Chuyên đề Hệ phương trình các phương pháp giải hệ phương trình

Chủ đề 
Hệ phương trình
các phương pháp giải hệ phương trình 
III. Bài mới 
Phần I.
Lý thuyết:
1.
Định nghĩa (SGK/9)
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là:
 (trong đó a, b, c, a’ , b’, c’ có thể chứa tham số)
2.
Định nghĩa nghiệm, tập nghiệm (SGK/9)
- Nghiệm (x0 ; y0) của hệ (I) là nghiệm chung của hai phương trình trong hệ
- Nếu hai phương trình trong hệ không có nghiệm chung thì hệ phương trình vô nghiệm
- Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm (tìm tập nghiệm) của nó.
*) Điều kiện để hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm duy nhất, có vô số nghiệm, vô nghiệm.
 (a, b, c, a’, b’, c’ khác 0)
+ Hệ có vô số nghiệm nếu 
+ Hệ vô nghiệm nếu 
+ Hệ có một nghiệm duy nhất nếu 
+ Điều kiện cần để hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm là 
ab’ – a’b = 0
3.
Các phương pháp giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn .
a)
Phương pháp cộng đại số.
*) Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Bước1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.
Bước 2: áp dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn)
Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho
*) Tổng quát:
+ Nếu có 
+ Nếu có 
+ Nếu có 
b)
Phương pháp thế.
c)
Phương pháp đồ thị
4.
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
Bước1: Lập hệ phương trình
- Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho chúng
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết
- Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng
Bước 2: Giải hệ hai phương trình nói trên
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận.
Phần II.
Bài tập: 
1. Bài 1: Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số: 
a) 	 b) 
c) d) 
Giải:
 a) 
 Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y) = (2 ; 1)
b) 
 Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y) = ( ; 4)
c) 
 Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y) = 
d) 
 Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất 
2. Bài 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
 a) b) c) 
Giải:
a) Xét hệ phương trình: Điều kiện: x; y 
 Đặt a = ; b = khi đó hệ phương trình trở thành 
 Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x; y ) = 
b) Xét hệ phương trình: Điều kiện: x; y 
 Đặt a = ; b = khi đó hệ phương trình trở thành 
 (t/m) 
 Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x; y ) = 
c) Xét hệ phương trình: Điều kiện: x y 
 Đặt a = ; b = khi đó hệ phương trình trở thành : 
 (t/m)
 Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( x; y ) = 
3. Bài 3: Cho hệ phương trình: 
a) Giải hệ phương trình khi m = 2
b) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m 
c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = 1
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Giải:
a) Thay m = 2 vào hệ phương trình ta có hệ phương trình trở thành 
 Vậy với m = 2 thì hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất ( x ; y) = ( 0 ; 1)
b) Giải hệ phương trình theo tham số m 
Ta có 
 (m )
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y ) = với m 
- Xét m = 1 => Phương trình (*) 0x = 1, phương trình này vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm
 - Xét m = - 1 => Phương trình (*) 0x = 3, phương trình này vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm
c) Để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = 1
m = 0 (nhận), m = - 1 (loại)
 Vậy với m = 0 thì hpt trên có nghiệm thoả mãn điều kiện: x - y = 1
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Xét hệ phương trình 
Từ phương trình 
thay vào phương trình ta có phương trình 
Vậy là đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
4. Bài 4: Giải các hệ phương trình sau:
a) b) c) d) 
Giải:
 	a) 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y) = 
b) 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y) = 
c) 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y) = 
d) Xét hệ phương trình: Điều kiện: x; y 
 Đặt a = ; b = khi đó hệ phương trình trở thành 
 ( thoả mãn)
 Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x; y ) = 
 5. Bài 5: Cho hệ phương trình: có nghiệm duy nhất (x ; y)
a) Giải hệ phương trình khi m = 3
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
c) Giải và biện luận hệ theo m, trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất tìm giá trị của m thoả mãn: 2x2 - 7y = 1
d) Tìm các giá trị của m để biểu thức nhận giá trị nguyên.
(Đề thi tuyển sinh THPT – Năm học : 2004 – 2005)
Giải:
a) Thay m = 3 vào hệ phương trình ta có hệ phương trình trở thành 
 Vậy với m = 3 thì hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất ( x ; y) = 
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Xét hệ phương trình 
Từ phương trình 
thay vào phương trình ta có phương trình: 
Vậy là đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
Giải hệ phương trình theo tham số m ta có hpt 
 ` 
 Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x; y ) = ()
- Với m = 0 thì phương trình (*) trở thành 0x = -2 , phương trình này vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm
- Với m = 2 thì phương trình (*) trở thành 0x = 0 , phương trình này vô số nghiệm nên hệ đã cho vô số nghiệm, nghiệm tổng quát của hệ là
()
+) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn 2x2 - 7y = 1
 m = 1
Vậy với m = 1 thì hệ phương trình trên có nghiệm thoả mãn điều kiện: 
2x2 - 7y = 1
d) Thay ; vào biểu thức A = ta được biểu thức
A = = = = = 
 = = 
Để biểu thức A = nhận giá trị nguyên 
 nhận giá trị nguyên nhận giá trị nguyên 
 (m+2) là ước của 5. Mà Ư(5) = 
Kết hợp với điều kiện ; Vậy với các giá trị thì giá trị của biểu thức nhận giá trị nguyên. 
6. Bài 6: Cho hệ phương trình: (a, b, c, a’, b’, c’ khác 0)
a) Chứng minh rằng hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
b) Chứng minh rằng hệ phương trình vô nghiệm 
c) Chứng minh rằng hệ phương trình vô số nghiệm 
Giải:
a) Ta có hệ phương trình: 
 Số giao điểm của 2 đường thẳng (1); (2) là số nghiệm của hệ phương trình 
Nếu 2 đường thẳng (1) ; (2) cắt nhau 
 Vậy với thì hpt có 1 nghiệm duy nhất 
b) Nếu 2 đường thẳng (1) ; (2) song song 
 Vậy với thì hệ phương trình vô nghiệm. 
c) Nếu 2 đường thẳng (1) ; (2) trùng nhau 
 Vậy với thì hệ phương trình có vô số nghiệm. 
Kết luận: Hệ phương trình: (a, b, c, a’, b’, c’ khác 0)
+) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
+) Hệ phương trình có vô nghiệm 
+) Hệ phương trình vô số nghiệm 
Bài tập về nhà: Cho hệ phương trình: 
a) Giải hệ phương trình khi m = 2
b) Giải hệ phương trình theo tham số m 
c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x + y = - 1
d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.
*******************************
1. Bài 1: Cho hệ phương trình: 
Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất ? vô nghiệm ? Vô số nghiệm
Giải:
*) Trường hợp 1: m = 0 thì hệ phương trình ú 
=> Với m = 0 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (1 ; 1)
*) Trường hợp 2: m 
- Hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất 
 Vậy với thì hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất 
- Hệ phương trình vô nghiệm 
 	 (t/m) 
Vậy với thì hệ phương trình vô nghiệm
c) Hệ phương trình có vô số nghiệm (vô lí)
Vậy không tìm được giá trị nào của m để hệ phương trình có vô số nghiệm.
2. Bài tập 2: 
Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 14 km/h thì đến B sớm 2 giờ, nếu giảm vận tốc đi 4 km/h thì đến B muộn 1 giờ. Tính vận tốc dự định và thời gian dự định.
GV gọi h/s đọc đề bài và ghi tóm tắt nội dung bài tập. 
*) GV hướng dẫn cho h/s lập bảng và điền vào bảng số liệu khi trả lời câu hỏi sau:
Vận tốc ( km/h)
Thời gian (h)
Quãng đường AB
Dự định
x (h)
y (h)
x.y (km)
Lần 1
x +14 (h)
y - 2 (h)
(x +14).(y - 2) (km)
Lần 2
x - 4 (h)
y + 1 (h)
(x - 4).(y + 1) (km)
- Hãy chọn ẩn, gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn sau đó lập hệ phương trình của bài tập 
- GV hướng dẫn cho học sinh thiết lập phương trình hệ phương trình của bài cần lập được là: 
Giải :
- Gọi vận tốc dự định là x (km/h); thời gian dự định đi từ A đến B là y (h) 
(Điều kiện x > 4, y > 2). Thì quãng đường AB là x.y (km) 
- Nếu tăng vận tốc đi 14 km/h thì vận tốc là: x + 14 (km/h) và đến sớm 2 giờ nên thời gian thực đi là: y - 2 (h) do đó ta có phương trình:
 (1)
- Nếu giảm vận tốc đi 4 km/h thì vận tốc là: x - 4 (km/h) và đến muộn 1 giờ nên thời gian thực đi là: y + 1 (h) do đó ta có phương trình:
 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
 (thoả mãn)
- Vậy vận tốc dự định là 28 (km/h); thời gian dự định đi từ A đến B là 6 (h)
3. Bài tập 3: 
Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 15 km/h thì đến B sớm 1 giờ, nếu xe giảm vận tốc đi 15 km/h thì đến B muộn 2 giờ. 
Tính quãng đường AB.
GV gọi h/s đọc đề bài và ghi tóm tắt nội dung bài tập. 
*) GV hướng dẫn cho h/s lập bảng và điền vào bảng số liệu khi trả lời câu hỏi sau:
Vận tốc ( km/h)
Thời gian (h)
Quãng đường AB
Dự định
x (h)
y (h)
x.y (km)
Lần 1
x +15 (h)
y - 1 (h)
(x +15).(y - 1) (km)
Lần 2
x - 15 (h)
y + 2 (h)
(x - 15).(y +2) (km)
- Hãy chọn ẩn, gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn sau đó lập hệ phương trình của bài tập 
- GV hướng dẫn cho học sinh thiết lập phương trình hệ phương trình của bài cần lập được là: 
Giải :
- Gọi vận tốc dự định là x (km/h); thời gian dự định đi từ A đến B là y (h) 
(Điều kiện x > 15, y > 1). Thì quãng đường AB là x.y (km) 
- Nếu tăng vận tốc đi 15 km/h thì vận tốc là: x + 15 (km/h) thì đến sớm 1 giờ thời gian thực đi là: y - 1(h) nên ta có phương trình:
 (1)
- Nếu giảm vận tốc đi 15 km/h thì vận tốc là: x - 15 (km/h) thì đến muộn 2 giờ nên thời gian thực đi là: y + 2 (h) do đó ta có phương trình:
 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
 (thoả mãn)
Vậy vận tốc dự định là 45 (km/h); thời gian dự định đi từ A đến B là 4 (h)
Quãng đường AB dài là: S = v.t = 45 . 4 = 180 (km)
4. Bài tập 4: 
Tìm 1 số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau thì được số mới bằng số ban đầu.
( Đề thi tuyển sinh THPT – Năm học : 2005 – 2006)
GV gọi h/s đọc đề bài và ghi tóm tắt nội dung bài tập. 
*) GV hướng dẫn cho h/s trả lời câu hỏi sau:
- Ta cần tìm đại lượng nào ? ( Chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị )
- Hãy chọn ẩn, gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn sau 
- Theo bài ra chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 ta có phương trình nào ? ()
- Theo bài ra nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau thì được số mới bằng số ban đầu ta có phương trình nào ? 
- GV hướng dẫn cho học sinh thiết lập hệ phương trình là:
Giải:
- Gọi chữ số hàng chục là x và chữ số hàng đơn vị là y 
( Điều kiện: 0 < x 9 , 0 < y 9); x; y N)
- Theo bài ra chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 nên ta có phương trình: 	 (1)
- Ta có số đã cho là: , 
số mới sau khi đổi chỗ 2 chữ số cho nhau là: 
Theo bài ra nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau thì được số mới bằng số ban đầu ta có phương trình: (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
 ( thoả mãn ) 
Vậy chữ số hàng chục là 4; chữ số hàng đơn vị là 2, Số đã cho là: 42
5. Bài tập 5: 
 Tìm 1 số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 4 và nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau thì được số mới bằng số ban đầu.
GV gọi h/s đọc đề bài và ghi tóm tắt nội dung bài tập. 
*) GV hướng dẫn cho h/s trả lời câu hỏi sau:
- Ta cần tìm đại lượng nào ? ( Chữ số hàng chục, chữ số hàng đơn vị )
- Hãy chọn ẩn, gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn sau 
- Theo bài ra chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 4 ta có phương trình nào ? ()
- Theo bài ra nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau thì được số mới bằng số ban đầu ta có phương trình nào ? 
- GV hướng dẫn cho học sinh thiết lập hệ phương trình là: 
Giải:
- Gọi chữ số hàng chục là x và chữ số hàng đơn vị là y 
( Điều kiện: 0 < x , y 9); x , y N)
- Theo bài ra chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục là 4 nên ta có phương trình: 	 (1)
- Ta có số đã cho là: số mới sau khi đổi chỗ 2 chữ số cho nhau là: 
Theo bài ra nếu đổi chỗ 2 chữ số cho nhau thì được số mới bằng số ban đầu ta có phương trình: (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ pt: 
 ( thoả mãn ) 
Vậy chữ số hàng chục là 1; chữ số hàng đơn vị là 5, Số đã cho là: 15
1. Bài tập 1: Bài 43: (SGK/27)
- Gọi vận tốc của người đi nhanh là 
x (m/phút ), vận tốc của người đi chậm là y (m/phút) (ĐK: x, y > 0)
- Nếu hai người cùng khởi hành đến khi gặp nhau, quãng đường người đi nhanh đi được là 2km = 2000m và quãng đường người đi chậm đi được là 1,6km = 1600m => thời gian người đi nhanh đi là : phút , thời gian người đi chậm đi là : phút . 
Theo bài ra ta có phương trình: (1) 
Nếu người đi chậm đi trước 6 phút, đến khi gặp nhau mỗi người đi được 1800m đ thời gian người đi nhanh đi đến chỗ gặp nhau là : (phút) và của người đi chậm đi là : (phút) . Theo bài ra ta có phương trình
 ( 2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 
Đặt . Kết quả 
Vậy vận tốc người đi nhanh là: 75 m/phút ; người đi chậm là: 60 m/phút 
2. Bài tập 2: Bài 44: (SGK/27)
- Gọi số gam đồng và số gam kẽm có trong vật đó là x (g) ; y( g) ( x ; y > 0 ) 
Vì vật đó nặng 124 gam nên ta có phương trình : x + y = 124 (1) 
- Thể tích x gam đồng là: ( cm3) . Thể tích của y gam kẽm là : ( cm3) 
- Vì thể tích của vật là 15 cm3 nên ta có phương trình: ( 2) .
- Từ (1) và (2) nên ta có hệ phương trình: từ đó giải hệ phương trình tìm được x = 89 và y = 35
3. Bài tập 3: Bài tập 45: (SGK - 27) 
Gọi đội I làm một mình thì trong x ngày xong công việc, đội II làm một mình trong y ngày xong công việc. ĐK : x , y > 12 . 
Một ngày đội I làm được phần công việc, đội II làm được phần công việc . 
Vì hai đội làm chung thì trong 12 ngày xong công việc nên ta có phương trình: 
 (1) 
Hai đội làm chung 8 ngày và đội II làm 3,5 ngày với năng xuất gấp đôi thì xong công việc nên ta có phương trình: 
 ( 2) 
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : 
đặt a = ; b = ta có hệ: 
Û 
 Thay a , b ta tìm được (x; y) = (28; 21) (thoả mãn)
 x = 28 ( ngày ) ; y = 21 ( ngày ) 
Vậy đội I làm một mình trong 28 ngày xong công việc, đội II làm một mình trong 21 ngày xong công việc .
*) Cách khác lập phương trình thứ 2: Trong 8 ngày, cả hai đội làm được ; còn lại công việc do đội II đảm nhiệm. Do năng suất gấp đôi nên đội II làm mỗi ngày được công việc và họ hoàn thành nốt công việc nói trên trong 3,5 ngày, do đó ta có phương trình: 3,5. 
4. Bài tập 4: Bài tập 46: (SGK - 27) 
- Gọi số thóc năm ngoái đơn vị thứ nhất thu được là x ( tấn ), đơn vị thứ hai thu được là y ( tấn ) . ĐK: x , y > 0 
- Năm ngoái cả hai đơn vị thu được 720 tấn thóc nên ta có phương trình: 
 x + y = 720 (1) 
- Năm nay đơn vị thứ nhất vượt mức 15%, đơn vị thứ hai vượt mức 12% nên cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn ta có phương trình :
 (x + 0,15x) + (y + 0,12 y) = 819 (2) 
Từ (1 ) và (2) ta có hệ phương trình : 
Û (thoả mãn) 
Vậy năm ngoái đơn vị thứ nhất thu được 420 tấn thóc, đơn vị thứ hai thu được 300 tấn thóc. Năm nay đơn vị thứ nhất thu được 483 tấn thóc, đơn vị thứ hai thu được 336 tấn thóc .
5. Bài tập 5: 
Một Ô tô du lịch đi từ A đến B, sau 17 phút một Ô tô tải đi từ B về A. Sau khi xe tải đi được 28 phút thì hai xe gặp nhau. Biết vận tốc của xe du lịch hơn vận tốc của xe tải là 20 km/h và quãng đường AB dài 88 km. Tính vận tốc của mỗi xe.
GV gọi h/s đọc đề bài và ghi tóm tắt nội dung bài tập. 
*) GV hướng dẫn cho h/s lập bảng và điền vào bảng số liệu khi trả lời câu hỏi sau:
Xe du lịch
Xe tải
Vận tốc ( km/h)
x (km/h)
y (km/h)
Thời gian (h)
17ph + 28ph = 45ph =(h)
28 phút = (h)
Quãng đường
.x (km)
.y (km)
- Hãy chọn ẩn, gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn, sau đó lập hệ phương trình của bài tập 
- GV hướng dẫn cho học sinh thiết lập phương trình hệ phương trình của bài cần lập được là: 
Giải :
- Gọi vận tốc xe du lịch là x (km/h); Vận tốc xe tải là y (km/h) (Điều kiện: x > y > 0). 
- Theo bài ra vận tốc xe du lịch lớn hơn vận tốc xe tải là 20 km/h nên ta có phương trình: (1)
- Quãng đường xe du lịch đi được trong 45 phút là: (km)
- Quãng đường xe tải đi được trong 28 phút là: (km)
Theo bài ra quãng đường AB dài 88km nên ta có phương trình:
 (2)
- Từ (1) và(2) ta có hệ phương trình: 
 . Kết quả: (thoả mãn)
 Vậy vận tốc xe du lịch là 80 (km/h); Vận tốc xe tải là 60 (km/h)
6. Bài tập 6: 
Trên cùng một dòng sông, một ca nô chạy xuôi dòng 108 km và ngược dòng 63km hết tất cả 7 h. Nếu ca nô xuôi dòng 81km và ngược dòng 84km thì cũng hết tất cả 7 h. Tính vận tốc thực của ca nô và vận tốc của dòng nước.
GV gọi h/s đọc đề bài và ghi tóm tắt nội dung bài tập. 
*) GV hướng dẫn cho h/s trả lời câu hỏi sau:
- Ta cần tìm đại lượng nào ? (Tính vận tốc thực của ca nô và vận tốc của dòng nước)
- Hãy chọn ẩn, gọi ẩn và đặt điều kiện cho ẩn ?
Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h), vận tốc của dòng nước là: y (km/h)
- Tính vận tốc xuôi dòng, vận tốc ngược dòng khi biết vận tốc của dòng nước, vận tốc thực của ca nô như thế nào ? 
( Vxuôi dòng = VThực + V nước = x + y ; VNgược = VThực - V nước = x - y)
- Tính thời gian xuôi dòng 108km và thời gian ngược dòng 63 km ta có phương trình nào ? ( )
- Tính thời gian xuôi dòng 81 km và thời gian ngược dòng 84 km ta có phương trình nào ? ()
- GV hướng dẫn cho học sinh thiết lập hệ phương trình là: 
Giải:
- Gọi vận tốc thực của ca nô là x (km/h), vận tốc của dòng nước là: y (km/h)
 ( Điều kiện: x > y > 0)
- Thì vận tốc xuôi dòng là: x + y (km/h), vận tốc ngược dòng là: x - y (km/h)
- Theo bài ra thời gian xuôi dòng 108km và ngược dòng 63 km hết 7 giờ nên ta có phương trình: (1)
- Theo bài ra thời gian xuôi dòng 81 km và ngược dòng 84 km hết 7 giờ nên ta có phương trình: (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 
 Đặt: a = ; b = Ta có hệ phương trình: 
 ( thoả mãn ) 
Vậy vận tốc thực của ca nô là 24 (km/h),vận tốc của dòng nước là:3 (km/h)