Chuyên đề: Bất đẳng thức am-Gm

Trường THPT chuyên Quang Trung Bất đẳng thức AM-GM 
GV: Nguyễn Việt Hải 1 
Chuyên đề: BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM 
(Theo cách gọi chung của thế giới BĐT côsi có tên là BĐT AM-GM (Arithmetic Means – 
Geometric Means).) 
Ví dụ 1. 
Với . Chứng minh (Chứng minh bài toán bằng cách áp dụng cosi cho hai 
số) 
Bài giải. 
BĐT đã cho tương đương với 
Ta có (đpcm) 
Ta có bài toán mạnh hơn VD2. 
Ví dụ 2. 
Với . Chứng minh: 
Bài giải 
BĐT cần chứng minh tương đương với 
 (đpcm) 
Ví dụ 3. 
Với . Chứng minh: 
Ví dụ 4. 
Với . Chứng minh: 
Bài giải 
BĐT tương đương với 
Ta có 
 Bất đẳng thức AM-GM: 
Với mọi số thực dương ta có BĐT 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Trường THPT chuyên Quang Trung Bất đẳng thức AM-GM 
GV: Nguyễn Việt Hải 2 
Cộng các BĐT trên ta suy ra đpcm. 
Ví dụ 5. (BĐT Nesbitt) 
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm ta có 
Bài giải 
Bài toán trên có thể giải nhiều cách, dưới đây là là một cách giải tương ứng. 
Xét các biểu thức sau 
Ta có N + K = 3. Mặt khác áp dụng BĐT AM-GM thì 
Suy ra hay 
Tương tự giải bài toán sau. 
Ví dụ 6 (BĐT Nesbitt 4 biến) 
Chứng minh rằng với mọi số thực không âm ta có 
 Bất đẳng thức AM-GM suy rộng. 
Với các số thực dương và là các số thực không âm có 
tổng bằng 1 ta có 
Trường THPT chuyên Quang Trung Bất đẳng thức AM-GM 
GV: Nguyễn Việt Hải 3 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Bài 1. Giả sử là các số thực dương sao cho . Chứng minh rằng 
với mọi số nguyên dương k ta có bất đẳng thức: 
Bài 2. (IMO Shortlist 1998). Với là các số thực dương có tích bằng 1. CMR 
Bài 3. Cho là các số thực dương. Chứng minh rằng 
Bài 4. Với . Chứng minh rằng 
Áp dụng giải bài toán sau: 
4.1 Với . Chứng minh rằng: 
4.2 Với . Chứng minh rằng: 
Bài 5. Cho . Chứng minh rằng: 
1. . 
2. . 
3. 
4. 
Tổng quát: Ta có (Với ). Các em lưu ý về 
sự liên hệ của các số mũ. Áp dụng các BĐT trên để giải một số bài toán sau này. 
Ví dụ: Chứng minh rằng: 
Bài 6. Cho . Chứng minh rằng: 
a. . 
b. 
Bài 7. Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 8. 
a. Cho . Chứng minh rằng: 
b. Cho . 
Chứng minh rằng: 
c. Cho 
Chứng minh rằng: 
Trường THPT chuyên Quang Trung Bất đẳng thức AM-GM 
GV: Nguyễn Việt Hải 4 
Bài 9. Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 10. Cho . Chứng minh rằng: 
Bài 11. Cho 
Là một hoán vị của bộ số 
Chứng minh rằng: 
Bài 12. 
a. Chứng minh rằng: 
b. Cho , . 
Chứng minh rằng: 
KỸ THUẬT TÁCH VÀ GHÉP BỘ SỐ 
Trong những năm gần đây, chúng ta thấy có khá nhiều dạng BĐT trong các đề thi Olympic quốc 
tế, vô địch quốc gia của nhiều nước trên thế giới. Rất nhiều bài toán BĐT xuất phát từ các phép 
biến đổi biểu thức đối xứng theo các kiểu (đặc thù) khác nhau. 
Trong phần này giới thiệu một số dạng BĐT lấy từ các kỳ thi IMO mà cách giải dựa chủ yếu vào 
kỹ thuật tách, ghép và điều chỉnh bộ hệ số trong BĐT cauchy. Thực chất kỹ thuật này cũng chính là 
kỹ thuật sắp thứ tự và điều chỉnh bộ hệ số theo quá trình gần đều hoặc đều theo từng nhóm. 
Tính chất cơ bản 
Với . Ta có: 
Bài 1. Cho . Chứng minh rằng: 
Giải 
Ta có 
Từ đây ta suy ra đpcm. 
Bài 2. Cho . Chứng minh rằng: 
Giải 
Áp dụng BĐT cauchy ta có: 
(T/c này quan trọng) 
Trường THPT chuyên Quang Trung Bất đẳng thức AM-GM 
GV: Nguyễn Việt Hải 5 
Suy ra 
Bài 3. (MO Romanian). (Cho . Chứng minh rằng: 
Giải. 
Đặt 
Ta có: 
Mặt khác: 
Suy ra đpcm. 
Bài tập tương tự: 
1. Cho . Chứng minh rằng: 
2. Cho . Chứng minh rằng: 
3. Cho . Chứng minh rằng: 
4. Cho hai bộ số dương và . Chứng minh rằng: 
5. Cho . Chứng minh rằng: 
 Tổng quát: Với và . Hãy tìm GTNN của biểu thức sau: