Chuyên đề dạy tự chọn môn Toán 8 - Chuyên đề 1: Giải phương trình

Phòng GD & ĐT Tp Tuy Hòa
Trường THCS LÊ LỢI
GV: TRẦN NHẬT.
CHUYÊN ĐỀ DẠY TỰ CHỌN
MÔN TOÁN 8
CHUYÊN ĐỀ I:
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
A)MỤC TIÊU:
- Giúp HS nắm chắc cách giải các dạng phương trình :
+ Phương trình bậc nhất một ẩn
+ Phương trình tích 
+ Phương trình có ẩn ở mẫu thức
+ Phương trình có chứa tham số ; có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
+ Giải bài toán bằng cách lập phương trình.
- Rèn luyện cho HS khả năng giải pt thành thạo và biết phân tích ; tổng hợp giải các pt một cách linh hoạt – nhanh – chính xác . Nắm vững phương pháp giải từng dạng pt.
- Giáo dục HS tinh thần tự giác , ham học hỏi và yêu thích môn Toán. Biết vận dụng toán học vào các môn học khác và áp dụng vào đời sống KH kĩ thuật.
B ) PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH:
I ) PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN
a) Cách giải : Xét pt : A(x) = B(x) .
Để giải pt này thông thường người ta sử dụng các phép biến đổi đồng nhất và các phép biến đổi tương đương để đưa pt đã cho về dạng C(x) = 0 
+ Nếu C(x) là một đa thức bậc nhất thì pt có dạng: ax + b = 0 ( a ¹ 0 ) đây là một pt bậc nhất một ẩn. Ta dễ dàng thấy rằng pt có một nghiệm duy nhất : x = -b/a 
+ Nếu C(x) = 0 có dạng 0x + b = 0 thì nghiệm phụ thuộc b
Với b = 0 Þ 0x = 0 : PT thỏa mãn với mọi x.
Với b ¹ 0 Þ 0x = -b : Pt vô nghiệm
+ Nếu C(x) là một biểu thức phức tạp ta sẽ giải theo thứ tự các bước giải sau:
B1: QĐMT và khử mẫu ( nếu có )
B2: Bỏ dấu ngoặc
B3: Chuyển vế ( Đưa các số hạng có chứa ẩn về vế trái )
B4: Thu gọn mỗi vế
B5: Chia hệ số của ẩn cho 2 vế ( Tìm giá trị của ẩn tức là tìm nghiệm của Pt)
b) Bài toán: Giải các pt sau :
* Lưu ý: Không phải bất cứ pt nào ta cũng giải theo trình tự các bước trên mà ta có thế biến đổi để giải đơn giản hơn.
Ví Dụ: Giải các pt sau:
1) 
Giải: Thêm 2 vào 2 vế của pt ta được pt tương đương:
Û 
Û 
Û x + 2006 = 0 Û x = - 2006
2) 
3) 
c) Các bài tập trong SGK và SBT Toán 8.
II) PHƯƠNG TRÌNH TÍCH
a) Cách giải: A(x) = B(x) Û C(x) = O
 Û P(x).Q(x) = O 
b) Bài tập: Giải các pt sau:
1) x2 + 5x + 6 = 0 2) x2 + 7x + 2 = 0
3) x2 – x – 12 = 0 4) x2 + 2x + 7 = 0 
5) x3 – x2 – 21x + 45 = 0 Û (x-3)( x2 + 2x – 15 ) = 0
6) 2x3 – 5x2 + 8x – 3 = 0 Û (2x-1)(x2 – 2x + 3 ) = 0 
7) ( x+3)4 + ( x + 5 )4 = 2 . Đặt x + 4 = y . Ta có pt:
( y – 1 )4 + ( y + 1 )4 = 2 Û ( y2 – 2y + 1 )2 + ( y2 + 2y + 1 )2 = 2
 Û 2y4 + 12y2 = 0 
 Û y2 ( y2 + 6 ) = 0 Û y = 0 
8) Giải pt bậc 4 dạng:
ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 ( a ¹ 0 )
Ta đưa về dạng: a( x2 + ) + b ( x + ) + c = 0 . Đặt x + = y 
Ta được pt: ay2 + by + c – 2a = 0 .
Giải pt tìm y từ đó suy ra x.
9) Giải pt bậc 4 dạng:
ax4 + bx3 + cx2 - bx + a = 0 ( a ¹ 0 )
Ta đưa về dạng: a( x2 - ) + b ( x - ) + c = 0 . Đặt x - = y 
Ta được pt: ay2 + by + c + 2a = 0 .
Giải pt tìm y từ đó suy ra x.
Ví dụ: Giải pt sau : x4 – 3x3 + 4x2 – 3x + 1 = 0 
Vì x = 0 không phải là nghiệm của pt . Chia 2 vế của pt cho x2 ¹ 0 , ta được:
( x2 + ) - 3 ( x + ) + 4 = 0 . Đặt y = x + Þ x2 + = y2 – 2
PT trên trở thành:
( y2 – 2 ) – 3y + 4 = 0 Û y2 – 3y + 2 = 0 
Û ( y – 1)( y – 2) = 0 Û y = 1 ; y = 2
* Với y = 1 Þ x + = 1 Þ x2 – x + 1 = 0 : Vô nghiệm
* Với y = 2 Þ x + = 2 Þ x2 –2x + 1 = 0 Þ x = 1
III) PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC
a) Cách giải:
+ Chú ý cần có tập xác định của pt và thực hiện theo các bước giải pt bậc nhất . Sau khi tìm giá trị của ẩn ta cần kiểm nghiệm có thuộc TXĐ không rồi trả lời kết quả.
b) Bài tập: giải các pt sau:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
IV) PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ
Ta xét cách giải pt có chứa tham số qua một số ví dụ cụ thể sau:
Ví dụ: Giải và biện luận pt sau:
1) 3( m + 1)x + 4 = 2x + 5 ( m + 1 )
Û ( 3m + 1 )x = 5m + 1 
+ Nếu 3m +1 ¹ 0 Þ m ¹ - 1/3 thì pt có một nghiệm x = 
+ Nếu 3m +1 = 0 Þ m = - 1/3 . 
PT trở thành 0x = -5/3 + 1 = - 2/3 : Vô nghiệm
2) ( m + 2 ) x + 4( 2m + 1 ) = m2 + 4 ( x – 1)
3) 
4) 
V) PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
a) Cách giải:
Dạng : 1) ½f(x) ½ = k Û f(x) = ± k với k > 0 . Nếu k < 0 thì pt vô nghiệm
 2) ½f(x) ½ = g(x) với g(x) < 0 : Pt vô nghiệm
Với g(x) >0 thì pt Û f(x) = ± g(x) 
 3) ½f(x) ½ = ½ g(x)½ Û f(x) = ± g(x) 
b) Ví dụ: Giải các pt sau:
1) ½2x – 0,5 ½ - 4 = 0 
2) ½2x + 3 ½ = ½x - 1½
3) ½ 5 – x ½ = 3x + 2 
4) ½( x – 1 )2 ½ = ½ x – 2 ½
VI) GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PT
a) Giải BT bằng cách lập pt ta có thể làm theo các bước sau:
B1: Lập phương trình:
+ Chọn một đại lượng chưa biết làm ẩn số. Đặt điều kiện và đơn vị thích hợp cho ẩn ( nếu có).
+ Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
+ Lập pt biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
B2: Giải phương trình
B3: Kiểm nghiệm và trả lời kết quả.
b) Các dạng toán:
* Loại toán Chuyển động: Để làm toán CĐ cần nắm vững công thức:
 S = v.t hoặc V= S / t ; t = S / v 
* Cần phải đọc kĩ đề để hiểu được là CĐ cùng chiều hay ngược chiều ; xuất phát cùng một lúc hay không cùng lúc . Có thể vẽ sơ đồ hoặc lập bảng hoặc tóm tắt dưới dạng đẳng thức để hình dung và giải bài toán dễ dàng hơn.
b) Ví dụ: 
1) Một người đi ô tô khởi hành từ A lúc 6h 15 phút với vận tốc 50km/h . Đến B nghỉ lại 1h30 phút rồi trở về A với vận tốc 40km/h . Về đến A lúc 14h30 phút . Hỏi quãng đường AB dài bao nhiêu ?
Giải: 
Gọi quãng đường AB là x ( x > 0 ; km )
Thời gian lúc đi là: x/50 giờ ; lúc về là: x / 40 giờ.
Vì tổng thời gian lúc đi và về là: 14h30 – ( 6h15 + 1h30) = 6h45 = 6h
Nên ta có pt: Û x = 150 ( Thỏa mãn)
Vậy quãng đường AB dài 150km.
2) Một người đi xe đạp , một người đi xe máy , một người đi ô tô cùng đi từ A đến B . Họ khởi hành từ A theo thứ tự nói trên lúc 6h ; 7h ; 8h . Vận tốc trung bình của họ theo thứ tự trên là 10km/h ; 30km/h ; 40km/h . Hỏi lúc ô tô ở chính giữa vị trí xe đạp và xe máy thì ô tô đã cách A bao nhiêu km.
Đáp số: 50km.
3) Một ca nô xuôi dòng từ bến A lúc 5h 30 phút để đến bến B và nghỉ lại đây 2h15phuts để dỡ hàng , sau đó lại quay về A. Đến A lúc 13h45 phút . Tính k/c giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc ca nô khi nước yên lặng là 24,3km/h và vận tốc dòng nước chảy là 2,7km/h. Đáp số: 72km.
* Dạng toán về năng suất ( Toán về công việc đồng thời ; hoặc các vòi nước chảy).
+ Năng suất làm việc = (KL công việc làm được): (thời gian tương ứng)
Ví dụ:
Hai vòi cùng chảy vào bể thì sau 10h sẽ đầy bể . Nếu mở vòi thứ nhất trong 6h , khóa lại rồi mở vòi thứ hai trong 3h thì đầy được 2/5 bể.
 Hỏi nếu để mỗi vòi chảy riêng một mình thì sau bao lâu mới đầy bể.
Giải: Gọi thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là x ( x > 10 ; giờ )
Năng suất của vòi I là 1/x và của vòi II là: 1/10 – 1/x 
Theo đề bài ta có pt: 6/x + 3( 1/10 - 1/x) = 2/5 Û x = 30
Vậy vòi I chảy một mình đầy bể trong 30 h 
Vòi II chảy một mình đầy bể trong 1;( 1/10 – 1/30 ) = 15h.
Hai vòi nước chảy vào một cái bể thì đầy sau 3h20’ . Người ta cho vòi J chảy trong 2h và vòi II chảy trong 2h thì được 4/5 bể . Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
Hai máy cày công suất khác nhau phải cày một thủa ruộng . nếu mỗi máy làm việc riêng một mình thì máy thứ I cần 20h , máy thứ II cần 15h mới cày xong thủa ruộng . Nông trường giao cho máy thứ I cày trong một thời gian rồi nghỉ và máy II cày tiếp cho xong. Biết thời gian máy I làm ít hơn máy II là 3h20’. Tính thời gian mỗi máy đã cày.
* Các dạng toán khác:
1) Một phân số có tử kém mẫu số 8 đơn vị , nếu tăng tử số 3 đơn vị và tăng mẫu số 5 đơn vị thì được phân số mới bằng 3/4 . Tìm phân số ban đầu.
2) Một hình chữ nhật có chu vi 450m . Nếu giảm chiều dài đi 20% , tăng chiều rộng them 25% thì được hình chữ nhật mới có chu vi không đổi. Tính chiều dài chiều rộng của vườn.
3) Một tầu đánh cá dự định trung bình mỗi ngày bắt được 3 tấn cá. Nhưng thực tế mỗi ngày bắt them được 0.8 tấn nên chẳng những hoàn thành sớm 2 ngày mà còn bắt them được 2 tấn cá. Hỏi mức cá dự định bắt theo kế hoạch là bao nhiêu?
4) Hai kho chứa 450 tấn hàng. Nếu chuyển 50 tấn từ kho I sang kho II thì số hàng ở kho I bằng 5/4 số hàng ở kho II. Tính số hàng trong mỗi kho.
CHUYÊN ĐỀ II:
TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
VẤN ĐỀ I: ĐỊNH LÍ TA LÉT TRONG TAM GIÁC
Định lí Talet cho ta các cặp đoạn thẳng tỉ lệ khi có một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác .
Hệ quả của định lí Ta lét cho ta các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ
Định lí đảo Ta lét dùng để nhận biết 2 đường thẳng song song
* BÀI TẬP:
1) Tam giác ABC có AB= 5cm ; AC= 7cm ; đường trung tuyến AM. Điểm E thuộc cạnh AB sao cho AE= 3cm . gọi I là trung điểm AM ; F là giao điểm của EI và AC . Tính độ dài AF.
2) Cho tam giác ABC . Một đường thẳng song song với BC cắt AB và AC theo thứ tự ở D và E . Qua E kẻ đường thẳng song song với CD cắt AB ở F. C/Minh : AD2 = AB . AF.
3) Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM , điểm D thuộc cạnh AC . gọi I là giao điểm của AM và BD . Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt BD ở K . C/Minh hệ thức IB2 = ID.IK
4)Chứng minh rằng: Nếu trên các cạnh đối diện với các đỉnh A;B;C của tam giác ABC ta lấy các điểm tương ứng A’ ; B’ ; C’ sao cho Â’ ; BB’ ; CC’ đồng quy thì AB’/B’C . CA’/A’B . BC’/ C’A = 1 ( Đ.Lí Xê-Va)
5) Cho hình thang ABCD ( AB// CD) , M là trung điểm của CD. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của BM và AC.
a) C/minh : IK//AB
b) Đường thẳng IK cắt AD , BC theo thứ tự tại E ; F. Chứng minh rằng: 
EI = IK = KF.
VẤN ĐỀ II: TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC.
* Đường phân giác của tam giác cho ta các đoạn thẳng tí lệ .
* Bài tập:
1) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường phân giác AD. Biết DB= 15cm ; DC= 20 cm .Tính các độ dài AB ; AC ; AD.
Giải: Vì AD là tpg nên: AB / AC = DB / DC = 15/20 = ¾ . 
Do đó: AB = 3/4AC.
Theo Đ.lí Pitago trong tam giác vuông ABC có: BC2 = AB2 + AC2 
Vậy AC= 35: 5/4 = 28cm ; AB= 3/4.28= 21cm.
Kẻ DH ⊥ AC ; Ta có DH//AB nên theo định lí Talet’ ta được:
DH/AB = DC/BC Þ DH = 20.21 : 35 = 12cm.
Tam giác ABC vuông cân tại H nên AD = DH = 12 (cm).
2) Cho tam giác ABC , đường trung tuyến AM . Tpg của góc AMB cắt AB ở E , tpg của góc AMC cắt AC ở F. Biết ME = MF. C/minh rằng : ABC là tam giác cân.
3) Tam giác ABC cân có AB = AC = 5cm ; BC = 6cm . Các đpg AD ; BE ; CF .
a) Tính độ dài È.
b) Tính diện tích tam giác DEF.
4) Cho tam giác ABC có AB = 6cm ; AC = 9cm ; BC = 10 cm ; đpg trong AC , đpg ngoài AE . Tính độ dài DB ; DC ; EB.
5) Cho tam giác ABC có AB = 12cm ; BC = 15cm ; AC = 18cm. Gọi I là giao điểm các đpg và G là trọng tâm của tam giác ABC.
a) C/minh rằng : IG // BC.
b) Tính độ dài IG.
6) Cho tam giác ABC có AB = 4cm ; AC = 5cm ; BC = 6cm . Các đpg BD và CE cắt tại I.
a) Tính các độ dài AD ; DC.
b) Tính tỉ số diện tích các tam giác DIE và ABC.
VẤN ĐỀ III: CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC
* Ghi nhớ:
+ Định nghĩa về hai tam giác đồng dạng.
+ Dấu hiệu nhận biết hai tam giác đồng dạng:
Hai tam giác thường: ( g-g) ; (C- g – C ); ( C – C – C ) 
Hai tam giác vuông : ( Góc nhọn ) ; ( 2 cgv tỉ lệ ) ; ( Cạnh huyền và Cgv tỉ lệ).
* Bài toán : 
1) Cho tam giác ABC vuông tại A , AB < AC , đường phân giác AD. Đường vuông góc với DC tại D cắt AC ở E. Chứng minh rằng:
a) Tam giác ABC và tam giác DEC đồng dạng
b) DE = BD.
2) Cho tam giác ABC có AB = 15cm ; AC = 21cm. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AE = 7cm , trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = 5cm . C/minh rằng: a) Tam giác ABD và tam giác ACE đồng dạng.
b) Tam giác IBE và tam giác ICD đồng dạng ( I là giao điểm của BD và CE )
c) IB. ID = IC . IE
3) Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , BC = 100cm , AH+ 40cm .Gọi D là hình chiều của H trên AC , E là hình chiếu của H trên AB.
a) C/mình rằng: Tam giác ADE và tam giác ABC đồng dạng.
b)Tính diện tích tam giác ADE.
4) Cho tam giác ABC có trực tâm H . gọi M ; N theo thứ tự là trung điểm của BC ; AC. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của tam giác.
a)C/minh rằng : Tam giác OMN và tam giác HAB đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng.
b) So sánh độ dài của AH và OM
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC . C/minh rằng tam giác HAG và tam giác OMG đồng dạng.
d) C/minh 3 điểm H ; G ; O thẳng hàng và GH = 2GO.
5) Cho hình thang vuông ABCD ( AÂ = DÂ= 90° ) có hai đường chéo vuông góc với nhau tại O . AB = 4cm ; CD = 9cm.
a) C/minh rằng các tam giác AOB và DAB đồng dạng.
b) Tính độ dài AB.
c) Tính tỉ số diện tích của tam giác OAB và tam giác OCD.
6) Cho tam giác ABC vuông tại A ; AB = 1 ; AC = 3 . Trên cạnh AC lấy các điểm D ; E sao cho AD = DE = EC .
a) Tính độ dài BD.
b) C/minh ràng các tam giác BDE và CDB đồng dạng
c) Tính tổng: DEÂB + DCÂÂB.