Chuyên đề Đại số sơ cấp

Đai số sơ cấp
Hàm số và đồ thị
I. Đại cương về hàm số và đồ thị
 1. Các khái niệm cơ bản:
	1.1. Khái niệm hàm số: 
	Cho hai tập M, N là những tập hợp số Í R. Một sự tương ứng f: ứng với mỗi phần tử xẻM với một phần tử duy nhất yẻ N thì f được gọi là hàm số.
	Ký hiệu : y = f(x)
Trong đó: x: Gọi là đối số; y: Gọi là hàm số; M: Gọi là tập xác định của hàm số; N: Gọi là miền giá trị của hàm số.
	Ví dụ: M: số mét vải mua, N: số tiền phải trả , giá mỗi mét vải 5000đ/1m
	Ta có hàm số: y = 5000x
 	1.2. Đồ thị của hàm số:
 Tập hợp những điểm (x;y); "xẻM, yẻN sao cho y = f(x) tạo thành một hình được gọi là đồ thị của hàm số y = f(x).
	1.3. Hàm số chẵn
 Một hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu M có tính chất đối xứng (nghĩa là nếu xẻ M thì -x ẻM ) và f(x) = f(-x) "xẻM.
	1.4. Hàm số lẻ
Một hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu M có tính chất đối xứng (nghĩa là nếu xẻ M thì -x ẻM ) và f(x) = -f(-x) "xẻM.
	1.5. Hàm số tuần hoàn
 Một hàm số f(x) được gọi là tuần hoàn nếu có một số dương l sao cho mội giái trị của đối số x thuộc miền xác định, các điểm sau đều thuộc miền xác định
	x, x+l , x+ 2l, ....., x + kl, kẻZ
 và các giái trị của hàm số tại các điểm đó đều bằng nhau, tức là:
	f(x) = f(x+l) = ......= f(x+kl) =... "kẻZ
 Nếu l có tính chất ấy thì m, l, n ẻN cũng có tính chất ấy. Số dương p nhỏ nhất có tính chất như thế được gọi là một chu kỳ của hàm số tuần hoàn.
	Ví dụ: Hàm số y = sinx, y = cosx có chu kỳ 2p
1.6. Hàm số đồng biến
	Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng M. Được gọi là hàm số đồng biến
	Nếu "x1,x2ẻM, x1< x2 thì f(x1) < f(x2)
1.7. Hàm số nghịch biến
	Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng M. Được gọi là hàm số nghịch biến
	Nếu "x1,x2ẻM, x1 f(x2)
Chú ý: Nếu "x1,x2ẻM, x1< x2 thì f(x1) Ê f(x2) thì ta nói hàm số không nghịch biến , còn f(x1) ³ f(x2) thì ta nói hàm số không đồng biến.
1.8. Hàm hợp
	Giả sử y = f(x), z = g(y) là các hàm đã cho. Thế thì hàm z= g[f(x)] được gọi là hàm hợp của f và g, đọc là "hàm f của g của x".
 	Ví dụ: y = sin2(2x+1) là hàm hợp của hai hàm số t = 2x+1 và y = sin2t.
1.9. Hàm ngược
 Giả sử cho Hàm số y=f(x). Nếu mỗi giá trị đặt được tương ứng với một giái trị duy nhất của x thoả mãn hàm số đã cho thì ta nói đã xác định được hàm số ngược x = j(y) của hàm số đã cho.
	Tương ứng giữa các giá trị của x và y được gọi là tương ứng một- một.
	Định lí: Mọi hàm số đồng biến ( hoặc nghịch biến ) trong một khoảng nào đó đều có hàm ngược, và hàm ngược đó cũng đồng biến ( hoăc nghịch biến) trong khoảng đó.
	Chú ý: Nếu ta coi x'Ox là trục đối số của hai hàm số ngược nhau thì đồ thi của chúng đối xứng với nhau qua đường phân giác của góc phần tư thứ nhất của góc toạ độ.
 2. Các hàm số sơ cấp 
	2.1.Các hàm số sau đây là các hàm số sơ cấp cơ bản:
	a) y = c ( c là hằng số )
	b) y = xà ( à vô tỉ )
	c) y = ax ( a>0, ạ1)
	d) y = logax (a>0, ạ1; x>0)
	e) y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = cõtg
	g) y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arccotgx
 2.2. Hàm số sơ cấp phức hợp là hàm số thu được bằng cách thực hiện liên tiếp một số hữu hạn hàm số sơ cấp cơ bản. Gọi tắt là hàm số sơ cấp.
 2. 3. Phân loại hàm số sơ cấp
2. Khảo sát hàm số bằng phương pháp sơ cấp
 Gồm 3 bước sau đây:
	1. Tìm miền xác định của hàm số.
	2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số.
	3. Vẽ đồ thị. Chính xác hoá đồ thị.
 a) Miền xác định của hàm số
 	Định nghĩa : Miền xác định của hàm số là tập hợp tất cả các giá trị thực của đối số sao cho tất cả các phép toán có mặt trong biểu thức của hàm số đều có nghĩa và thực hiện được trên trường số thực.
 Đẻ tìm miền xác định của hàm số ta dựa vào các quy tắc sau:
	Các quy tắc:
	1. Mâu thức của các phân thức phải khác không.
	2. Các biểu thức nằm dưới dấu căn bậc chẵn phải không âm.
	3. Các biểu thức cần nâng lên luỹ thừa vô tỉ hay luỹ thừa mà số mũ có chứa đối số đều phải dương.
	4. Các biểu thức trong dấu logarit phải dương.
	5. Trong các biểu thức dạng AB , cơ số và số mũ không được đồng thời triệt tiêu.
	6. Miền xác định của hàm số là giao của các miên xác định của các hàm số thành phần.
	7. Miền xác định của hàm hợp y =F(u) và u = f(x) tức là y = F[f(x)] là tập hợp tất cả các giá trị của x thuộc miền xác định của f(x) sao cho F(u) có nghĩa.
 Ví dụ 1: y = M = [ 1; +Ơ )
 Ví dụ 2: y = f(x) = 
	M = (-Ơ <x Ê 1/2) ầ (-Ơ < x<+Ơ ) ầ ( x ạ - 1/2 )
	M = (-Ơ <x Ê -1/2)ẩ (-1/2 <x< 1/2)
 b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số
	Định nghĩa: Khảo sát sự biến thiên của hàm số là phân chia miền xác định của nó thành những khoảng mà trong đó hàm số là đơn điệu, và nêu rõ chiều biến thiên của hàm số trong các khoảng đó. 
	Các định lí:
	Định lí 1: Nếu c là hằng số thì hàm số f(x) + c biến thiên cùng chiều với hàm số f(x).
	Định lí 2: Nếu A là một hằng số khác 0 thì hàm số Af(x) biến thiên cùng chiều với f(x) nếu A>0, ngược chiều với f(x) nếu A<0.
	Định lí 3: Nếu trong một khoảng nào đó mà các hàm số f(x) và g(x) biến thiên theo cùng một chiêu như nhau thì hàm số f(x) + g(x) cũng sẽ biến thiên theo cùng chiều đó.
	Định lí 4: Hiệu của một hàm đồng biến và một hàm nghịch biến là một hàm đồng biến. Hiệu của một hàm nghịch biến và một hàm đồng biến là một hàm nghịch biến.
	Định lí 5: Hàm số 1/f(x) biến thiên ngược chiều với hàm số f(x) trong những khoảng mà f(x) không đổi dấu.
	Định lí 6: Hàm số hợp f[u(x)] biến thiên cùng chiều với u(x) nếu f(u) đồng biến, ngược chiều với u(x) nếu f(u) nghịch biến.
	Định lí 7: a) Hàm số chẵn có các chiều biến thiên ngược nhau trong các khoảng (a,b) và (-b,-a)
	b) Hàm số lẻ có các chiều biến thiên như nhau trong các khoảng (a,b) và (-b,-a)
c. Vẽ đồ thị:
	Trước khi vẽ để chính xác hoá đồ thị, ta tiến hành một số việc sau:
	1. Tìm một số giá trị đặc biệt của hàm số: Giao với các trục, vài điểm có hoành độ nguyên, đặc biệt: x= 0, ±1, ±2,...
	Tìm các giá trị đối số làm cho giá trị của hàm số bằng không
	Tìm các giá trị cực trị.
	2. Tìm các đường tiệm cận.
	3. Tìm tâm đối xứng, trục đối xứng của đồ thị
3. Các phép biến đổi đồ thị thường dùng 
	3.1. Phép tịnh tiến song song với trục tung
	Định lí: Đồ thị hàm số y = f(x) + b suy ra được từ đồ thị hàm số y = f(x) bằng một phép tịnh tiến song song với trục tung một đoạn bằng b đơn vị.
	3.2. Phép tịnh tiến song song với trục hoành
	Định lí: Đồ thị hàm số y = f(x+a) suy ra được từ đồ thị hàm số y = f(x) bằng một phép tịnh tiến song song với trục hoành một đoạn bằng -a đơn vị.
	3.3. Phép lấy đối xứng qua trục toạ độ:
	a) Đồ thị hàm số y=f(x) và y=-f(x) đối xứng với nhau qua trục hoành.
	b) Đồ thị hàm số y=f(x) và y= f(-x) đối xứng với nhau qua trục tung.
	3.4.Phép co dãn đồ thị
	a) Đồ thị hàm số y=kf(x) với k>0 suy ra được từ đồ thi y= f(x) bằng một phép co ( nếu 01) theo tỉ số k dọc theo trục tung.
	b) Đồ thị hàm số y=f(kx) với k>0 suy ra được từ đồ thi y= f(x) bằng một phép co ( nếu k>1) hay phép dãn ( nếu 0<k<1) theo tỉ số 1/k dọc theo trục hoành
3.5. Phép cộng và nhân đồ thi.
 Đò thị hàm số y = f(x)+g(x) hay y = f(x).g(x) suy ra được từ đồ thị các hàm số y=f(x) và y=g(x) bằng phép cộng hay nhân các đồ thị đó với nhau.
II. Một số hàm số 
	1. Hàm số bặc nhất ( hàm số tuyến tính )
	Dạng tổng quát: y = ax + b
	a) Trường hợp đặc biệt: y = ax
	b) Trường hợp tổng quát y = ax + b
	2. Hàm số bậc hai:
	Dạng tổng quát: y = ax2 + bx + c ( aạ 0)
	a) Trường hợp đặc biệt : y = x2
	b) Trường hợp tổng quát: y = ax2 + bx + c ( aạ 0)
	3. Hàm số phân tuyến tính
y = với a,b,a',b'ẻR
	a) trường hợp dặc biệt: y = 1/x
	b) Trường hợp tổng quát: y = với a,b,a',b'ẻR
Chương II: Phươnhg trình
I. Các khái niệm cơ bản:
	I.1. Phương trình:
	Định nghĩa: Cho hai hàm số của n biến x1,x2,...,xn: f(x1,x2,...,xn) và g(x1,x2,...,xn) trong đó xi là các giá trị phức.
	Nếu ta gọi x = là một điểm của không gian phức n chiều ( Cn) thì khi đó hai hàm số đã cho trở thành hàm một biến x: f(x) và g(x)
	Giả sử P là miền xác định của f(x) P Í Cn
	Q là miền xác định của g(x) Q Í Cn
 	và PầQ ạ ặ
 Ta có thể phát biểu định nghĩa phương trình như sau:
	Ta gọi phương trình f(x) = g(x) là kí hiệu biểu thị vấn đề tìm số trị à của đối số x sao cho số trị của f(x) và g(x) bằng nhau ( f(à) = g(à) ) trong đó mỗi hàm f và g được xét trên S. x đựoc gọi là ẩn của phương trình. S là miền xác định của phương trình. Số trị à của đối số x sao cho f(à) = g(à) được gọi là nghiệm của phương trình là M:
	M = {ài| f(ài) = g(ài) }iẻI
 	Nếu f và g là hàm n biến x1,x2,...,xn thì phương trình có n ẩn số x1,x2,...,xn.
	Chú ý: 
	1. Số nghiệm của phương trình:
	Nếu M = ặ thì ta nói phương trình vô nghiệm.
	Nếu M º S thì ta gọi phương trình có vô số nghiệm số.
	Nếu M è S Thì ta nối phương trình có nghiệm.
	2. Giải phương trình là tìm cách xác định M.
	3. Phân loại phương trình ( Tương tự như trong hàm số ) 
 	I.2. Hệ phương trình
	 Định nghĩa: Cho m phương trình fi(x) = gi(x) ( i=1,2,...,m)
 Giả sử Si tương ứng là miền xác định của m phương trình trên và giả sử phần chung S = ầSi ạặ ta có định nghĩa:
	Ta gọi một hệ phương trình của m phương trình đã cho là kí hiệu biểu thị vấn đề tìm số trị à của ẩn x sao cho nó là nghiệm của mỗi phương trình trong m phương trình đã cho trong đó mỗi phương trình được xét trên S.
	Kí hiệu :
	f1(x) = g1(x)
	f2(x) = g2(x)
	..................
	fm(x) = gm(x)	
	Chú ý:
	1. Cách xác định tập nghiệm của hệ:
	 Giả sử Mi tương ứng là nghiệm của phương trình fi(x) = gi(x) của hệ được giải trên S hoặc trên Si của nó thì nghiệm của hệ:
	M = 	
	2. Nếu một phương trình của hệ vô nghiệm thì hệ vô nghiệm còn nếu một phương trình của hệ hằng đẳng trên S thì ta có thể bỏ phương trình đó đi.
	I.3. Tuyển phương trình:
	 Định nghĩa: Cho m phương trình fi(x) = gi(x) ( i=1,2,...,m)
 Giả sử Si tương ứng là miền xác định của m phương trình trên và giả sử phần chung S = ầSi ạặ ta có định nghĩa:
	Ta gọi một tuyển phương trình của m phương trình đã cho là kí hiệu biểu thị vấn đề tìm số trị à của ẩn x sao cho nó là nghiệm của ít nhất một phương trình trong m phương trình đã cho trong đó mỗi phương trình được xét trên S.
	Kí hiệu :
	f1(x) = g1(x)
	f2(x) = g2(x)
	..................
	fm(x) = gm(x)	
	Chú ý:
	1. Cách xác định tập nghiệm của tuyển:
	 Giả sử Mi tương ứng là nghiệm của phương trình fi(x) = gi(x) của tuyển được giải trên S thì tập nghiệm của tuyển:
	M =	
	Giả sử Mi' là tập nghiệm tương ứng của phương trình fi(x) = gi(x) được giải trên miền xác định Si tương ứng thì tập nghiệm của tuyển được xác định như sau: 
	M =S
	2. Nếu một phương trình của tuyển vô nghiệm thì có thể bỏ nó đi còn nếu một phương trình của tuyển hằng đẳng trên S thì tuyển hằng đẳng trên S.
I.4. Phương trình tương đương và phương trình hệ quả:
	I.4.1. Phương trình hệ quả:
	Ta kí hiệu P1(x), P2(x) Để chỉ hai phươnhg trình hay hệ, tuyển phương trình một ẩn hay n ẩn.
	P2(x) là hệ quả của P1(x) trên S nếu tập hợp nghiệm M1 của P1(x) là tập con của tập hợp nghiệm M2 của P2(x): M1 Í M2. Nghĩa là mọi nghiệm của P1(x) đều là nghiệm của P2(x).
	P1(x) ===> P2(x) khi M1 Í M2. 
	I.4.2. Phương trình tương đương:
	 P1(x) và P2(x) tương đương trên S nếu M1=M2 nghĩa là mọi nghiệm của P1(x) cũng là nghiệm của P2(x) và ngượ ... rình mũ và lôgarit
	1. Giải hệ phương trình sau:
	4log3(xy) = 2 + (xy)log32	
	x2 + y2 -3x -3y = 12
2. Giải hệ phương trình sau:
	xlog3y +2ylog3x = 27
	log3y - log3x = 1
	3. Giải hệ phương trình sau:
	xlog23 + log2y = y + log2x
	xlog312 + log3x = y + log3y	
Chương IV: Bắt đẳng thức 
 và bất phương trình
I. Bất phương trình bậc hai:
 1. Biện luận Bất phương trình bậc hai:
	1. Giải và biện luận theo tham số m:
	x2 - mx + 2m - 3 ³ 0.	
	2. Giải và biện luận bất phương trình:
	(3m - 8)x2 + mx +1 > 0	
	3. Tìm m để bất phương trình: mx2 - 3x + 2 	
	Có tập nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài đúng bằng 1.
4. Tìm m để hệ:
	x2 - 2x + m Ê 0
	x2 + 4x - m Ê 0
	Có nghiệm duy nhất.	
 2. So sánh nghiệm của tam thức bậc hai với các số:
	1. So sánh các nghiệm của : f(x) = x2 - mx + 3m - 8 với 4. 
	2. Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:	
	x2 + (3 - a)x +3 - 2a = 0 và so sánh các nghiệm đó với -3 và -1.
	3. Cho phương trình:
	f(x) = x2 - (m + 2)x + 5m + 1 = 0
	 Tìm m sao cho:
	a) Phương trình chỉ có một nghiệm thoả mãn x > 1.
	b) Phương trình có ít nhât một nghiệm thoả mãn | x | > 4.
	c) Phương trình có nghiệm thuộc (-1; 1).
	d) Phương trình có ít nhất một nghiệm x < 2.	
 3. xác định tập nghiệm của bât phương trình bậc hai:
	1. Tìm m để: f(x) = x2 - (m +2)x + m2 +1 > 0 vơi mọi x >1 
	2. Tìm m để mọi xẻ(-1;0) đều là nghiệm của bất phương trình:
	(m -2)2x2 -3(m -6)x -m -1 < 0	
	3. Tìm m sao cho: x4 + 4x3 + mx2 ³ 0 khi x ³ 1	
	4. Tìm m để hệ:
	x2 -2mx +4m -3 ³ 0 (1)
	x2 -(2m +1)x + m2 + m Ê 0 (2) vô nghiệm 
	5. Tìm m để bất phương trình: g(x) = x2 -2x + m < 0 (1)
	có nghiệm và các nghiệm của nó cũng là nghiệm của bât phương trình : f(x) = x2 +4x -m < 0 (2)	
 4. so sánh cac nghiệm của hai phương trình bậc hai:
	1. Tìm m để mỗi phương trình sau đây:	
x2 + 2x +m = 0 (1)
	x2 + 3x -2m = 0 (2)
có nghiệm phân biệt và các nghiệm của hai phương trình xen kẽ nhau.
	2. Tìm m để phương trình: f(x) = x2 -4x + m = 0 (1) có hai nghiệm phân biệt nằm trong khoảng hai nghiệm của phương trình: 
	g(x) = x2 -5x +m -3 = 0 (2)	
	3. Tìm m để phương trình:
	f(x) = x2 +3x + m = 0 (1) có hai nghiệm và hai nghiệm này nhỏ hơn cả hai nghiệm của phương trình:
	g(x) = x2 -3x + m +2 = 0 (2)	
II.bất phương trình quy về bậc nhất và bậc hai:
 1.bất phương trình vô tỉ
	1. Giải các bất phương trình sau:
	a) 
	b) 
	c) 
	d) 
	e) 
	f)	 
	2. Giải bât phương trình:
2. bất phương trình bậc cao:
	 1. Giải bât phương trình:
	x3 -3x +2 < 0	
	 2. Cho bất phương trình:
	x4 -4x3 + 3x2 + 2x < m
	 a) Giải bất phương trình với m = 2.
	 b) Tìm m để bất phương trình có nghiệm. 	
	 3. Giải các bất phương trình sau:
	a)	 x5+x4- 15x3 -5x2 +34x +24 > 0
	b)	32x4- 48x3 -10x2 +21x +5 Ê 0
	c) 	3a(x-a)(2x+a)(x-3a)(x2+ax-2a2)< 0
	d) 	a(a+1)(x2-a2)(x+2a)(x2+2a2+3) < 0
3. Bất phương trình mũ và lôgarit
	1. Giải bất phương trình sau:
	( logx2)(log2x2)(log24x) > 1
	2. Giải bất phương trình sau:
	logax +2 > 3logxa ( a>0,ạ 1)
	3. Giải các bất phương trình sau:
	 a) 2log3/45x -3 log3/441/x + 5log4/33x +5log4/321/x + log3/4x3 -2 < 0 
	 b) 	 	
4. bất phương trình có ẩn ở trong dấu giá trị tuyệt đối. 
	1. Giải và biện luận theo a bất phương trình:
	| x2 -2x +a| Ê | x2 -3x -a |	
	2. Giải các bất phương trình sau:
	a)	| y | + | x-2 | < 3
	b) |y-2 | > | x-3 |
	c)	³ 1
	d) |x+3|+ |x-1| + |x-3| < 10	
III . áp dụng bất đẳng thức vào giải phương trình
và bất phương trình:
	1. Giải phương trình:
	x2 + 1 = 
	2. Giải phương trình:
	 = -16x2 + 24| x | - 1
	3. Giải phương trình:
	 2cosx = cosx + 1/ cosx.
	4. Giải phương trình:
	sinx + cosx = 
	5. Giải và biện luận:
	| x | + cosx = - 1 với -1 Ê a Ê 1
	6. Chứng minh rằng nếu x0 là nghiệm của phương trình:
x2 + ax + b = 0 thì Ê a2 + b2
IV. sử dụng điều kiện cần và đủ:
	a) Tìm điều kiện thông số để phương trình, bất phương trinh và hệ có nghiệm duy nhất:
	1. Tìm a,b để hệ sau có nghiệm duy nhất:
	xyz + z = a
	xyz2 + z = b
	x2 + y2 + z2 = 4
	2. Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất:
	2|x| + |x| = y + x2 + a
	x2 + y2 = 1
	b) Tìm điều kiện để phương trình, bất phương trình và hệ tương đương:
	1. Tìm a để hai phương trình sau tương đương:
	4x+1 + 2x+4 = 2x+2 + 16
	| a - 9 | 3x-2 + a9x-1 = 1.
	2. Tìm a sao cho phương trình: |x-a| - |x+1| = 2 Tương đương với bất phương trình : ³ -1 - x.
	3. Cho hai hệ phương trình:
	x + 2y = 2 - a 
	-x + ay = a - 2a2
	và	x2- y4 - 4x + 3 = 0
	2x2 + y2 +(a2+2a-11)x + 12 - 6a = 0
	Tìm a để hai hệ nói trên tương đương với nhau.
	c) Tìm điều kiện tham số để phương trình, bất phương trinh, hệ có nghiệm:
	1. Tìm b để hệ sau có nghiệm:
	x + 3y = 2b + 1
	3xy = 4b2 + 2b - 1
	x2 + 9y2 Ê - 4b2 + 2b + 2
	2. Xác định tham số m để bất phương trình sau có nghiệm:
	4x - m2x - m + 3 Ê 0
V. Bất đẳng thức
	1. Chứng minh rằng:
	a) 	ab2c3 < [(a+2b+3c)/6]6 nếu a,b,c dương.
	b) 	1.2233...nn Ê [(2n+1)/3]n(n+1)/2 n là số tự nhiên > 0
	c) 	nếu a,b ³ 0
	d)	
	nếu a,b,c,d ³ 0
	e) 	nếu a,b,c,d ³ 0
	2. Chứng minh rằng:
	a) Nếu a,b,c,d>0 và
	S = 
	thì 1 < S < 2
	b) 	
	3. Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác và A, B, C là ba góc. Chứng minh rằng:
	a) 	abc > (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
	b)	a3(b2-c2) + b3(c2-a2)+ c3(a2-b2) < 0 với a<b<c
	c) 	1< cosA + cosB + cosC Ê 3/2 
áp dụng đai số sơ cấp vào dạy tiểu học
1. Vận dụng kiến thức hàm số vào dạy tiểu học:
	1.1 Khuyến khích những hoạt động tư duy hàm trong hệ thống số:
	Lĩnh vực trong hệ thống số chứa đựng những tiềm năng to lớn có thể khai thác để khuyến khích những hoạt động tư duy hàm. Những hoạt động này được phát triển không phải vì mục đích tự thân mà là trong khi và nhằm thực hiện những yêu cầu dạy học các hệ thống số.
	Vi dụ 1: Để hình thành cho học sinh những biểu tượng đầu tiên về "nhiều hơn", "bằng", "lớn hơn", " nhỏ hơn", Cần cho học sinh thiết lập sự tương ứng:
	Trong việc rèn luyện cho học sinh kĩ năng tính toán, cần chú ý cho họ đồng thời tập luyện những hoạt động xác định giá trị ra khi cho biết giá trị vào, xác định giá trị vào khi cho biết giá trị ra,và phát biểu những sự tương ứng giữa những phần tử của hai tập hợp. Điều đó có thể được thực hiện nhờ những bài tập tính toán với những dạng đầu bài khác nhau, trong đó những bảng được sử dụng sớm và thường xuyên coi như những phương tiện biểu thị những sự tương ứng giữa những phần tử của nhiều tập hợp. Một khó khăn vấp phải là trước lớp 4 học sinh chưa học biểu thức có biến, do đó những biểu thức như vậy chưa được xuất hiện ở bảng. Khó khăn này có thể được khắc phục như trong những bảng sau đây:
	Ví dụ 2: ( Cộng số tự nhiên lớp 1 )
8
3
2
7
9
6
4
9
1
6
4
0
	Ví dụ 3: ( Trừ số tự nhiên lớp 1 )
5
10
9
2
4
0
1
 - 1
5
2
	Từ lớp 2 học sinh trở đi, học sinh đã biết các thuật ngữ về các toán hạng và kết quả của phép cộng và phép trừ, do đó ta có thể sử dụng các thuật ngữ này để viết các tiêu đề trong bảng.
	Ví dụ 4: Cộng số tự nhiên ( lớp 2)
	a) Một số hạng luôn bằng 5
Số hạng kia
4
1
2
8
0
14
11
Tổng
19
5
b)
Số hạng
10
4
15
1
3
0
Số hạng
10
14
19
11
7
Tổng
26
20
17
12
14
	Hai cột cuối cùng ở ví dụ 4b tạo cơ hội cho học sinh thấy rõ với một số được coi là tổng có thể đạt tương ứng nhiều cặp số với tư cách là những số hạng. Điều này hình thành ở họ biểu tượng ban đầu về sự phân biệt giữa những sự tương ứng đơn trị với những sự tương ứng không đơn trị.
	Từ lớp 4, sau khi học sinh đã học tính giái trị của biểu thức với 1 hoặc 2 biến, ta có thể sử dụng những biểu thức như vậy làm tiêu đề của bảng đối với những phép tính, chẳng hạn:
	Ví dụ 5: Biểu thức có biến ( Lớp 4)
Hãy điền những giá trị thích hợp vào các ô trống trong bảng sau:
a)
a
0
12
25
36
14a
28
42
b)
a
0
12
18
21
b
35
24
16
15
a.b
42
45
96
	Với mức độ học sinh đã được làm việc với những biểu thức như trên, có thể làm cho họ biết nhìn nhận một phép tính như một quy tắc tương ứng thể hiện bởi một bảng gía trị
	Ví dụ 6: Biểu thức có biến ( lớp 4 )
x
0
1
4
5
7
8
10
7
0
7
28
35
49
56
70
 Cùng với bảng có thể dùng hình thức biểu đồ mũi tên
	1.2 Phương trình và bất phương trình
	Phương trình và bất phương trình bao gồm cả đẳng thức và bất đẳng thức cũng chứa đựng những tiềm năng có thể khai thác để cho học sinh tập luyện những hoạt động tư duy hàm.
	Việc giải phương trình theo nội dung bằng cách thử dần từng số cần được tập luyện ngay từ lớp 1. Làm như vậy cũng đồng thời khuyến khích được hoạt động phát hiện những sự tương ứng được biểu thị bởi từng vế.
	Ví dụ: Giải phương trình và bất phương trình bằng cách thử ( lớp 2)
	Hãy tìm giá trị của x ( hoặc những giá trị của x ) sao cho:
	a) x + 5 = 8	b) x + 8 < 11
	Lời giải mong đợi:	Lời giải mong đợi:
	x	x + 5	x	x + 5	
	0	 5	0	 8
	1	 6	1	 9
	2	 7	2	 10
	3	 8	3	 11
	4	 9	4	 12
2. Giải quyết hợp lí mối liên hệ giữa hai phương diện ngữ nghĩa và cú pháp trong dạy học giải phương trình
	Trong toán học người ta phân biệt cái kí hiệu và cái được kí hiệu, cái biểu diễn và cái được biểu diễn. Nếu xem xét phương diện những cái kí hiệu, những cái biểu diễn, đi vào cấu trúc hình thức và những quy tắc hình thức để xác định và biến đổi chúng, thì đó là phương diện cú pháp (syntaxic). Nếu xem xét phương diện những cái được kí hiệu, những cái được biểu diễn, tức là đi vào nội dung, vào nghĩa của những cái kí hiệu, những cái biểu diễn thì đó là phương diện ngữ nghĩa.
	"Phương diện ngữ nghĩa của toán học là mặt xem xét nội dung của những mẹnh đề toán học và nghĩa cuả những cách đặt vấn đề toán học.
	Phương diện cú pháp toán học là mặt xem xét cấu trúc hình thức và sự biến đổi hình thức những biểu thức toán học, sự làm việc theo những quy tắc nhất định và nói riêng là sự làm việc theo thuật giải" ( Walsch )
	Hai phương diện này phản ảnh hai loại hình tư duy quan trọng trong toán học: Tư duy ngữ nghĩa và tư duy cú pháp. 
	Cần phải rèn luyện cho học sinh cả hai loại hình tư duy này. Muốn vậy cần giải quyết mối quan hệ trên một cách hợp lí.
	Theo tinh thần trên, ngay từ tiểu học, khi dạy các phép tính số học đã có thể cho học sinh những bài tập thực chất là yêu cầu giải phương trình, nhưng không tường minh. Những bài tập như vậy có thể được cho dưới nhiều hình thức khác nhau, chẳng hạn:
	- 	3 + ? = 6
	- Điền số thích hợp vào chỗ kí hiệu vòng tròn sao cho:
	3 + O = 6 
	- Tìm một số sao cho khi đem số đó cộng vào 3 thì được 6.
	- Tìm giá trị x sao cho:
	3 + x = 6
	Việc giải phương trình trong giai đoạn này được thực hiện chủ yếu như những suy nghĩ về phương diện ngữ nghĩa, chẳng hạn bằng cách thử dần từng số
	3 + 0 = 3
	3 +1 = 4
	3 + 2 = 5 
	3 + 3 = 6
	3 + 4 = 7
	.............
	Vậy giá trị cần tìm là 3.
3. Rèn luyên cho học sinh khả năng phát hiện những hệ thức giữa những đại lượng 
	Cần làm cho học sinh ý thức được rằng những mối liên hệ giữa những đại lượng trong bài toán có thể chia thành hai loại: Những mối liên hệ cụ thể ở bài toán và những mối liên hệ tổng quát có tính chất quy luật
4. Rèn luyện cho học sinh khả năng sử dụng những biểu thức chứa biến để biểu thị những tình huống thực tế.