Chuyên đề Hình học không gian

I.TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
 đồng phẳng 
 khơng đồng phẳng 
13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1
14. M là trung điểm AB
15. G là trọng tâm tam giác ABC
16. Véctơ đơn vị : 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
2.CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác
 A,B,C là ba đỉnh tam giác Û [] ≠ 
SDABC = 	
Đường cao AH = 
 Shbh = 
Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành
Chứng minh A,B,C không thẳng hàng
ABCD là hbh 
Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:
[].≠ 0
Vtd = 
	Đường cao AH của tứ diện ABCD 
Thể tích hình hộp :
Dạng4: Hình chiếu của điểm M
 1. H là hình chiếu của M trên mpa
Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc mpa : ta có 
Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (a)
 2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d) 
Viết phương trình mpa qua M và vuông góc với (d): ta có 
Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (a)
Dạng 5 : Điểm đối xứng
 1.Điểm M/ đối xứng với M qua mpa
Tìm hình chiếu H của M trên mpa (dạng 4.1)
H là trung điểm của MM/
 2.Điểm M/ đối xứng với M qua đường thẳng d:
Tìm hình chiếu H của M trên (d) ( dạng 4.2)
H là trung điểm của MM/ 
3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
1: ViÕt täa ®é cđa c¸c vect¬ say ®©y: ; 	 ; 	;	 
2: Cho ba vect¬ = ( 2;1 ; 0 ),= ( 1; -1; 2) , = (2 ; 2; -1 ).
a) T×m täa ®é cđa vect¬ : = 4- 2+ 3	b) Chøng minh r»ng 3 vect¬ ,,kh«ng ®ång ph¼ng .
c) H·y biĨu diĨn vect¬ = (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vect¬ ,,.
3: Cho 3 vect¬ = (1; m; 2),= (m+1; 2;1 ) ,= (0 ; m-2 ; 2 ) .§Þnh m ®Ĩ 3 vect¬ ®ã ®ång ph¼ng . 
4: Cho: . T×m täa ®é cđa vect¬: a) b) 
5: T×m täa ®é cđa vect¬ , biÕt r»ng: 
a) vµ 	b) vµ 
c) vµ , 
6: Cho ba ®iĨm kh«ng th¼ng hµng: H·y t×m täa ®é träng t©m G cđa tam gi¸c ABC.
7: Cho bèn diĨm kh«ng ®ång ph¼ng : H·y t×m täa ®é träng t©m G cđa tø diƯn ABCD.
8: Cho ®iĨm M(1; 2; 3). T×m täa ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa ®iĨm M:
a) Trªn c¸c mỈt ph¼ng täa ®é: Oxy, Oxz, Oyz.	 	b) Trªn c¸c trơc täa ®é: Ox, Oy, Oz.
9: Cho ®iĨm M(1 ; 2 ; 3). T×m täa ®é cđa ®iĨm ®èi xøng víi ®iĨm M:
a) Qua gèc täa ®é O 	 	b) Qua mỈt ph¼ng Oxy	 	c) Qua Trơc Oy.
10: Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). T×m täa ®é cđa c¸c ®Ønh cßn l¹i.
11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). §­êng th¼ng AB c¾t mỈt ph¼ng Oyz t¹i ®iĨm M.
a) §iĨm M chia ®o¹n th¼ng AB theo tØ sè nµo ? 	b) T×m täa ®é ®iĨm M. 
 13 . Cho ba vect¬ T×m:
 .
 14. TÝnh gãc gi÷a hai vect¬ vµ : 	 
15. a) Trªn trơc Oy t×m ®iĨm c¸ch ®Ịu hai ®iĨm: A(3; 1; 0) vµ B(-2; 4; 1).
	b) Trªn mỈt ph¼ng Oxz t×m ®iĨm c¸ch ®Ịu ba ®iĨm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) vµ C(3; 1; -1).
16. XÐt sù ®ång ph¼ng cđa ba vect¬ trong mçi tr­êng hỵp sau ®©y:
17. Cho ba ®iĨm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).
a) Chøng minh r»ng A, B, C lµ ba ®Ønh cđa mét tam gi¸c. b) TÝnh chu vi vµ diƯn tÝch DABC.
c) T×m täa ®é ®Ønh D ®Ĩ tø gi¸c ABDC lµ h×nh b×nh hµnh. d) TÝnh ®é dµi ®­êng cao cđa DABC h¹ tõ ®Ønh A.
e) TÝnh c¸c gãc cđa DABC.
18. Cho bèn ®iĨm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).
	a) Chøng minh r»ng A, B, C, D lµ bèn ®Ønh cđa mét tø diƯn. 
	b) T×m gãc t¹o bëi c¸c c¹nh ®èi diƯn cđa tø diƯn ABCD.
	c) TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD vµ tÝnh ®é dµi ®­êng cao cđa tø diƯn h¹ tõ ®Ønh A.
19. Cho D ABC biÕt A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). H·y t×m ®é dµi ®­êng ph©n gi¸c trong cđa gãc B.
20. Trong kh«ng gian víi hƯ täa ®é Oxyz cho bèn ®iĨm A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1).
	a) Chøng minh r»ng A, B, C, D t¹o thµnh tø diƯn. TÝnh thĨ tÝch cđa khèi tø diƯn ABCD.
b) TÝnh ®é dµi ®­êng cao h¹ tõ ®Ønh C cđa tø diƯn ®ã.
	c) TÝnh ®é dµi ®­êng cao cđa tam gi¸c ABD h¹ tõ ®Ønh B.
	d) TÝnh gãc ABC vµ gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng AB, CD. 
21. Cho 3 ®iĨm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ).
	a) X¸c ®Þnh ®iĨm D sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh .
	b) T×m täa ®é giao ®iĨm cđa hai ®­êng chÐo.
	c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC, ®é dµi BC tõ ®ã ®­êng cao tam gi¸c ABC vÏ tõ A.
T×m täa ®é träng t©m cđa tam gi¸c ABC .
22. Cho 4 ®iĨm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).
a) Chøng minh 4 ®iĨm A, B , C , D kh«ng ®ång ph¼ng.TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD
	b) T×m täa ®é träng t©m cđa tø diƯn ABCD .
	c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC , tõ ®ã suy ra chiỊu cao cđa tø diƯn vÏ tõ D.
d) T×m täa ®é ch©n ®­êng cao cđa tø diƯn vÏ tõ D . 
23. Trong kh«ng gian víi hƯ täa ®é Oxyz cho ba ®iĨm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4)
a) T×m ®é dµi c¸c c¹nh cđa tm gi¸c ABC.	b) TÝnh cosin c¸c gãc A,B,C .
c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC
II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
Vectơ pháp tuyến của mpa :
≠ là véctơ pháp tuyến của a ^ a
Cặp véctơ chỉ phương của mpa : 
 // 
 là cặp vtcp của a , cùng // a
 3 Quan hệ giữa vtpt và cặp vtcp ,: = [,]
 4. Pt mpa qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt = (A;B;C)
 A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0
(a) : Ax + By + Cz + D = 0 ta có = (A; B; C)
5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) : 
	Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần:
 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến
6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ
 (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0 
7. Chùm mặt phẳng : giả sử a1 Ç a2 = d trong đó 
 (a1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 
 (a2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0 
 Pt mp chứa (d) có dạng sau với m2+ n2 ≠ 0 :
 m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 
8. Vị trí tương đối của hai mp (a1) và (a2) :
° 
° 
° 
 ª 
 9.KC từ M(x0,y0,z0) đến (a) : Ax + By + Cz + D = 0
10.Góc giữa hai mặt phẳng : 
2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :
 ° Cặp vtcp:, °
Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB :
 ° 
Dạng 3: Mặt phẳng a qua M và ^ d (hoặc AB)
 ° 
Dạng 4: Mpa qua M và // b: Ax + By + Cz + D = 0 
 ° 
Dạng 5: Mpa chứa (d) và song song (d/)
Điểm M ( chọn điểm M trên (d))
Mpa chứa (d) nên 
 Mpa song song (d/) nên 
■ Vtpt 
Dạng 6 Mpa qua M,N và ^ b : 
■ Mpa qua M,N nên 
■ Mpa ^ mpb nên 
 ° 
Dạng 7 Mpa chứa (d) và đi qua 
■ Mpa chứa d nên 
■ Mpa đi qua và A nên 
° 
3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi to¸n 1. Ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng
Bµi 1: LËp ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) ®i qua ®iĨm M vµ cã vtpt biÕt
a, 	b, 	
c, 	d, 	
e, 	f, 
Bµi 2: LËp ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng trung trùc cđa AB biÕt:
a, A(2;1;1), B(2;-1;-1)	b, A(1;-1;-4), B(2;0;5)	
c, 	c, 
Bµi 3: LËp ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng ®i qua ®iĨm M vµ song song víi mỈt ph¼ng biÕt:
a, 	b, 
c, 	d, 
Bµi 4 LËp ph­¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua ®iĨm M(2;3;2) vµ cỈp VTCP lµ 
Bµi 5: LËp ph­¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua M(1;1;1) vµ 
a) Song song víi c¸c trơc 0x vµ 0y.	b) Song song víi c¸c trơc 0x,0z.
c) Song song víi c¸c trơc 0y, 0z.
Bµi 6: LËp ph­¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng ®i qua 2 ®iĨm M(1;-1;1) vµ B(2;1;1) vµ :
a) Cïng ph­¬ng víi trơc 0x.	b) Cïng ph­¬ng víi trơc 0y.
c) Cïng ph­¬ng víi trơc 0z.
Bµi 7: X¸c ®Þnh to¹ ®é cđa vÐc t¬ vu«ng gãc víi hai vÐc t¬ .
Bµi 8: T×m mét VTPT cđa mỈt ph¼ng (P) ,biÕt (P) cã cỈp VTCP lµ 
Bµi 9: LËp ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) biÕt :
a) (P) ®i qua ®iĨm A(-1;3;-2) vµ nhËn lµm VTPT.
b) (P) ®i qua ®iĨm M(-1;3;-2) vµ song song víi (Q): x+2y+z+4=0.
Bµi 10: LËp ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa c¸c mỈt ph¼ng ®i qua I(2;6;-3) vµ song song víi c¸c mỈt ph¼ng to¹ ®é.
Bµi 11: (§HL-99) :Trong kh«ng gian 0xyz cho ®iĨm A(-1;2;3) vµ hai mỈt ph¼ng (P): x-2=0 , 
(Q) : y-z-1=0 .ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (R) ®i qua ®iĨm A vµ vu«ng gãc víi hai mỈt ph¼ng (P),(Q).
Bµi 12: LËp ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) trong c¸c tr­êng hỵp sau:
a) §i qua hai ®iĨm A(0;-1;4) vµ cã cỈp VTCP lµ vµ 
b) §i qua hai ®iĨm B(4;-1;1) vµ C(3;1;-1) vµ cïng ph­¬ng víi trơc víi 0x.
Bµi 13: Cho tø diƯn ABCD cã A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) .
a) ViÕt ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t c¸c mỈt ph¼ng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD).
b) ViÕt ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua c¹nh AB vµ song song vãi c¹nh CD. 
Bµi 14: ViÕt ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa (P) 
a) §i qua ba ®iĨm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) .
b) §i qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (Q) : x+2y+3z+4=0
c) Chøa 0x vµ ®i qua A(4;-1;2) ,
d) Chøa 0y vµ ®i qua B(1;4;-3)
Bµi 15: Cho hai ®iĨm A(3;2;3) B(3;4;1) trong kh«ng gian 0xyz 
a) ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) lµ trung trùc cđa AB.
b) ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (Q) qua A vu«ng gãc v¬i (P) vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng y0z 
c) ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (R) qua A vµ song song víi mỈt ph¼ng (P).
III.ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua
 M(xo ;yo ;zo) có vtcp = (a1;a2;a3)
2.Phương trình chính tắc của (d) 
Qui ước:
 Mẫu = 0 thì Tư û= 0
3.PT tổng quát của (d) là giao tuyến của 2 mp a1 và a2 
 Véctơ chỉ phương 
4.Vị trí tương đối của 2 đường thẳng :
 (d) qua M có vtcp ; (d’) qua N có vtcp 
d chéo d’ [,].≠ 0 (không đồng phẳng)
d,d’ đồng phẳng [,].= 0 
d,d’ cắt nhau [,] và [,].=0
d,d’ song song nhau { // và }
d,d’ trùng nhau  { // và }
5.Khoảng cách :
Cho (d) qua M có vtcp ; (d’) qua N có vtcp 
Kc từ điểm đến đường thẳng: 
Kc giữa 2 đường thẳng : 
6.Góc : (d) có vtcp ; D’ có vtcp ; (a ) có vtpt 
Góc giữa 2 đường thẳng : 
Góc giữa đường và mặt : 
2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: : Đường thẳng (d) đi qua A,B
Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song (D)
Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mpa
Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên a : d/ = a Ç b
Viết pt mpb chứa (d) và vuông góc mpa
 ª
Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc (d1),(d2)
Dạng 6: PT d vuông góc chung của d1 và d2 :
+ Tìm = [d1, d2]
+ Mpa chứa d1 , (d) ; mpb chứa d2 , (d)
 	 d = a Ç b
Dạng 7: PT qua A và d cắt d1,d2 : d = a Ç b
với mpa = (A,d1) ; mpb = (A,d2)
Dạng 8: PT d // D và cắt d1,d2 : d = a1 Ç a2
 với mpa1 chứa d1 // D ; mpa2 chứa d2 // D
Dạng 9: PT d qua A và ^ d1, cắt d2 : d = AB
với mpa qua A, ^ d1 ; B = d2 Ç a
Dạng 10: PT d ^ (P) cắt d1, d2 : d = a Ç b
với mpa chứa d1 ,^(P) ; mpb chứa d2 , ^ (P)
3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi 1:LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) trong c¸c tr­êng hỵp sau :
a) (d) ®i qua ®iĨm M(1;0;1) vµ nhËn lµm VTCP
b) (d) ®i qua 2 ®iĨm A(1;0;-1) vµ B(2;-1;3)
Bµi 2: Trong kh«ng gian Oxyz lËp ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa c¸c giao tuyÕn cđa mỈt ph¼ng
vµ c¸c mỈt ph¼ng to¹ ®é
Bµi 3: ViÕt ph­¬ng tr×nh cđa ®­êng th¼ng ®i qua ®iĨm M(2;3;-5) vµ song song víi ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh: 
Bµi 4: Cho ®­êng th¼ng (D) vµ mỈt ph¼ng (P) cã ph­¬ng tr×nh lµ : vµ (P): x+y+z+1=0
T×m ph­¬ng tr×nh cđa ®­êng th¼ng (t) ®i qua A(1;1;1) song song víi mỈt ph¼ng (P) vµ vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng (D)
Bµi 5: Cho mỈt ph¼ng (P) ®i qua 3 ®iĨm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè cđa ®­êng th¼ng (d) ®i qua träng t©m tam gi¸c ABC vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng chøa tam gi¸c ®ã
Bµi6: LËp ph­¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cđa ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iĨm A(2;1;3) vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (P) trong c¸c tr­êng hỵp sau:
a) 	b) .
Bµi 7: LËp ph­¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cđa ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iĨm A(1;2;3) vµ song song víi ®­êng th¼ng () cho bëi :.	
Bµi8: XÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi cđa ®­êng th¼ng (d) vµ mỈt ph¼ng (P) ,biÕt:
a) (P): x-y+z+3=0	b) (P): y+4z+17=0
Bµi 9: (§HNN_TH-98): Cho mỈt ph¼ng (P) vµ ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh (P): 2x+y+z=0 vµ .
	a) T×m to¹ ®é giao ®iĨm A cđa (d) vµ (P) .
b) LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d1) qua A vu«ng gãc víi (d) vµ n»m trong mỈt ph¼ng (P) .
Bµi 10: Cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi : 
a) CMR hai ®­êng th¼ng ®ã c¾t nhau.X¸c ®Þnh to¹ ®é giao ®iĨm cđa nã.
b) ViÕt ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) chøa (d1),(d2).
Bµi 11: (§HNN-96): cho hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh cho bëi : 
a) Chøng tá r»ng hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) chÐo nhau.
b) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng vu«ng gãc chung cđa (d1),(d2) .
III.MẶT CẦU
1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c),bán kính R 
 (1)
 (2)
 ()
Tâm I(a ; b ; c) và 	
2.Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
	Cho 
	và a : Ax + By + Cz + D = 0 
	Gọi d = d(I,a) : khỏang cách từ tâm mc(S) đến mpa :
d > R : (S) Ç a = f
d = R : a tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, a: tiếp diện)
 *Tìm tiếp điểm H (là hchiếu của tâm I trên mpa)
 Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mpa : ta có 
Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (a)
d < R : a cắt (S) theo đường tròn có pt 
 *Tìm bán kính r và tâm H của đường tròn:
+ bán kính 
+ Tìm tâm H ( là hchiếu của tâm I trên mpa)
Viết phương trình đường thẳng (d) qua I và vuông góc mpa : ta có 
Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (a)
3.Giao điểm của đường thẳng và mặt cầu
 (1) và 
 (2)
	+ Thay ptts (1) vào pt mc (2), giải tìm t, 
 + Thay t vào (1) được tọa độ giao điểm
2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt cầu tâm I đi qua A
ª (1)
Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2
Dạng 2: Mặt cầu đường kính AB
Tâm I là trung điểm AB
Viết phương trình mặt cầu tâm I (1)
Thế tọa độ A vào x,y,z tìm R2
Dạng 3: Mặt cầu tâm I tiếp xúc mpa 
Dạng 4: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Dùng (2) A,B,C,D Ỵ mc(S) hệ pt, giải tìm a, b, c, d
Dạng 5:Mặt cầu đi qua A,B,C và tâm I € (α)
 (2)
A,B,C Ỵ mc(S): thế tọa tọa A,B,C vào (2)
I(a,b,c)Ỵ (α): thế a,b,c vào pt (α)
 Giải hệ phương trình trên tìm a, b, c, d 
Dạng 6: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại A 
Tiếp diện a của mc(S) tại A : a qua A,
3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi 1: Trong c¸c ph­¬ng tr×nh sau ®©y ,ph­¬ng tr×nh nµo lµ ph­¬ng tr×nh cđa mỈt cÇu ,khi ®ã chØ râ to¹ ®é t©m vµ b¸n kÝnh cđa nã ,biÕt:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 
Bµi 2: Cho hä mỈt cong (Sm) cã ph­¬ng tr×nh: 
a) T×m ®iỊu kiƯn cđa m ®Ĩ (Sm) lµ mét hä mỈt cÇu .
b) CMR t©m cđa (Sm) lu«n n»m trªn mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh.
Bµi 3: Cho hä mỈt cong (Sm) cã ph­¬ng tr×nh: 
a) T×m ®iỊu kiƯn cđa m ®Ĩ (Sm) lµ mét hä mỈt cÇu .
b) T×m quÜ tÝch t©m cđa hä (Sm) khi m thay ®ỉi.
c) T×m ®iĨm cè ®Þnh M mµ (Sm) lu«n ®i qua.
Bµi 4: Cho hä mỈt cong (Sm) cã ph­¬ng tr×nh: 
a) T×m ®iỊu kiƯn cđa m ®Ĩ (Sm) lµ mét hä mỈt cÇu .
b) CMR t©m cđa (Sm) lu«n ch¹y trªn mét ®­êng trßn (C) cè ®Þnh trong mỈt ph¼ng 0xy khi m thay ®ỉi.
c) Trong mỈt ph¼ng 0xy, (C) c¾t 0y t¹i A vµ B. §­êng th¼ng y=m(-1<m<1 ,m0) ,c¾t (C) t¹i T, S , ®­êng th¼ng qua A , T c¾t ®­êng th¼ng qua B ,S t¹i P .T×m tËp hỵp c¸c ®iĨm P khi m thay ®ỉi .
Bµi 5: LËp ph­¬ng tr×nh mỈt cÇu (S) ,biÕt :
a) T©m I(2;1;-1), b¸n kÝnh R=4.	b) §i qua ®iĨm A(2;1;-3) vµ t©m I(3;-2;-1).
c) §i qua ®iĨm A(1;3;0) ,B(1;1;0) vµ t©m I thuéc 0x.	d) Hai ®Çu ®­êng kÝnh lµ A(-1;2;3), B(3;2;-7)
Bµi 6: Cho 3 ®­êng th¼ng (d1),(d2), (d3) cã ph­¬ng tr×nh :
, , 
a) LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) c¾t c¶ hai ®­êng th¼ng (d1),(d2) vµ song song víi ®­êng th¼ng (d3).
b) Gi¶ sư ,.LËp ph­¬ng tr×nh mỈt cÇu ®­êng kÝnh AB.
Bµi 7: Cho 2 ®­êng th¼ng (d1),(d2) cã ph­¬ng tr×nh : ,
a) CMR (d1) vµ (d2) chÐo nhau.
b) ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng vu«ng gãc chung cđa (d1) vµ (d2).
c) LËp ph­¬ng tr×nh mËt cÇu (S) cã ®­êng kÝnh lµ ®o¹n vu«ng gãc chung cđa (d1) vµ (d2).
d) ViÕt ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng c¸ch ®Ịu (d1) vµ (d2).
Bµi 8: ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt cÇu (S) biÕt :
a) T©m I(1;2;-2) vµ tiÕp xĩc víi mỈt ph¼ng (P):6x-3y+2z-11=0.
b) (C§GTVT-2000): T©m I(1;4;-7) vµ tiÕp xĩc víi mỈt ph¼ng (P) :6x+6y-7z+42=0.
c) B¸n kÝnh R = 9 vµ tiÕp xĩc víi (P): x+2y+2z+3=0 t¹i ®iĨm M(1;1;-3).
Bµi 9: (§H HuÕ-96): Trong kh«ng gian víi hƯ to¹ 0xyz ,cho bèn ®iĨm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-1;1),D(4;5;-5).
a) ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè cđa ®­êng th¼ng ®i qua D vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (ABC).
b) ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt cÇu ngo¹i tiÕp tø diƯn ABCD.
Bµi10: Cho bèn ®iĨm O(0;0;0),A(6;3;0), B(-2;9;1), S(0;5;8)
a) (§HKT-99): CMR SB vu«ng gãc SA.
b) (§HKT-99): CMR h×nh chiÕu cđa c¹nh SB lªn mỈt ph¼ng (0AB) vu«ng gãc víi c¹nh 0A. Gäi K lµ giao ®iĨm cđa h×nh chiÕu ®ã víi 0A. H·y x¸c ®Þnh to¹ dé cđa K.
c) ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt cÇu ngo¹i tiÕp tø diƯn ABCD.
d) (§HKT-99): Gäi P,Q lÇn l­ỵt lµ ®iĨm gi÷a cđa c¸c c¹nh S0,AB . T×m to¹ ®é cđa ®iĨm M trªn SB sao cho PQ vµ KM c¾t nhau.
Bµi 11: Trong kh«ng gian víi hƯ to¹ ®é 0xyz ,cho bèn ®iĨm A(4;4;4), B(3;3;1), C(1;5;5), D(1;1;1).
a) (HVKTQS-98): T×m h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa D lªn (ABC) vµ tÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD.
b) (HVKTQS-98): ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè ®­êng th¼ng vu«ng gãc chung cđa AC vµ BD.
c) ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt cÇu ngo¹i tiÕp tø diƯn ABCD.
d) TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD.
Bµi 12: Cho bèn ®iĨm A(-1;3;2), B(4;0;-3), C(5;-1;4), D(0;6;1).
a) (HVNHTPHCM-99):ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè cđa ®­êng th¼ng BC .H¹ AH vu«ng gãc BC .T×m to¹ ®é cđa ®iĨm H.
b) (HVNHTPHCM-99):ViÕt ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa (BCD) .T×m kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn mỈt ph¼ng (BCD).
c) ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt cÇu ngo¹i tiÕp tø diƯn ABCD.
Bµi 13: Trong kh«ng gian 0xyz, cho h×nh chãp .biÕt to¹ ®é bèn ®Ønh S(5;5;6), A(1;3;0), B(-1;1;4), C(1;-1;4), D(3;1;0).
a) LËp ph­¬ng tr×nh c¸c mỈt cđa h×nh chãp.	b) LËp ph­¬ng tr×nh mỈt cÇu (S) ngo¹i tiÕp h×nh chãp .
c) TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp SABCD 
Bµi 14: (HVKTMM-97) Cho bèn ®iĨm A(1;2;2), B(-1;2;-1), C(1;6;-1), D(-1;6;2).
a) CMR tø diƯn ABCD cã cỈp c¹nh ®èi diƯn b»ng nhau .	b) X¸c ®Þnh to¹ ®é träng t©m G cđa tø diƯn.
c) ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt cÇu ngo¹i tiÕp ,néi tiÕp tø diƯn ABCD.