Chuyên đề: Đại số tổ hợp

TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1)CÁC ĐỊNH NGHĨA, KÝ HIỆU VÀ CÔNG THỨC:
 a)Định nghĩa1:Cho tập hợp A có n phần tử (n,mỗi bộ gồm n phần tử của tập A sắp thứ tự (mỗi phần tử có mặt đúng một lần)gọi là một hoán vị của n phần tử đó.
*Kí hiệu :Số hoán vị của n phần tử được kí hiệu là :Pn.
*Công thức: 
*Chú ý: 1! = 1 ; Qui ước 0!=1 ; (n-1)!.n = n!
b)Định nghĩa 2: Cho tập hợp A có n phần tử (n,mỗi bộ gồm k(kphần tử của tập A sắp thứ tự (mỗi phần tử có mặt đúng một lần);(1gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập hợp A.
*Kí hiệu: chỉnh hợp chập k của n phần tử kí hiệu là: .
*Công thức : .
*Chú ý: Nếu trong định nghĩa 2) ta lấy k = n thì trở lại định nghĩa 1). Vậy .
c)Định nghĩa 3: Cho tập hợp A có n phần tử,mỗi tập hợp con của A có k phần tử (0 
gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
*Kí hiệu:Số các tổ hợp chập k của n phần tử kí hiệu là .
*Công thức : ; ; .
2)NHỊ THỨC NIUTƠN VÀ CÁC CÔNG THỨC QUAN TRỌNG:
*Nhị thức NiuTơn: .
*Các công thức :a) Số hạng thứ k+1 của khai triển nhị thức là:.
b) .
c).
I.CÁC SỐ TỔ HỢP - CHỈNH HỢP – HOÁN VỊ.
Bài 01:Cho tập A có 20 phần tử.
a)Có bao nhiêu tập hợp con của A.
b)Có bao nhiêu tập hợp con khác của A mà các phần tử là số chẵn?
Bài 02:Tìm các số âm trong dãy số x1,x2,,xn, với xn =.
Bài 03:Giải phương trình với ẩn số x (hoặc n):
a). ; b). ; c)
d) ; e) ; f). 
Bài 04:Giải phương trình với ẩn số x (hoặc n):
a)	; b)
c) 	; d).(n ; n > 1)
e) ; f) ( Khối D – 2002)
g)	; h).
Bài 05:Giải hệ phtrình : a) ; b) ; c)
Bài 06:Giải bất phương trình (ẩn x hoặc n là số nguyên dương):
 a) 	; b) 	; c) .
d) ; e) 	; f) 
Bài 07:Chứng minh rằng :
a).
 b) trong đó n ; n > 1.
 c) với 2.
d)
 e) với 3.
 f) với 4.
Bài 08:Chứng minh các đẳng thức sau:
a) .
b) .
c).
 d).
 e).
 f) với n ; n > 0 .
Bài 09:a)Tính In=.
b)Từ đó chứng minh : với n ; n > 0
Bài 10:a)Tính I = .
 b)Chứng minh rằng: .
Bài 11:Bằng cách so sánh hệ số của xm trong hai vế của :.
 Hãy chứng minh :.
Bài 12:Dùng đẳng thức để chứng minh rằng :
 .
Bài 13:a)Tính I = .
 b)Rút gọn tổng S = .
Bài 14:a)Với mỗi số tự nhiên n hãy tính tổng :s =.
 b) Tính tổng S = trong đó n ; n > 2.
 c) Tính tổng S = .
 d) Tính tổng S = (khối B-2003)
Bài 15: ( Khối D-2005)Tính giá trị của biểu thức M = ,biết rằng n thoả mãn đẳng 
 thức : (với n là số nguyên dương, là số chỉnh hợp 
 chập k của n phần tử,là số tổ hợp chập k của n phần tử).
II. NHỊ THỨC NIUTƠN – XÁC ĐỊNH :HỆ SỐ ; SỐ HẠNG. 
Bài 01:Trong khai triển của thành đa thức (akR),hãy tìm
 hệ số ak lớn nhất. 
Bài 02:Tính hệ số của trong khia triển .
Bài 03:Tính các hệ số của x2 ; x3 trong khai triển của biểu thức : (x+1)5 + (x-2)7 .
Bài 04:a)Tìm x để trong khai triển của,có số hạng thứ tư bằng 200
 b)Tìm x để trong khai triển của,có số hạng thứ ba bằng 36.103
 c)Với giá trị nào của x thì trong khai triển của,có số hạng thứ ba bằng 106 
Bài 05:a)Trong khai triển của ,tìm số hạng mà a và b có số mũ như nhau .
 b)Trong khai triển của nhị thức số hạng thứ ba có hệ số bằng 28 .
 Tìm số hạng đứng giữa của khai triển đó ?
 c)Tìm hệ số của x8 trong khai triển (1+x2-x3)9 . 
Bài 06:a)Trong khai triển của nhị thức ,số hạng thứ ba có hệ số bằng 21 .Tìm
 số hạng thứ tư của khai triển ?
 b)Tìm số hạng thứ 13 của khai triển nếu hệ số của số hạng thứ ba của khai
 triển bằng 105.
Bài 07:a)Trong khai triển hệ số của các số hạng thứ tư và thứ mười ba bằng nhau .
 Tìm số hạng không chứa x .
 b)Tìm số hạng không chứa x khi khai triển 
Bài 08:Khai triển (3x+2y-3)10 ta được một đa thức của hai biến x,y.Hãy tính tổng các hệ số của
 khai triển này.
Bài 09:Tìm hệ số của số hạng thứ sáu của khai triển biểu thức M = (a+b)n nếu biết hệ số của 
 số hạng thứ ba trong khai triển bằng 45.
Bài 10:a)Tìm số hạng không chứa căn thức của khai triển nhị thức .
 b)Trong khai triển nhị thức thì ba hệ số đầu tiên tạo nên một cấp số cộng.
 Tìm các số hạng dạng hữu tỷ của khai triển ?
Bài 11:Khai triển đa thức :P(x)=(x+1)10	+ (x+1)11+ (x+1)12 + (x+1)13+ (x+1)14 ra dạng :
 P(x)= a0+a1x+a2x2++a14x14.Hãy xác định hệ số a10 .
Bài 12:(Khối A-2003)Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức NiuTơn của :
 biết rằng (n là số nguyên dương , x > 0).
Bài 13:(Khối D-2003).Với n là số nguyên dương,gọi a3n-3 là hệ số của x3n-3 trong khai triển 
 thành đa thức của (x2 + 1)n.(x+2)n.Tìm n để a3n-3 =26n.
Bài 14:(Khối A-2002)Cho khai triển nhị thức :
 ,Biết 
 rằng trong khai triển đó và số hạng thứ tư bằng 20n .Hãy tìm n và x.
Bài 15: (Khối D-2004)Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của :
 ,với x>0.
Bài 16: (Khối A-2005)Tìm số nguyên dương n sao cho:
 .
III. ĐẾM – CHỌN :SỐ SỰ VIỆC,SỐ HIỆN TƯỢNG,SỐ ĐỒ VẬT.
PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Thường lập luận để có thể coi mỗi sự việc mà ta phải đếm hoặc chọn là việc lấy ra k phần tử từ một tập hợp A có n phần tử (k≤ n).
*Nếu k phần tử được lấy ra từ tập A không có vấn đềø thứ tự thì dùng số tổ hợp chập k của n phần tư của tập A .
*Nếu giữa k phần tử được lấy ra từ A có vấn đề thứ tự thì phải chú ý :
+Nếu vai trò các phần tử được lấy ra từ A như nhau(nghĩa là các phần tử của A có cơ hội đồng đều trong sự lựa chọn)thì dùng số chỉnh hợp khi k< n và dùng hoán vị khi k = n.
+ Nếu vai trò các phần tử được lấy ra từ A khác nhau thì lý luận bằng qui tắc đếm .
Bài 01:Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7.Có thể lập được bao nhiêu số gồm 10 chữ số được chọn từ 8 chữ số trên,trong đó có chữ số 6 có mặt đúng 3 lần ,các chữ số còn lại có mặt đúng một lần.
Bài 02:Từ tập thể gồm 14 người,có 6nam và 8 nữ trong đó có An và Bình,người ta muốn chọn một tổ công tác gồm 6 người.Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau:
a)Trong tổ phải có cả nam lẫn nữ.
b)Trong tổ có1 tổ trưởng,5 tổ viên,hơn nữa An và Bình đồng thời không có mặt trong tổ.
Bài 03:Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5,6.Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đố nhâùt thiết phải có chữ số 5.
Bài 04:Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau.Hỏi trong các số đã thiết lập được,có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6ø không đứng cạnh nhau.
Bài 05:Trong một trận chung kết giải cờ vua đồng đội toàn trường có hai đội A và B tham dự, mỗi đội có 5 kỳ thủ.Ban giám khảo chọn từ mỗi đội 3 kỳ thủ để xếp thành 3 cặp thi đấu cùng lúc trong một lịch thi đấu (mỗi cặp gồm một kỳ thủ đội A gặp một kỳ thủ đội B trong một ván đấu).Hỏi có thể xếp được bao nhiêu lịch thi đấu khác nhau ?
Bài 06:Một lớp học có 10 học sinh nam và 120 học sinh nữ.Cần chọn ra 5 người trong lớp để đi làm công tác phong trào.Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu trong 5 người đó phải có ít nhất :
a)02 học sinh nam và 02 học sinh nữ.
b)01 học sinh nam và 01 học sinh nữ.
Bài 07:a)Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau,trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1.
	b) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số ,biết rằng chữ số 2 có mặt đúng hai lần,chữ 
 số 3 có mặt đúng ba lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần.
c)Hỏi có tất cả có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau mà trong số này luôn có hai chữ số 0 và1 ?
Bài 08:Cho tâp hợp A = .
a)Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau được lấy từ tập A ?
b)Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 436 và gồm ba chữ số khác nhau được lấy từ A ?
Bài 09:Cho 8 chữ số :0,1,2,3,4,5,6,7.Hỏi có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau từ các chữ trên trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.
Bài 10:Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi,5 học sinh khá,8 học sinh trung bình.Có bao nhiêu cách chia số học sinh đó thành hai tổ mỗi tổ 8 người,sao cho ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mổi tổ có ít nhất hai học sinh khá.
Bài 11:Với các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau và không lớn hơn 789.
Bài 12:Với 10 chữ số từ 0 đến 9,có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 4 chữ số mà các chữ số đó đều khác nhau.
Bài 13:Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 bạn học sinh A,B,C,D,E vào một chiếc ghế dài sao cho:
a)Bạn C ngồi chính giữa.
b)Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế.
Bài 14:Trong một phòng có 2 bàn dài,mỗi bàn có 5 ghế .Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi nếu:
a)Các học sinh ngồi tuỳ ý.
b)Các học sinh nam ngồi một bàn và các học sinh nữ ngồi một bàn.
Bài 15:Cho tâp hợp các chữ số.Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số không chia hết cho 3 mà các chữ số trong mỗi số là khác nhau.
Bài 16:Xếp 5 người trong đó có 2 nam ,3 nữ vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho:
a)3 người nữ ngồi cạnh nhau?
b)Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau?
Bài 17:Cho 5 chữ số 1,2,3,4,5.Tìm tổng của tất cả các số gồm 5 chữ số tạo bỡi các hoán vị của năm chữ số trên.
Bài 18:Hỏi với 10 chữ số từ 0 đến 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau.
Bài 19:Một nhóm học sinh gồm 10 nam và 5 nữ.Hỏi có bao nhiêu cách chọn trong mỗi trường hợp sau:
a)Ba học sinh trong nhóm.
b)Ba học sinh trong nhóm trong đó có 2 nam và 1 nữ.
Bài 20: a)Tìm số các máy điện thoại có 6 chữ số (có thể có).
b) Tìm số các máy điện thoại có 6 chữ số khác nhau.
c) Tìm số các máy điện thoại có 6 chữ số với chữ số đầu tiên là 8.
Bài 21:Xét tập hợp X = .Tìm các số tự nhiên gồm 5 chữ số lấy từ X sao cho:
a)Có chữ số đầu tiên là 3.
b)Không tận cùng bằng chữ số 4.
c)Cứ hai chữ số kề nhau thì khác nhau.
d)Không được bắt đầu bằng 123.
e)Các chữ số phân biệt.
Bài 22:Tìm số các hoán vị của 7hsinh,biết rằng có3 hsinh được chỉ định phải đứng cạnh nhau.
Bài 23:Từ một lớp học có 40 học sinh ,cử ra một ban đại diện lớp gồm 5 học sinh.Trong đó:
Một lớp trưởng,một lớp phó và ba uỷ viên.Hỏi có bao nhiêu cách lập ban đại diện.
Bài 24:Trên giá sách có 30 tập sách.Có thể sắp xếp theo bao nhiêu cách khác nhau để có:
a)Tập 1 và tập 2 đứng cạnh nhau.
b)Tập 5 và tập 6 không đứng cạnh nhau.
Bài 25:Tìm số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh.
Bài 26:Trong mặt phẳng có 10 điểm sao cho không có 3 điểm nào trong chúng là thẳng hàng. Hỏi số tam giác có được chọn từ 10 điểm nêu trên ?
Bài 27:Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ.Có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh sao cho :
a)Số học sinh nam hay nữ là tuỳ ý.
b)Phải có 2 nam và 2 nữ.
c)Phải có ít nhất 1 nữ.
Bài 28:Từ tâp hợp X = có thể tạo bao nhiêu số tự nhiên gồm 8 chữ số sao cho chữ số 2 có mặt 3 lần,còn 5 chữ số còn lại có mặt đúng một lần.
Bài 29:Trong mặt phẳng cho 10 đường thẳng và 10 đường tròn (phân biệt).Hãy tìm số giao điểm tối đa có thể có của chúng.
Bài 30:Cho tập hợp A =,hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau và chia hết cho 3 ?
Bài 31(Khối B-2002)Cho đa giác đều A1A2A2n (n≥ 2,nnguyên dương)nội tiếp trong đường tròn (O).Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1,A2 ,,A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1,A2 ,,A2n ,tìm n ?
Bài 32:(Khối B-2004)Trong một môn học,thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó,10 câu hỏi trung bình,15 câu hỏi dễ.Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra,mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau,sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ ba loại câu hỏi (khó,trung bình,dễ)và số câu hỏi dễ không ít hơn 2 ?
Bài 33: :(Khối B-2005)Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người,gồm 12 nam và 3 nữ.Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ ba tỉnh miền núi,sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ ?
Bài 34:Hỏi có tất cả có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà tất cả các chữ số đều là số chẵn ? 
 ---------------------bfïea-------------------