Chuyên đề Hình Học giải tích trong không gian

I.TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
 đồng phẳng 
 khơng đồng phẳng 
13. M chia đoạn AB theo tỉ số k ≠ 1
14. M là trung điểm AB
15. G là trọng tâm tam giác ABC
16. Véctơ đơn vị cđa 3 trơc: 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
2.CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1: Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác
 A,B,C là ba đỉnh tam giác Û [] ≠ 
SDABC = 	
Đường cao AH = 
 Shbh = 
Dạng 2: Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành
Chứng minh A,B,C không thẳng hàng
ABCD là hbh 
Dạng 3: Chứng minh ABCD là một tứ diện:
[].≠ 0
Vtd = 
	Đường cao AH của tứ diện ABCD 
Thể tích hình hộp :
Dạng4: Hình chiếu của điểm M
 1. H là hình chiếu của M trên mpa
Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và vuông góc mpa : ta có 
Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (a)
 2. H là hình chiếu của M trên đường thẳng (d) 
Viết phương trình mpa qua M và vuông góc với (d): ta có 
Tọa độ H là nghiệm của hpt : (d) và (a)
Dạng 5 : Điểm đối xứng
 1.Điểm M/ đối xứng với M qua mpa
Tìm hình chiếu H của M trên mpa (dạng 4.1)
H là trung điểm của MM/
 2.Điểm M/ đối xứng với M qua đường thẳng d:
Tìm hình chiếu H của M trên (d) ( dạng 4.2)
H là trung điểm của MM/ 
3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
1: ViÕt täa ®é cđa c¸c vect¬ say ®©y: ; 	 ; 	;	 
2: Cho ba vect¬ = ( 2;1 ; 0 ),= ( 1; -1; 2) , = (2 ; 2; -1 ).
a) T×m täa ®é cđa vect¬ : = 4- 2+ 3	b) Chøng minh r»ng 3 vect¬ ,,kh«ng ®ång ph¼ng .
c) H·y biĨu diĨn vect¬ = (3 ; 7 ; -7 ) theo ba vect¬ ,,.
3: Cho 3 vect¬ = (1; m; 2),= (m+1; 2;1 ) ,= (0 ; m-2 ; 2 ) .§Þnh m ®Ĩ 3 vect¬ ®ã ®ång ph¼ng . 
4: Cho: . T×m täa ®é cđa vect¬: a) b) 
5: T×m täa ®é cđa vect¬ , biÕt r»ng: 
a) vµ 	b) vµ 
c) vµ , 
6: Cho ba ®iĨm kh«ng th¼ng hµng: H·y t×m träng t©m G cđa tam gi¸c ABC.
7: Cho bèn diĨm kh«ng ®ång ph¼ng : H·y t×m täa ®é träng t©m G cđa tø diƯn ABCD.
8: Cho ®iĨm M(1; 2; 3). T×m täa ®é h×nh chiÕu vu«ng gãc cđa ®iĨm M:
a) Trªn c¸c mỈt ph¼ng täa ®é: Oxy, Oxz, Oyz.	 b) Trªn c¸c trơc täa ®é: Ox, Oy, Oz
9: Cho ®iĨm M(1 ; 2 ; 3). T×m täa ®é cđa ®iĨm ®èi xøng víi ®iĨm M:
a) Qua gèc täa ®é O 	 	b) Qua mỈt ph¼ng Oxy	 	c) Qua Trơc Oy.
10: Cho h×nh hép ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5). T×m täa ®é cđa c¸c ®Ønh cßn l¹i.
11: Cho A(2; -1; 7), B(4; 5; -2). §­êng th¼ng AB c¾t mỈt ph¼ng Oyz t¹i ®iĨm M.
a) §iĨm M chia ®o¹n th¼ng AB theo tØ sè nµo ? 	b) T×m täa ®é ®iĨm M. 
 13 . Cho ba vect¬ T×m:
 .
 14. TÝnh gãc gi÷a hai vect¬ vµ : 	 
15. a) Trªn trơc Oy t×m ®iĨm c¸ch ®Ịu hai ®iĨm: A(3; 1; 0) vµ B(-2; 4; 1).
	b) Trªn mỈt ph¼ng Oxz t×m ®iĨm c¸ch ®Ịu ba ®iĨm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) vµ C(3; 1; -1).
16. XÐt sù ®ång ph¼ng cđa ba vect¬ trong mçi tr­êng hỵp sau ®©y:
17. Cho ba ®iĨm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1).
a) Chøng minh r»ng A, B, C lµ ba ®Ønh cđa mét tam gi¸c. b) TÝnh chu vi vµ diƯn tÝch DABC.
c) T×m täa ®é ®Ønh D ®Ĩ tø gi¸c ABDC lµ h×nh b×nh hµnh. d) TÝnh ®é dµi ®­êng cao cđa DABC h¹ tõ ®Ønh A.
e) TÝnh c¸c gãc cđa DABC.
18. Cho bèn ®iĨm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).
	a) Chøng minh r»ng A, B, C, D lµ bèn ®Ønh cđa mét tø diƯn. 
	b) T×m gãc t¹o bëi c¸c c¹nh ®èi diƯn cđa tø diƯn ABCD.
	c) TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD vµ tÝnh ®é dµi ®­êng cao cđa tø diƯn h¹ tõ ®Ønh A.
19. Cho D ABC biÕt A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3). H·y t×m ®é dµi ®­êng ph©n gi¸c trong cđa gãc B.
20. Trong kh«ng gian víi hƯ täa ®é Oxyz cho bèn ®iĨm A(1; 1; 0), B(0; 2;1), C(1; 0; 2), D(1;1 ;1).
	a) Chøng minh r»ng A, B, C, D t¹o thµnh tø diƯn. TÝnh thĨ tÝch cđa khèi tø diƯn ABCD.
b) TÝnh ®é dµi ®­êng cao h¹ tõ ®Ønh C cđa tø diƯn ®ã.
	c) TÝnh ®é dµi ®­êng cao cđa tam gi¸c ABD h¹ tõ ®Ønh B.
	d) TÝnh gãc ABC vµ gãc gi÷a hai ®­êng th¼ng AB, CD. 
21. Cho 3 ®iĨm A ( 3;-4;7 ),B( -5; 3; -2 ) ,C(1; 2; -3 ).
	a) X¸c ®Þnh ®iĨm D sao cho tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh .
	b) T×m täa ®é giao ®iĨm cđa hai ®­êng chÐo.
	c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC, ®é dµi BC tõ ®ã ®­êng cao tam gi¸c ABC vÏ tõ A.
T×m täa ®é träng t©m cđa tam gi¸c ABC .
22. Cho 4 ®iĨm A( 2; 0; 0) , B( 0; 4; 0 ) , C( 0; 0; 6 ), D ( 2; 4 ;6 ).
a) Chøng minh 4 ®iĨm A, B , C , D kh«ng ®ång ph¼ng.TÝnh thĨ tÝch tø diƯn ABCD
	b) T×m täa ®é träng t©m cđa tø diƯn ABCD .
	c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC , tõ ®ã suy ra chiỊu cao cđa tø diƯn vÏ tõ D.
d) T×m täa ®é ch©n ®­êng cao cđa tø diƯn vÏ tõ D . 
23. Trong kh«ng gian víi hƯ täa ®é Oxyz cho ba ®iĨm A(3;4;-1) , B(2;0;3), C(-3;5;4)
a) T×m ®é dµi c¸c c¹nh cđa tm gi¸c ABC.	b) TÝnh cosin c¸c gãc A,B,C .
c) TÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ABC
II. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
Vectơ pháp tuyến của mpa :
≠ là véctơ pháp tuyến của a ^ a
Cặp véctơ chỉ phương của mpa : 
 // 
 là cặp vtcp của a , cùng // a
 3 Quan hệ giữa vtpt và cặp vtcp ,: = [,]
 4. Pt mpa qua M(xo ; yo ; zo) có vtpt = (A;B;C)
 A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0
(a) : Ax + By + Cz + D = 0 ta có = (A; B; C)
5.Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) : 
	Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần:
 1 điểm và 1 véctơ pháp tuyến
6.Phương trình các mặt phẳng tọa độ
 (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0 
7. Chùm mặt phẳng : giả sử a1 Ç a2 = d trong đó 
 (a1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0 
 (a2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0 
 Pt mp chứa (d) có dạng sau với m2+ n2 ≠ 0 :
 m(A1x + B1y + C1z + D1) + n(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 
8. Vị trí tương đối của hai mp (a1) và (a2) :
° 
° 
° 
 ª 
 9.KC từ M(x0,y0,z0) đến (a) : Ax + By + Cz + D = 0
10.Góc giữa hai mặt phẳng : 
2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: Mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C :
 ° Cặp vtcp:, °
Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB :
 ° 
Dạng 3: Mặt phẳng a qua M và ^ d (hoặc AB)
 ° 
Dạng 4: Mpa qua M và // b: Ax + By + Cz + D = 0 
 ° 
Dạng 5: Mpa chứa (d) và song song (d/)
Điểm M ( chọn điểm M trên (d))
Mpa chứa (d) nên 
 Mpa song song (d/) nên 
■ Vtpt 
Dạng 6 Mpa qua M,N và ^ b : 
■ Mpa qua M,N nên 
■ Mpa ^ mpb nên 
 ° 
Dạng 7 Mpa chứa (d) và đi qua 
■ Mpa chứa d nên 
■ Mpa đi qua và A nên 
° 
3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi to¸n 1. Ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng
Bµi 1: LËp ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) ®i qua ®iĨm M vµ cã vtpt biÕt
a, 	b, 	
c, 	d, 	
Bµi 2: LËp ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng trung trùc cđa AB biÕt:
a, A(2;1;1), B(2;-1;-1) b, A(1;-1;-4), B(2;0;5) c, 	d, 
Bµi 3: LËp ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng ®i qua ®iĨm M vµ song song víi mỈt ph¼ng biÕt:
a, 	b, c, 	
Bµi 4 LËp ph­¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua ®iĨm M(2;3;2) vµ cỈp VTCP lµ 
Bµi 5: LËp ph­¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua M(1;1;1) vµ 
a) Song song víi c¸c trơc 0x vµ 0y.	b) Song song víi c¸c trơc 0x,0z.
c) Song song víi c¸c trơc 0y, 0z.
Bµi 6: LËp ph­¬ng tr×nh cđa mỈt ph¼ng ®i qua 2 ®iĨm M(1;-1;1) vµ B(2;1;1) vµ :
a) Cïng ph­¬ng víi trơc 0x. b) Cïng ph­¬ng víi trơc 0y. c) Cïng ph­¬ng víi trơc 0z.
Bµi 7: X¸c ®Þnh to¹ ®é cđa vÐc t¬ vu«ng gãc víi hai vÐc t¬ .
Bµi 8: T×m mét VTPT cđa mỈt ph¼ng (P) ,biÕt (P) cã cỈp VTCP lµ 
Bµi 9: LËp ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) biÕt :
a) (P) ®i qua ®iĨm A(-1;3;-2) vµ nhËn lµm VTPT.
b) (P) ®i qua ®iĨm M(-1;3;-2) vµ song song víi (Q): x+2y+z+4=0.
Bµi 10: LËp ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa c¸c mỈt ph¼ng ®i qua I(2;6;-3) vµ song song víi c¸c mỈt ph¼ng to¹ ®é.
Bµi 11: (§HL-99) :Trong kh«ng gian 0xyz cho ®iĨm A(-1;2;3) vµ hai mỈt ph¼ng (P): x-2=0 , 
(Q) : y-z-1=0 .ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (R) ®i qua ®iĨm A vµ vu«ng gãc víi hai mỈt ph¼ng (P),(Q).
Bµi 12: LËp ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) trong c¸c tr­êng hỵp sau:
a) §i qua hai ®iĨm A(0;-1;4) vµ cã cỈp VTCP lµ vµ 
b) §i qua hai ®iĨm B(4;-1;1) vµ C(3;1;-1) vµ cïng ph­¬ng víi trơc víi 0x.
Bµi 13: Cho tø diƯn ABCD cã A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) .
a) ViÕt ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t c¸c mỈt ph¼ng (ABC) (ACD) (ABD) (BCD).
b) ViÕt ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa mỈt ph¼ng (P) ®i qua c¹nh AB vµ song song vãi c¹nh CD. 
Bµi 14: ViÕt ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa (P) 
a) §i qua ba ®iĨm A(1;0;0), B(0;2;0) , C(0;0;3) .
b) §i qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (Q) : x+2y+3z+4=0
c) Chøa 0x vµ ®i qua A(4;-1;2) , d) Chøa 0y vµ ®i qua B(1;4;-3)
Bµi 15: Cho hai ®iĨm A(3;2;3) B(3;4;1) trong kh«ng gian 0xyz 
a) ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (P) lµ trung trùc cđa AB.
b) ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (Q) qua A vu«ng gãc v¬i (P) vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng y0z 
c) ViÕt ph­¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (R) qua A vµ song song víi mỈt ph¼ng (P).
III.ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
1.TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua
 M(xo ;yo ;zo) có vtcp = (a1;a2;a3)
2.Phương trình chính tắc của (d) 
Qui ước:
 Mẫu = 0 thì Tư û= 0
3.PT tổng quát của (d) là giao tuyến của 2 mp a1 và a2 
 Véctơ chỉ phương 
4.Vị trí tương đối của 2 đường thẳng :
 (d) qua M có vtcp ; (d’) qua N có vtcp 
d chéo d’ [,].≠ 0 (không đồng phẳng)
d,d’ đồng phẳng [,].= 0 
d,d’ cắt nhau [,] và [,].=0
d,d’ song song nhau { // và }
d,d’ trùng nhau  { // và }
5.Khoảng cách :
Cho (d) qua M có vtcp ; (d’) qua N có vtcp 
Kc từ điểm đến đường thẳng: 
Kc giữa 2 đường thẳng : 
6.Góc : (d) có vtcp ; D’ có vtcp ; (a ) có vtpt 
Góc giữa 2 đường thẳng : 
Góc giữa đường và mặt : 
2.CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1: : Đường thẳng (d) đi qua A,B
Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song (D)
Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mpa
Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên a : d/ = a Ç b
Viết pt mpb chứa (d) và vuông góc mpa
 ª
Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc (d1),(d2)
Dạng 6: PT d vuông góc chung của d1 và d2 :
+ Tìm = [d1, d2]
+ Mpa chứa d1 , (d) ; mpb chứa d2 , (d)
 	 d = a Ç b
Dạng 7: PT qua A và d cắt d1,d2 : d = a Ç b
với mpa = (A,d1) ; mpb = (A,d2)
Dạng 8: PT d // D và cắt d1,d2 : d = a1 Ç a2
 với mpa1 chứa d1 // D ; mpa2 chứa d2 // D
Dạng 9: PT d qua A và ^ d1, cắt d2 : d = AB
với mpa qua A, ^ d1 ; B = d2 Ç a
Dạng 10: PT d ^ (P) cắt d1, d2 : d = a Ç b
với mpa chứa d1 ,^(P) ; mpb chứa d2 , ^ (P)
3.BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bµi 1:LËp ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng (d) trong c¸c tr­êng hỵp sau :
a) (d) ®i qua ®iĨm M(1;0;1) vµ nhËn lµm VTCP
b) (d) ®i qua 2 ®iĨm A(1;0;-1) vµ B(2;-1;3)
Bµi 2: Trong kh«ng gian Oxyz lËp ph­¬ng tr×nh tỉng qu¸t cđa c¸c giao tuyÕn cđa mỈt ph¼ng
vµ c¸c mỈt ph¼ng to¹ ®é
Bµi 3: ViÕt ph­¬ng tr×nh cđa ®­êng th¼ng ®i qua ®iĨm M(2;3;-5) vµ song song víi ®­êng th¼ng (d) cã ph­¬ng tr×nh: 
Bµi 4: Cho ®­êng th¼ng (D) vµ mỈt ph¼ng (P) cã ph­¬ng tr×nh lµ : vµ (P): x+y+z+1=0
T×m ph­¬ng tr×nh cđa ®­êng th¼ng (t) ®i qua A(1;1;1) song song víi mỈt ph¼ng (P) vµ vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng (D)
Bµi 5: Cho mỈt ph¼ng (P) ®i qua 3 ®iĨm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9). ViÕt ph­¬ng tr×nh tham sè cđa ®­êng th¼ng (d) ®i qua träng t©m tam gi¸c ABC vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng chøa tam gi¸c ®ã
Bµi6: LËp ph­¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cđa ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iĨm A(2;1;3) vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (P) trong c¸c tr­êng hỵp sau:
a) 	b) .
Bµi 7: LËp ph­¬ng tr×nh tham sè, chÝnh t¾c cđa ®­êng th¼ng (d) ®i qua ®iĨm A(1;2;3) vµ song song víi ®­êng th¼ng () cho bëi :.	
Bµi8: ...  vuơng BCK cĩ: 
Dễ thấy BM2+ MK2 = BK2 nên tam giác BMK vuơng tại M, 
=> MKBM => ACBM.
Hơn nữa BMSA. Từ đây ta cĩ BM(SAC) Vậy (SBM) (SAC) (đpcm).
*) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
- Ta cĩ NE // SA 
=> NE(AIB) và NE = a/2.
- Vì I là trọng tâm của tam giác ABD và 
Tam giác ABI vuơng tại I cĩ 
Vậy thể tích khối tứ diện ANIB là 
(đvtt)
* Chọn hệ trục toạ độ Oxyz như hình vẽ (OA)
Gọi E là giao điểm của AC và BD. Ta cĩ:
A(0;0;0), B(;0;0), 
và , vì I là trọng tâm của . 
A
S
 B
 C
D
 N
M
 I
E
x
y
 z
O
*) Chứng minh: (SBM) (SAC).
- Ta cĩ 
.
Mặt khác: SA(ABCD) nên BMSA.
Từ đây suy ra BM(SAC) 
=> (SBM) (SAC) (đpcm).
*) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
Ta cĩ 
và 
=>.
Vậy thể tích khối tứ diện ANIB là 
(đvtt)
Bài 3. (TSĐH - khối A năm 2007)
Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuơng gĩc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.
Giải
Cách giải 1 (phương pháp tổng hợp)
Cách giải 2 (phương pháp toạ độ)
 M
P
 N
S
 H
B
A
C
D
* Chứng minh AM vuơng gĩc với BP.
Gọi H là trung điểm của AD.
Do ΔSAD đều nên SH AD.
Do(SAD)(ABCD)nên
SH (ABCD)
SH BP (1).
Xét hình vuơng ABCD ta cĩ
ΔCDH = ΔBCP 
CH BP (2). Từ (1) và (2)
suy ra BP (SHC).
Vì MN // SC và AN // CH
nên (AMN) // (SHC). Suy ra
BP (AMN) BP AM.
* Tính thể tích của khối tứ diện CMNP.
Kẻ MK (ABCD), K(ABCD). Ta cĩ: 
Vì , 
SCNP = .CN.CP = 
Nên VCMNP = 
 M
P
 N
S
x
y
z
 H
B
 D
 C
A
O
* Gọi H là trung điểm của AD.
Do ΔSAD đều nên SH AD.
Do(SAD)(ABCD)nên
SH (ABCD)
- Dựng đường thẳng Az vuơng gĩc với (ABCD), ta cĩ AD, AB, Az là ba tia đơi một vuơng gĩc nhau. Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ (). Ta cĩ:
A(0;0;0), S(), M( ) B(0;;0), P(, C(), * Chứng minh AM vuơng gĩc với BP.
Ta cĩ: 
 BP AM.
* Tính thể tích khối tứ diện CMNP.
Ta cĩ: và 
Nên: 
II. SO SÁNH
Cách giải 1 (phương pháp tổng hợp)
Cách giải 2 (phương pháp toạ độ)
1) Kiến thức:
- Cần cĩ một kiến thức rộng và đầy đủ về hình học (hình học phẳng và hình học khơng gian).
- Nhớ các định lý, các hệ quả
- Đơi khi cần phải dựng thêm các hình vẽ phụ.
2) Kĩ năng: 
- Kĩ năng vẽ hình, dựng hình.
- Kĩ năng chứng minh, tính tốn.
3) Tư duy: 
- Địi hỏi khả năng tư duy cao. 
- Phạm vi liên kết kiến thức rộng.
1) Kiến thức:
- Cần cĩ kiến thức vững về vectơ và toạ độ vectơ trong khơng gian.
- Nhớ các cơng thức, các phương trình của đường thẳng, mặt phẳng và các mối quan hệ giữa đường thẳng và mặt phẳng.
- Khơng cần dựng các hình vẽ phụ.
2) Kĩ năng: 
- Kĩ năng tính tốn.
3) Tư duy:
- Khả năng tư duy bình thường.
- Phạm vi liên kết kiến thức hẹp. (Chủ yếu tập trung vào việc chọn một hệ trục tọa độ thích hợp)
* Nhận xét
	Trong hai bài tốn 1 và 2, từ giả thiết ta đã cĩ sẳn ba đường thẳng đơi một vuơng gĩc nhau, đây là điều kiện lý tưởng để cĩ thể chọn một hệ trục tọa độ Oxyz, việc cịn lại chỉ cịn là vấn đề tính tốn. Đối với bài 3, để chọn được một hệ trục tọa độ thích hợp hơi cĩ khĩ khăn hơn một chút. Với chú ý: SH (ABCD), ta cĩ thể chọn một hệ trục khác, đĩ là hệ gồm ba trục HD, HN và HS đơi một vuơng gĩc tương ứng là Ox, Oy, Oz.().
III. MỘT VÀI VÍ DỤ VỀ CÁCH CHỌN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ KHI GIẢI BÀI TỐN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
VÍ DỤ 1 . Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ cĩ đáy là tam giác ABC cân với AB = AC = a và gĩc = 1200 , cạnh bên BB’= a . Gọi I là trung điểm của CC’ . 
Chứng minh tam giác AB’I vuơng ở A.
Tính cosin của gĩc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I) .
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB’ và BC’.
Nhận xét : Từ giả thiết của bài tốn , vì khơng cĩ ba đường thẳng nào cùng xuất phát từ một điểm và đơi một vuơng gĩc , nên ta sẽ phải cố gắng tìm một mối liên kết thích hợp , để từ đĩ cĩ thể chọn ra một hệ trục tọa độ Oxyz sao cho cĩ thể xác định được tọa độ của tất cả các điểm liên quan đến vấn đề mà ta cần giải quyết . Để làm được điều này cần chú ý , lăng trụ đã cho là lăng trụ đứng và tam giác đáy là tam giác cân . Từ đây , nếu gọi O , O’ lần lược là trung điểm của B’C’ và BC thì ta sẽ cĩ ngay ba tia OO’, OB’ và OA’ đơi một vuơng gĩc. 
 A
 A’
 B
B’
 C’
 C
 I
x
y
z
 O’
 O
 * Gọi O, O’ lần lượt là trung điểm của B’C’ và BC . 
Ta cĩ : OO’ OA’ , OO’B’C’ . 
Tam giác A’B’O là một nửa tam giác đều
cĩ cạnh A’B’ = a nên A’O = 
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ .
Ta cĩ : 
 , , 
 , , 
* Từ đây ta dễ dàng chứng minh được tam giác AB’I vuơng tại A và tính được cosin của gĩc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I). Riêng đối với câu c, nếu sử dụng phương pháp tổng hợp để giải bài tốn thì hồn tồn khơng dễ một chút nào. Cịn dùng phương pháp tọa độ thì hồn tồn ngược lại.
VÍ DỤ 2 . Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B , AB = a , BC = 2a , cạnh SA vuơng gĩc với đáy và SA = 2a . Gọi M là trung điểm SC . Chứng minh rằng tam giác AMB cân tại M và tinh diện tích tam giác AMB theo a . 
Nhận xét : Với nhận xét tương tự bài tốn trong VD1, ta cần tạo ra ba tia đơi một vuơng gĩc . . . Dễ dàng nhận thấy rằng , nếu từ B dựng tia Bz vuơng gĩc với mp(ABC) thì ba tia BA,BC,Bz đơi một vuơng gĩc , từ đây ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ .
 A
 S
 z
 M
C
B
 O
 x
y
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ 
 ( gốc tọa độ O trùng với B) .
Ta cĩ A(a;0;0) , C(0;2a;0) ,
 S(a;0;2a) , .
* Từ đây, cơng việc cịn lại thực sự rất dễ dàng.
Khèi ®a diƯn- thĨ tÝch khèi ®a diƯn 
 ------@&?-------
1/ Tính chất của thể tích: 
Hai khối đa diện bằng nhau thì cĩ thể tích bằng nhau.
Nếu một khối đa diện được phân chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì thể tích của nĩ bằng tổng thể của các khối đa diện nhỏ đĩ.
Khối lập phương cĩ cạnh bằng 1 thì cĩ thể tích bằng 1.
2/ Cơng thức tính thể tích của các khối đa diện:
a/ 	Thể tích khối lập phương: cho khối lập phương cạnh a. 
	 Lúc đĩ: 	
b/ 	Thể tích khối hộp chữ nhật: cho khối hộp chữ nhật cĩ kích thước ba cạnh lần lược là 
	 Lúc đĩ:	
	c/ Thể tích khối lăng trụ: cho khối lăng trụ cĩ diện tích đáy B và chiều cao h.
	 Lúc đĩ:	
	d/ Thể tích khối chĩp: cho khối chĩp cĩ diện tích đáy B và chiều cao h.
	 Lúc đĩ:
e/ Thể tích khối chĩp cụt: cho khối chĩp cụt cĩ diện tích hai đáy là B và B’ , chiều cao h.
	Lúc đĩ: 
Bµi tËp
Baìi 1: Tính thể tích của :
Khối tứ diện đều cĩ cạnh bằng a.
Khối lập phương cĩ các đỉnh là trọng tâm các mặt của một khối tám mặt đều cạnh a.
khối 8 mặt đều cĩ cạnh bằng a.
Baìi 2: Cho khối lăng trụ tứ giác đều cĩ khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng 2 và độ dài đường chéo của mặt bên bằng 5. 
Hạ . Chứng minh rằng .
	b. Tính thể tích của khối lăng trụ .
Baìi 3: Cho khối chĩp tứ giác đều cĩ cạnh đáy bằng . Tính thể tích khối chĩp, biết:
Gĩc giữa mặt bên và đáy bằng .
Gĩc giữa cạnh bên và đáy bằng .
Baìi 4: Tính thể tích của khối chĩp cụt tam giác đều cĩ cạnh đáy lớn là , đáy nhỏ là a và gĩc của mặt bên và mặt đáy bằng 600.
Baìi 5: Cho khối lăng trụ tam giác . Tìm tỉ số thể tích của khối tứ diện và khối lăng trụ đã cho.
Baìi 6: Cho khối lăng trụ tam giác . Gọi lần lược là trung điểm của hai cạnh và . Mặt phẳng chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đĩ.
Baìi 7: Cho khối chĩp tam giác . Trên các đoạn lần lược lấy ba điểm khác với . Chứng minh rằng: .
Baìi 8: Cho khối chĩp cĩ đáy là hình bình hành. Gọi lần lược là trung điểm của . Mặt phẳng cắt tại . Tìm tỉ số thể tích của hai khối chĩp và .
Baìi 9: Đáy của khối lăng trụ đứng là tam giác đều. Mặt phẳng tạo với đáy một gĩc 300 và tam giác cĩ diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Baìi 10: Cho khối lăng trụ đứng cĩ đáy là hình bình hành và . Các đường chéo và lần lược tạo với đáy những gĩc 450 và 600. Hãy tính thể của khối lăng trụ, cho biết chiều cao của nĩ bằng 2.
Baìi 11: Cho khối tứ diện cĩ ba cạnh vuơng gĩc với nhau từng đơi một, .
Tính thể tích khối tứ diện .
Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
Baìi 12: Cho khối chĩp cĩ đáy là tam giác vuơng tại , cạnh vuơng gĩc với đáy. Biết rằng . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng .
Baìi 13: Cho hình hộp chữ nhật cĩ . Lấy điểm trên cạnh sao cho .
Tính thể tích khối chĩp .
Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
Baìi 14: Cho khối hộp cĩ đáy là hình chữ nhật với , . Hai mặt bên và lần lược tạo với đáy những gĩc 450 và 600. Hãy tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.
Baìi 15: Hình lăng trụ đứng cĩ đáy là một tam giác vuơng tại , . Đường chéo của mặt bên tạo với mặt phẳng một gĩc 300.
Tính độ dài đoạn .
Tính thể tích của khối lăng trụ.
Baìi 16: Cho lăng trụ tam giác cĩ đáy là một tam giác đều cạnh a và điểm cách đều các điểm . Cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một gĩc 600.
Tính thể tích của khối lăng trụ.
Chứng minh mặt bên là một hình chữ nhật.
Tính tổng diện tích các mặt bên của khối lăng trụ ( tổng này được gọi là diện tích xung quanh của hình lăng trụ đã cho)
Baìi 17: Cho khối lăng trụ , đáy là tam giác vuơng cân đỉnh A. Mặt bên là hình thoi cạnh , nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy. Mặt bên hợp với đáy một gĩc . Tính thể tích của lăng trụ.
Baìi 18: Cho hình chĩp tứ giác đều .
Biết và gĩc giữa mặt bên và mặt đáy bằng . Tính thể tích khối chĩp.
Biết trung đoạn bằng và gĩc giữa cạnh bên và đáy bằng . Tính thể tích khối chĩp
Baìi 19: Cho khối chĩp cĩ đáy là tam giác vuơng tại B. Cạnh vuơng gĩc với đáy, gĩc và . Gọi M là trung điểm của cạnh .
Chứng minh: .
Tính thể tích khối tứ diện .
Baìi 20: Cho khối chĩp cĩ đáy là hình vuơng cạnh , và vuơng gĩc với đáy. Gọi là trung điểm của .
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
Tính thể tích khối tứ diện .
Baìi 21: Cho khối chĩp tứ giác đều cĩ cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm của tam giác và khoảng cách từ G đến mặt bên bằng . Tính khoảng cách từ tâm O đến mặt bên và thể tích khối chĩp .
Baìi 22: Cho hình chĩp tứ giác đều cĩ cạnh đáy bằng , gĩc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng . Tính tan của gĩc giữa hai mặt phẳng và theo . Tính thể tích khối chĩp theo và .
Baìi 23: Cho khối chĩp cĩ đáy là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên vuơng gĩc với đáy và .
Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Tính thể tích khối chĩp và diện tích tam giác .
Baìi 24: Cho tam giác vuơng cân cĩ cạnh huyền . Trên đường thẳng vuơng gĩc với mặt phẳng tại A lấy điểm S sao cho gĩc giữa hai mặt phẳng và bằng 600. Tính thể tích khối chĩp .
Baìi 25: Khối chĩp cĩ đáy là tam giác vuơng cân đỉnh và , . Hãy tìm gĩc giữa hai mặt phẳng và để thể 
tích khối chĩp lớn nhất.
Baìi 26: Cho lăng trụ cĩ độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuơng tại A, , và hình chiếu vuơng gĩc của đỉnh trên mặt phẳng là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chĩp và tính cosin của gĩc giữa hai đường thẳng .	 (KA – 2008)
Baìi 27: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh 2a, , và mặt phẳng vuơng gĩc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chĩp và tính cosin của gĩc giữa hai đường thẳng SM, DN.	 (KB – 2008)
Baìi 28: Cho lăng trụ đứng , đáy ABC là tam giác vuơng, , cạnh bên . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C	 	 (KD – 2008)