Chuyên đề Hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số logarit

Chương II. HÀM SỐ LUỸ THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT
I. LUỸ THỪA
Dạng 1: Tính giá trị và rút gọn biểu thức
Phương pháp: Sử dụng các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, hữu tỉ hoặc lũy thừa với số mũ thực
Bài 1: Tính các biểu thức : 
	a) 	b) 
	c)	d) 	
	ĐS: 	
Bài 2 : Rút gọn biểu thức : 	ĐS: 	
Bài 3 : Cho biểu thức : Tính A khi a = 5 ; b = 	ĐS: 
Dạng 2: Tập xác định và đạo hàm của hàm số lũy thừa
Phương pháp: 
Hàm số có tập xác định dựa vào . Cụ thể:
Khi thì hàm số xác định với mọi 
Khi thì hàm số xác định với mọi 
Khi thì hàm số xác định với mọi 
Hàm số có đạo hàm với mọi x > 0 và 
Ví dụ mẫu: Tìm tập xác định và tính đạo hàm của hàm số
a) 	b) 
Giải
a) Vì nên hàm số xác định khi 
 Vậy tập xác định 
 Đạo hàm 
b) Hàm số xác định khi 
 Vậy tập xác định 
 Đạo hàm 
Bài tập luyện tập: Tìm tập xác định và tính đạo hàm của các hàm số
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 	f) 
g) 	h) 	i) 
II. LOGARIT
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức, chứng minh đẳng thức
Phương pháp: Sử dụng các công thức liên quan đến logarit
Ví dụ mẫu: Tính giá trị của biểu thức
a) 	b) 	c) 
Giải
a) 
b) 
c) 
Ví dụ mẫu: 
a) Cho a. Tính theo a
b) Cho b. Tính theo b
Giải
a) 
b) 
Bài tập luyện tập:
Bài 1: Tính các lôgarít sau:
 a) b) c) d) 
 e) g) h) i) 
Bài 2: Rút gọn biểu thức:
Bài 3: Rút gọn biểu thức:
 a) b) 
 c) d) 
Bài 4: Tính các biểu thức sau theo a và b :
 1) Cho , . Tính theo a và b. 
 2) Cho , . Tính theo a và b. 
 3) Cho , . Tính theo a và b. 
 4) Cho . Tính theo a và b. 
 5) Cho = a. Tính theo a và b. 
Bài 5: 
 1) Chứng minh rằng với a, b, N > 0, ab 1.
 2) Chứng minh rằng với a, x > 0, a, x 1
 3) Cho x, y > 0 vaø x2 + 4y2 = 12xy. Chöùng minh: lg(x+2y) – 2 lg2 = (lgx + lg y) / 2
Dạng 2: Tập xác định và đạo hàm của hàm số logarit
Phương pháp: 
Hàm số với xác định khi 
Hàm số với có đạo hàm với mọi x > 0 và 
Đặc biệt 
Ví dụ mẫu: Tìm tập xác định và tính đạo hàm của hàm số
a) 	b) 
Giải
a) Hàm số xác định khi 
 Vậy tập xác định 
 Đạo hàm 
b) Hàm số xác định khi 
 Vậy tập xác định 
 Đạo hàm 
Bài tập luyện tập: Tìm tập xác định và tính đạo hàm của các hàm số sau
a) y = 	b) y = 	c) y = 
d) y = log2(x2 + x – 6) + ln(x + 2) e)y = - logx f) y = 
III. Hàm số mũ
Dạng : Tập xác định và đạo hàm của hàm số mũ
Phương pháp: 
Hàm số với xác định với mọi x
Hàm số với có đạo hàm với mọi x và 
Đặc biệt 
Ví dụ mẫu: Tính đạo hàm của hàm số
a) 	 b) 
Giải
a) Đạo hàm 
b) Đạo hàm 
Bài tập luyện tập: Tính đạo hàm của các hàm số sau
a) y = x.ex 	b) y = x7.ex	c) y = (x – 3)2x 	d) y = 5x.sin3x
e) y = etanx 	f) y = 	g) y = 3x + 5x 	h) y = 
IV. PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT
A. Phương trình mũ
Vấn đề 1: Đưa về cùng cơ số 
Phương pháp: 
Ví dụ mẫu Giải các phương trình sau
a) 	b) 
Giải
a) Ta có : 
 Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất 
b) Ta có:
 Vậy phương trình có hai nghiệm x = -2, x = -3.
Bài tập luyện tập
Bài 1: Giải các phương trình sau
 a) 254x = 53x – 1	b) 
 c) 5x + 5x+1 + 5x+2 = 3x + 3x+3 + 3x+1	d) 2x + 2x - 1 + 2x - 2 = 3x – 3x - 1 + 3x – 2
ĐS: a) x = -1/5; b) x = 1, x = -2; 	c) x = 0; d) x = 2
Bài 2: Giải các phương trình sau
 a) 3x.2x+1 = 72	b) 62x+4 = 3x.2x+8
 c) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x	d) 4.3x+2 + 5.3x – 7.3x+1 = 60
ĐS a) x = 2; b) x = 4	c) x = 1; x = 3 d) x = 1
Vấn đề 2 : Đặt ẩn phụ 
Phương pháp: 
Phương trình Đặt ta được . 
Phương trình . Đặt ta được .
Phương trình Đặt ta được . 
Phương trình với . Đặt ta được .
Ví dụ mẫu: Giải các phương trình: 
a) 	b) 	c) 
Giải
a) Ta có : 
Đặt , t > 0.
Ta được phương trình: 
Với t = 3 thì 
Với t = 9 thì 
Vậy phương trình có hai nghiệm: .
b) Ta có: 
Đặt , t > 0.
Ta được phương trình: 
Với t = 10 thì 
Phương trình có nghiệm duy nhất: .
c) Ta có 
Đặt 
Ta được phương trình: 
Với t = 1 thì 
Với t = thì 
Vậy phương trình có hai nghiệm: .
Bài tập luyện tập
Bài 1 : Giải phương trình : 
a) 49x + 4.7x – 5 = 0 (ĐS: x = 0)	b) 3x+2 + 9x+1 = 4 (ĐS: x = -1)
c) 22x + 1 +3. 2x = 2	 (ĐS: x = -1)	d) 92x +2 - 4.32x + 1 + 3 = 0 (ĐS: PTVN) 	
e) 52x + 4 – 110.5x + 1 – 75 = 0 (ĐS: x = -1)	f) 	 (ĐS: x = 0, x =1)	
g) 	(ĐS: x = 1; x = log32)	h) 	 (ĐS: x = 0, x = ln)
Bài 2 : Giải các phương trình : 
a) 6.9x -13.6x + 6.4x = 0 (ĐS: x = 1)	b) (ĐS: x = 0)
 c) 32x+4 + 45.6x – 9.22x+2 = 0 (ĐS: x = -2)	d) (ĐS: x = 1)
 Bài 3 : Giải các phương trình : 
 a) (ĐS: x = 1)	b) (ĐS: x = 2)
Vấn đề 3 : Lôgarit hoá 
Phương pháp: 
Ví dụ mẫu: Giải phương trình 
Giải
Vì hai vế của phương trình đề dương nên lấy logarit cơ số 5 ở 2 vế ta được PT: 
Vậy phương trình có 2 nghiệm x = 1 và x = 2 + log52.
Bài tập luyện tập: Giải các phương trình
 a) (ĐS: x = 0; x= -log23) 	b) (ĐS: x = 2; x= -log52-1)
 c) (ĐS: x = 5; x= -log52)	d) (ĐS: x = 2; x= -log32 +1)
Vấn đề 4 : Dùng tính đơn điệu 
Phương pháp: 
Phương trình với f(x) tăng hoặc giảm trên tập D thì có không quá 1 nghiệm trên D. 
Nếu với f(x) tăng hoặc giảm trên tập D thì f(u) = f(v) ó u = v với u, v D
Ví dụ mẫu: Giải phương trình 
Giải
Ta có: 
Vì nên hàm số tăng trên R
Mặt khác x = 3 là một nghiệm của phương trình
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
Bài tập luyện tập Giải các phương trình : 
 a) 3x + 4x = 5x	b)5x = 1 – 3x
 c) 	d)32-x = x + 2
B. Phương trình lôgarit : 
Vấn đề 1 : Đưa về cùng cơ số 
Phương pháp: với a > 0, a ta luôn có 
Ví dụ mẫu: Giải các phương trình 
a) 	b) 
Giải
a) Điều kiện: x > 0
Khi đó:
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 64.
b) Điều kiện: x > 0
Khi đó:
Vậy phương trình có nghiệm 
Bài tập luyện tập: Giải các phương trình : 
 a) 	b)
 c) 	d)
 e) 	f)
ĐS: a) x = 8; b) x = 16; c) x = 2; d) x = e) x = -29; x = 25; f) 3; x = -5
Vấn đề 2 : Đặt ẩn phụ 
1) Giải các phương trình : 
 a) 	b) 
	 c) 	d)
 e) 	f) 
Hướng dẫn
 	a) Điều kiện: x > 0. Khi đó đặt t = log3x ta được phương trình t2 – 4t + 3 = 0 
	b) Điều kiện: x > 0. Khi đó đặt t = log5x ta được phương trình t2 – 2t – 3 = 0 
	c) Điều kiện: x > 0, x 1. Chú ý rằng 
	e) Điều kiện: x > 0. Chú ý rằng 
	f) Điều kiện: x > 0, x 1/3. Chú ý rằng 
2) Giải các phương trình : 
 a) 	b) 
 c) 	d)
Hướng dẫn
 	a) Điều kiện: x > 0, x 105, x 10-1 . Khi đó đặt t = logx ta được phương trình 
	d) Điều kiện: x > 0. Khi đó 
Vấn đề 3 : Mũ hoá
Giải các phương trình : 
 a) log5x (x + 4) = 1 	b)
Hướng dẫn
IV. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ VAØ BAÁT PHÖÔNG TRÌNH LOGARIT
Vaán ñeà 1: Baát Phöông trình muõ
Phương pháp: Sử dụng tính chất hàm số mũ y = ax tăng khi a > 1 và giảm khi 0 < a < 1. Hơn nữa, hàm số mũ luôn nhận giá trị dương với mọi x.
Baøi 1: Giaûi caùc baát phöông trình (Đưa về cùng cơ số)
	a) 16x – 4 ≥ 8	b) 	c) 
	d) 	e) 	f) 52x + 2 > 3. 5x
Baøi 2: Giaûi caùc baát phöông trình (Đặt ẩn phụ)
	a) 22x + 6 + 2x + 7 > 17	b) 52x – 3 – 2.5x -2 ≤ 3	c) 
	d) 5.4x +2.25x ≤ 7.10x 	e) 2. 16x – 24x – 42x – 2 ≤ 15 	f) 4x +1 -16x ≥ 2log48
	g) 9.4-1/x + 5.6-1/x < 4.9-1/x 	
Vaán ñeà 2: Baát Phöông trình logarit
Phương pháp: Sử dụng tính chất hàm số logarit y = loga x với x > 0 tăng khi a > 1 và giảm khi 0 < a < 1. 
Baøi 1: Giaûi caùc baát phöông trình (Đưa về cùng cơ số)
	a) log4(x + 7) > log4(1 – x) 	b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – 4
	c) log2( x2 – 4x – 5) < 4	d) log1/2(log3x) ≥ 0
	e) 2log8( x- 2) – log8( x- 3) > 2/3	f) log2x(x2 -5x + 6) < 1	
Baøi 2: Giaûi caùc baát phöông trình (Đặt ẩn phụ)
	a) log22 + log2x ≤ 0 	b) log1/3x > logx3 – 5/2
	c) log2 x + log2x 8 ≤ 4 	d) 
	e) 	f) 
BÀI TẬP TỔNG HỢP_NÂNG CAO
Bài 1: Giải các phương trình sau
1) 	2) 	3) 2. 3x+1 – 6. 3x-1 – 3x = 9
4) 	5) 	6) 
7) 	8) 	9) 
10) 	11) 	12) 
13) 	14) 	15) 
16) 	17)	18) 
19) 	20) 	21) 
22) 	23) 	24) 
25) 	26) 	17) 
28) 	29) 	30) 
31)	32) 	33)
34) 	35) 	36) 	
Bài 2: Giải các phương trình sau
1) 2) 	3) 
4) 	5) lg4(x – 1)2 + lg2(x – 1)3 = 25	6) 
7) 	8) 	9) 4) 
10) 	11) 	
Bài 3: Giải các bất phương trình sau
1)	2)	3)	 
4) 	5) 	6)