Chuyên đề Cực trị của hàm số

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79  
-41- 
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
1. Khái niệm cực trị hàm số : 
Giả sử hàm số f xác ñịnh trên tập hợp ( )D D ⊂ ℝ và 0x D∈ 
0
)a x ñược gọi là một ñiểm cực ñại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng ( );a b chứa ñiểm 0x sao cho 
( );a b D⊂ và ( ) ( )0f x f x< với mọi ( ) { }0; \x a b x∈ . Khi ñó ( )0f x ñược gọi là giá trị cực ñại của 
hàm số f . 
0
)b x ñược gọi là một ñiểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng ( );a b chứa ñiểm 0x sao cho 
( );a b D⊂ và ( ) ( )0f x f x> với mọi ( ) { }0; \x a b x∈ . Khi ñó ( )0f x ñược gọi là giá trị cực tiểu của 
hàm số f . 
Giá trị cực ñại và giá trị cực tiểu ñược gọi chung là cực trị 
Nếu 
0
x là một ñiểm cực trị của hàm số f thì người ta nói rằng hàm số f ñạt cực trị tại ñiểm 
0
x . 
Như vậy : ñiểm cực trị phải là một ñiểm trong của tập hợp ( )D D ⊂ ℝ 
2. ðiều kiện cần ñể hàm số ñạt cực trị: 
ðịnh lý 1: Giả sử hàm số f ñạt cực trị tại ñiểm 
0
x . Khi ñó , nếu f có ñạo hàm tại ñiểm 
0
x thì ( )0' 0f x = 
Chú ý : 
• ðạo hàm 'f có thể bằng 0 tại ñiểm 
0
x nhưng hàm số f không ñạt cực trị tại ñiểm 
0
x . 
• Hàm số có thể ñạt cực trị tại một ñiểm mà tại ñó hàm số không có ñạo hàm . 
• Hàm số chỉ có thể ñạt cực trị tại một ñiểm mà tại ñó ñạo hàm của hàm số bằng 0 , hoặc tại ñó hàm 
số không có ñạo hàm . 
3. ðiều kiện ñủ ñể hàm số ñạt cực trị: 
ðịnh lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng ( );a b chứa ñiểm 0x và có ñạo hàm trên các khoảng 
( )0;a x và ( )0;x b . Khi ñó : 
)a Nếu 
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0 0
' 0, ;
' 0, ;
f x x a x
f x x x b
 < ∈

> ∈
thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm 
0
x . Nói một cách khác , nếu ( )'f x ñổi 
dấu từ âm sang dương khi x qua ñiểm 
0
x thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm 
0
x . 
x a 
0
x b 
( )'f x − + 
( )f x ( )f a ( )f b 
 ( )0f x 
)b Nếu 
( ) ( )
( ) ( )
0 0
0 0
' 0, ;
' 0, ;
f x x a x
f x x x b
 > ∈

< ∈
thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm 
0
x . Nói một cách khác , nếu ( )'f x ñổi 
dấu từ dương sang âm khi x qua ñiểm 
0
x thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm 
0
x . 
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79  
-42- 
x a 
0
x b 
( )'f x + − 
( )f x ( )0f x 
 ( )f a ( )f b 
ðịnh lý 3: Giả sử hàm số f có ñạo hàm cấp một trên khoảng ( );a b chứa ñiểm 0x , ( )0' 0f x = và f có ñạo 
hàm cấp hai khác 0 tại ñiểm 
0
x . 
)a Nếu ( )0'' 0f x < thì hàm số f ñạt cực ñại tại ñiểm 0x . 
)b Nếu ( )0'' 0f x > thì hàm số f ñạt cực tiểu tại ñiểm 0x . 
4. Quy tắc tìm cực trị: 
Quy tắc 1: Áp dụng ñịnh lý 2 
• Tìm ( )'f x 
• Tìm các ñiểm ( )1,2, 3...ix i = tại ñó ñạo hàm bằng 0 hoặc hàm số liên tục nhưng không có ñạo hàm. 
• Xét dấu của ( )'f x . Nếu ( )'f x ñổi dấu khi x qua ñiểm 0x thì hàm số có cực trị tại ñiểm 0x . 
Quy tắc 2: Áp dụng ñịnh lý 3 
• Tìm ( )'f x 
• Tìm các nghiệm ( )1,2, 3...ix i = của phương trình ( )' 0f x = . 
• Với mỗi 
i
x tính ( )'' .if x 
− Nếu ( )'' 0if x < thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm ix . 
− Nếu ( )'' 0if x > thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm ix . 
Ví dụ 1 : Tìm cực trị của các hàm số : 
( ) 3 21 5) 3
3 3
a f x x x x= − − + 
( ) ( )) 2b f x x x= + 
( ) ( )) 3c f x x x= − 
( ))d f x x= 
Giải : 
( ) 3 21 5) 3
3 3
a f x x x x= − − + 
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . 
Ta có ( ) ( )2' 2 3 ' 0 1, 3f x x x f x x x= − − = ⇔ = − = 
Cách 1. Bảng biến thiên 
x −∞ 1− 3 +∞ 
( )'f x + 0 − 0 + 
( )f x 10
3
 +∞ 
 −∞ 
22
3
− 
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79  
-43- 
Vậy hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm ( ) 101, 1
3
x f= − − = , hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm ( ) 223, 3
3
x f= = − 
Cách 2 : ( )'' 2 2f x x= − 
Vì ( )'' 1 4 0f − = − < nên hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm ( ) 101, 1
3
x f= − − = . 
Vì ( )'' 3 4 0f = > hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm ( ) 223, 3
3
x f= = − . 
( ) ( ) ( )( )
2 0
) 2
2 0
x x khi x
b f x x x
x x khi x
 + ≥
= + = 
− + <
Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ . 
Ta có ( ) ( )
2 2 0 0
' ' 0 1
2 2 0
x khi x
f x f x x
x khi x
 + > >
= = ⇔ = −− − <
Hàm số liên tục tại 0x = , không có ñạo hàm tại 0x = . 
Bảng biến thiên 
x −∞ 1− 0 +∞ 
( )'f x + 0 − + 
( )f x 1 +∞ 
 −∞ 0 
Vậy hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm ( )1, 1 1x f= − − = , hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm ( )0, 0 0x f= = 
( ) ( )) 3c f x x x= − 
Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ . ( ) ( )( )
3 0
3 0
x x khi x
f x
x x khi x
 − ≥
= 
− − <
. 
Ta có ( )
( )
( )
3 1
0
2' ' 0 1
3
0 0
2
x
khi x
xf x f x x
x
x khi x
x
 −
 >

= = ⇔ =
− − > <
 −
+ 
x −∞ 0 1 +∞ 
( )'f x + − 0 + 
( )f x 0 +∞ 
 −∞ 2− 
Hàm số ñạt ñiểm cực ñại tại ñiểm ( )0, 0 0x f= = , hàm số ñạt ñiểm cực tiểu tại ñiểm ( )1, 1 2x f= = − 
( ))d f x x= 
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79  
-44- 
Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ . ( )
0
0
x khi x
f x
x khi x
 ≥
= − <
. 
Ta có ( )
1 0
'
1 0
khi x
f x
khi x
 >
= − <
Bảng biến thiên 
x −∞ 0 +∞ 
( )'f x − + 
( )f x +∞ +∞ 
 0 
Hàm số ñạt ñiểm cực ñại tại ñiểm ( )0, 0 0x f= = 
Ví dụ 2 : Tìm cực trị của các hàm số sau : 
( ) 2) 4a f x x x= − 
( )) 3 2 cos cos2b f x x x= − − 
( )) 2 sin2 3c f x x= − 
( )) sin2 2d f x x x= − + 
Giải : 
( ) 2) 4a f x x x= − 
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ñoạn 2;2 −  
Ta có ( ) ( ) ( )
2
2
4 2
) ' , 2;2 ' 0 2, 2
4
x
a f x x f x x x
x
−
= ∈ − = ⇔ = − =
−
( )'f x ñổi dấu từ âm sang dương khi x qua ñiểm 2− thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm 2,x = − 
( )2 2f − = − 
( )'f x ñổi dấu từ dương sang âm khi x qua ñiểm 2 thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm 2,x = 
( )2 2f = 
Hoặc dùng bảng biến thiên hàm số ñể kết luận: 
x 2− 2− 2 2 
( )'f x − 0 + 0 − 
( )f x 0 2 
 2− 0 
( )) 3 2 cos cos2b f x x x= − − 
Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ . 
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79  
-45- 
Ta có ( ) ( )' 2 sin 2 s in2 2 sin 1 2 cosf x x x x x= + = + 
( )
sin 0
' 0 ,1 2 2
cos cos 2
2 3 3
x x k
f x k
x x k
π
π π
π
 = =
 = ⇔ ⇔ ∈
 = − = = ± +
  
 ℤ . 
( )'' 2 cos 4 cos2f x x x= + 
2 2
'' 2 6 cos 3 0
3 3
f k
π π
π
 
± + = = − < 
 
. Hàm số ñạt cực ñại tại 
2
2
3
x k
π
π= ± + , 
2 1
2 4
3 2
f k
π
π
 
± + = 
 
( )'' 2 cos 4 0,f k k kπ π= + > ∀ ∈ ℤ . Hàm số ñạt cực tiểu tại ( ) ( ), 2 1 cosx k f k kπ π π= = − 
( )) 2 sin2 3c f x x= − 
Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ . 
Ta có ( ) ( )' 4 cos2 , ' 0 cos2 0 ,
4 2
f x x f x x x k k
π π
= = ⇔ = ⇔ = + ∈ ℤ 
( )
8 2
'' 8 sin2 , '' 8 sin
8 2 14 2 2
khi k n
f x x f k k
khi k n
π π π
π
− =    
= − + = − + =     = +    
Vậy hàm số ñạt cực ñại tại các ñiểm ; 1
4 4
x n f n
π π
π π
 
= + + = − 
 
 và ñạt cực ñại tại 
( ) ( )2 1 ; 2 1 5
4 2 4 2
x n f n
π π π π 
= + + + + = − 
 
( )) sin2 2d f x x x= − + 
Tương tự trên hàm số ñạt cực ñại tại các ñiểm ,
6
x k k
π
π= − + ∈ ℤ và ñạt cực tiểu tại các ñiểm 
,
6
x k k
π
π= + ∈ ℤ . 
Ví dụ 3 : 
1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m , hàm số ( ) ( )
3 31 1
,
x m m x m
y f x m
x m
− + + +
= =
−
 luôn 
có cực ñại và cực tiểu . 
2 . Với giá trị nào của m ,hàm số ( ) ( ) 3 2, 2 3y f x m m x x mx m= = + + + + có cực ñại , cực tiểu . 
3 . Với giá trị nào của m ,hàm số ( )
2
,
mx x m
y f x m
x m
+ +
= =
+
 không có cực ñại , cực tiểu . 
4 . Xác ñịnh các giá trị của tham số k ñể ñồ thị của hàm số ( ) ( )4 2, 1 1 2y f x k kx k x k= = + − + − chỉ 
có một ñiểm cực trị. 
5 . Xác ñịnh m ñể ñồ thị của hàm số ( ) 4 21 3,
2 2
y f x m y x mx= = = − + có cực tiểu mà không có cực 
ñại. 
Giải : 
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79  
-46- 
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\D m= ℝ . 
Ta có 
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 1
' , , 2 1
g xx mx m
y x m g x x mx m
x m x m
− + −
= = ≠ = − + −
− −
Dấu của ( )g x cũng là dấu của 'y và ( )2 2' 1 1 0 ,g m m m∆ = − − = > ∀ . Do ñó m∀ thì ( ) 0g x = 
luôn có 2 nghiệm phân biệt 
1 2
1, 1x m x m= − = + thuộc tập xác ñịnh . 
x −∞ 1m − m 1m + +∞ 
( )'f x + 0 − − 0 + 
( )f x +∞ +∞ 
 −∞ −∞ 
'y ñổi dấu từ dương sang âm khi x qua ñiểm 
1
1x m= − thì hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm 
1
1x m= − 
'y ñổi dấu từ âm sang dương khi x qua ñiểm 
2
1x m= + thì hàm số ñạt cực tiểu tại ñiểm 
2
1x m= + 
2 . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . 
Ta có ( ) 2' 3 2 6y m x x m= + + + 
Hàm số có cực ñại và cực tiểu khi phương trình ' 0y = có hai nghiệm phân biệt hay 
( ) ( )2
22 0 2
3 1' 9 3 2 0 3 2 3 0
mm m
mm m m m
 ≠ − + ≠ ≠ −  
⇔ ⇔ ⇔  − − − + >    
Vậy giá trị m cần tìm là 3 1, 2m m− < < ≠ − . 
3 . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\D m= −ℝ và có ñạo hàm 
( )
2 2
2
2
'
mx m x
y
x m
+
=
+
Hàm số không có cực ñại , cực tiểu khi ' 0y = không ñổi dấu qua nghiệm , khi ñó phương trình 
( ) ( )2 22 0,g x mx m x x m= + = ≠ − vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 
• Xét 0 ' 0, 0m y x m m= ⇒ = ∀ ≠ − ⇒ = thoả . 
• Xét 0m ≠ . Khi ñó 4' m∆ = 
Vì ( )4' 0, 0 0m m g x∆ = > ∀ ≠ ⇒ = có hai nghiệm phân biệt nên không có giá trị tham số m ñể 
( ) ( )2 22 0,g x mx m x x m= + = ≠ − vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 
Vậy 0m = thoả mãn yêu cầu bài toán . 
4 . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . 
Ta có ( )3' 4 2 1y kx k x= − − 
( )2
0
' 0
2 1 0 *
x
y
kx k
 =
= ⇔ 
+ − =
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79  
-47- 
Hàm số chỉ có một cực trị khi phương trình ' 0y = có một nghiệm duy nhất và 'y ñổi dấu khi x ñi qua 
nghiệm ñó .Khi ñó phương trình ( )22 1 0 *kx k+ − = vô nghiệm hay có nghiệm kép 0x = 
( )
0
0 0
0
0 1 1
' 2 1 0
k
k k
k
k k k
k k
 =
 = ≤
 ≠⇔ ⇔ ⇔  < ∨ ≥ ≥    ∆ = − − ≤
Vậy 0 1k k≤ ∨ ≥ là giá trị cần tìm . 
5 . Hàm số ñã cho xác ñịnh trên ℝ . 
Ta có ( )
3
2
0
' 2 2 ' 0
*
x
y x mx y
x m
 =
= − = ⇔ 
=
Hàm số có cực tiểu mà không có cực ñại khi phương trình ' 0y = có một nghiệm duy nhất và 'y ñổi 
dấu khi x ñi qua nghiệm ñó Khi ñó phương trình ( )2 *x m= vô nghiệm hay có nghiệm kép 0x = 
0m⇔ ≤ 
Vậy 0m ≤ là giá trị cần tìm. 
Ví dụ 4 : 
1. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số ( )
2 1x mx
y f x
x m
+ +
= =
+
 ñạt cực ñại tại 2.x = 
2. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số ( ) ( )3 23 1y f x x m x m= = + + + − ñạt cực ñại tại 
1.x = − 
3. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số ( ) ( )3 26 3 2 6y f x x x m x m= = − + + − − ñạt cực ñại và 
cực tiểu ñồng thời hai giá trị cực trị cùng dấu. 
4. Xác ñịnh giá trị tham số m ñể hàm số ( )
2 2
1
x mx
y f x
x
+ +
= =
−
 có ñiểm cực tiểu nằm trên Parabol 
( ) 2: 4P y x x= + − 
Giải : 
1. Hàm số ñã cho xác ñịnh trên { }\D m= −ℝ và có ñạo hàm ( )
( )
2 2
2
2 1
' ,
x mx m
f x x m
x m
+ + −
= ≠ −
+
Nếu hàm số ñạt cực ñại tại 2x = thì ( ) 2
3
' 2 0 4 3 0
1
m
f m m
m
 = −
= ⇔ + + = ⇔ 
= −
3m = − , ta có ( )
( )
( )
2
2
26 8
' , 3 ' 0
43
xx x
f x x f x
x
x
 =− +
= ≠ = ⇔ 
=− 
Bảng biến thiên : 
x −∞ 2 3 4 +∞ 
( )'f x + 0 − − 0 + 
 ...  = − và ( )2 2f − = − . 
( )
( )2
' 1 , 1
1
q
f x x
x
= − ≠ −
+
 0q• ≤ thì ( )' 0, 1f x x> ∀ ≠ − . Do ñó hàm số ( )
1
q
f x x p
x
= + +
+
 ñồng biến trên mỗi khoảng 
( ); 1−∞ − và ( )1;− +∞ . Hàm số không có cực ñại , cực tiểu . 
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79  
-62- 
 0q• > thì ( ) ( )
( )
( )
2
1 22
1
' , 1 ' 0 1 , 1
1
x q
f x x f x x p x p
x
+ −
= ≠ − ⇒ = ⇔ = − − = − +
+
. Hàm số ñạt cực 
ñại tại ñiểm 2x = − và ( )2 2f − = − khi ( )
1
2 1
12 2
x q
pf
 = − = 
⇔  =− = −  
5. Cho hàm số ( ) ( ) ( )3 21 21 2 3
3 3
f x x m x m x= + − + − − 
)a Chứng minh rằng 2m ≠ thì ñồ thị của hàm số luôn có cực ñại và cực tiểu . Viết phương trình qua 
hai ñiểm cực ñại và cực tiểu ñó . 
)b Giả sử hoành ñộ cực ñại, cực tiểu là 
1 2
,x x . Tìm m ñể : 
1 1 2
) 3 5b x x+ = 
2 1 2
) 5 2b x x− = 4 2 2
3 1 2
) 5b x x+ = 2
4 1 2
) 3b x x+ ≤ 
)c Tìm m ñể : 
1
)c 
1 2
0 1x x< < < 
2
)c 
1 2
1x x< < 
3
)c 
1 2
2 0x x− < < < 
4
)c 
1 2
0 1 2x x< < < < 
Lưu ý : ðể làm ñược câu )c học sinh xem lại so sánh nghiệm phương trình bậc hai ñã ñề cập sách ñại số 
9 và có nhắc lại ñại số 10. 
6. Cho hàm số ( ) 3f x x px q= + + 
)a Với ñiều kiện nào ñể hàm số f có một cực ñại và một cực tiểu ?. 
)b Chứng minh rằng nếu giá trị cực ñại và giá trị cực tiểu trái dấu thì phương trình 3 0x px q+ + = có 
3 nghiệm phân biệt?. 
)c Chứng minh rằng ñiều kiện cần và ñủ ñể phương trình 3 0x px q+ + = có ba nghiệm phân biệt là 
3 24 27 0p q+ < 
Hướng dẫn : 
)a 0p < 
)c . 0
3 3
p p
f f
   
   − − − <
   
   
7. 
)a Tìm ,a b ñể các cực trị hàm số ( ) 2 3 25 2 9
3
f x a x ax x b= + − + ñều là những số dương và 
0
5
9
x = − 
là ñiểm cực ñại . 
)b Tìm , ,a b c ñể các cực trị hàm số 3 2y x ax bx c= + + + có giá trị bằng 1 khi 0x = và ñạt cực trị tại 
2x = , giá trị cực trị là 3− . 
)c Tìm ,a b ñể các cực trị hàm số 
2
2
x ax b
y
x
+ +
=
−
 ñạt cực trị tại 3x = và ñường tiệm cận xiên 
1y x= − . 
)d Tìm , ,a b c ñể các cực trị hàm số 
2
2
ax bx c
y
x
+ +
=
−
 có giá trị bằng 1 khi 1x = và ñường tiệm cận 
xiên của ñồ thị vuông góc với ñường thẳng 
1
2
x
y
−
= . 
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79  
-63- 
)e Tìm các hệ số , ,a b c sao cho hàm số ( ) 3 2f x x ax bx c= + + + ñạt cực tiểu tại ( )1; 3A − và ñồ thị 
của hàm số cắt trục tung tại ñiểm có tung ñộ bằng 2 . 
Hướng dẫn : 
)a 0a = : Hàm số không có cực trị 
( ) ( )2 2
9
50 ' 5 4 9 ' 0
1
x
aa f x a x ax f x
x
a

= −
≠ = + − ⇒ = ⇔ 
 =

Nếu 0a < , 
0
5
9
x = − là ñiểm cực ñại khi 
0
5 1 9
9 5
x a
a
= − = ⇔ = − , giá trị cực tiểu là số dương nên 
( ) ( )9 361 0
5 5CT
f x f f b
a
 
= − = > ⇔ > 
 
Nếu 0a > , 
0
5
9
x = − là ñiểm cực ñại khi 
0
5 9 81
9 5 25
x a
a
= − = − ⇔ = , giá trị cực tiểu là số dương nên 
( ) 1 4000
243CT
f x f b
a
 
= > ⇔ > 
 
Vậy 
9 81
5 25
36 400
5 243
a a
b b
 
= − =  
 
 > >
  
 ; 
)b 3, 0, 1a b c= − = = 
)c 3, 3a b= − = 
)d 2, 3, 0a b c= = − = 
8. Cho hàm số ( ) ( )3 23 3 2 1 1,f x x mx m x m= − + − + là tham số 
)a Xác ñịnh m ñể hàm số ñồng biến trên tập xác ñịnh . 
)b Xác ñịnh m ñể ( )'' 6f x x> . 
9. 
)a ðịnh a ñể ñồ thị của hàm số ( ) ( )3 22 3 2 1 6 1 1y x a x a a x= − + + + + có giá trị 1y >CÑ 
ðáp số: 
)a 
3
0
2
a− < ≠ 
10. Xác ñịnh khoảng ñơn ñiệu và cực trị ( nếu có ) của hàm số : 
( )) sin2a f x x= 
( )) sin cosb f x x x= + 
( )
( )
2) sin 3 cos , 0;
) 2 sin cos2 , 0;
c f x x x x
d f x x x x
π
π
 = − ∈  
 = + ∈  
 Hướng dẫn : 
( )) sin2a f x x= 
Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ 
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79  
-64- 
Ta có ( ) ( )' 2 cos2 , ' 0 cos2 0 ,
4 2
f x x f x x x l l
π π
= = ⇔ = ⇔ = + ∈ ℤ 
( )
4 2
'' 4 sin2 , '' 4 sin
4 2 14 2 4 2
khi l k
f x x f l l k
khi l k
π π π π − =    
= − + = − + = ∈    = +    
 , 
ℤ 
Vậy ( )
4
x k k
π
π= + ∈ ℤ là ñiểm cực ñại của hàm số . 
( )3
4
x k k
π
π= + ∈ ℤ là ñiểm cực tiểu của hàm số . 
Một bài toán tương tự : ( ) sin2f x x x= − , ñể ý xét ( ) ( )' 0, , ?f x x xπ π= ∈ − ⇒ = 
( )) sin cosb f x x x= + 
Hàm số ñã cho xác ñịnh và liên tục trên ℝ 
( ) ( ) ( ) ( )sin cos 2 sin ' 2 cos , ' 0
4 4 4
f x x x x f x x f x x k k
π π π
π
   
= + = + ⇒ = + = ⇔ = + ∈   
   
 ℤ
( )
2 2
'' 2 sin '' 2 sin
4 4 2 2 2 1
khi k n
f x x f k k
khi k n
π π π
π π
− =      
= − + ⇒ + = − + =      
= +      
Vậy ( )2
4
x n n
π
π= + ∈ ℤ là ñiểm cực ñại của hàm số . 
( ) ( )2 1
4
x n n
π
π= + + ∈ ℤ là ñiểm cực tiểu của hàm số . 
( ) 2) sin 3 cos , 0;c f x x x x π = − ∈   
( ) ( ) ( ) ( )2sin 3 cos ' sin 2 cos 3 , 0;f x x x f x x x x π= − ⇒ = + ∈ 
Vì ( )0; sin 0x xπ∈ ⇒ > nên trong khoảng ( ) ( ) 3 50; : ' 0 cos
2 6
f x x x
π
π = ⇔ = − ⇔ = 
( ) 5' 0, 0;
6
f x x
π 
• > ∈ ⇒ 
 
hàm số ñồng biến trên ñoạn 
5
0;
6
π 
 
 
( ) 5' 0, ;
6
f x x
π
π
 
• < ∈ ⇒ 
 
hàm số ñồng biến trên ñoạn 
5
;
6
π
π
 
 
 
 • Vì 
( )
( )
5
' 0, 0;
6
5
' 0, ;
6
f x x
f x x
π
π
π
  
> ∈  
     < ∈    
 nên hàm số ñạt cực ñại tại ñiểm 
5 5 7 3
, 1
6 6 4 4
x f
π π 
= = = 
 
Hoặc có thể kiểm tra 
5 1
'' ... 0
6 2
f
π 
= = − < 
 
( )) 2 sin cos2 , 0;d f x x x x π = + ∈   
( ) ( ) ( ) ( )2 sin cos2 ' 2 cos 1 2 sin , 0;f x x x f x x x x π= + ⇒ = − ∈ 
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79  
-65- 
Trong khoảng ( ) ( ) 
2cos 0
0; : ' 0 1
6sin
2 5
6
x
x
f x x
x
x
π
π
π
π

=
 = 
 = ⇔ ⇔ =
 =
 
=

Tương tự câu )a học sinh tự xác ñịnh khoảng ñơn ñiệu hàm số ; hàm số ñạt cực tiểu tại 
, 1
2 2
x f
π π 
= = 
 
, hàm số ñạt cực ñại tại các ñiểm 
3
,
6 6 2
x f
π π 
= = 
 
 và 
5 5 3
,
6 6 2
x f
π π 
= = 
 
. 
MỘT SỐ DẠNG TOÁN TRONG KỲ THI TÚ TÀI &TUYỂN SINH ðẠI HỌC 
1. Tìm cực trị của hàm số : 
)a ( ) . xf x x e−= 
)b ( ) 3 23
2
f x x x= + 
)c ( ) 22 3 1f x x x= − + + 
)d ( ) 23 10f x x x= + − 
)e ( ) 3 sin cosf x x x= + 
2. Tìm m ñể ñồ thị của hàm số có cực trị : 
)a ( )
2x mx m
y f x
x m
+ −
= =
+
 )b ( )
2 ( 1)
1
x m x m
y f x
x
+ − −
= =
+
3. Tìm m ñể ñồ thị của hàm số: 
)a ( ) 3 2 7 3y f x x mx x= = + + + có cực trị . 
)b ( ) 4 3 21 32 ( 2) ( 6) 1
4 2
y f x x x m x m x= = − + + − + + có ba cực trị . 
)c ( ) 22 1y f x x m x= = − + + có cực tiểu. 
)d ( )
2 2 2
1
x x m
y f x
x m
− + +
= =
+ −
 có cực ñại , cực tiểu . 
4. Xác ñịnh m ñể ñồ thị của hàm số luôn có cực ñại , cực tiểu?. 
)a 3 2 3 5y x mx mx= + + + 
)b 
2 2x mx m
y
x m
+ −
=
+
)c 
( )2 1 1
2
mx m x
y
mx
+ + +
=
+
ðáp số : 
)a 0 9m m 
)b 1 0m− < < 
)c 2, 0m m< ≠ 
5. Chứng minh rằng với mọi m thì ñồ thị của hàm số luôn có cực ñại , cực tiểu ?. 
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79  
-66- 
)a ( ) 4 3 24 2
3
y f x x mx x= = − − 
)b ( )
2 2 3
2
x mx m
y f x
x
+ + −
= =
+
)c ( )
2
1
x mx m
y f x
x
− +
= =
−
6. 
)a Với giá trị nào của m ,hàm số ( )
2 2 22
,
1
x m x m
y f x m
x
+ +
= =
+
 có cực ñại , cực tiểu 
)b Với giá trị nào của m ,hàm số ( ) ( ) 3 2, 3 2 3y f x m m x mx= = − − + không có cực ñại , cực tiểu 
ðáp số : 
)a 1 1m− < < )b 0m = 
7. Tìm m ñể ñồ thị của hàm số: 
)a ( ) 3 2 22y f x x mx m= = + + ñạt cực ñại tại 1x = 
)b ( )
2 3 5
1
x mx
y f x
mx
+ +
= =
+
 ñạt cực ñại tại 1 3x = − − 
)c ( ) ( )3 23 5y f x x m x mx m= = − + + + + ñạt cực tiểu tại 2x = 
)d ( ) ( )2 3 25 6 6 6y f x m m x mx x= = − + + + − ñạt cực ñại tại 1x = 
)e ( ) ( )
2 1 1
1
x m x
y f x
x m
+ − +
= =
+ −
 ñạt cực ñại tại 2x = 
8. Tìm m ñể ñồ thị của hàm số: 
)a ( )
2 2 3
2
x mx m
y f x
x
+ + −
= =
+
 có cực ñại , cực tiểu ñối xứng nhau qua ñường thẳng 
2 8 0x y+ + = . 
)b ( ) 3 26 3( 2) 6.y f x x x m x m= = − + + − − có hai cực trị trái dấu . 
)c ( )
22 3
1
x x m
y f x
x
− +
= =
−
 có cực ñại , cực tiểu thoả mãn 8
CD CT
y y− > . 
)d ( )
2 3 2
4
x x m
y f x
x
− + +
= =
−
 có cực ñại , cực tiểu thoả mãn 4
CD CT
y y− = . 
9. Tìm m ñể ñồ thị của hàm số: 
)a ( )
2 22 (2 3) 4x m x m m
y f x
x m
+ + + +
= =
+
 có cực ñại , cực tiểu thoả mãn . 0
CD CT
y y < . 
)b ( ) 3 2 21 ( 3) 4( 3)
3
y f x x m x m x m m= = + + + + + − có hoành ñộ cực ñại 
1
x , cực tiểu 
2
x thoả 
mãn 
1 2
1x x< − < . 
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79  
-67- 
)c ( ) 3 21 1( 1) 3( 2)
3 3
y f x mx m x m x= = − − + − + có hoành ñộ cực ñại 
1
x , cực tiểu 
2
x thoả mãn 
1 2
2 1x x+ = . 
)d ( ) 3 22 12 13y f x x mx x= = + − − có ñiểm cực ñại, ñiểm cực tiểu cách ñều trục tung. 
)e 3 23 3 1y x x mx m= − + + − có cực trị mà hoành ñộ cực trị nhỏ hơn 2 
ðáp số 
)e 0 1m< < 
10. Tìm m ñể ñồ thị của hàm số: 
)a ( )
2 3
4
x x m
y f x
x
− + +
= =
−
 có giá trị cực ñại , cực tiểu ñồng thời 4
CT
y y− =CÑ 
)b ( ) ( ) ( )3 2 2 22 1 4 1 2 1y x m x m m x m= + − + − + − + có cực ñại , cực tiểu 1 2,x x thỏa mãn ñiều 
kiện ( )1 2
1 2
1 1 1
2
x x
x x
+ = + 
)c ( ) ( )3 21 5 1
3
m
y x m x m x= − + + − − có cực ñại , cực tiểu 
1 2
,x x ñồng thời hoành ñộ cực ñại, 
cực tiểu thỏa mãn ñiều kiện 
( )1 2 1 2
2 2
1 2
3 4 0
24
x x x x
x x
 + + − <

+ >
)d 3 26 3 2y x x mx m= − + + − có ñiểm cực ñại ( )1 1 1;M x y và ñiểm cực tiểu ( )2 2 2;M x y thỏa mãn 
ñiều kiện 
( ) ( )
1 2
1 2 1 2
0
2
y y
x x x x
−
<
− +
ðáp số : 
)a 3m = 
)b 1 5m m= ∨ = )c 
1
0
7
m− < < 
)d 2 4m− < < 
11. Tìm m ñể ñồ thị của hàm số: 
)a ( ) 3 22 12 13y f x x mx x= == + − − có cực ñại , cực tiểu và các ñiểm cực ñại , cực tiểu cách 
ñều trục Oy 
)b ( ) 3 23
2
m
y f x x x m= = − + có cực ñại , cực tiểu nằm về hai phía của ñường phân giác thứ 
nhất mặt phẳng toạ ñộ của hệ Oxy . 
)c ( )
2 8
1
x mx m
y f x
x
+ − +
= =
−
 có cực ñại , cực tiểu nằm về hai phía ñường thẳng 
9 7 1 0x y− − = . 
)d ( ) 3 22 3( 1) 6( 2) 1.y f x x m x m x= = + − + − − có ñường thẳng ñi qua cực ñại , cực tiểu song 
song với ñường thẳng 2009y x= − + 
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt 063.28.78.79 hoặc 0989.80.78.79  
-68- 
)e 3 2( ) 2 3( 1) 6 (1 2 )y f x x m x m m x= = + − + − có cực ñại , cực tiểu thuộc ñường thẳng 4y x= − . 
)f ( ) 3 21 1
3 2
y f x x x mx= = + + ñạt cực ñại và cực tiểu tại các ñiểm có hoành ñộ x m> 
)g 
2 3 2 1
1
mx mx m
y
x
+ + +
=
−
 có cực ñại , cực tiểu ñồng thời hai ñiểm cực trị nằm về hai phía ñối với 
trục Ox . 
Hướng dẫn : 
)f 2' 0y x x m= + + = có 2 nghiệm phân biệt 
1 2
,x x thoả mãn 
1 2
m x x< < 
( ) 2
1
1 4 0
4
1. ' 2 0 2 0 2
1 1
2 2 2
mm
y m m m m m m
S
m m
 
 
⇔ = + > ⇔ ⇔ < − 
 
 = − > < −
 
) 0 4g m< <