Chuyên đề Đường tròn

1 
Đường tròn 
Loại 1. Phương trình đường tròn 
A. Tóm tắt lý thuyết 
* Phương trình chính tắc: Phương trình    2 2 2x a y b R    ( R 0 ) 
là phương trình chính tắc đường tròn tâm  I a;b , bán kính R . 
* Phương trình tổng quát: Phương trình 2 2x y 2ax 2by c 0    ( 2 2a b c 0   ) là 
phương trình tổng quát của đường tròn tâm  I a;b , bán kính 2 2R a b c   . 
* Chú ý (điều kiện tiếp xúc giữa đường thẳng và đường tròn): Cho đường tròn  C có tâm 
I , bán kính R và đường thẳng  . Khi đó: 
 C tiếp xúc với    R d I,  . 
B. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. Lập phương trình đường tròn  C tâm  I 1; 2 trong các trường hợp sau 
1)  C có bán kính bằng 5 . 
2)  C đi qua điểm  A 2;7 . 
3)  C tiếp xúc với đường thẳng : 3x 2y 12 0    . 
Giải 
1)  C có tâm  I 1; 2 , bán kính bằng 5       2 2C : x 1 y 2 25    . 
2) Gọi R là bán kính của  C .  A C  2 2 2 2R IA 3 9 90    . 
Vậy      2 2C : x 1 y 2 90    . 
3) Gọi R là bán kính của  C .  C tiếp xúc với      
3.1 2. 2 12 19
2 2 133 2
R d I,
  

    . 
Vậy      2 2 36113C : x 1 y 2    . 
Ví dụ 2. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm  A 2;0 ,  B 3; 1 ,  C 3; 3 . 
Giải 
Gọi  C là đường tròn đi qua ba điểm  A 2;0 ,  B 3; 1 ,  C 3; 3 . 
2 
  I a;b là tâm của  C  
2 2
2 2
IA IB
IB IC
 


 
     
       
2 2 22
2 2 2 2
a 2 b a 3 b 1
a 3 b 1 a 3 b 3
      

       
 
a b 3
b 2
 

 
 
a 1
b 2


 
  I 1; 2 . 
R là bán kính của  C  2 2R IA 5  . Vậy      2 2C : x 1 y 2 5    . 
Ví dụ 3. Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm  A 1;4 ,  B 1;6 và có tâm thuộc 
đường thẳng : x 2y 4 0    . 
Giải 
Giả sử  C là đường tròn cần lập phương trình và  C có tâm I , bán kính R . 
Cách 1: I  tọa độ I có dạng  I 2a 4;a  . 
Ta có  IA 2a 3; a 4  

     2 22 2IA 2a 3 a 4 5a 20a 25       . 
 IB 2a 5; a 6  

     2 22 2IB 2a 5 a 6 5a 32a 61       . 
Từ A ,  B C  2 2IA IB (cùng bằng 2R ) 
  2 25a 20a 25 5a 32a 61     
  a 3 
   I 2;3 . 
Lại có 2 2 2 2R IA 3 1 10    . Vậy      2 2C : x 2 y 3 10    . 
Cách 2: Gọi M là trung điểm của AB  IM AB (bán kính đi qua trung điểm của dây cung 
thì vuông góc với dây cung). 
Ta có M là trung điểm của AB   M 0;5 ,  AB 2;2

. 
3 
Δ
M A
I
B
 
   
IM M 0;5
IM AB 2;2 1; 1


  


qua
   IM : x y 5 0   
  IM : x y 5 0   . 
I IM   
x y 5 0
I :
x 2y 4 0
  

  
   I 2;3 . 
2 2 2 2R IA 3 1 10    . Vậy      2 2C : x 2 y 3 10    . 
Ví dụ 4. Lập phương trình đường tròn đi qua hai điểm  A 2;9 ,  B 3;10 và tiếp xúc với 
đường thẳng : 3x 2y 2 0    . 
Giải 
Giả sử  C là đường tròn cần lập phương trình và  C có tâm  I a;b , bán kính R . 
Ta có  IA 2 a;9 b  

     2 22IA a 2 b 9    , 
  IB 3 a;10 b   

     2 22IB a 3 b 10    , 
   3a 2b 2
13
d I,    . 
Từ 2 2IA IB (cùng bằng 2R )         2 2 2 2a 2 b 9 a 3 b 10       
 b 5a 12   1 . 
Lại có  2 2IA d I,  (cũng cùng bằng 2R )       
23a 2b 22 2
13a 2 b 9
 
     2 . 
Thay  1 vào  2 ta thu được 
     
23a 2 5a 12 222
13a 2 5a 12 9
                 
2 2 2a 2 5a 3 13 a 2     
  2a 2a 3 0   
  
a 1
a 3
 
 
+) Thay a 1  vào  1 ta có b 7   I 1;7 . 2 2 2 2R IA 3 2 13    . Vậy trong trường 
hợp này  C có phương trình    2 2x 1 y 7 13    . 
4 
+) Thay a 3 vào  1 ta có b 27   I 3;27 . 2 2 2 2R IA 1 18 325    . Vậy trong 
trường hợp này  C có phương trình    2 2x 3 y 27 325    . 
Tóm lại      2 2C : x 1 y 7 13    hoặc      2 2C : x 3 y 27 325    . 
5 
C. Bài tập 
Bài 1. Lập phương trình đường tròn  C biết 
1)  C có tâm  I 1;3 , bán kính R 4 . 
2)  C có tâm  I 2;3 ,    A 1; 2 C  . 
3)  C đi qua các điểm  A 1;2 ,  B 2; 3  và tâm I thuộc đường thẳng d : x 3y 1 0   . 
4)  C đi qua các điểm  A 1;4 ,  B 4;0 và  C 2; 2  . 
5)  C Có đường kính là đoạn thẳng AB với  A 3;4 ,  B 2;7 . 
6)  C có tâm  I 1;2 , tiếp xúc với đường thẳng d : 3x 4y 1 0   . 
7)  C có tâm  I 2;3 , cắt đường thẳng d : 3x 4y 1 0   theo một dây cung có độ dài bằng 2 . 
8)  C đi qua  A 2; 1 và tiếp xúc với các trục tọa độ. 
9)  C là đường tròn ngoại tiếp tam giác có các cạnh nằm trên các đường thẳng 5y x 2  , 
y x 2  và y 8 x  . 
10)  C nội tiếp tam giác OAB với  A 4;0 ,  B 0;3 . 
Bài 2. [ĐHA07] Cho tam giác ABC có  A 0;2 ,  B 2; 2  và  C 4; 2 . Gọi H là chân 
đường cao kẻ từ B ; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC . Viết phương 
trình đường tròn đi qua các điểm H , M , N . 
Bài 3. Cho ABC có AB : x y 2 0   , AC : 2x 6y 3 0   và  M 1;1 là trung điểm cạnh 
BC . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC . 
Bài 4. [ĐHB09Chuẩn] Cho    2 2 45C : x 2 y   và hai đường thẳng 1:x – y 0  , 
2:x – 7y 0  . Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tròn  C' biết  C' tiếp xúc 
với các đường thẳng 1 , 2 và tâm K thuộc (C) . 
Bài 5. [ĐHB05] Cho hai điểm  A 2;0 và  B 6;4 . Viết phương trình đường tròn  C tiếp xúc 
với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của  C đến điểm B bằng 5 . 
Bài 6. Cho  A 3;1 ,  B 0;7 ,  C 5;2 . 
1) Chứng minh rằng ABC vuông và tính diện tích tam giác. 
2) Giả sử điểm M chạy trên đường tròn ngoại tiếp ABC . Chứng minh rằng khi đó trọng tâm 
G của MBC chạy trên một đường tròn, viết phương trình đường tròn đó. 
6 
Bài 7. [ĐHA10Chuẩn] Cho hai đường thẳng 1d : 3x y 0  và 2d : 3x y 0  . Gọi  T là 
đường tròn tiếp xúc với 1d tại A , cắt 2d tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông 
tại B . Viết phương trình của  T , biết tam giác ABC có diện tích bằng 32 và điểm A có 
hoành độ dương. 
Bài 8. [ĐHD09NC] Cho    2 2C : x 1 y 1   . Gọi I là tâm của  C . Tìm tọa độ điểm M 
thuộc  C sao cho  oIMO 30 . 
D. Đáp số 
Bài 1 1) 2) 
3) 4) 
5) 6) 
7) 8) 
9) 10) 
Bài 2 2 2x y x y 2 0     . 
Bài 3 2 2 658x y x 3y 0     . 
Bài 4      2 28 845 5 25C' : x y    . 
Bài 5      2 2C : x 2 y 7 49    hoặc      2 2C : x 2 y 1 1    . 
Bài 6 1) 15ABC 2S  2)    
2 25 257
2 2 18x y    . 
Bài 7    
2 231
22 3
T : x y 1     
 
. 
Bài 8 332 2M ;
  
 
 . 
7 
Loại 2. Vị trí tương đối giữa điểm, đường thẳng với đường tròn 
A. Tóm tắt lý thuyết 
* Vị trí tương đối giữa điểm và đường tròn: Xét đường tròn  C có tâm I , bán kính R và 
điểm M . Đặt d IM . Ta có 
+) M nằm ngoài  C  d R . 
+)  M C  d R . 
+) M nằm trong  C  d R . 
* Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn: Xét đường tròn  C có tâm I , bán kính 
R và đường thẳng  . Đặt  d d I,  . Ta có 
+)  không có điểm chung với  C  d R . 
+)  tiếp xúc với  C ( là tiếp tuyến của  C )  d R . 
+)  cắt  C tại 2 điểm phân biệt  d R . 
* Chú ý: Xét đường tròn  C và điểm M . Ta có mối liên hệ giữa vị trí tương đối giữa M và 
 C với số tiếp tuyến qua M của  C : 
+) M nằm ngoài  C : qua M tồn tại hai tiếp tuyến của  C . 
+)  M C : qua M tồn tại duy nhất một tiếp tuyến của  C . Tiếp tuyến 
này nhận M làm tiếp điểm. 
+) M nằm trong  C : qua M không tồn tại tiếp tuyến của  C . 
B. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. Cho đường tròn      2 2C : x 1 y 2 16    và điểm  A 1;6 . Chứng minh A nằm 
ngoài  C và viết phương trình các tiếp tuyến qua  A 1;6 của  C . 
Giải 
Ta có  C là đường tròn tâm  I 1;2 , bán kính R 4 . 
 IA 2;4

  IA 4 16 2 5 R     qua A có hai tiếp tuyến của  C . 
 là đường thẳng qua A  phương trình  có dạng: 
   : a x 1 b y 6 0      : ax by a 6b 0     ( 2 2a b 0  ). 
8 
Có   a 2b a 6b 2 a 2b
2 2 2 2a b a b
d I,    
 
   .  là tiếp tuyến của  C khi và chỉ khi 
 d I, R   2 a 2b
2 2a b
4

  
2 2a 4ab 4b
2 2a b
4 

  23a 4ab 0   4b
3
a 0
a


 
. 
+) a 0   : b y 6 0    : y 6 0   (a 0  b 0 ). 
+) Từ 4b3a   , cho b 3   a 4  : 4x 3y 22 0    
Vậy : y 6 0   hoặc : 4x 3y 22 0    . 
Ví dụ 2. Cho   2 2C : x y 2x 6y 9 0     .Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) biết: 
1) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x y 0  . 
2) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : 3x 4y 0  . 
3) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : 2x y 0  góc 45 . 
Giải 
Ta có      2 2C : x 1 y 3 1      C có tâm  I 1;3 , bán kính R 1 . Gọi  là tiếp tuyến 
cần tìm. 
1) d   phương trình  có dạng : x y c 0    . 
Ta có   1 3 c c 2
2 2
d I,      . Do đó:  là tiếp tuyến của  C khi và chỉ khi 
 d I, R   c 2
2
1  
  c 2 2  
  
c 2 2
c 2 2
  

  
  
c 2 2 2
c 2 2 2
  

 
 
: x y 2 2 2 0
: x y 2 2 2 0
    

    
. 
Vậy : x y 2 2 2 0     hoặc : x y 2 2 2 0     . 
2) d   phương trình  có dạng : 4x 3y c 0    . 
9 
Ta có   4 9 c c 135 5d I,
  
   . Do đó:  là tiếp tuyến của  C khi và chỉ khi 
 d I, R   c 135 1

 
  c 13 5  
  
c 13 5
c 13 5
 
   
  
c 8
c 18
 
  
 
: 4x 3y 8 0
: 4x 3y 18 0
   
   
. 
Vậy : 4x 3y 8 0    hoặc : 4x 3y 18 0    . 
3) Xét đường thẳng  nhận  n a;b

 ( 2 2a b 0  ) là một véc-tơ pháp tuyến. Ta có 
 ,d 45     cos ,d cos 45   
  
 
2a b 2
22 25 a b


 
  
 
2 24a 4ab b 1
22 25 a b
 

 
  2 23a 8ab 3b 0    1 
* Thay b 0 vào  1  a 0 (loại). 
* b 0 : chia cả hai vế  1 cho 2b , đặt abt  ta được 
 23t 8t 3 0   
 1
3
t 3
t


 
. 
+) t 3  ab 3  a 3b . Cho b 1  a 3  Phương trình  có dạng 
 : 3x y c 0    . 
   3 3 c c 6
10 10
d I,      . 
10 
Do đó:  là tiếp tuyến của  C khi và chỉ khi 
 d I, R   c 6
10
1  
  c 6 10  
  
c 6 10
c 6 10
  

  
  
c 6 10
c 6 10
   

  
 
: x 3y 6 10 0
: x 3y 6 10 0
    

    
. 
+) 13t    
a 1
b 3   b 3a  . Cho a 1  b 3   Phương trình  có dạng 
 : x 3y c 0    . 
   1 9 c c 8
10 10
d I,      . 
Do đó:  là tiếp tuyến của  C khi và chỉ khi 
 d I, R   c 8
10
1  
  c 8 10  
  
c 8 10
c 8 10
  

  
  
c 8 10
c 8 10
  

 
 
: x 3y 8 10 0
: x 3y 8 10 0
    

    
. 
Vậy : 3x y 6 10 0     , hoặc : 3x y 6 10 0     , 
 hoặc : x 3y 8 10 0     , hoặc x 3y 8 10 0    . 
Ví dụ 3. Cho  A 0; 3 và đường tròn   2 2C : x y 6x 6y 7 0     . Lập PTĐT qua A , cắt 
 C theo một dây cung có độ dài bằng 10 . 
11 
Giải 
Ta có      2 2C : x 3 y 3 25      C có tâm  I 3;3 , bán kính R 5 . 
Δ
E
M
A
I N
  là đường thẳng qua A 
 phương trình  có dạng: 
 : ax b y 3 0    
hay : ax by 3b 0    ( 2 2a b 0  ). 
Giả sử  cắt  C tại M , N . Lấy I là trung 
điểm của MN  IE   (bán kính đi qua 
trung điểm của dây cung thì vuông góc với dây 
cung). 
Ta có:  
2
10 3 102 2
2 2d I, IE IM ME 25
        
 
  1 . 
Lại có   3a 3b 3b 3 a 2b
2 2 2 2a b a b
d I,    
 
    2 . 
Từ  1 ,  2 suy ra 3 a 2b 3 1022 2a b


  
2 2a 4ab 4b 5
2 2 2a b
 

  2 23a 8ab 3b 0    3 . 
* Thay b 0 vào  3  a 0 (loại). 
* b 0 : chia cả hai vế  3 cho 2b , đặt abt  ta được 
 23t 8t 3 0   
 
1
3t
t 3
 

  
. 
+) 13t   
a 1
b 3  b 3a . Cho a 1  b 3  : x 3y 9 0    . 
+) t 3   ab 3   a 3b  . Cho b 1   a 3  : 3x y 3 0    . 
Vậy : x 3y 9 0    hoặc : 3x y 3 0    . 
12 
Ví dụ 4. [ĐHA09NC] Cho   2 2C : x y 4x 4y 6 0     và đường thẳng 
: x my 2m 3 0     , với m là tham số thực. Gọi I là tâm của đường tròn  C . TÌm m để 
 cắt  C tại hai điểm phân biệt A và B sao cho diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất. 
Ví dụ 5. [ĐHD11NC] Cho  A 1;0 và đường tròn   2 2C : x y 2x 4y 5 0     . Viết PTĐT  
cắt  C tại hai điểm M và N sao cho tam giác AMN vuông cân tại A . 
Giải 
Ta có      2 2C : x 1 y 2 10      C có tâm  I 1; 2 , bán kính R 10 . 
(C)
Δ
A
M N
I
 
 
IM IN R
AM AN
 


cuøng baèng
giaû thieát
 IA là đường trung trực của MN 
  IA 0;2 

 phương trình  có dạng y m . 
Trước hết ta tìm điều kiện để  cắt  C tại hai điểm phân biệt  1 . Xét hệ 
 
 
2 2x y 2x 4y 5 0 2
y m 3
     


. 
Thay  3 vào  2 ta có 2 2x m 2x 4m 5 0     
 2 2x 2x m 4m 5 0      4 ( 2' m 4m 6     ). 
Do đó:  1   4 có hai nghiệm phân biệt  ' 0   2m 4m 6 0    5 . 
Gọi 1x , 2x là các nghiệm của  4  
1 2
2
1 2
x x 2
x x m 4m 5
 

  
  6 . 
Khi đó 
 
 
1
2
M x ;m
N x ;m



 
 
 
1
2
AM 1 x ; m
AN 1 x ; m
  

 

 
           21 2 1 2 1 2AM.AN 1 x 1 x m m x x x x 1 m          
 
  7 . 
13 
Thay  6 vào  7 ta có  2 2 2AM.AN m 4m 5 2 m 2m 4m 6         . 
Do đó 
 AMN vuông tại A 
 AM.AN 0
 
 22m 4m 6 0   
 
m 1
m 3

  
 (thỏa mãn  5 ). 
 
: y 1
: y 3
 
  
 (thỏa mãn  5 ). 
Vậy : y 1  hoặc : y 3   . 
Ví dụ 6. [ĐH11A11Chuẩn] Cho đường thẳng : x y 2 0    và đường tròn 
  2 2C : x y 4x 2y 0    . Gọi I là tâm của  C , M là một điểm thuộc  . Qua điểm M kẻ 
các tiếp tuyến MA và MB đến  C ( A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ của điểm M biết 
tứ giác MAIB có diện tích bằng 10 . 
Giải 
x
x A
B
I
M
Ta có      2 2C : x 2 y 1 5      C có tâm  I 2;1 , bán 
kính R 5 . 
Đặt x MA MB  . Theo tính chất của tiếp tuyến đường tròn 
thì  MAI MBI 90   . Do đó 
 MAIB MAIS 2S MA.IA x 5   . 
Từ giả thiết suy ra: x 5 10  x 2 5  
2 2 2MI IA MA 25    1 . 
M  tọa độ M có dạng 
  M m; m 2  
  IM m 2; m 3  

    2 22 2MI m 2 m 3 2m 2m 13        2 . 
14 
Từ  1 và  2 suy ra: 22m 2m 13 25    2m m 6 0    
m 2
m 3

  
  
 
 
M 2; 4
M 3;1
 


 . 
Vậy  M 2; 4 hoặc  M 3;1 . 
Ví dụ 7. [ĐHD07] Cho      2 2C : x 1 y 2 9    và d : 3x 4y m 0   . Tìm m để trên d 
có duy nhất một điểm P sao cho từ P kẻ được đúng hai tiếp tuyến PA , PB tới  C ( A , B là 
các tiếp điểm) sao cho PAB đều. 
Giải 
Ta thấy  C có tâm là  I 1; 2 , bán kính R 3 . 
(C')
(C)
d
60o
30o
B
A
I
P
Theo tính chất của hai tiếp tuyến kẻ từ 
một điểm nằm ngoài đường tròn tới đường 
tròn thì PAB là tam giác cân tại P . 
Ta có 
 PAB đều  APB 60  
  API 30  
  AIP 60  
  IP 2AI 2R 6   
   P thuộc đường 
tròn  C' có tâm I , bán kính R' 6 . 
Như vậy  P d C'  . Do đó 
điểm P tồn tại duy nhất 
 d tiếp xúc với  C' 
  d I,d R' 
 
3 8 m
5 6
 
 
 11 m 30  
 
11 m 30
11 m 30
 
   
15 
 
m 19
m 41

  
. 
Vậy m 19 hoặc m 41  . 
16 
C. Bài tập 
Bài 1. Xét vị trí tương đối giữa điểm M và đường tròn (C) 
1)  M 1;2 ,   2 2C : x y 2x 4y 4 0     , 
2)  M 0; 1 ,   2 2C : x y 2x 4y 4 0     , 
3)  M 1;2 ,   2 2C : x y 2x 4y 20 0     . 
Bài 2. Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng  và đường tròn (C) 
1) : 3x 4y 5 0    ,   2 2C : x y 4x 6y 12 0     . 
2) : 3x 4y 23 0    ,   2 2C : x y 4x 6y 12 0     . 
3) : 3x 4y 20 0    ,   2 2C : x y 4x 6y 12 0     . 
Bài 3. Cho 2 2(C) : x y 2x 8y 8 0     .Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) biết: 
1) Tiếp tuyến đi qua  A 4;0 . 
2) Tiếp tuyến đi qua  A 4; 6  . 
Bài 4. Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với Ox và đi qua điểm  0;1 . Tìm quỹ tích tâm 
đường tròn đó. 
D. Đáp số 
Bài 1 1) 2) 3) 
Bài 2 1) 2) 3) 
Bài 3 1) 3x 4y 12 0   . 2) 3x 4y 12 0   , x 4 0  . 
Bài 4   2P : x 2y 1 0   . 
Ví dụ 4 m 0 hoặc 815m  . 
17 
Loại 3. Vị trí tương đối giữa hai đường tròn và số tiếp tuyến tuyến 
chung 
A. Tóm tắt lý thuyết 
Xét hai đường tròn  1C có tâm 1I , bán kính 1R ;  2C có tâm 2I , bán kính 2R . Đặt 1 2d I I . 
Ta có: 
d Vị trí tương đối Số tiếp tuyến chung 
1 2d R R   1C ,  2C nằm ngoài nhau 4 
1 2d R R   1C ,  2C tiếp xúc ngoài nhau ngoài nhau 3 
1 2 1 2R R d R R     1C ,  2C cắt nhau tại hai điểm phân biệt 2 
1 2d R R   1C ,  2C tiếp xúc trong nhau 1 
1 2d R R   1C ,  2C lồng nhau 0 
B. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. Tìm các giao điểm A , B của hai đường tròn   2 21C : x y 4x 6y 0    , 
  2 22C : x y 4x 2y 0    . Viết PTĐTR đi qua A , B và  C 3;1 . 
Giải 
* Tọa độ giao điểm của  1C ,  2C là nghiệm của hệ 
 
 
2 2
2 2
x y 4x 6y 0 1
x y 4x 2y 0 2
    

   
. 
Trừ từng vế  1 và  2 ta có 8x 8y 0   y x  3 . 
Thế  3 vào  1 ta được 22x 2x 0   
 
 
3
3
x 0 y 0
x 1 y 1

   


  
. 
Vậy các giao điểm của  1C ,  2C là  A 0;0 và  B 1;1 . 
*  3C là đường tròn đi qua A , B , C  phương trình  3C có dạng 
     2 2 2 23C :m x y 4x 6y n x y 4x 2y 0        , m n 0  . 
18 
 3C đi qua C  8m 24n 0    m 3n  4 . Từ  4 cho n 1  m 3 . 
Do đó 
     2 2 2 23C : 3 x y 4x 6y x y 4x 2y 0        
   2 23C : 4x 4y 8x 16y 0    
   2 23C : x y 2x 4y 0    
      2 23C : x 1 y 2 5    . 
Ví dụ 2. Cho hai đường tròn   2 21C : x y 4x 2y 5 0     ,   2 22C : x y 6x 8y 9 0     . 
Chứng tỏ  1C ,  2C cắt nhau tại hai điểm phân biệt. Viết PTĐT đi qua các giao điểm của 
 1C ,  2C . 
Giải 
* Ta có      2 21C : x 2 y 1 10      1C có tâm  1I 2;1 , bán kính 1R 10 . 
      2 22C : x 3 y 4 16      1C có tâm  2I 3;4 , bán kính 2R 4 . 
 1 2I I 5;3

  1 2I I 25 9 34    1 2 1 2 1 2R R I I R R      1C ,  2C cắt nhau 
tại hai điểm phân biệt. 
*      0 0 1 2M x ;y C C   
2 2
0 0 0 0
2 2
0 0 0 0
x y 4x 2y 5 0
x y 6x 8y 9 0
     

    
     2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0x y 4x 2y 5 x y 6x 8y 9 0          
  0 010x 6y 14 0   
  0 05x 3y 7 0   
  tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình 5x 3y 2 0   . 
Vậy PTĐTR đi qua các giao điểm của  1C ,  2C là 5x 3y 2 0   . 
Ví dụ 3. [ĐHB06] Cho đường tròn   2 2C : x y – 2x – 6y 6 0   và điểm  M 3;1 . Gọi 1T và 
2T là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến  C . Viết phương trình đường thẳng 1 2T T . 
Giải 
*      2 2C : x 1 y 3 4      C có tâm  I 1;3 . 
19 
Ta thấy  1 2MT I MT I 90   
 1T , 2T thuộc đường tròn  C' đường kính MI 
(  C' là đường tròn tâm I ' là trung điểm của MI , bán kính MI2R'  ) 
  1T , 2T là các giao điểm của  C và  C' . 
Ta có  I ' 1;2 ,  IM 4; 2 

  IM 16 4 2 5    R' 5 . 
Do đó      2 2C' : x 1 y 2 5       2 2C' : x y 2x 4y 0    . 
*      0 0 1 2M x ;y C C   
2 2
0 0 0 0
2 2
0 0 0 0
x y 2x 6y 6 0
x y 2x 4y 0
     

   
     2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 0x y 2x 6y 6 x y 2x 4y 0         
  0 04x 2y 6 0    
  0 02x y 3 0   
  tọa độ điểm M thỏa mãn phương trình 2x y 3 0   . 
Vậy PTĐTR đi qua các giao điểm của  1C ,  2C là 2x y 3 0   . 
Ví dụ 4. Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn      2 21C : x 1 y 1 1    , 
     2 22C : x 2 y 1 4    . 
ĐS: (b) x 0 , 3x 4y 12 0   . 
Ví dụ 5. [ĐHD06] Cho   2 2C : x y 2x 2y 1 0     và d : x y 3 0   . Tìm điểm M nằm 
trên d sao cho đường tròn tâm M có bán kính gấp đôi bán kính của  C tiếp xúc ngoài với 
 C . 
ĐS:  M 1;4 hoặc  M 2;1 . 
Giải 
20 
C. Bài tập 
Bài 1. Xét vị trí tương đối của các đường tròn  1C ,  2C 
1)   2 21C : x y 4x 6y 3 0     ,   2 22
143C : x y 12x 0
4
    , 
2)   2 21C : x y 4x 6y 3 0     ,   2 22C : x y 12x 35 0    , 
3)   2 21C : x y 4x 6y 4 0     ,   2 22C : x y 12x 27 0    . 
Bài 2. Cho  1C có tâm  A 1;0 , bán kính 1R 4 và  2C có tâm  B 1;0 , bán kính 
2R 2 . Tìm quỹ tích tâm I của đường tròn tiếp xúc với cả hai đường tròn nói trên. 
Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn   2 21C : x y 4x 3 0    , 
  2 22C : x y 8x 12 0    . 
ĐS: x 3y 0  , x 3y 0  , x 35y 8 0   , x 35y 8 0   . 
Bài 4. [ĐHD03] Cho đường tròn      2 2C : x – 1 y – 2 4  và đường thẳng d : x – y – 1 0 . 
Viết phương trình đường tròn  C' đối xứng với đường tròn  C qua đường thẳng d . Tìm tọa 
độ các giao điểm của  C và  C' . 
ĐS:    2 2C' : x 3 y 4   , các giao điểm của  C và  C' là  A 1;0 và  B 3;2 . 
21 
D. Đáp số