Chuyên đề Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng

Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” 
MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 1 
MỤC LỤC 
MỤC LỤC ............................................................................................................. 1 
MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 2 
NỘI DUNG............................................................................................................ 3 
 I. Ứng dụng của BĐT Côsi trong chứng minh BĐT.................................... 4 
 II. Một số kỹ thuật sử dụng BĐT Côsi........................................................ 9 
 1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong c/m các BĐT có điều kiện............. 9 
 2. Kỹ thuật tách-ghép Côsi............................................................ 13 
 III. Ứng dụng của BĐT Côsi trong bài toán Max-Min .............................. 15 
KẾT LUẬN.......................................................................................................... 20 
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................... 21 
Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” 
MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 2 
MỞ ĐẦU 
 Bất đẳng thức là một trong những nội rất hay nhưng khá khó của Toán học. 
Nó thu hút sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà Toán học lớn, và cũng từ đó 
nhiều bất đẳng thức hay gắn liền với tên tuổi của những nhà Toán học nổi tiếng 
được ra đời như BĐT Bunhiacopski, BĐT Becnuli, BĐT Schur,Trong đó nổi bật 
hơn cả mà chúng không thể không nhắc đến, đó là bất đẳng thức Cauchy (Côsi), 
bởi vì BĐT Côsi là một bất đẳng thức đơn giản, gần gủi nhưng lại là một bất đẳng 
thức mạnh và có sự ứng dụng rộng rãi trong Toán học cũng như trong nhiều lĩnh 
vực khoa học tự nhiên khác. 
 Trong chương trình Toán học phổ thông, vấn đề bất đẳng thức được xem là 
một nội dung hóc búa nhất. Khi nghiên cứu, tìm hiểu và học tập nội dung này hầu 
hết chúng ta đều e ngại và không thật sự cảm thấy thích thú với nó. Tuy nhiên, bài 
toán bất đẳng thức lại là một bài toán hầu như góp mặt đầy đủ trong các kì thi HSG 
cũng như trong các kì thi tuyển sinh Đại học. Như thế, chẳng lẽ khi gặp một bài 
toán BĐT trong một kì thi nào đó chúng ta lại bỏ qua và dễ dàng đầu hàng nó hay 
sao? Để giúp cho người học có cái nhìn thiện cảm và không còn e ngại vấn đề này 
nhiều toán học cũng như những người làm toán đã nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo và 
hình thành nên những phương pháp chứng minh bất đẳng thức. 
 Khi nghiên cứu và khai thác BĐT Côsi, tôi thấy tâm đắc với hai kỹ thuật 
chứng minh BĐT đặc sắc, đó là kĩ thuật “chọn điểm rơi” và kỹ thuật “tách-ghép 
Côsi”. Với hai kỹ thuật này chúng ta có thể vận dụng để chứng minh được rất 
nhiều bất đẳng thức mà thoạt nhìn chúng ta sẽ tưởng rất khó khăn. Với mong muốn 
trao đổi kiến thức chuyên môn cũng như kinh nghiệm học toán và dạy toán cùng 
đồng nghiệp, trong chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” này, tôi trình 
bày chi tiết hai kỹ thuật chứng minh trên và thể hiện một cách cụ thể hai kỹ thuật 
đó qua các ví dụ và bài toán. Hy vọng đây là một tài liệu chuyên môn có giá trị. 
Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” 
MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 3 
NỘI DUNG 
 Trước hết ta nhắc lại bất đẳng thức (BĐT) Côsi cho hai số không âm: 
Định lý 1: Cho hai số thực không âm a và b, ta có: 2
2
a b ab  (1) 
Đẳng thức xảy ra a b  
 (Việc chứng minh BĐT này là khá đơn giản). BĐT (1) còn có nhiều cách 
biểu diễn khác như sau: 
2 2
2
2 2
2
2 (2)
( ) (3)
2
(4)
2
a b ab
a ba b
a bab
 

 
   
 
 BĐT Côsi cho ba số không âm: 
Định lí 2: Với ba số thực không âm a, b và c ta có: 
3 (5)
3
a b c abc   
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .a b c  
 Chứng minh: Chứng minh (5) có nhiều cách. Sau đây là một số cách chứng 
minh sáng tạo 
 Cách 1: Sử dụng BĐT cho hai cặp số không âm ( , )a b và 3( , )c abc ta được: 
3 3
3 3
3
3
2 2
4 . 4
3
3
3
a b c abc ab c abc
ab c abc abc
a b c abc
a b c abc
    
    
   
 
 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .a b c  
Cách 2: Trước hết ta chứng minh BĐT Côsi cho bốn số a, b, c, d không âm. 
Ta có 
4
( ) ( ) 2 ( )( )
2 2 .2 4
a b c d a b c d a b c d
ab cd abcd
         
 
4 (*)
4
a b c d abcd    
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .a b c d   
Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” 
MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 4 
Bây giờ, ta đặt 
3
a b cd   . Ta có 
4
4 4
4 3
3
4
3 3
4( ) 4
3 3 3 3
3 3 3 3
a b c a b ca b c abc
a b c a b c a b c a b cabc abc
a b c a b c a b c a b cabc abc abc
   
   
       
   
                  
   
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .a b c  
 Tổng quát: Cho n số thực không âm 1 2, ,..., .na a a Ta có 
1 2
1 2... (6)n n n
a a a a a a
n
     
 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 na a a      . 
 (BĐT này được chứng minh bằng phương pháp qui nạp theo n). 
 Một số chú ý khi sử dụng BĐT Côsi: 
i) Khi áp dụng BĐT Côsi thì các số phải không âm. 
ii) BĐT Côsi thường được áp dụng khi trong bất đẳng thức cần chứng minh 
có tổng và tích. 
iii) Điều kiện xảy ra dấu “=” là các số bằng nhau. 
SAU ĐÂY CHÚNG TA XÉT MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BĐT CÔSI 
I. Ứng dụng của BĐT Côsi trong chứng minh BĐT. 
 Ví dụ 1: Cho hai số thực không âm a và b. Chứng minh: 
( )( 1) 4a b ab ab   
Giải. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm ta có: 
2
1 2
a b ab
ab ab
  

 
. Suy ra ( )( 1) 2 .2 4a b ab ab ab ab    . 
 Đẳng thức xảy ra 1.
1
a b
a b
ab

   

 Ví dụ 2: Cho hai số thực không âm a và b. Chứng minh: 1 1( ) 4.a b
a b
    
 
Giải. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm ta có: 
2
1 1 2
a b ab
a b ab
  


 

. Suy ra 1 1 2( ) 2 . 4a b ab
a b ab
     
 
. 
 Đẳng thức xảy ra .a b  
Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” 
MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 5 
Nhận xét: BĐT sau còn được viết lại dưới dạng sau: 1 1 4 (I)
a b a b
 

 hoặc 
1 1 1 1 (I')
4a b a b
     
. Các BĐT này có rất nhiều ứng dụng trong việc chứng minh 
các BĐT. Sau đây chúng ta xét một số ứng dụng đó: 
 Bài toán 1.1: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi. 
Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 12
p a p b p c a b c
          
Giải. Áp dụng BĐT (I) ta có: 
1 1 4 4 4
2 ( )p a p b p a p b p a b c
    
      
Tương tự, ta cũng có: 1 1 4
p b p c a
 
 
 và 1 1 4
p c p a b
  
 
Cộng các BĐT này vế theo vế, ta được: 
1 1 1 1 1 12 4
1 1 1 1 1 12
p a p b p c a b c
p a p b p c a b c
              
           
 Đẳng thức xảy ra 1 1 1 a b c
p a p b p c
       
  
 đều (đpcm). 
 Bài toán 1.2: Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: 
1 1 1 1 1 1
3 3 3 2 2 2a b b c c a a b c a b c a b c
    
        
 Giải. Áp dụng BĐT (I) ta có: 
1 1 4 2
3 2 2 4 2 2a b a b c a b c a b c
  
      
Tương tự, ta có: 1 1 2
3 2 2b c a b c a b c
 
    
 và 1 1 2
3 2 2c a a b c a b c
 
    
 Cộng ba BĐT trên ta có đpcm. 
 Bài toán 1.3: Cho , , 0.x y z  Chứng minh rằng: 
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 4x y z x y z x y z x y z
 
            
 Giải. Áp dụng BĐT (I’) ta có: 
1 1 1 1 1 1 2 1 1
2 ( ) ( ) 4 16x y z x y x z x y x z x y z
   
                 
 Tương tự ta có: 
1 1 1 2 1
2 16x y z x y z
 
      
 và 1 1 1 1 2
2 16x y z x y z
 
      
Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” 
MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 6 
Cộng các BĐT này ta được: 
 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .x y z  
 Bài toán 1.4: Cho a, b dương và 1.a b  Chứng minh: 
2 2 1
1 1 3
a b
a b
 
 
Giải. Ta có 
2 21 1 1 1 1 1( 2)
1 1 1 1 1 1
1 11
1 1
a bVT a b
a a b b a b
a b
 
        
     
   
 
Mặt khác, theo BĐT (I’) ta có: 1 1 4 4
1 1 2 3a b a b
  
   
Do đó, 4 11
3 3
VT      Đẳng thức xảy ra 1
2
a b   (đpcm). 
 Ví dụ 3: Cho , , 0.a b c  Chứng minh rằng: 1 1 1( ) 9.a b c
a b c
      
 
Giải. Áp dụng BĐT cho ba số dương ta có: 
3
3
3
3
3 1 1 1 1( ) 3 .3 91 1 1 13
a b c abc
a b c abc
a b c abc
a b c abc
  
          
    

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .a b c  
Nhận xét: BĐT trên còn được viết lại dưới các dạng sau: 1 1 1 9 (II)
a b c a b c
  
 
hoặc 1 1 1 1 1 (II')
9a b c a b c
       
. 
 Từ các BĐT (I) và (II) ta có thể tổng quát thành BĐT sau: 
 “Cho n số thực dương 1 2, ,..., .na a a Ta có 
2
1 2 1 2
1 1 1 (III)
n n
n
a a a a a a
     
     
. Đẳng thức xảy ra 1 2 .na a a      ” 
 Bất đẳng thức (III) được sử dụng nhiều trong các bài toán chứng minh BĐT. 
Sau đây là một số ứng dụng của nó. 
 Bài toán 1.5: Cho ba số thực dương , , .a b c Chứng minh rằng: 
3
2
a b c
b c c a a b
  
  
1 1 1 1 4 4 4
2 2 2 16
1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 4
x y z x y z x y z x y z
x y z x y z x y z x y z
 
            
 
             
Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” 
MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 7 
Chú thích: BĐT này có tên gọi là BĐT Nesbit cho ba số dương. Có nhiều cách để 
chứng minh BĐT này, sau đây là một số cách Cm có sử dụng BĐT Côsi. 
 Cách 1: Biến đổi vế trái của BĐT cần chứng minh như sau: 
 
1 1 1 3
1 1 1( ) 3
1 1 1 1( ) ( ) ( ) 3
2
a b cVT
b c c a a b
a b c
b c c a a b
a b b c c a
b c c a a b
                       
          
             
 Do đó áp dụng BĐT (II) cho ba số , ,a b b c c a   ta có 
1 39 3
2 2
VT     
 Đẳng thức xảy ra .a b b c c a a b c        BĐT được chứng minh. 
 Cách 2: Đặt , ,X b c Y c a Z a b      . Lúc đó ta có: 
o 1 ( )
2
a b c X Y Z     
o ; ;
2 2 2
Y Z X Z X Y X Y Za b c        
Do đó 1 3
2
X Y Z X Z YVT
Y X X Z Y Z
                        
. Mà theo BĐT Côsi ta 
có 2, , 0.x y x y
y x
    
Suy ra 1 3(2 2 2 3)
2 2
VT      (đpcm). 
 Bài toán 1.6: Cho , , 0a b c  và 1.a b c   Chứng minh rằng: 
3
1 1 1 4
a b c
a b c
   
  
 Giải. Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 13
1 1 1 1 1 1
a b cVT
a b c a b c
                    
 Áp dụng BĐT (II) ta có: 1 1 1 9 9
1 1 1 3 4a b c a b c
    
     
 Do đó 9 33
4 4
VT     Đẳng thức xảy ra khi 1
3
a b c    
Nhận xét: Bài toán trên là một trường hợp đặc biệt của bài toán tổng quát sau: 
“Cho n số thực dương 1 2, ,..., na a a và 
1
1
n
i
i
a

 . Khi đó, ta có: 
1 2
1 21 1 1 1
n
n
a a a  ...  ) 2 2 4 ( ) 2 2 4
4 2 .
( ) 2 2 4 ( ) 2 2 4
b c c a b b c c a b b
c a b c a b
c a a b c c a a b c c
a b c a b c
 
       
 
 
       
 
Cộng các BĐT trên ta được: 
2( )
2 2
a b c a b cVT a b c a b c VT            
Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” 
MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 14 
4 4 4
2 2 2Hay ( ) ( ) ( ) 2
a b c a b c
b c a c a b a b c
 
  
  
. Đẳng thức xảy ra 
.a b c   
 Bài toán 2.5: Cho , , 0x y z  và 1xyz  . Chứng minh rằng: 
3 3 3x y z x y z     
 Giải. Áp dụng BĐT Côsi cho ba số thực không âm, ta có: 
3 331 1 3. 3x x x    . Tương tự ta có: 
3 3 3 3331 1 3. 3 & 1 1 3. 3y y y z z z        
 Cộng các BĐT này ta được: 3 3 3 6 3( )x y z x y z      
 Mặt khác: 33 3 2( ) 6x y z xyz x y z        
 Do đó 
3 3 3
3 3 3
3 3 3
6 3( )
6 2( )
.
x y z x y z
x y z x y z x y z
x y z x y z
     
         
     
 Đẳng thức xảy ra 1.x y z    
Nhận xét: 
 Xuất phát từ 33x x nên ta áp dụng BĐT Côsi cho ba số có dạng 3x a a  . 
Do đẳng thức xảy ra khi 1x y z   nên 1.a  
 Tổng quát, ta có bài toán sau: 
“Cho k số thực 1 2, ,..., ka a a không âm và có tích bằng 1. Chứng minh rằng: 
1 2 1 2 , .
m m m n n n
k ka a a a a a m n               ” 
Giải. Với mỗi 1,i k . Ta áp dụng BĐT Côsi cho m số, gồm n số mia và 
( )m n số 1, ta có: 
( )
( ) 1 1 .m m m mn nmi i i i i
m nn
na m n a a m a m a

                . Cho i chạy từ 1 đến 
k rồi lấy tổng hai vế các BĐT đó, ta được: 
1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )( )
m m m n n n n n n
k k kn a a a k m n n a a a m n a a a                      
Mà 
1 2 1 2 1 2. ... ( )( ) ( )
n n n n n n n n nk
k k ka a a k a a a k m n a a a m n k                
Do đó 
1 2 1 2
1 2 1 2
( ) ( )m m m n n nk k
m m m n n n
k k
n a a a n a a a
a a a a a a
           
           
Đẳng thức xảy ra 1 2 1.ka a a       BĐT được chứng minh. 
 Bài toán 2.6: Cho a, b và c là ba số dương sao cho 1abc  . Chứng minh 
rằng: 
Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” 
MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 15 
1 1 1 27
1 1 1 8
a b c
a b c
                      
 Giải. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có: 
1 1 1 1 34 1
3 3 3 1 2
4 4 2
a
a a a
a aa
      
 

. Tương tự ta có: 
 1 3 1 3&
1 2 1 2
b b c c
b c
   
 
. Nhân các BĐT này vế theo vế, ta được: 
1 1 1 27 27
1 1 1 8 8
a b c abc
a b c
                       
 Đẳng thức xảy ra 1.a b c    BĐT được chứng minh. 
III. Ứng dụng của BĐT Côsi trong bài toán Max-Min. 
 Bài toán 3.1: Cho ba số dương x, y, z thỏa 1.x y z   Tìm giá trị nhỏ nhất 
của biểu thức: 1 1 1A x y z
x y z
      
Giải. Theo BĐT Côsi ta có: 
1 1 1 1 11 1
9
8 1 1 1 8
9
x y z
x y z x y z
x y z
 
           
 
    
 
Và 1 2 1 2 1 2, ,
9 3 9 3 9 3
x y z
x y z
       Từ đó ta có: 
1 1 1 8 1 1 1 2 2 2 8 10
9 9 9 9 3 3 3
A x y z
x y z x y z
                         
      
Đẳng thức xảy ra 
1
3
x y z    
Vậy min 10A  đạt được khi 
1
3
x y z    
 Bài toán 3.2: Cho ba số dương x, y, z thỏa 1.xyz  Tìm giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức: 
3 3 3 3 3 31 1 1x y y z z xP
xy yz zx
     
   
Giải. Áp dụng BĐT Cối cho ba số dương ta có: 
3 3
3 3 3 33
1 31 3 3
x yx y x y xy
xy xy
 
      . Tương tự, ta có: 
3 3 3 31 3 1 3,
y z z x
yz zxyz zx
   
  
Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” 
MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 16 
Cộng các BĐT trên ta được: 
3 3 3 3 3 3
3
3
1 1 1 3 3 3
3 3 3 3 33 3 3.
x y y z z xP
xy yz zx xy yz zx
xy yz zx xyz
     
     
    
Đẳng thức xảy ra 1.x y z    
Vậy min 3 3P  đạt được khi 1.x y z   
 Bài toán 3.3: Cho ba số , ,x y z thỏa 0.x y z   Tìm giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức: 
3 4 3 4 3 4x y zA       
Giải. Ta có 84 43 4 1 1 1 4 4 4 3 4 4 4 2 4x x x x x x          
Tương tự ta có: 8 83 4 2 4 , 3 4 2 4y y z z    . 
Do đó 
  38 8 8 8 8 8
3 8
3 4 3 4 3 4 2 4 4 4 6 4 4 4
6 4 6
x y z x y z x y z
x y z 
          
 
Đẳng thức xảy ra 0.x y z    
Vậy min 6A  đạt được khi 0.x y z   
 Bài toán 3.4: Cho , 0.x y  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2
9(1 ) 1 1yB x
x y
          
 Giải. Ta có 
3 3
4 4
3 3 3
3 2
6
4 4
3
1 1 4 , 1 1 4 ,
3 3 3 3 3 3 3 3
9 3 3 3 3 9 31 1 4 1 16
x x x x y y y y yx
x x x x x
yy y y y y y
           
   
              
   
 Do đó ta có 
2
3 3 6
4
3 3 3 3
9 3(1 ) 1 1 256 256
3 3
y x yB x
x x yy
              
 Vậy min 256B  khi 
3
9
x
y



. 
 Bài toán 3.5: Cho ba số dương x, y, z thỏa 3
4
x y z   . Tìm giá trị lớn 
nhất của biểu thức: 33 33 3 3P x y y z z x      
Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” 
MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 17 
Giải. Áp dụng BĐT Côsi ta có: 
3
3
3
3 1 1 1( 3 ).1.1 ( 3 2)
3 3
3 1 1 1( 3 ).1.1 ( 3 2)
3 3
3 1 1 1( 3 ).1.1 ( 3 2)
3 3
x yx y x y
y zy z y z
z xz x z x
  
    
  
    
  
    
Suy ra  33 3 13 3 3 4( ) 6 3
3
P x y y z z x x y z           . 
Đẳng thức xảy ra 
1
4
x y z     Vậy ax 3mP  đạt được khi 
1
4
x y z    
 Bài toán 3.6: Cho , ,x y z là ba số dương thỏa 1.xyz  Hãy tìm giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức: 
3 3 3
1 1 1
( ) ( ) ( )
Q
x y z y z x z x y
  
  
Giải. Đặt 1 1 1, ,a b c
x y z
   . Ta có , , 0a b c  và 1.abc  
Khi đó 
2 2 2a b cQ
b c c a a b
   
  
 Áp dụng BĐT Côsi ta có: 
2 2 2
, ,
4 4 4
a b c b c a c a ba b c
b c c a a b
  
     
  
Cộng các BĐT này ta được 
33 3
2 2 2 2
a b c a b c abcQ a b c Q           
Đẳng thức xảy ra 1 1.a b c x y z        
Vậy min
3
2
Q  đạt được khi 1.x y z   
 Bài toán 3.7: Cho x, y, z là ba số dương và 6x y z   . Tìm giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức: 
3 3 3x y zS
y z z x x y
  
  
Giải. Áp dụng BĐT Côsi ta có: 
3 3
3
3 3
3
3 3
3
2 3 2 3 ,
2 2
2 3 2 3 ,
2 2
2 3 2 3
2 2
x y z x y z x
y z y z
y z x y z x y
z x z x
z x y z x y z
x y x y
 
     
 
 
     
 
 
     
 
Cộng các BĐT trên ta có: 
6 3( ) 2( ) 6 6S x y z x y z S x y z             
Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” 
MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 18 
Đẳng thức xảy ra 2.x y z    
Vậy min 6S  đạt được khi 2.x y z   
 Bài toán 3.8: Cho x, y, z dương thỏa 2 2 2 12a b c   . Tìm giá trị nhỏ nhất 
của biểu thức: 1 1 1
1 1 1
K
ab bc ca
  
  
Giải. Áp dụng BĐT Côsi ta có: 
1 1 2 1 1 2 1 1 2, ,
1 25 5 1 25 5 1 25 5
ab bc ca
ab bc ca
  
      
  
Và 2 2 2 .a b c ab bc ca     
Do đó 
2 2 23 6 3 6
25 25 5 25 25 5
3 12 6 3
25 25 5 5
ab bc ca a b cK K
K K
   
      
     
Vậy min
3
5
K  đạt được khi 2.a b c   
 Bài toán 3.9: Cho x, y là các số dương thỏa 5
4
x y  . Tìm giá trị nhỏ nhất 
của biểu thức: 4 1
4
S
x y
  
Giải. Ta có 
5
5
4 1 1 1 1 1 1 1 55
4 4 . . . .4 . . . .4
5.5 25 5
4 4( )
S
x y x x x x y x x x x y x x x x y
x x x x y x y
        
  
    
Tức là 5S  . Đẳng thức xảy ra 
4 1
5 1
4 4
x y x
x y y
  
 
  
    
Vậy min 5S  đạt được khi
1
1
4
x
y




 Bài toán 3.10: Cho a, b, c là ba số dương thỏa 2 2 2 1.a b c   Tìm giá trị 
nhỏ nhất của biểu thức: bc ac abA
a b c
   
Giải. Ta có 
2 2 2
2 2 2 22( )bc ac abA a b c
a b c
               
     
. 
Áp dụng BĐT Côsi ta có: 
Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” 
MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 19 
2 2 2 2 2 2
2 2 22 , 2 , 2bc ac ac ab ab bcc a b
a b b c c a
                           
           
Cộng các BĐT này ta được: 
2 2 2
2 2 2bc ac ab a b c
a b c
              
     
Suy ra 2 2 2 23( ) 3 3A a b c A      . Dấu “=” xảy ra khi 1
3
a b c   
Vậy min 3.A  
 Bài toán 3.11: Cho ba số a, b, c dương thỏa 6.a b c   Tìm giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức: 3 3 3
1 1 11 1 1K
a b c
         
   
Giải. Áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương ta có: 
3 3 3
1 1 1 3 1 1 1 3 1 1 1 3, ,
8 8 4 8 8 4 8 8 4a a b b c c
         . Do đó 
 3 3 3
1 3 1 1 3 1 1 3 11 1 , 1 1 , 1 1
4 4 4a a b b c c
                  
     
. Nhân ba BĐT thức 
này ta được: 
27 1 1 11 1 1
64
K
a b c
         
   
. Tiếp tục áp dụng BĐT Côsi ta có: 
 3 3 31 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 3 , 1 3 ,1 3
2 2 4 2 2 4 2 2 4a a a b b b c c c
               
 Suy ra 
3
27 27 27.27.3 27.27.3 729
64 64.4( ) 64.4.6 5124
K
a b cabc
    
 
. Đẳng thức xảy ra 
khi và chỉ khi 2.a b c   
 Kết luận: min
729
512
K  đạt được khi 2.a b c   
-----------------------------Hết----------------------------- 
Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” 
MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 20 
KẾT LUẬN 
 Trong chuyên đề này, chúng ta đã đi nghiên cứu và sử dụng hai kỹ thuật đặc 
sắc trong chứng minh BĐT và ứng dụng của nó trong bài toán Max-Min đại số. 
Như chúng ta đã biết, BĐT Côsi là một BĐT khá nổi tiếng bởi phạm vi ứng dụng 
rộng rãi của nó. Ngoài việc được vận dụng để chứng minh các bất đẳng thức Đại 
số, BĐT Côsi còn được sử dụng trong các các bài chứng minh BĐT lượng giác hay 
các bài toán cực trị Hình học. Tuy nhiên, do thời gian nghiên cứu không nhiều nên 
trong chuyên đề này những vấn đề thú vị đó vẫn chưa được đề cập đến. 
 BĐT là một nội dung Toán học khá rộng, càng đi sâu chúng ta càng thấy 
được sự thú vị cũng như cảm nhận được ngày càng rõ sự phức tạp của nó. Mặc dù 
đã cố gắng rất nhiều nhưng nhũng gì được đề cập trong chuyên đề này chắc chắn 
còn rất khiêm tốn. Mong nhận được sự góp ý chân thành của quý thầy cô và các 
bạn động nghiệp về cả nội dung và hình thức trình bày để chuyên đề được hoàn 
thiện hơn. 
Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” 
MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 21 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
 [1]. Võ Đại Mau, Tuyển tập 216 bài toán Bất đẳng thức, NXB Trẻ, 1996. 
 [2]. Nguyễn Vũ Thanh, Bất đẳng thức và GTLN-GTNN, NXB Tổng hợp 
Đồng Tháp, 1994. 
 [3]. Nguyễn Tất Thu, Chuyên đề GTLN và GTNN, Trường THPT Lê Hồng 
Phong, Đồng Nai. 
 [4]. Nguyễn Phú Khánh, Một số phương pháp chứng minh BĐT, website