Chuyên đề Công thức khai triển nhị thức Niu-Tơn

THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 
1 
Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn 
PHẦN 1. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn 
  
n
k n k k
n
k
n
0
a b C a b

   , n . 
2. Tam giác Pa-xcan 
Từ công thức ta thấy knC là hệ số của 
n k ka b trong khai triển  na b . Như vậy, với mỗi n cố 
định thì hệ số của các lũy thừa trong khai triển là 0nC , 
1
nC , , 
n
nC . Ta xếp các hệ số của các lũy thừa 
vào một bảng sao cho 
+) dòng n là các hệ số của các lũy thừa trong khai triển  na b , 
+) cột k là hệ số của lũy thừa n k ka b , 
ta được một tam giác. Tam giác này được gọi là tam giác Pascal. 
0
0
0 1
1 1
0 1 2
2 2 2
0 1 2 3
3 3 3 3
0 k k 1 n
n n n 0
0 k k 1 n n 1
n 1 n 1 n 1 n 1 n 1
C
C C
C C C
C C C C
C C C C
C C C C C

 
    
    
 
 
       
. 
Theo công thức Pa-xcan, ta nhận thấy trong tam giác Pa-xcan tổng hai phần tử liên tiếp ở hàng 
trên bằng phần tử cùng cột với phần tử thứ hai ở hàng dưới ( k k 1 k 1n n n 1C C C
 
  ). Hơn nữa, ta 
thấy trong tam giác này, các phần tử nằm trên cột thứ nhất và trên cạch huyền bằng 1 . Từ các 
nhận xét trên, ta có cách xác định nhanh các phần tử trong tam giác Pa-xcan. 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 
2 
Ví dụ. Xét khai triển  5a b . Viết 6 dòng đầu tiên của tam giác Pa-xcan, ta có 
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
. 
Vậy  5 5 4 3 2 2 5 4 5a b a 5a b 10a b 10a b 5ab a       . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 
3 
PHẦN 2. CÁC LOẠI BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH 
Loại 1. Các đẳng thức suy ra trực tiếp từ công thức khai triển nhị 
thức Niu-tơn 
A. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau. 
1) 0 1 2 n1 n n n nS C C C ... C     , 
2)  n0 1 2 n2 n n n nS C C C ... 1 C      . 
Giải 
1) Ta có  
n n
nk k n k k n
1 n n
k 0 k 0
S C C 1 1 1 1 2
 
      . 
2) Ta có      
n n nk kk k n k n
2 n n
k 0 k 0
S 1 C C 1 1 1 1 0 0
 
            . 
Nhận xét: Kết quả ở câu 1) nhận được từ công thức khai triển nhị thức Niu-tơn khi cho 
a b 1  . Kết quả ở câu 2) nhận được khi cho a 1 , b 1  . 
Ví dụ 2. Rút gọn 
 
1 1 1 1S
0!2012! 1!2011! k ! n k ! 2012!0!
    

  . 
Giải 
Ta có 
 
2012
k 0
1S
k ! 2012 k !

 
 2012!S 
 
2012
k 0
2012!
k ! 2012 k !


2012
k
n
k 0
C

  
2012
k 2012 k k
n
k 0
C 1 1

   2012 20121 1 2   . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 
4 
 
20122S
2012!
 . 
Ví dụ 3. Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau: 
0 2 4 2n
1 2n 2n 2n 2nS C C C ... C     , 
1 3 5 2n 1
2 2n 2n 2n 2nS C C C ... C
     . 
Giải 
Ta có  
2n 2n
2nk k 2n k k 2n
1 2 2n 2n
k 0 k 0
S S C C 1 1 1 1 2
 
       .  1 
     
2n 2n 2nk kk k 2n k 2n
1 2 2n 2n
k 0 k 0
S S 1 C C 1 1 1 1 0 0
 
             . 
 1 2S S .  2 
Từ  1 ,  2 suy ra 
2n 2n 12
1 2 2S S 2
   . 
Ví dụ 4. Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn biểu thức 
0 1 2 n
2n 2n 2n 2nS C C C ... C     . 
Giải 
Áp dụng công thức k n kn nC C
 ta có 
2n 2n 1 2n 2 n n n 1 n 2 2n
2n 2n 2n 2n 2n 2n 2n 2nS C C C ... C C C C ... C
             
  
2n 2n
2nk k 2n k k 2n
2n 2n
k 0 k 0
2S C C 1 1 1 1 2
 
      
 
2n 2n 12
2S 2
  . 
Ví dụ 5. Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau: 
1)  n0 1 2 2 n n1 n n n nS C 2C 2 C ... 1 2 C      . 
2)  
2 n0 1 2 n n1 2 2
2 n n n nn n 1 n 23 3 3
S C C C ... 1 2 C
 
      . 
Giải 
1)        
n n nk k nk k n k
1 n n
k 0 k 0
S 2 C C 1 2 1 2 1
 
            . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 
5 
2)            
n n k n nnk nk 5 51 1
2 n 3 3 3 3
k 0
S C 2 2 1


           . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 
6 
B. Bài tập 
Bài 1. Giải phương trình x 1 x 2 x 3 x 8 x 9 x 10x x x x x xC C C C C C 1023
            . 
Bài 2. Tính 
 k2010 0 2009 1 2008 2 2010 k k 20102010 2010 2010 2010 2010S 4 .C 4 .C 4 .C 1 4 C C.        . 
Bài 3. Chứng minh 
2004
0 2 2 4 4 2002 2002 2004 2004
2004 2004 2004 2004 2004
3 1C 2 C 2 C 2 C 2 C
2

     . 
Bài 4. Tìm số nguyên dương n sao cho 1 3 5 2n 12n 2n 2n 2nC C C C 2048
    . 
Bài 5. Rút gọn 
1) n 0 n 2 2 n 4 4 nn n n nS 2 C 2 C 2 C C
     (n là số nguyên dương chẵn). 
2) n 1 n 3 n 3n n
3 n
n
5
n
1S 2 C 2 C 2 C C      (n là số nguyên dương lẻ). 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 
7 
Loại 2. Các đẳng thức thu được nhờ biến đổi số hạng tổng quát 
A. Nội dung phương pháp 
Ta đặc biệt quan tâm đến một số biến đổi sau đây. 
* 
 
 
     
n 1 !k k 1n!
n n 1k ! n k ! k 1 ! n 1 k 1 !
kC k n. nC
 
      
   . 
Tương tự ta cũng có    k k 2n n 2k k 1 C n n 1 C    ,  . 
* 
 
 
     
k 1k Cn 1 !C n!n 1 1 n 1
k 1 k 1 n 1 n 1k ! n k ! k 1 ! n 1 k 1 !
.

 
         
   . 
Tương tự ta cũng có 
     
k 2k CCn n 2
k 1 k 2 n 1 n 2


   
 ,  . 
B. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau: 
1)  
2 3 nn0 1 2 3 n2 2 2
1 n n n n n3 4 n 1S C C C C ... 1 C       . 
2)    n2 3 4 n1.2 2.3 3.42 n n n nn 2 n 3 n 43 3 3
S C C C ... 1 n 1 nC
  
       . 
Giải 
1)  
n k2 k
1 nk 1
k 0
S C



  . 
Với mọi k 0 , 1 , 2 , , n , ta có 
 
 
     
n 1 !k k 1n!1 1 1 1
n n 1k 1 k 1 n 1 n 1k ! n k ! k 1 ! n 1 k 1 !
C . . C
 
         
   . 
 1S   
n
k k 11
n 1n 1
k 0
2 C 

 
   
n 1
h 1 h1
n 1n 1
h 1
2 C




 ( h k 1  ) 
   
n 1
h h1
n 1n 1
h 1
2 C



  
  
n 1 hh n 1 h1
n 1n 1
h 0
C 1 2 1

 


  
    
    
 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 
8 
 
  n 11 2 1
n 1
    

 
  
n1 1
n 1
 

. 
Vậy  
n1 1
1 n 1S
 

 . 
2)    
n k1 k k 1 k
2 nn k3k 2
S C
 


  . 
Với mọi k 2 , 3 , 4 , , n ta có: 
       
 
     
 n 2 !k k 2n!n n 2k ! n k ! k 2 ! n 2 n k !k k 1 C k k 1 . n n 1 . n n 1 C
 
      
       .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 
9 
C. Bài tập 
Bài 6. Tính 
1) 0 2009 1 2008 k 2009 k 2009 02010 2010 2010 2009 2010 2010 k 2010 1S C C C C C C C C

    . 
2) [ĐHB2003] 
2 2 20 1 2 n2 1 2 1 2 1
n n n n2 3 n 1C C C C
  

   . 
Bài 7. Với n là số nguyên dương, rút gọn 
1)  1 2 n 1 nn n n nS C 2C n 1 C nC     . 
2)  n 1 nn n n n0 1S C 2C nC n 1 C     . 
3)    n2 3 nn n nS 2.1C 3.2C n n 1 1 C     . 
4)     nn n n0 1S 3.2C .3C n4 n 3 2 C    . 
5) 
1 2 n
0 n n n
n
C C C
S C
2 3 n 1
   

. 
6) 
1 2 n
n 0 n 1 n 2n n n
n
C C C
S 2 C 2 2
2 3 n 1
    

. 
Bài 8. Chứng minh 
1) 0 2001 1 2000 k 2001 k 2001 0 20022002 2002 2002 2001 2002 2002 k 2002 1C C C C C C C C 1001.2

    . 
2) 1 n 1 2 n 2 3 n 3 n n 1n n n nC 3 2C 3 3C 3 nC n4
       (n nguyên dương). 
3)  2n 2n 2n 2n 2n0 1 2 3 2n3 4 .C 2C C C .. 2n 0C1      (n nguyên dương). 
4) [ĐHA07] 
1 3 5 2n 1 2n
2n 2n 2n 2nC C C C 2 1...
2 4 6 2n 2n 1
 
    

 (n nguyên dương). 
5) 
0 1 2 n 2n 1
2n 2n 2n 2nC C C C 2 1...
3 6 9 3n 3 3n 3
 
    
 
 (n nguyên dương). 
Bài 9. [ĐHA05] Tìm số nguyên dương n sao cho 
 1 2 2 3 3 4 2n 2n 12n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1C 2.2C 3.2 C 4.2 C ... 2n 1 .2 C 2005           . ĐS: 1002 . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 
10 
Loại 3. Các bài toán về hệ số của lũy thừa trong khai triển 
A. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. [ĐHD04] Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 
7
3 1
4 x
x  
 
, với x 0 . 
Giải 
Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có 
 
7 k 28 7k7 77 kk k3 31 1 127 74 4x xk 0 k 0
x C x C x

 
                       
  . 
 hệ số của 
28 7k
12x

 trong khai triển là k7C . 
Ta có 28 7k12 0
   k 4  số hạng không chứa x trong khai triển là 47C 35 . 
Ví dụ 2. [ĐHA12] Cho n là số nguyên dương thỏa mãn n 1 3n n5C C
  . Tìm số hạng chứa 5x 
trong khai triển nhị thức Niu-tơn của 
n2nx 1
14 x
  
 
, x 0 . 
Giải 
* Ta có n 1 3n n5C C
   
  n n 1 n 2
65n
 
 
 
  n 1 n 2
65
 

(do n nguyên dương) 
 2n 3n 28 0   
 
 
 
thoûa maõn
loaïi
n 7
n 4
 

 
. 
* n 7     
7 k7 k k7 77 k 1 C2 2k 3k 7x 1 x 1 7
72 x 2 x k2k 0 k 0
C x
  
 
             
         
  .
 hệ số của 3k 7x  trong khai triển là 
 7 k k1 C7
k2

. 
Ta 3k 7 5   k 4  hệ số của 5x trong khai triển là 
 3 41 C 357
4 162

  . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 
11 
Tìm số hạng chứa 5x trong khai triển là 53516 x . 
Ví dụ 3. [ĐHD07] Tìm hệ số của 5x trong khai triển thành đa thức của 
   5 102P x 1 2x x 1 3x    . 
Giải 
Hệ số của 5x trong khai triển thành đa thức của P là tổng các hệ số của 5x trong các khai triển 
 51P x 1 2x  và  
102
2P x 1 3x  . 
Hệ số của 5x trong khai triển 1P là hệ số của 
4x trong khai triển  51 2x . 
Hệ số của 5x trong khai triển 2P là hệ số của 
3x trong khai triển  101 3x . 
Áp dung công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có : 
     
k k
5 k kk 5 k k k
5 5
k 0 k 0
1 2x C 1 2x 2 C x
 
               
 hệ số của 4x trong khai triển này là  4 452 C 80   1 . 
     
10 10
10 kk 5 k k k k
5 10
k 0 k 0
1 3x C 1 3x 3 C x
 
       
 hệ số của 3x trong khai triển này là 3 3103 C 3240  1 . 
Từ  1 ,  2 suy ra hệ số của 5x trong khai triển P là 80 3240 3320  . 
Ví dụ 4. [ĐHA04] Tìm hệ số của 8x trong khai triển thành đa thức của  
821 x 1 x  
 
. 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 
12 
Giải 
Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có 
     
8 8
k 8 k k
8 8
k 0
8 k k2 2 2k
k 0
1 x 1 x x 1 x x 1 xC 1 C
 
                  


   1 . 
Trong khai triển  k2kkP x 1 x  lũy thừa bậc thấp nhất và bậc cao nhất lần lượt là 2kx và 
3kx . Do đó muốn trong khai triển kP có chứa 
8x thì 2k 8 3k   83 k 4    k 3;4 . 
+)    3 2 3 6 76 8 963P x 1 x x 1 3x 3x x x 3x 3x x          
 hệ số của 8x trong khai triển 3P là 3 . 
+)    4 2 3 4 8 9 10 114 8 128P x 1 x x 1 4x 6x 4x x x 4x 6x 4x x            . 
 hệ số của 8x trong khai triển 4P là 1 . 
Vậy hệ số của 8x trong khai triển ban đầu là 3 48 83C C 238  . 
Ví dụ 5. Tìm lũy thừa có hệ số lớn nhất của đa thức  93x 2 . 
Giải 
Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có 
     
9 9
9 kk 9 k k 9 k k k
9 9
k 0 k 0
3x 2 C 3x 2 3 .2 .C x 
 
       . 
 hệ số của kx trong khai triển là k 9 k kk 9a 3 .2 .C
 (k 0,1, ...,9 ). 
Với mọi k 0,1, ...,8 , xét tỷ số ak 1ak
T  . 
Ta có 
   
   
 
k 1 8 k k 13 .2 .C k ! 9 k ! 3 9 k9 3 9!
k 9 k k 2 9!k 1 ! 8 k ! 2 k 13 .2 .C9
T . .
  
 
   
   . 
T 1   
 
3 9 k
2 k 1
1


  k 5   k 0;1;2;3;4;5 , dấu bằng xảy ra  k 5 . 
Từ đó suy ra: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9a a a a a a a a a a         . 
Vậy các lũy thừa số hệ số lớn nhất trong khai triển là 5x và 6x . 
Ví dụ 6. Tìm n để đa thức  nx 2 chỉ có một lũy thừa hệ có hệ số lớn nhất là 10x . 
Giải 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 
13 
Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có 
     
n n
n k k n k n k k k
n n
k 0 k 0
x 2 C x 2 2 C x 
 
    . 
 hệ số của kx trong khai triển là n k kk na 2 C
 (k 0,1, ...,n ). 
Với mọi k 0,1, ...,n 1  , xét tỷ số ak 1k ak
T  . 
Ta có    
 
 
n k 1 k 1 k! n k !2 C n!n 1 n k
k n k k 2 n!k 1 ! n k 1 ! 2 k 12 Cn
T . .
    
    
   . 
Lũy thừa có hệ số cao nhất là 10x nên 
9 10 11a a a   
a10
a9
a11
a10
1
1
 

 

  9
10
T 1
T 1



  
n 9
20
n 10
22
 1
1


 


  
 n 29
n 32



  
n 30
n 31

 
. 
Thử lại ta thấy cả hai giá trị tìm được của n đều thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 
14 
B. Bài tập 
Bài 1. [CĐAB08] Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 
18
5
12x
x
 
 
 
, với x 0 . 
Bài 2. [ĐHB07] Tìm hệ số của số hạng chứa 10x trong đa thức  n2 x , biết 
 nn 0 n 1 1 n 2 n2 nn n n3 C 3 C 3 C 1 C 2048      . 
Bài 3. [ĐHA03] Tìm hệ số của số hạng chứa 8x trong khai triển 
n
5
3
1 x
x
 
 
 
 biết rằng 
 n 1 nn 4 n 3C C 7 n 3    . 
Bài 4. [ĐHA06] Tìm hệ số của số hạng chứa 26x trong khai triển 
n
7
4
1 x
x
 
 
 
, biết rằng 
1 2 n 20
2n 1 2n 1 2n 1C C C 2 1      . 
Bài 5. Tìm hệ số của 15x trong đa thức        2 3 201 x 2 1 x 3 1 x ... 20 1 x        . 
Bài 6. [ĐHA08] Giả sử  n 2 n0 1 2 n1 2x a a x a x ... a x      . Biết rằng 
121 2 n
0 2 n
a a aa ... 2
2 2 2
     . Tìm số lớn nhất trong các số 0a , 1a , 2a , ..., na . 
Bài 7. [ĐHD03] Gọi 3n 3a  là hệ số của 
3n 3x  trong khai triển thành đa thức của
   n2 nx 1 x 2  . Tìm n để 3n 3a 26n  . 
Bài 8. Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong đa thức  n1 x có hai lũy thừa liên tiếp 
có tỷ số các hệ số bằng 7
5
. 
Bài 9. Khai triển biểu thức  n1 2x ta được đa thức có dạng 2 n0 1 2 na a x a x a x   . Tìm 
hệ số của 5x biết 0 1 2a a a 71   . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 
15 
C. Đáp số 
Bài 1 6528 . Bài 2 22 . Bài 3 495 . 
Bài 4 210 . Bài 5 400995 . Bài 6 8a . 
Bài 7 5 . Bài 8 21 . Bài 9 672 .