Chuyên đề Đạo hàm và ứng dụng - Chủ đề: Đạo hàm cấp cao

Chuyên đề ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG Đại số và Giải tích 11 
Chủ đề: ĐẠO HÀM CẤP CAO 
I- LÝ THUYẾT: 
 
 /
( )
( ) ; .
: ;
 Cho hµm sè: (1)
Gi¶ sö hµm sè cã ®¹o hµm t¹i mäi Khi ®ã t­¬ng øng:
y f x
y f x x a b
f a b R

 

/
/
( )
( ),
( ).
( )
cho ta mét hµm sè míi. V× hµm sè nµy x©y dùng tõ hµm sè hoµn toµn x¸c ®Þnh 
bëi hµm sè ®ã nªn ®­îc gäi lµ ®¹o hµm cña hµm sè 
 T­¬ng tù, nÕu hµm sè: (2
x f x
y f x
y f x
y f x




   
// //
; ;
( ) ( ).
)
cã ®¹o hµm t¹i mäi ®iÓm th× ta lËp ®­îc ®¹o hµm cña (2) theo c¸ch trªn
gäi lµ ®¹o hµm cÊp hai cña vµ kÝ hiÖu lµ: 
x c d a b
y f x y f x
 
 
* TỔNG QUÁT: 
 
 
( -1) ( 1)
( )
( )
( ) ;
: ;
( )
 NÕu hµm sè cã ®¹o hµm t¹i mäi ®iÓm th× t­¬ng øng:
cho ta ®¹o hµm cña 
n n
n
n
y f x x c d
f c d R
x f x
 


( -1) ( 1) ( ), ( ) gäi lµ ®¹o hµm cÊp cña hµm sè vµ kÝ hiÖu lµ:n ny f x n y f x 
 ( ) ( ) ( ) n ny f x 
Nh­ vËy: 
/( ) ( 1) ( ) 4 n ny f x n      
II- THUẬT TOÁN XÁC ĐỊNH ĐẠO HÀM CẤP n CỦA HÀM SỐ: 
* Bước 1: // ///, , ,/TÝnh y ... vµ tiÕn hµnh dù ®o¸n ®¹o hµm cÊp n dùa trªn logic.y y 
* Bước 2: Chøng minh dù ®o¸n b»ng ph­¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc. 
III- MỘT SỐ KẾT QUẢ VÀ VÍ DỤ CẦN LƯU Ý: 
Bài tập 1: Chøng minh r»ng: 
   ( ) ( )sin
2 2
 a) sin b) cos cos 
n nn nax a ax n ax a ax np p
               
Giải: Ta có: 
 
 
 
/
( )
( 1) 1
sin 1
2
sin
2
1 sin ( 1)
2
cos sin (*) §óng víi 
Gi¶ sö (*) ®óng ®Õn , tøc lµ: sin
Ta cÇn chøng minh (*) còng ®óng víi , tøc lµ: sin
k k
k k
ax a ax a ax n
n k ax a ax k
n k ax a ax k
p
p
p 
      
      
     

   
/ //( 1) ( )sin sin .
2 2 2
Ta cã: sin cos
k k k kax ax a ax k a ax k ax kp p p
                                             
Chuyên đề ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG Đại số và Giải tích 11 
1 1 1 ( 1)
2 2 2 2
 cos sin sink k ka ax k a ax k a ax kp p p p  
                             
Chøng minh t­¬ng tù, ta ®­îc:  ( )
2
cos cos
n nax a ax n p
     
Ví dụ áp dụng: ( ) , sin5 .cos2TÝnh biÕt ny y x x 
Giải: Ta có: 
 
( )
1sin 5 .cos 2 sin 7 sin 3
2
1 7 sin 7 3 sin 3
2 2 2
n n n
y x x x x
y x n x np p
  
                    
Ví dụ áp dụng: 2 (25)sin .Cho TÝnh y x x y 
Giải: (0)¸p dông c«ng thøc Lai-b¬-nit (Leibnitz). Quy ­íc: u u 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) / 1 / ( 1) ( )
0
. . ... . . 
nn k n k k n n n n n n
n n n n
k
uv C u v u v C u v C u v C u v   

      
 
         
( )2
(25) (25) (24) (23)(25) 2 2 2 2 / 2 //
2
0 3
25.24sin . sin . sin . 25 sin .( ) sin .( )
2
sin 25. 50 sin 24. 600sin 23.
2 2 2
vµ chó ý r»ng: 
Ta ®­îc:
S
k
x k
y x x x x x x x x x x
x x x x xp p p
  
       
                           
 (25) 2 600 cos 50 sinuy ra: y x x x x  
Ví dụ áp dụng: 2 (2 )(1 )cos .Cho TÝnh ny x x y  
Giải: Ta cã: 
     (2 ) (2 1) (2 2)(2 ) 2 1 2 / 2 2 //2 2
2
2
cos (1 ) cos (1 ) cos (1 )
2 (2 1)(1 )cos( ) 4 cos (2 1) 2. cos (2 2)
2 2 2
( 1) (1 )cos 24 cos ( )
2
n n nn
n n
n
y x x C x x C x x
n nx x n nx x n x n
x x nx x n
p pp
p p
      
                    
       
1 2
2 2
(2 ) 2 2
( 1) (4 2 )cos
( 1) (4 2 1 )cos ( 1) 4 sin
( 1) (4 2 1 )cos 4 sin
VËy: 
n
n n
n n
n n x
n n x x nx x
y n n x x nx x
  
      
        
Ví dụ áp dụng:   (10)0 .Cho TÝnh y x x y  
Giải: Ta cã: 
Chuyên đề ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG Đại số và Giải tích 11 
 
/
//
//
2
/// 2
3 2
(4) 3
4 3
(10) 9
10 9
(10)
10 9
1 ;
2
1 1 1 1 1( 1) ;
2 2 2
1 1.3( 1) ;
2
1 3.5( 1) ;
2
...
1 1.3.5.7.9.11.13.15.17( 1) ;
2
1 17!!
2
VËy: 
y
x
x
y
xx x x
y
x x
y
x x
y
x x
y
x

                  
 
 
 
  17!! 1.3.5.7.9.11.13.15.17 0 ; ë ®©y x
x
 
Ví dụ áp dụng: (10)sin .sin 2 .sin3 .Cho TÝnh y x x x y 
Giải: H­íng dÉn: Ph©n tÝch thµnh tæng råi t×m ®¹o hµm dÇn tõng bËc. 
(10) 8 18 8 102 sin 2 2 sin 4 2 .3 sin 6 .§¸p sè: y x x x   
Ví dụ áp dụng: (10). 2 .Cho cos TÝnh y x x y 
Giải: ¸p dông c«ng thøc Lai-b¬-nit (Leibnitz). 
 (10) 1024 . 2 5sin 2 .§¸p sè: cosy x x x  
Bài tập 2: Chøng minh r»ng: 
 
( )
1
1 . !( 1) . 
n n
n
n
a n
ax b ax b 
      
Giải: Ta có: 
 
 
 
 
/
/
2 2
( )
1
1 1 .1!( 1) 1
1 . !, ( 1) .
 §óng (**) víi 
Gi¶ sö (**) ®óng víi tøc lµ: 
Ta cÇn chøng minh (**) còng ®óng víi n=k+1, tøc lµ chøng m
k k
k
k
aax b n
ax b ax b ax b
a kn k
ax b ax b 
          
      
 
( 1) 1
1
2
1 .( 1)!( 1) .
inh:
k k
k
k
a k
ax b ax b
 


       
   
/ //( 1) ( )
1 1
1 1 . ! 1( 1) . ( 1) . !
ThËt vËy: 
k k k
k k k
k k
a k a k
ax b ax b ax b ax b

 
                                          
Chuyên đề ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG Đại số và Giải tích 11 
 
 
 
 
 
/1
1
2 2 2 2
1
1
2
( 1). .
( 1) . !.( 1). ( 1) . !
.( 1)!( 1) .
 (®.p.cm)
k k
k k k k
k k
k
k
k
ax b k a ax b
a k a k
ax b ax b
a k
ax b


 



         
 
 

Ví dụ áp dụng: ( ) 1,
(1 )
TÝnh biÕt ny y
x x


Giải: Ta có: 
( )
1 1 1 1
1 1 1
(1 ) 1
( 1) ! ( 1) !( 1) ( 1) 1!
(1 ) (1 )
Suy ra: 
n n n n
n
n n n n
y
x x x x
n ny n
x x x x   
  
 
             
Ví dụ áp dụng: 2
5 3
3 2
Cho hµm sè: 
xy
x x

 
( )
1 2
.
a) T×m A, B sao cho cã thÓ viÕt d­íi d¹ng: 
b) Tõ ®ã, h·y tÝnh n
A By y
x x
y
 
  
Giải: Ta có: 
   
2
5 3 , 1, 2
1 23 2
5 3 2 1
5 3 (
a) Sö dông ph­¬ng ph¸p ®ång nhÊt thøc, ta ®­îc:
A B
 A B
 A B) (2A B)
x x x
x xx x
x x x
x x
      
  
     
     
   
2
( )
1 1
5
2 3
5 3 2
1 23 2
2 2 7( 1) !
1 2 1 2
A B A 2
 VËy ta cã hÖ sau sau ®Ó x¸c ®Þnh A, B: 
A B B 7
7
 VËy: 
7
b) Theo c©u a, . Suy ra: n n n n
x
x xx x
y y n
x x x x 
           
  
  
             
Lưu ý: Trong toµn bé c¸c bµi gi¶i trªn, chóng t«i dµnh phÇn chøng minh b»ng ph­¬ng ph¸p 
 quy n¹p cho ®éc gi¶. 
IV- MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 
2 2
2
sin sin . 4 ) .sin (1 ) 4
2 1 2 1
32
TÝnh ®¹o hµm cÊp cña c¸c hµm sè sau:
 a) b) cos c d) cos
 e) f) g) 
n
y x y x x y x x y x x
x xy y y
xx x
    
   
  2 2
sin
2 1
 h) 
x xy
x x x

  