f x trên D ( nếu thấy : ( ) 0a D f a$ Î = ) 
 Lúc đó: ( ) 0 ( ) ( )> Û >f x f x f a 
 Bước 2: Với x a> cần chỉ rõ f là hàm đồng biến. 
Lưu ý: 
1) Đối với dạng chứng minh ( ) ( ), f x f y x y> > hoàn toàn tương tự. 
2) Nhắc lại một số BĐT quan trọng: 
a. Bất đẳng thức Cauchy: 0, 0 : 2 .a b a b a b" ³ ³ + ³ . Dấu “=” xãy ra khi chỉ 
khi a b= . 
b. Mở rộng BĐT Cauchy: 3, , 0 : 3 . .a b c a b c a b c" ³ + + ³ . Dấu “=” xãy ra khi 
chỉ khi a b c= = . 
c. Hệ quả Cauchy: 2 2
1 1 10 : 2. : 2 3a a a a a a
a a a
" > + ³ " + = + + ³ 
d. Chứa giá trị tuyệt đối: , a a a b a b a b£ - £ + £ + 
e. Kết quả lượng giác: 3 2: 1 1 1, t sint sint sin t sin t sint" £ Û - £ £ £ £ 
f. 
( ) ( ), ,
( )
 hoÆc t¨ng, hoÆc gi¶m trªn D
f x f y x y D
x y
f x
= Îì Þ =í
î
II- VÍ DỤ MINH HỌA: 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 12 
Bài tập 1: Chứng minh sin>x x trên 0;
2
pæ ö
ç ÷è ø
 bằng cách xét khoảng đơn điệu: ( ) sin= -f x x x . 
Bài giải: 
Ta có / ( ) 1 cos 0, 0;
2
pé ö= - ³ " Î ÷êë ø
f x x x Do cos 1, £ "x x . Suy ra hàm số ( ) sin= -f x x x là 
hàm số đồng biến trên 0;
2
pé ö
÷êë ø
. Từ đây 0 ( ) (0)x f x f> Û > hay sin 0- >x x (đ.p.c.m) 
Lưu ý: 
Mục đích xét tính đơn điệu của hàm f trên 0;
2
pé ö
÷êë ø
 nhằm “lấy số 0” trong bất đẳng thức 
0 ( ) (0)x f x f> Û > . 
Bài tập 2: Chứng minh: 
2
1 cos , 0
2
- 
x x x . 
Giải: Ta xét hàm số 
2
( ) 1 cos
2
= - -
xf x x ( 0)³x . 
Đạo hàm ( )/ ( ) sin sin 0, 0= - + = - - £ " ³f x x x x x x theo ví dụ trên. Suy ra hàm số đã cho 
nghịch biến với 0x > . Từ đây do 0 ( ) (0)x f x f> Û < hay 
2
1 cos 0
2
- - <
x x (đ.p.c.m) 
Bài tập 3: Chứng minh rằng: ( )sin sin 2 cos cos , 0
2
pa a b b b a a b- > - < < < 
Bài giải: BĐT sin 2cos sin 2cos , 0
2
pa a a b b b a bÛ + > + < < < 
Xét hàm số: ( ) sin 2cos 0
2
p
= + £ <f t t t t t . 
Ta có: / //( ) cos sin 0 ( ) sin 0, 0
2 2
p pæ ö= - £ < Þ = - £ £ <ç ÷è ø
f t t t t t f t t t t . 
 Suy ra / ( )f x nghịch biến với 0x > . Do đó / /( ) (0) 0f x f< = suy ra ( )f x nghịch biến với 
0x > . 
Từ đây: 0 ( ) ( )
2
f fpa b a b Û sin 2cos sin 2cosa a a b b b+ > + (đ.p.c.m) 
Bài tập 4: (ĐHSPHNII-98) Chứng minh trong mọi tam giác ABC nhọn ta luôn có: 
 ( ) ( )2 1sin sin sin tan tan tan
3 3
p+ + + + + >A B C A B C 
Bài giải: 
Phân tích: 2 1 2 1 2 1sin tan sin tan sin tan 0
3 3 3 3 3 3
A A A B B B C C Cæ ö æ ö æ öÛ + - + + - + + - >ç ÷ ç ÷ ç ÷è ø è ø è ø
Xét hàm số: 2 1( ) sin tan
3 3
f t t t t= + - với 0;
2
t pé öÎ ÷êë ø
. 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 13 
Ta có: / 2 2 2
2 1 1 1 1 1( ) cos 1 2cos 1 cos cos 1
3 3cos 3 cos 3 cos
f t t t t t
t t t
æ ö æ ö= + - = + - = + + -ç ÷ ç ÷è ø è ø
 (*) 
Do 0; cos 0
2
t tpé öÎ Þ >÷êë ø
 nên áp dụng BĐT Cauchy: 
2
3
2 2
1 coscos cos 3 3
cos cos
tt t
t t
+ + ³ = 
Từ (*) suy ra: / 2
1 1 1( ) cos cos 1 .3 1 0 0;
3 cos 3 2
f t t t t
t
pæ ö é ö= + + - ³ - = " Îç ÷ ÷êè ø ë ø
Vậy hàm số ( )f t đồng biến trên 0;
2
pé ö
÷êë ø
. Từ 0 ( ) (0) 0t f t f> Û > = 
Với ( ) 2 1, , 0; 0; : 0 (0) 0 sin tan 0
2 2 3 3
A B C A f A F A A Ap pæ ö é öÎ Ì > Û > = Û + - >ç ÷ ÷êè ø ë ø
 (1) 
Tương tự: 2 1sin tan 0
3 3
B B B+ - > (2) và 2 1sin tan 0
3 3
C C C+ - > (3) 
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta có đ.p.c.m. 
Bài tập 5: Chứng minh rằng: 
2 3
0, *: 1 ...
2! 3! !
 e " > Î > + + + + +
n
x x x xx n x
n
Bài giải:Chøng minh b»ng ph­¬ng ph¸p quy n¹p. 
2 3
2 3
1, 1
1 ...
2! 3! !
1 ... 0. 0
2! 3! !
1
( ) 1
xKhi ta cã: e (§óng)
Gi¶ sö b.®.t ®óng víi , nghÜa lµ: 
Ta chøng minh, b.®.t còng ®óng víi . ThËt vËy:
XÐt hµm sè 
= > +
= > + + + + +
Û + + + + + - < " ³
= +
= + +
k
x
k
x
n x
x x xn k e x
k
x x xx e x
k
n k
xf x x
[ )
2 3 1
2 3
/
... .
2! 3! ! ( 1)!
( ) 1 ... 0, 0. ( )
2! 3! !
( ) (0) 0
Ta cã: VËy nghÞch biÕn trªn 0;+
Suy ra: (®.p.c.m)
+
+ + + + -
+
= + + + + + - < " ³ ¥
< =
k k
x
k
x
x x x e
k k
x x xf x x e x f x
k
f x f
Nhận xét: Ở ví dụ này chúng ta đã sử dụng định nghĩa tính đơn điệu của hàm số: 
1) Hàm số ( )y f x= đồng biến trên D: : ( ) ( )x y f x f y" £ £ 
2) Hàm số ( )y f x= nghịch biến trên D: : ( ) ( )x y f x f y" £ ³ 
III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 
Bài tập 1: Cho hàm số 4( ) tan , 0;
4
f x x x x p
p
é ù= - Îê úë û
a. Xét chiều biến thiên của hàm số trên 0;
4
pé ù
ê úë û
 b. Chứng minh rằng 4tan , 0;
4
x x x p
p
é ù£ " Îê úë û
Bài tập 2: Chứng minh các bất đẳng thức trên các miền đã chỉ ra: 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 14 
1) tan 0
2
pæ ö> < <ç ÷è ø
x x x 2) 
3
tan 0
3 2
pæ ö> + < <ç ÷è ø
xx x x 3) 
3
sin ( 0)
6
> - >
xx x x 
4) 
3
sin ( 0)
6
< - <
xx x x 5) 2 sin2 ( 0)> >x x x 
Bài tập 3: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
a. CMR: sin tan 2 0;
2
pæ ö+ > Îç ÷è ø
x x x x 
ü Vận dụng kết quả trên: Chứng minh bất đẳng thức sau: 
1 1 1
2 2 2 3 3 0;
2
cos cos cos
 , 
A B C
x
A B C
p+ + + æ ö+ + > Îç ÷è ø
b. CMR: sin tan 12 2 2 , 0;
2
p+ æ ö+ ³ Îç ÷è ø
x x x x c. CMR: 
3 13sin tan 22 2 2 , 0;
2
p+ æ ö+ > Îç ÷è ø
xx x x 
Bài tập 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 
 1) tan 0
tan 2
a a pa b
b b
æ ö< < < <ç ÷è ø
 2) (Đề 78) Chứng minh trong mọi tam giác ABC nhọn ta luôn có: 
 sin sin sin tan tan tan 2p+ + + + + >A B C A B C 
Bài tập 4: ( ) ( ) 10. 2 2ln
1
Cho Chøng minh r»ng: 
xx y x y x y
y
æ ö+
> > - - - < ç ÷+è ø
Giới thiệu: ỨNG DỤNG TRONG VIỆC GIẢI PT, BPT, HPT 
Bài tập 1: Cho hàm số ( ) 22 2= -f x x x . 
a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên nửa khoảng [ )2;+¥ . 
b) Chứng minh rằng phương trình 22 2 11- =x x có một nghiệm duy nhất. 
Giải: 
a) TXĐ: [ )D 2;= +¥ . 
Đạo hàm: ( ) ( )
2
/ 5 8( ) 2 2 2 0, 2;
2 2 2
x xxf x x x
x x
-æ ö
= - + = > " Î +¥ç ÷- -è ø
Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng [ )2;+¥ . 
b) Nhận xét: 
Hàm số liên tục trên [2;3] và có f(2) = 0, f(3) = 18. Vì 0 < 11 < 18 nên ( )c 2;3$ Î sao cho 
( ) 11f c = . Số thực c là một nghiệm của phương trình và vì ( )f x đồng biến trên [ )2;+¥ nên c 
là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. 
Bài tập 2: Giải phương trình: 5 3 1 3 4 0+ - - + =x x x (3) 
Giải: 
Đặt 5 3( ) 1 3 4= + - - +f x x x x với 1
3
£x .Ta có ( )f x là hàm liên tục trên 1;
3
æ ù-¥ç úè û
 và: 
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Toán THPT Phong Điền Trang 15 
/ 4 2 3 1( ) 5 3 0, 
32 1 3
f x x x x
x
= + + > " <
-
. 
Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng 1;
3
æ ù-¥ç úè û
. Mặt khác ( 1) 0f - = , nên 1x = - là 
một nghiệm của (3) và cũng là nghiệm duy nhất của phương trình này. 
Bài tập: Giải các hệ phương trình, hệ bất phương trình sau: 
2
2
2
6 12 8tan tan
, 6 12 85 2 22 3
4 6 12 8
3
3
3
a) b) 
y x xx y y x
x y z y y
x y
x z z
p p
p
ì = - +- = -ì ïï æ ö- < < = - +í íç ÷+ = è øï ïî = - +î
3 3
8 4
5 5
c) 
1
x x y y
x y
ì - = -ï
í
+ =ïî
 d) 
î
í
ì
>--+
<++
01093
045
23
2
xxx
xx