Chuyên đề : Hàm số mũ - Hàm số lôgarít phương trình và bất phương trình có chứa mũ và logarít

Chuyên đề : HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LÔGARÍT 
 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
 CÓ CHỨA MŨ VÀ LOGARÍT 
 TRỌNG TÂM KIẾN THỨC 
I. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MŨ 
1. Các định nghĩa: 
• n
n thừa số
a a.a...a= 	
 (n Z , n 1,a R)+∈ ≥ ∈ 
• 1a a= a∀ 
• 0a 1= a 0∀ ≠ 
• n n
1a
a
− = { }(n Z ,n 1,a R / 0 )+∈ ≥ ∈ 
• 
m
n mna a= ( a 0;m,n N> ∈ ) 
• 
m
n
m n m
n
1 1a
a
a
− = = 
2. Các tính chất : 
• m n m na .a a += 
• 
m
m n
n
a a
a
−= 
• m n n m m.n(a ) (a ) a= = 
• n n n(a.b) a .b= 
• 
n
n
n
a a( )
b b
= 
3. Hàm số mũ: Dạng : xy a= ( a > 0 , a≠ 1 ) 
• Tập xác định : D R= 
• Tập giá trị : T R+= ( xa 0 x R> ∀ ∈ ) 
• Tính đơn điệu: 
 * a > 1 : xy a= đồng biến trên R 
 * 0 < a < 1 : xy a= nghịch biến trên R 
• Đồ thị hàm số mũ : 
Minh họa: 
 a>1 
 y=ax 
y
x1
 0<a<1 
 y=ax
y
x1
f(x)=2^x
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
f(x)=(1/2)^x
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
y=2x y=
x
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
2
1 
1 x
y y
x1
OO
II. KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT 
1. Định nghĩa: Với a > 0 , a ≠ 1 và N > 0 
dn M
alog N M a N= ⇔ = 
 Điều kiện có nghĩa: Nalog có nghĩa khi ⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≠
>
0
1
0
N
a
a
2. Các tính chất : 
• alog 1 0= 
• alog a 1= 
• Malog a M= 
• log Naa N= 
• a 1 2 a 1 a 2log (N .N ) log N log N= + 
• 1a a 1 a 2
2
Nlog ( ) log N log N
N
= − 
• a alog N . log Nα = α Đặc biệt : 2a alog N 2. log N= 
3. Công thức đổi cơ số : 
• a a blog N log b. log N= 
• ab
a
log Nlog N
log b
= 
 * Hệ quả: 
• a
b
1log b
log a
= và k aa
1log N log N
k
= 
4. Hàm số logarít: Dạng ay log x= ( a > 0 , a ≠ 1 ) 
• Tập xác định : +=D R 
• Tập giá trị =T R 
• Tính đơn điệu: 
* a > 1 : ay log x= đồng biến trên +R 
* 0 < a < 1 : ay log x= nghịch biến trên +R 
• Đồ thị của hàm số lôgarít: 
Minh họa: 
5. CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN: 
 1. Định lý 1: Với 0 < a ≠ 1 thì : aM = aN ⇔ M = N 
 2. Định lý 2: Với 0 N (nghịch biến) 
 3. Định lý 3: Với a > 1 thì : aM < aN ⇔ M < N (đồng biến ) 
 4. Định lý 4: Với 0 0;N > 0 thì : loga M = loga N ⇔ M = N 
 5. Định lý 5: Với 0 N (nghịch biến) 
 6. Định lý 6: Với a > 1 thì : loga M < loga N ⇔ M < N (đồng biến) 
0<a<1 
 y=logax 
1 x
y
O
f(x)=ln(x)/ln(1/2)
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
 y=log2x 
x
y
x
y
f(x)=ln(x)/ln(2)
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
x
y
xy
2
1log=
1O 1O
 a>1 
 y=logax 
1
y
x
O
III. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG: 
 Dạng cơ bản: xa m= (1) 
• m 0≤ : phương trình (1) vơ nghiệm 
• m 0> : x aa m x log m= ⇔ = 
 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng : aM = aN 
 (Phương pháp đưa về cùng cơ số) 
 Ví du 1 : Giải các phương trình sau : 
 1) x 1 2x 19 27+ += 
 2) 
2x 3x 22 4− + = 
 3) x x 2 x 1 x 11 13.4 .9 6.4 .9
3 2
+ + ++ = − 
 Ví du 2ï : Giải các phương trình sau 
 1) 
x 10 x 5
x 10 x 1516 0,125.8
+ +
− −= 
 2) 
x 5 x 17
x 7 x 332 0,25.128
+ +
− −= 
 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau : 
 1) 2x 8 x 53 4.3 27 0+ +− + = 
 2) x x x6.9 13.6 6.4 0− + = 
 3) x x x5.2 7. 10 2.5= − 
 4) x x( 2 3 ) ( 2 3 ) 4− + + = 
 5) ( ) ( )x x5 2 6 5 2 6 10+ + − = 
 6) 322
222 =− −+− xxxx 
 7) 027.21812.48.3 =−−+ xxxx 
 8) 07.714.92.2 22 =+− xxx 
 9) 
2 2x x 2 x 1 x 24 5.2 6 0+ − − + −− − = 
 10) 3 2cosx 1 cosx4 7.4 2 0+ +− − = 
 Bài tập rèn luyện: 
 1) 4)32()32( =−++ xx ( 1±x ) 
 2) xxx 27.2188 =+ (x=0) 
 3) 13250125 +=+ xxx (x=0) 
 4) 1221025 +=+ xxx (x=0) 
 5) x x( 3 8 ) ( 3 8 ) 6+ + − = ( )2±=x 
 6) xxx 8.21227 =+ (x=0) 
 3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0,.. 
 Ví dụ : Giải phương trình sau : 
 1) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x 
 2) 0422.42 2
22 =+−− −+ xxxxx 
 3) 2x 1 x 1 x5 7 175 35 0+ ++ − − = 
 4) x 3 6 x 3 42 x 1 2 x 1x .2 2 x .2 2− + − +− ++ = + 
 5) ( )
22 2 x 1x x 1 x4 2 2 1++ −+ = + 
 4. Phương pháp 4: Lấy lơgarít hai vế theo cùng một cơ số thích hợp nào đĩ 
 (Phương pháp lơgarít hĩa) 
 Ví dụ : Giải phương trình 
 1) 
2x 1 x x 23 .2 8.4− −= 
 2) 
1
5 .8 500
x
x x
−
= 
 5. Phương pháp 5: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh 
 nghiệm duy nhất (thường là sử dụng công cụ đạo hàm) 
 * Ta thường sử dụng các tính chất sau: 
• Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C 
có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho 
 f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C) 
• Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong 
khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . ( 
do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương 
trình f(x) = g(x)) 
 Phương pháp chiều biến thiên hàm số 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau : 
 1) 3x + 4x = 5x 
 2) 2x = 1+ 
x
23 
 3) x1( ) 2x 1
3
= + 
 4) 3 x 22 x 8x 14− = − + − 
 5) ( )x 2 x 23.25 3x 10 .5 3 x 0− −+ − + − = 
 Bài tập rèn luyện: 
 1) 163.32.2 −=+ xxx (x=2) 
 2) xx −= 32 (x=1) 
IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG: 
 Dạng cơ bản: alog x m= (1) 
• m∀ ∈\ : malog x m x a= ⇔ = 
1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng : a alog M log N= (đồng cơ số) 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau : 
1) 22 1
2
1log log (x x 1)
x
= − − 
2) [ ]2log x(x 1) 1− = 
3) 2 2log x log (x 1) 1+ − = 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau : 
 1) + =xlog (x 6) 3 
 2) x x 12 1
2
log (4 4) x log (2 3)++ = − − 
 3) )3(log)4(log)1(log
2
1
2
2
1
2
2 xxx −=++− ( 141;11 +−=−= xx ) 
 4) ( ) ( ) ( )84 221 1log x 3 log x 1 log 4x2 4+ + − = ( )x 3; x 3 2 3= = − + 
 5) ( ) ( ) ( )2 3 31 1 1
4 4 4
3 log x 2 3 log 4 x log x 6
2
+ − = − + + ( )x 2; x 1 33= = − 
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số. 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau : 
 1) 2
2 2
6 4 3
log 2x log x
+ = 
 2) 051loglog 23
2
3 =−++ xx 
 3) 4 2 2 4log log x log log x 2+ = 
 4) x 3 3x
1log 3 log x log 3 log x
2
+ = + + 
 5) ( ) 2x 25log 125x .log x 1= 
 6) x x x
16 64
log 2.log 2 log 2= 
 7) 25x 5
5log log x 1
x
+ = 
 8) ( ) ( ) ( )3log 9 x 2 3x 2 9 x 2−− = − 
3 Phương pháp 3: Biến đổi phương trình về dạng tích số A.B=0,.. 
 Ví dụ : Giải phương trình sau : log x 2. log x 2 log x. log x7 72 2+ = + 
 4. Phương pháp 4: Nhẩm nghiệm và sử dụng tính đơn điệu để chứng minh nghiệm duy nhất. 
 (thường là sử dụng công cụ đạo hàm) 
 * Ta thường sử dụng các tính chất sau: 
• Tính chất 1: Nếu hàm số f tăng ( hoặc giảm ) trong khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = C 
có không quá một nghiệm trong khỏang (a;b). ( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho 
 f(x0) = C thì đó là nghiệm duy nhất của phương trình f(x) = C) 
• Tính chất 2 : Nếu hàm f tăng trong khỏang (a;b) và hàm g là hàm một hàm giảm trong 
khỏang (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm trong khỏang (a;b) . 
 ( do đó nếu tồn tại x0 ∈ (a;b) sao cho f(x0) = g(x0) thì đó là nghiệm duy nhất của phương 
 trình f(x) = g(x)) 
 Phương pháp chiều biến thiên hàm số 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau : 
 1) 22 2log (x x 6) x log (x 2) 4− − + = + + 
 2) ( )6log x2 6log x 3 log x+ = 
 3) ( )2 3log 1 x log x+ = 
V. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ THƯỜNG SỬ DỤNG: 
 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : aM ≥ ) 
 Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 
3 6x
4x 11
2x 6x 8
1) 2 1
12) 2
2
−
− −
+ +
>
⎛ ⎞ >⎜ ⎟⎝ ⎠
 Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 
 1) 
2 x x 1x 2x 13 ( )
3
− −− ≥ 
 2) 
2
x 1
x 2x
1 2
2
−
− ≥ 
 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số. 
 Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 
x x
2x 1 x
1) 9 2.3 3
2) 5 5 4+
< +
> + 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau : 
 1) 2x x 22 3.(2 ) 32 0+− + < 
 2) x 3 x2 2 9−+ ≤ 
 3) 2x 4 x x 23 45.6 9.2 0+ ++ − ≤ 
 4) 
2 1 1
x x1 1( ) 3.( ) 12
3 3
++ > 
 5) 52428 11 >+−+ ++ xxx ( )20 ≤< x 
 6) 11 21212.15 ++ +−≥+ xxx ( 2≤x ) 
VI. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT THƯỜNG SỬ DỤNG: 
 1. Phương pháp 1: Biến đổi phương trình về dạng cơ bản : a alog M log N ≥ ) 
 Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 
 1) 22 2log (x x 2) log (x 3)+ − > + 
 2) 20,5 0,5log (4x 11) log (x 6x 8)+ < + + 
 3) 21 3
3
log (x 6x 5) 2 log (2 x) 0− + + − ≥ 
 4) ( )1 1 2
2 4
log x 2 log x 1 log 6 0+ − + ≤ 
 5) 1 3
2
x 1log log 0
x 1
+ ≥− 
 Ví dụ : Giải các bất phương trình sau : 
 1) 2xlog (5x 8x 3) 2− + > 
 2) − <2 3
3
log log x 3 1 
 3) 23x xlog (3 x) 1− − > 
 4) x9xlog (log (3 9)) 1− ≤ 
 5) ( )( )xx 3log log 9 72 1− ≤ 
 6) )12(log12log4)1444(log 2555 ++<−+ −xx 
 7) ( ) ( )x 2x 1 x1 1
4 2
log 4 4 log 2 3.2++ ≥ − 
 2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về bất phương trình đại số 
 Ví dụ : Giải bất phương trình sau : 
 1) 22 2log x log x 2 0+ − ≤ 
 2) log x 42x 32+ < 
 3) 
2log x log x6 66 x 12+ ≤ 
 4) 23 1 4
2
log x log x 2 0+ − > 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau : 
 1) xx2 3 2log (3 2) 2. log 2 3 0++ + − > 
 2) 22x xlog 64 log 16 3+ ≥ 
 3) 2
3log
3)(log
2
2
2 >+
+
x
x (
2
1
8
1 << x ) 
VII. HỆ PHƯƠNG TRÌNH: 
 Ví dụ : Giải các hệ phương trình 
 1) 
2 3
9 3
x 1 2 y 1
3log (9x ) log y 3
⎧ − + − =⎪⎨ − =⎪⎩
 6) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+−
= −−
4)(log)(log
)
3
1()3(
22
2
yxyx
yxyx
 2) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=−−
25
11log)(log
22
4
4
1
yx
y
xy
 7) 
y
3
3 4 x( x 1 1)3
x
y log x 1
⎧ −+ − =⎪⎨⎪ + =⎩
 3) 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
+
−=
+
y
yy
x
xx
x
22
24
452
1
23
 8) ⎪⎩
⎪⎨⎧ =+
=−
2)(log
11522.3
5 yx
yx
 4) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=
3
644.2
yx
yx
 9) x 4 y 3 0
log x log y 04 2
− + =
− =
⎧⎨⎩
 5) 
⎩⎨
⎧
=+
=+
4loglog2
5)(log
24
22
2
yx
yx
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
DẠNG 1: Các bài toán giải phương trình và bất phương trình 
 Bài 1: Giải các phương trình 
 1) 1
2
12
2
12.62 )1(3
3 =+−− − xxxx (x=1) 
 2) )4(log4log2)1(log 382
2
4 xxx ++−=++ ( 622;2 −== xx ) 
 3) )2(loglog 37 += xx (x=49) 
 4) )2(loglog 75 += xx (x=5) 
 5) 072.32.5 3513 =+− −− xx (x=1) 
 6) 
32812 2
1log4log232log +=−− xx ( 2
5=x ) 
 7) 
x
xx
x 1
322log
3
2log =−− (x=1,x=2,x=4) 
 8) 058
log3
22
log
2 =−−+ xxxx ( 2,
2
1 == xx ) 
 9) xxxx 26log)1(log 2
2
2 −=−+ ( 2,4
1 == xx ) 
 10) 
x
xx
4
4 log
2)10(log.2log21 =−+ (x=2,x=8) 
 Bài 2: Giải các bất phương trình 
 1) 09.93.83 442 >−− +++ xxxx (x>5) 
 2) 23.79 12
222 ≤− −−−−− xxxxxx ( 20
4
1 ≥∨≤≤− xx ) 
 3) 
xxx −+−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛<⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 112
2
1
2
1
36
 ( 1101 >∨<<∨−< xxx ) 
 4) 0128
8
1
4
1 13 ≥−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −xx (
3
4−≤x ) 
 5) )1(log1)21(log 55 ++<− xx ( 2
1
5
2 <<− x ) 
 6) xx 22 loglog2 >− ( 24
1 <≤ x ) 
 7) 1)93(loglog 9 x ) 
 8) 
)13(log
1
)3(log
1
2
2
4 −
<+ xxx ( 13
2 << x ) 
 9) 0
1
)3(log)3(log 3
3
1
2
2
1
>+
+−+
x
xx
 (-2 < x <-1) 
Bài 3 : Tìm tập xác định của các hàm số sau: 
 1. 
2
1
2
3 2log
2
x xy
x
− −= + 2. 
3 8 0,3
2
log ( 1)
2
2 8
x x xy
x x
− − − − −= +
− −
DẠNG 2: Sử dụng công cụ đại số giải các bài toán có chứa tham số 
Bài 1: Với giá trị nào của m thì phương trình sau có nghiệm: 0)12.(44 =−− xx m ( 10 ≥∨< mm ) 
Bài 2: Cho phương trình: 022.4 1 =+− + mm xx 
 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 21 xx ≠ sao cho 321 =+ xx (m=4) 
Bài 3: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu: 014)12(16).3( =++−++ mmm xx 
 (
4
31 −<<− m ) 
BÀI TẬP RÈN LUYỆN (GIẢI MẪU) 
Bài 1: Giải phương trình: ( ) ( ) ( )1 1 1
2 2 2
log x 1 log x 1 log 7 x 1 (1)− + + − − = 
Bài giải: 
Điều kiện: 
x 1 0 x 1
x 1 0 x 1 1 x 7
7 x 0 x 7
⎧ ⎧⎪ ⎪− > >⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪+ > ⇔ >− ⇔ <⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎩
Khi đĩ: 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
1 1 1
2 2 2
22
1 1
2 2
22
2 2
2
1 log x 1 log x 1 log 7 x 1
1 log x 1 log 7 x
2
1 x 1 7 x
2
 2x 1 49 14x x
 x 14x 50 0
x 3
x 17
⇔ − + + − − =
⎡ ⎤⇔ − = −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⇔ − = −
⇔ − = − +
⇔ + − =
⎡ =⎢⇔ ⎢ = −⎢⎣
So với điều kiện ta cĩ nghiệm của pt(1) là x 3= 
Bài 2: Giải phương trình: ( ) ( ) ( )2 3 31 1 1
4 4 4
3 log x 2 3 log 4 x +log x 6 (1)
2
+ − = − + 
Bài giải: 
Điều kiện: 
x 2 0 x 2
6 x 4
4 x 0 x 4
x 2
x 6 0 x 6
⎧ ⎧⎪ ⎪+ ≠ ≠ −⎪ ⎪ ⎧− ⇔ >−⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎩
Khi đĩ: 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( )[ ]
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
1 1 1
4 4 4
1 1 1
4 4 4
1 1
4 4
2
2
1 3 log x 2 3 3 log 4 x 3 log x 6
 log x 2 1 log 4 x log x 6
 log 4 x 2 log 4 x x 6
 4 x 2 4 x x 6
x 2 x 84 x 2 4 x x 6 x 6x 16 0
4 x 2 4 x x 6 x 1 33x 2x 32 0
⇔ + − = − + +
⇔ + − = − + +
⇔ + = − +
⇔ + = − +
⎡ ⎡ = ∨ = −⎡ + = − + + − =⎢ ⎢⎢⇔ ⇔ ⇔⎢ ⎢⎢ + = − − + = ±− − =⎢ ⎢⎢⎣ ⎣⎣
So với điều kiện ta cĩ nghiệm của pt(1) là x 2 x 1 33= ∨ = − 
Bài 3: Giải phương trình: ( ) ( )2 12 4
2
log x 2 log x 5 log 8 0 (1)+ + − + = 
Bài giải: 
Điều kiện: 
x 2 0 x 2
x 5x 5 0
⎧ + > ⎧ > −⎪ ⎪⎪ ⎪⇔⎨ ⎨ ≠− ≠⎪ ⎪⎪ ⎪⎩⎩
Khi đĩ: 
( ) ( )
( )[ ]
( )
( )( )
( )( )
2 2 2
2 2
2
2
1 log x 2 log x 5 log 8
 log x 2 x 5 log 8
 x 2 x 5 8
x 5x 5x 5
x 3 x 6x 2 x 5 8 x 3x 18 0
 2 x 52 x 5 2 x 5
3 17x 2 5 x 8 x 3x 2 0 x
2
⇔ + + − =
⇔ + − =
⇔ + − =
>⎧⎪⎡ >⎡ ⎧>⎧ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎪⎢ ⎨⎨⎨ = − ∨ =⎪⎢⎢ ⎪⎪⎪ + − = − − = ⎩⎢⎢ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎩⎢⎢⇔ ⇔ ⇔ ⎧− < <⎢⎢⎧ ⎧− < < − < <⎪ ⎪⎢⎢⎪ ⎪⎨ ⎢⎨⎢ ±⎪ ⎪+ − = − − =⎢ =⎢⎪ ⎪⎪⎩ ⎪⎣ ⎩⎣
x 6
3 17x
2
⎡⎢⎢ ⎡ =⎢ ⎢⎢ ⎢⇔⎢ ±⎪ ⎢⎪⎢ =⎪ ⎢⎪⎢ ⎣⎨⎢⎪⎪⎢⎪⎪⎩⎣
Vậy nghiệm của phương trình (1) là 
x 6
3 17x
2
⎡ =⎢⎢ ±⎢ =⎢⎣
Bài 4: Giải phương trình: 12 2
2
log x 2 log x 5 log 8 0− + + + = (1) 
Bài giải: 
Điều kiện: 
x 2 0 x 2
x 5x 5 0
⎧ − ≠ ⎧ ≠⎪ ⎪⎪ ⎪⇔⎨ ⎨ ≠ −+ ≠⎪ ⎪⎪ ⎪⎩⎩
Khi đĩ: 
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 2
2
2
1 log x 2 x 5 log 8
 x 2 x 5 8
x 3 x 6x 2 x 5 8 x 3x 18 0
 3 17x 2 x 5 8 x 3x 2 0 x
2
⇔ − + =
⇔ − + =
⎡ = − ∨ =⎡⎡ − + = + − = ⎢⎢⎢ ⎢⇔ ⇔ ⇔⎢⎢ ±⎢− + = − − + =⎢ =⎢ ⎢⎣ ⎣ ⎣
So với điều kiện ta cĩ nghiệm của pt(1) là 
x 3 x 6
3 17x
2
⎡ = − ∨ =⎢⎢ ±⎢ =⎢⎣
 Bài 5: Giải phương trình: ( )4 2
2x 1
1 1log x 1 log x 2
log 4 2+
− + = + + (1) 
Bài giải: 
Điều kiện: 
x 1x 1 0
12x 1 0 x
2 x 1
2x 1 1 x 0
x 2 0 x 2
⎧ >⎪⎧ − > ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ + > ⎪ > −⎪ ⎪⎪ ⇔ ⇔ >⎨ ⎨⎪ ⎪+ ≠⎪ ⎪ ≠⎪ ⎪⎪ ⎪+ >⎪ ⎪ > −⎪ ⎪⎩ ⎪⎩
Khi đĩ: 
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )[ ] ( )[ ]
( )( ) ( )
2 2 2
2 2
2
1 1 1 11 log x 1 log 2x 1 log x 2
2 2 2 2
 log x 1 2x 1 log 2 x 2
 x 1 2x 1 2 x 2
x 1
 2x 3x 5 0 5x
2
⇔ − + + = + +
⇔ − + = +
⇔ − + = +
⎡ = −⎢⎢⇔ − − = ⇔ ⎢ =⎢⎣
So với điều kiện ta cĩ nghiệm của pt(1) là 5x
2
= 
Bài 6: Giải phương trình: 
2
2 2 2log 2x log 6 log 4x4 x 2.3− = (1) 
Bài giải: 
Điều kiện: x 0> 
Khi đĩ: ( )
2
22 2 2 2 2 2 1 log xlog 2x log 6 log 4x 1 log x log 64 x 2.3 4 x 2.3 ++− = ⇔ − = 
Đặt t2t log x x 2= ⇒ = , phương trình (2) trở thành: 
( ) ( ) ( )2 2 tlog 6 2 1 t1 t t t log 6 t
2t t
t t t
2t t
4 2 2.3 4.4 2 18.9
3 3 4.4 6 18.9 4 18
2 2
3 3 18 4 0
2 2
++ − = ⇔ − =
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎜⇔ − = ⇔ − =⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎜⇔ + − =⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
t
t
3 4
2 9 t 2
3 1 (loai)
2 2
⎡⎛ ⎞⎟⎢⎜ =⎟⎜ ⎟⎢⎝ ⎠⎢⇔ ⇔ =−⎢⎛ ⎞⎢ ⎟⎜ = −⎟⎜ ⎟⎢⎝ ⎠⎣
Với t 2= − ta được nghiệm của phương trình (1) là : 1x
4
= 
Bài 7: Giải phương trình: ( )3 9x
3
42 log x .log 3 1
1 log x
− − =− (1) 
Bài giải: 
Điều kiện: 
3
x 0x 0
19x 1 x
9
log x 1 x 3
>⎧⎪⎧⎪ ⎪>⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ≠ ⇔ ≠⎨ ⎨⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪≠⎪ ⎪ ≠⎪⎩ ⎪⎩
Khi đĩ: 
 ( ) ( )
3 3
3 3 3 3
2 log x 4 2 log x 41 1 1 (2)
log 9x 1 log x 2 log x 1 log x
− −⇔ − = ⇔ − =− + − 
Đặt 3t log x (t 2; t 1)= ≠− ≠ , phương trình (2) trở thành: 
 2
t 12 t 4 1 t 3t 4 0
t 42 t 1 t
⎡ = −− ⎢− = ⇔ − − = ⇔ ⎢ =+ − ⎢⎣
• Với t 1= − ta được pt : 3 1log x 1 x 3= − ⇔ = 
• Với t 4= ta được pt : 3log x 4 x 81= ⇔ = 
So với điều kiện ta được nghiệm của pt(1) là 1x ; x 81
3
= = 
Bài 8: Giải phương trình: ( ) ( )x x+13 3log 3 - 1 .log 3 - 3 = 6 (1) 
Bài giải: 
Điều kiện: − > ⇔ > ⇔ >x x3 1 0 3 1 x 0 
Khi đĩ: ( ) ( ) ( )⇔ + − =⎡ ⎤⎣ ⎦x x3 31 log 3 - 1 . 1 log 3 1 6 
Đặt: ( )= −x3t log 3 1 , pt trở thành: ( )
=⎡+ = ⇔ + − = ⇔ ⎢ = −⎢⎣
2
t 2
t t 1 6 t t 6 0
t 3
• Với = −t 3 : ( )− = − ⇔ − = ⇔ = ⇔ =x x x3 31 28 28log 3 1 3 3 1 3 x log27 27 27 
• Với =t 2 : ( )− = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =x x x3 3log 3 1 2 3 1 9 3 10 x log 10 
Các nghiệm tìm được thỏa điều kiện. 
Vậy pt(1) cĩ hai nghiệm là = =3 328x log ; x log 1027 
Bài 9: Giải phương trình: =x 7log 7x .log x 1 (1) 
Bài giải: 
Điều kiện: 
>⎧⎪⎨ ≠⎪⎩
x 0
x 1
Khi đĩ: ( ) ( ) ⎛ ⎞⇔ = ⇔ + =⎜ ⎟⎝ ⎠x 7 77
1 1 11 log 7x .log x 1 1 .log x 1
2 2 log x
Đặt = 7t log x , pt trở thành: 
>⎧ >⎧⎪ ⎪⎛ ⎞+ = ⇔ ⇔ ⇔ =⎨ ⎨⎜ ⎟ ⎛ ⎞ + − =⎝ ⎠ + =⎜ ⎟ ⎪⎪ ⎩⎝ ⎠⎩
22
t 0 t 01 11 .t 1 t 11 1 t t 2 02 t 1 .t 1
2 t
• Với =t 1 : = ⇔ =7log x 1 x 7 (thỏa điều kiện) 
Vậy pt(1) cĩ nghiệm là =x 7 
Bài 10: Giải phương trình: ( ) ( )− ++ − + − =222x 1 x 1log 2x x 1 log 2x 1 4 (1) 
Bài giải: 
Điều kiện: 
⎧ ⎪⎧ + − > ⎪⎪ ⎪ >− >⎪ ⎧⎪ >⎪ ⎪ ⎪− ≠ ⇔ ≠ ⇔⎨ ⎨ ⎨ ≠⎪ ⎪ ⎪⎩+ > > −⎪ ⎪⎪ ⎪ ≠+ ≠⎩ ⎪⎪⎩
2
1x 1 x
22x x 1 0
1x2x 1 0 12 x
22x 1 1 x 1
x 1x 1 0 x 1
x 0x 1 1
Khi đĩ: 
( ) ( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
− +
−
−
⇔ − + + − =
⇔ + + + =+
2x 1 x 1
2x 1
2x 1
1 log 2x 1 x 1 2 log 2x 1 4
1 1 log x 1 2 4
log x 1
Đặt ( )−= +2x 1t log x 1 , pt trở thành: 
=⎡+ = ⇔ − + = ⇔ ⎢ =⎢⎣
2
t 12t 3 t 3t 2 0
t 2t
• Với =t 1 : ( )− + = ⇔ + = − ⇔ =2x 1log x 1 1 x 1 2x 1 x 2 (thỏa điều kiện) 
• Với =t 2 : ( ) ( )−
=⎡⎢+ = ⇔ + = − ⇔ − = ⇔ ⎢ =⎢⎣
2 2
2x 1
x 0 (loai)
log x 1 2 x 1 2x 1 4x 5x 0 5x
4
Vậy pt(1) cĩ tập nghiệm là { }= 5S 2; 4 
Bài 11: Giải bất phương trình: − + ≥
2
1
2
x 3x 2log 0
x
 (1) 
Bài giải: 
Điều kiện: 
 ⇔ ⎢ >⎢⎣
2 0 x 1x 3x 2 0
x 2x
Khi đĩ: 
( ) − +⇔ ≥
− +⇔ ≤
− +⇔ ≤
<⎡⇔ ⎢ − ≤ ≤ +⎢⎣
2
1 1
2 2
2
2
x 3x 21 log log 1
x
x 3x 2 1
x
x 4x 2 0
x
x 0
2 2 x 2 2
So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là 
⎡ − ≤ <⎢⎢ < ≤ +⎣
2 2 x 1
2 x 2 2
Bài 12: Giải bất phương trình: +⎛ ⎞ <⎜ ⎟+⎝ ⎠
2
0,7 6
x xlog log 0
x 4
 (1) 
Bài giải: 
Điều kiện: 
+ +⎧ ⎧> > − ⇔ > ⇔ ⎢⎨ ⎨ >+ ++ + ⎢⎪ ⎪ ⎣> >⎪ ⎪+ +⎩ ⎩
2 2
2 2
2 2
6
x x x x0 0 4 x 2x x x 4x 4 x 4 1 0
x 2x 4 x 4x x x xlog 0 1
x 4 x 4
Khi đĩ: 
( ) + +⎛ ⎞⇔ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
+ +⇔ > ⇔ >+ +
− ⇔ ⎢ >+ ⎢⎣
2 2
0,7 6 0,7 6
2 2
6 6
2
x x x x1 log log log 1 log 1
x 4 x 4
x x x x log log 6 6
x 4 x 4
4 x 3x 5x 24 0
x 8x 4
So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là 
− ⎢⎣
4 x 3
x 8
Bài 13: Giải bất phương trình: ( ) ( )− + + ≤13
3
2 log 4x 3 log 2x 3 2 (1) 
Bài giải: 
Điều kiện: 
⎧ >− >⎧ ⎪⎪ ⇔ ⇔ >⎨ ⎨+ >⎪ ⎪⎩ > −⎩
3x4x 3 0 34 x
2x 3 0 3 4x
2
Khi đĩ: 
( ) ( ) ( )
( ) ( )[ ]
( ) ( )
⇔ − ≤ + +
⇔ − ≤ +
⇔ − ≤ +
⇔ − − ≤
⇔ − ≤ ≤
2
3 3
2
3 3
2
2
1 log 4x 3 2 log 2x 3
 log 4x 3 log 9 2x 3
 4x 3 9 2x 3
 16x 42x 18 0
3 x 3
8
So với điều kiện ta được nghiệm của bpt(1) là < ≤3 x 3
4
Bài 14: Giải bất phương trình: 
−
− ⎛ ⎞− ≤⎜ ⎟⎝ ⎠
2
2
2x x
x 2x 19 2 3
3
 (1) 
Bài giải: 
Ta cĩ: 
−
− − −⎛ ⎞− ≤ ⇔ − − ≤⎜ ⎟⎝ ⎠
2
2 2 2
2x x
x 2x x 2x x 2x19 2 3 9 2.3 3 0
3
Đặt −= >2x 2xt 3 (t 0) , bpt trở thành: − − ≤ ⇔ − ≤ ≤2t 2t 3 0 1 t 3 
Do >t 0 nên ta chỉ nhận < ≤0 t 3 
Với < ≤0 t 3 : −< ≤ ⇔ − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤ +2x 2x 2 20 3 3 x 2x 1 x 2x 1 0 1 2 x 1 2 
Vậy bpt(1) cĩ tập nghiệm là ⎡ ⎤= − +⎣ ⎦S 1 2;1 2 
Bài 15: Giải bất phương trình: ( ) ( )−+ − < + +x x 25 5 5log 4 144 4 log 2 1 log 2 1 (1) 
Bài giải: 
Ta cĩ: 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
−
−
−
⎡ ⎤⇔ + − < +⎣ ⎦
⎡ ⎤⇔ + < +⎣ ⎦
⇔ + < +
⇔ − + <
⇔ < < ⇔ < <
x x 2
5 2 5
x x 2
5 5
x x 2
x x
x
1 log 4 144 log 16 log 5 2 1
 log 4 144 log 80 2 1
 4 144 80 2 1
 4 20.2 64 0
 4 2 16 2 x 4
Vậy bpt(1) cĩ tập nghiệm là ( )=S 2;4 
 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Bài 1: Giải bất phương trình: 
 +⎛ ⎞ ≥⎜ ⎟+⎝ ⎠1 23
2x 3log log 0
x 1
Bài 2: Giải phương trình: 
 ⎛ ⎞+ = −⎜ ⎟⎝ ⎠x3
1 63 log 9x
log x x
Bài 3: Giải phương trình: 
 ( ) ( )+ + − =12
2
2 log 2x 2 log 9x 1 1 
Bài 4: Giải bất phương trình: 
 + +− − ≤2x 1 2x 1 x3 2 5.6 0 
Bài 5: Giải bất phương trình: 
 − − − −− − ≤2 22x 4x 2 2x x 12 16.2 2 0 
------------------------------Hết----------------------------------