Chuyên đề: Bài toán liên quan đến cực trị và tiệm cận hàm số

Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT 
VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2009 
MÔN: TOÁN 
BIÊN SOẠN: TỔ TOÁN - TT BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HOCMAI.VN 
CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ VÀ TIỆM CẬN HÀM SỐ 
I. MỤC ĐÍCH CHUYÊN ĐỀ 
Hệ thống lại lý thuyết và phương pháp giải các dạng toán về tiệm cận, điểm cực đại 
và cực tiểu. 
II. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. Quy tắc tìm cực đại, cực tiểu của hàm số y = F(x) 
 1.1. Quy tắc 1: 
- Tìm đạo hàm y’. 
- Cho đạo hàm y’= 0, dễ tìm thấy các điểm dừng x1,x2,x3xn 
(xi gọi là điểm dừng của y = F(x) nếu y’(xi)= 0). 
- Lập bảng xét dấu y’. Từ đó suy ra cực đại, cực tiểu cần tìm. 
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 – 3x2 với ∈x R
Ta có y’= 3x2 – 6x. Cho y’= 0 ta có: 
3x2 – 6x= 0 => x1= 0, x2 = 2. 
Lập bảng xét dấu: 
x -∞ 0 2 +∞ 
y' + 0 - 0 + 
y 
Vậy hàm số y = x3 – 3x2 đạt cực đại tại M(0,0) và cực tiểu tại N(2,-4). 
1.2. Quy tắc 2: 
 - Tìm đạo hàm y’. 
 - Cho đạo hàm y’= 0, dễ tìm thấy các điểm dừng x1,x2,x3xn 
 - Nếu y’’(xi) > 0, thì hàm số đạt cực tiểu khi x= xi. Nếu y’’(xi) < 0, thì HS đạt cực đại 
tại xi. 
Ví dụ 2: Cho hàm số y= sin2x – sinx xét trên [0,2π ]. 
 y’= 2sinxcosx – cosx = sin2x – cosx. 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 1 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
 y'= 0 ta có : cosx(2sinx - 1) = 0 
 => cosx = 0, sinx = 1
2
. 
Trên [0,2π ], các điểm dừng của hàm số là: x1= π
6
; x2= π
2
; x3 = π5
6
; 
x4 = π3
2
. Dễ thấy y’’ = 2cos2x + sinx. 
- y’’(x1) = 2cos π
3
 + sin π
6
 > 0 => hàm số đạt cực tiểu tại ( π
6
,- 1
4
). 
- y’’(x2) = 2cos + sinπ π
2
 = -1 hàm số đạt cực đại tại ( π
2
,0). 
- y’’(x3) = 2cos π5
3
 + sin π5
6
 = 2cos π
3
 + sin π
6
 > 0 => hàm số đạt cực tiểu tại ( π5
6
,- 1
4
). 
- y’’(x4) = 2cos3π + sin3 π
2
 = -3 hàm số đạt cực đại tại (3 π
2
,0). 
2. Cực trị của hàm số. 
 2.1. Các bài toán đơn thuần tìm cực trị: 
 Các bạn học sinh cần lưu ý rằng chúng ta có 2 quy tắc để tìm cực trị. Quy tắc 1 và 
quy tắc 2. Chúng tôi có lời khuyên sau: 
 - Nếu việc xét dấu của đạo hàm bậc nhất là dễ dàng, các bạn nên dùng quy tắc 1. 
 - Nếu việc xét dấu ấy khó khăn (VD trong các bài toán mà hàm số đã cho có dạng 
lượng giác, hoặc trong các bài toán có tham số), thì các bạn nên dùng quy tắc 2. Xét VD 
sau: 
Ví dụ 1: Cho hàm số y= (x - m)3 – 3x. 
Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x= 0. 
Ta có: y’ = 3(x - m)2 – 3 
 y'’ = 6(x - m) 
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ, x= 0 khi: 
 m = -1 
⎧ =⎪⎪⎨⎪ >⎪⎩
'( )
''( )
y 0 0
y 0 0
⎧⎪ − =⎪⎨⎪− >⎪⎩
23m 3 0
6m 0
Nhận xét: Rõ ràng sử dụng quy tắc 2 trong trường hợp này là phù hợp. 
Ví dụ 2: Cho hàm số y = x4 + 2. Tìm cực trị của hàm số. 
Hãy giải thích vì sao không dùng được quy tắc 2 trong VD này? 
 Ta có: y’ = 4x3 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 2 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
 y’= 0 4x3 = 0 x= 0. 
Lập bảng biến thiên như sau: 
x -∞ 0 +∞ 
 y’ - 0 + 
 y 
Vậy hàm số có cực tiểu tại điểm (0,2). 
(Xin lưu ý với các bạn: Vì x3 = x2.x, nên việc xét dấu của y = x3 giống hệt như xét dấu của y 
= x). 
 - Ta thấy: y’’= 12x2 
 y'’(0) = 0. 
Vậy nếu dùng quy tắc 2 thì do y’’ = 0 khi x = 0, nên chưa thể nói gì về cực trị của hàm số tại 
x = 0. 
 Nói cách khác, quy tắc 2 chỉ là một điều kiện đủ để nhận biết hàm số có đạt cực trị tại 
một điểm cho trước hay không? (Nếu không thỏa mãn thì chỉ có thể nói rằng: không thể 
dùng quy tắc 2 trong trường hợp này mà thôi!) 
 2.2. Các bài toán định tính về cực trị: 
- Các bài tập này thường có dạng sau: Tìm điều kiện để một hàm số đã cho có cực trị và cực 
trị thỏa mãn một điều kiện nào đó (tính chất này thường cho dưới dạng một hệ thức có thể là 
đẳng thức hoặc bất đẳng thức). 
- Lược đồ chung để giải bài toán này như sau: 
 + Trước hết tìm điều kiện để hàm số đã cho có cực trị (nói cách khác tìm điều kiện 
cần để lời giải). Xin lưu ý với các bạn rằng: học sinh hay quên điều này vì họ cho rằng 
khi đầu bài yêu cầu tìm điều kiện để cực trị của hàm số thỏa mãn một điều kiện nào đó thì 
họ mặc nhiên công nhận là 
∃
cực trị đã tồn tại . Chính vì thế dẫn đến chuyện trong các 
nghiệm tìm được rất có khả năng gặp phải nghiệm ngoại lai (nghiệm thừa). 
 + Vận dụng các kiến thức khác (ở đây hay dùng định lý Viet) để CM hệ thống mà 
cực trị của hàm số cần thỏa mãn. 
- Ta rất hay sử dụng một số kiến thức sau: 
• Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d = 0 (a# 0) có cực đại, cực tiểu PT y’ = 0 (3ax2 + 
2bx + c = 0) có 2 nghiệm phân biệt. 
• Hàm số y = + ++' '
2ax bx c
a x b
 (a, a’ # 0). 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 3 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
 Có cực đại và cực tiểu y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt #− '
'
b
a
• Hàm số y = + ++' '
2ax bx c
a x b
 (a, a’ # 0) nếu có cực trị tại x0 thì: 
 y(x0) = 
+
'
02ax b
a
 Một cách tổng quát: Nếu y = ( )
( )
x
x
P
Q
 đạt cực trị tại x = x0 , thì 
 y(x0) = 
( )
( )
'
'
x0
x0
P
Q
Xét các VD sau: 
Ví dụ3: Cho hàm số y= x3 + 2(m - 1)x2 + (m2 – 4m + 1)x – 2(m2 +1). 
Tìm m để hàm số đạt cực trị tại 2 điểm có hoành độ x1, x2 sao cho: 
 + = +( )1 2
1 2
1 1 1 x x
x x 2
 Trước hết để hàm số có cực trị ta cần có PT: y’ = 0 có 2 No phân biệt. 
Ta có y’ = 0 3x2 + 4(m -1)x + (m2 - 4m + 1) = 0 (1). 
 (1) có 2 No phân biệt khi ∆’ > 0. 
 m2 + 4m +1 > 0 
 <− −
>− −
m 2
m 2
3
3
 (2) 
Vậy (2) là điều kiện để đường cong có cực trị. 
Khi có cực trị, hoành độ x1, x2 của nó là No của (1). 
 Ta có: + = +( )1 2
1 2
1 1 1 x x
x x 2
 +1 2
1 2
x x
x x
 = +( )1 21 x x2 
 2(x1 + x2) = x1 x2 (x1 + x2) 
 (x1 + x2)(2- x1 x2) = 0 
 * Nếu x1 + x2 = 0. Theo định lý Viet ta có: 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 4 
− =( )4 1 m 0
3
 m = 1 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
 Giá trị m = 1 thỏa mãn (2). 
 * Nếu x1 x2 = 2. Theo định lý Viet ta có: 
 − + =
2m 4m 1 2
3
 m2 – 4m – 5 = 0 
 m= -1 hoặc m = 5 
 Ta nhận thấy m= -1 không thỏa mãn (2), còn m= 5 thỏa mãn (2). 
Vậy các giá trị cần tìm của tham số m là: m= 1 và m= 5. 
Chú ý: Đây là VD chứng minh rằng nếu bỏ qua điều kiện cần (tìm điều kiện để có cực trị) 
thì sẽ dẫn đến thừa No (ở đây thừa No m = -1). 
Ví dụ 4: 
 Cho F(x) = − + +
3 2x x mx 1
3 2
 G(x)= + + +
3
2x x 3mx
3
m 
 Tìm m để mỗi hàm số có 2 cực trị, vì giữa 2 hoành độ cực trị của hàm số này có một 
hoành độ cực trị của hàm số kia. 
 Ta có: F’(x) = x2 – x + m 
 G’(x)= x2 + 2x + 3m. 
 Trước hết ta cần tìm điều kiện để F(x) và G(x), mỗi hàm số đều có cực trị. Điều kiện 
đó là các PT: F’(x) = 0 và G’(x) = 0 đều có 2 No phân biệt. 
 Nói khác đi ta cần có: 
 m < 
⎧Δ = − >⎪⎪⎨⎪Δ = − >⎪⎩
1
2
1 4m 0
1 3m 0
1
4
 (1) 
Với điều kiện (1) thì: F(x) có 2 cực trị tại x1, x2 (x1 < x2). 
 G(x) có 2 cực trị tại x3, x4 (x3 < x4). 
Theo bài ra ta cần có: Hoặc 
⎡ < < <⎣
⎡ < < <⎣
3 1 4 2
1 3 4
x x x x
x x x x2
 Hay PT: H(x) = F’(x) = x2 – x + m = 0 có 2 No phân biệt x1, x2 sao cho giữa 2 No 
x1, x2 và ngoài khoảng 2 No này chứa x3, x4. Theo định lý đảo về dấu tam thức bậc 2 ta 
cần có: 
 H(x3)H(x4) < 0. 
 (x23 – x3 + m) (x24 – x4 + m) < 0 (2) 
Để ý rằng: 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 5 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
 x23 – x3 + m = (x23 + 2x3 + 3m) – (3x3 + 2m) = - (3x3 + 2m). 
 x24 – x4 + m = (x24 + 2x4 + 3m) – (3x4 + 2m) = - (3x4 + 2m). 
(Do x3, x4 là 2 No của PT: G’(x)= x2 + 2x + 3m = 0). 
Thay lại vào 2 ta có: 
 (3x3 + 2m) (3x4 + 2m) < 0 
 9x3x4 + 6m(x3+ x4) + 4m2 < 0 (3) 
áp dụng định lý Viet với PT: x2 + 2x + 3m = 0 ta có: 
 x3+ x4 = -2; x3x4 = 3m. (4) 
Thay (4) vào (3) ta có: 27m – 12m - + 4m2 = 0 
 4m2 + 15m < 0 
 − < <15 m 0
4
 (5) 
Rõ ràng (5) thỏa mãn điều kiện cần của (1). Đó chính là các giá trị cần tìm của tham số m. 
Ví dụ 5: Cho hàm số: 
 Y = +−
2x m
1 x
x 
 Tìm m để khoản cách giữa 2 điểm cực trị bằng 10? 
 Bài giải 
Ta có: y’ = − + +
−( )
2
2
x 2x m
1 x
Trước hết tìm điều kiện để đường cong có 2 cực trị: 
Điều này xảy ra khi PT: y’ = 0 có 2 No phân biệt # 1. Tức là hệ PT: 
 Có 2 No phân biệt. 
⎧ ≠⎪⎪⎨⎪ = − + + =⎪⎩
( )
( ) 2
f 1 0
f x x 2x m 0
 Hay m > -1 (1) 
⎧⎪Δ = + >⎪⎨⎪ + ≠⎪⎩
' 1 m 0
1 m 0
Với điều kiện (1), giả sử đừơng cong có 2 cực trị tại các điểm x1, x2. 
Khi đó x1, x2 là 2 No của PT: 
 - x2 + 2x + m = 0 (2) 
Giả sử M(x1, y1), N(x2, y2) là các điểm cực trị. Ta có: 
 y1= 
+ = − −− 1
2x m 2x m
1
 (Thay x= x1). 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 6 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
Tương tự: y2 = 
+ = − −− 2
2x m 2x m
1
 (Thay x= x2). 
Theo bài ra ta cần có: MN = 10 
 MN2 = 100 
 (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 = 100 
 (x2 – x1)2 + 4(x2 – x1)2 = 100 
 (x2 – x1)2 = 20 
 (x2 + x1)2 – 4x1x2 = 20 (2) 
áp dụng định lý Viet với (2) ta có: (x2 + x1) = 2; x1x2 = -m. 
Thay vào (2) ta có: 4 + 4m = 20 => m = 4. 
Giá trị m = 4 thỏa mãn điều kiện (1) nên là giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài. 
Ví dụ 6: Cho hàm số: 
 y = − + +−
2x 2mx
x 1
5 
Tìm m để cực đại, cực tiểu của hàm số nằm về 2 phía của y = 2x? 
Bài giải 
Ta có: y’ = − + − −
−
( )
( )
2
2
x 2x 2m 5
x 1
Trước hết tìm điều kiện để hàm số có cực trị. PT: y’ = 0 có 2 No phân biệt #1. Tức là hệ PT 
sau có 2 No: 
⎧ ≠⎪⎪⎨⎪ = − + − − =⎪⎩
( )
( ) ( )2
f 1 0
f x x 2x 2m 5 0
 m <-3 (1) 
⎧⎪Δ = − + >⎪⎨⎪− + ≠⎪⎩
' 2m 6 0
2m 6 0
Với điều kiện (1) hàm số có 2 cực trị: M(x1, y1), N(x2, y2) với x1, x2 là 2 No của PT: - 
x2 + 2x –(2m-5) = 0. 
 Ta có: 
 y1= 
− + = − +12x 2m 2x 2m1 (Thay x= x1). 
Tương tự: y2 = 
− + = − +22x m 2x 2m1 (Thay x= x2). 
Vậy 2 điểm cực trị là: M(x1, -2x1 + 2m), N(x2, -2x2 + 2m). 
 Hai điểm (ỏ1; õ1), (ỏ2; õ2) bất kỳ nằm về 2 phía của đường thẳng: 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 7 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
 ax + by + c = 0 khi và chỉ khi: 
 (a ỏ1 + b õ1 + c)(a ỏ2 + b õ2 + c) < 0 
áp dụng vào bài toán ta có: M, N nằm về 2 phía của đường thẳng y = 2x 
(2x-y = 0) khi và chỉ khi: 
 (2x1 – y1) (2x2 – y2) <0. 
 (4x1 – 2m) (4x2 – 2m) < 0 
 (2x1 - m) (2x2 - m) < 0 
 4 x1x2 – 2m(x1 + x2) + m2 < 0 (2) 
áp dụng định lý Viet với (2) ta có: (x2 + x1) = 2; x1x2 = 2m - 5. 
Thay vào (2) ta có: 4(2m – 5) – 4m + m2 < 0 
 m2 + 4m – 20 < 0 
 -2 - 2 6 < m < -2 + 2 6 (3) 
Giá trị m = 4 thỏa mãn điều kiện (1) nên là giá trị của m thỏa mãn yêu cầu đề bài. 
3. Các bài toán tiệm cận. 
Tiệm cận là một đặc trưng của hàm phân thức, vì lẽ đó lớp các bài toán về tiệm cận 
đối với hàm phân thức khá đa dạng. Ta hãy xét trước tiên các bài toán mô tả tính chất của 
các tiệm cận. 
Thí dụ 1: Cho hàm số y = )(
2
12 C
x
x
−
+ 
M là một điểm tuỳ ý nằm trên (C). Tiếp tuyến với (C) tại M cắt tiệm cận ngang và 
tiệm cận đứng tại A và B. 
1. Chứng minh rằng M là trung điểm của AB 
2. Chứng minh rằng khi M di động trên (C) thì tiếp tuyến tạo với hai đường tiệm cận 
ngang và tiệm cận đứng một tam giác có diện tích không đổi. 
3. Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) lại đi qua giao điểm của hai 
đường tiệm cận. 
Dễ thấy (C) có hai tiệm cận ngang và đứng lần lượt là: 
y = 2 và x = 2 . 
Giả sử M ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
+
2
12
,
0
0
0 x
xx với x0 > 2 là điểm tuỳ ý nằm trên (C) 
(khi x0 < 2 xét hoàn toàn tương tự). 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 8 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
Ta có y’(x0) = 2
0 )2(
5
−
−
x
,vậy phương trình tiếp tuyến với (C) tại M là: 
y = )(
)2(
5
2
12
02
00
0 xx
xx
x −−
−=−
+ hay y = 2
0
0
2
0
2
0 )2(
222
)2(
5
−
−++−
−
x
xx
x
x . (1) 
Ta tìm toạ độ các điểm A, B 
Thay x = 2 vào (1), ta có y = 2
0
0
2
0
2
0
0
2
0
)2(
1222
)2(
22210
−
−+=−
−++−
x
xx
x
xx 
Vậy B (x0, 2
0
0
2
0
)2(
1222
−
−+
x
xx ) . 
Từ (1) xét phương trình (ẩn x) 
2
0
0
2
0
2
0 )2(
222
)2(
5
−
−++−
−
x
xx
x
x = 2 
Ù 2
0 )2(
5
−
−
x
x = 2 - 2
0
0
2
0
)2(
222
−
−+
x
xx 
Ù - 5x = 2x20 - 8x0 + 8 - 2x02 - 2x0 + 2 
Ù - 5x = -10x0 + 10 . Từ đó ta có : 02x x 2.= − .Vậy . 0(2 2, 2)A x −
Do B, M, A nằm trên đường thẳng (1), mà 
 0 02 (2 2) 2 2 .B A Mx x x x+ = + − = = x 
Vậy M là trung điểm của AB. 
Gọi I (2,2) là giao điểm của tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của hàm số đã cho. 
Ta có: IA = )2(2222 00 −=−−=− xxxx IA (do x0 > 2) 
IB = 2
0
0
2
0
0
2
0
0
2
0
)2(
)2(10
)2(
2010
2
)2(
1222
−
−=−
−=−−
−+=−
x
x
x
x
x
xxyy IB 
Vậy SIAB = 2
1 IA. IB = 10 = const , tức là tiếp tuyến tại M tạo với hai tiệm cận của 
hàm số một tam giác có diện tích không đổi. 
Xét điểm I (2, 2) là giao của hai tiệm cận: 
Thay x = 2 vào vế phải của (1) ta có 
VF = 2
44
1222
)2(
1222
0
2
0
0
2
0
2
0
0
2
0 ≠+−
−+=−
−+−
xx
xx
x
xx 20 ≠∀x . 
Thay y = 2 vào vế phải của (1) ta có: VT = 2 . 
Vì lẽ đó I không nằm trên đường thẳng (1) 20 ≠∀x . 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 9 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
Điều đó có nghĩa là: Mọi tiếp tuyến của (C) không bao giờ đi qua giao điểm của 2 
đường tiệm cận. 
Nhận xét: 
- Các hàm phân thức quen thuộc: 
y = 
'' bxa
bax
+
+ và y = 
''
2
bxa
cbxax
+
++ (a, a’ 0≠ ) cũng có các tính chất như trên . 
Cách chứng minh cho dạng tổng quát với cả hai loại trên giống hệt như cách chúng 
tôi đã trình bày trong thí dụ vừa xét.. 
Thí dụ 2: Cho đường cong y =
2 3 1
2
x x
x
+ −
− (C) . 
Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm M bất kì trên (C) đến hai tiệm 
cận của (C) là một hằng số. 
Dễ thấy 
2 2
2 2
3 1 3 1lim , lim
2 2x x
x x x x
x x+ −→ →
+ − + −= +∞ = −∞− − , vậy x=2 là tiệm cận đứng. 
Viết lại y dưới dạng y = x + 5 + 
2
9
−x 
Ta có 
2 3 1 9lim ( 5) lim 0
2 2x x
x x x
x x→∞ →∞
⎡ ⎤+ − − + = =⎢ ⎥− −⎣ ⎦
 , vậy y=x+5 là tiệm cận xiên. 
Lấy M (x0, x0 + 5 + 2
9
0 −x
) là điểm tuỳ ý trên (C) 
Khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên x - y + 5 = 0 là 
d1 = 
22
9
2
5
2
95
0
0
00
−=
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−++−
x
x
xx
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng x = 2 là d2 = 20 −x . 
Từ đó suy ra d1, d2 = =
2
9 const => đ.pc.m 
Chú ý: Ta đã sử dụng công thức sau (cần nhớ). Khoảng cách từ điểm 
 0 0( , )M x y tới đường thẳng x = c là d = cx −0 . 
Tương tự khoảng cách từ điểm M (x0, y0) tới đường thẳng y = a là 
d = ay −0 .Từ thí dụ trên ta lại có thêm một tính chất nữa của tiếp tuyến và đường 
tiệm cận của hàm phân thức. 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 10 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
Với y = 
'' bxa
bax
+
+ và y = 
''
2
bxa
cbxax
+
++ (a và a’≠ 0) là hai hàm phân thức thông 
dụng,khi đó tính các khoảng cách từ một điểm M bất kì trên đường cong tới hai tiệm cận nó 
là một hằng số. Cách chứng minh đói với đường tổng quát cũng giống như cách ta đã làm 
trong thí dụ cụ thể trên.. 
Thí dụ 3: Cho y = 
1
12
−
+−
x
xx (C) 
Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M tới giao điểm I của hai đường tiệm 
cận là bé nhất. 
Bằng phép tính tương tự như trên , dễ dàng thấy rằng (C) nhận x=1 là tiệm cận đứng 
và y=x là tiệm cận ngang. Do đó giao điểm I của hai tiệm cận là I (1, 1) 
Lấy M (x0, x0 + 1
1
0 −x
) ∈( C ) . Khi đó ta có 
MI = 2
0
0
2
0 )1
11()1( −+−+− xxx = 2)1(
1)1(2 2
0
2
0 +−+− xx . 
Từ đó suy ra MI 222 +≥ (1) 
Từ (1) suy ra MI = 222 + Ù 2(x0 - 1)2 = 2
0 )1(
1
−x 
Ù (x0 - 1)4 = 2
1 
Ù x0 - 1 = 4 2
1± 
x0 = 1 + 4 2
1 
Ù
x0 = 1 - 4 2
1 
Như vậy trên (C) có hai điểm cần tìm là: 
M1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++ 4
44
2
2
11,
2
11 và M2 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−− 4
44
2
2
11,
2
11 
III. CỦNG CỐ KIẾN THỨC 
Bài 1: (Đại học, Cao đẳng khối B, 2002) 
Cho hàm số y = mx4 + (m2 – 9)x2 + 10 
Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 11 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
Bài giải 
Ta có: y’ = 4mx3 + 2(m2- 9)x 
*Nếu m = 0, thì y’= -18x 
Với bảng biến thiên: 
x 0 
y’ + 0 - 
y 
Suy ra khi ấy hàm số có điểm cực trị . 
Giá trị m = 0 bị loại 
* Nếu m 0, ta có ≠
y’ = 2x [ 2mx2 + m2 – 9) 
Như vậy có 3 điểm cực trị khi phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt ta có: 
y’ = => x( 2mx2 + m2 – 9) = 0 (1) 
Vì thế (1) có 3 nghiệm phân biệt, cần và đủ là phương trình 
2mn2 + m2 – 9 = 0 
Có hai nghiệm phân biệt khác 0. Điều đó xảy ra khi và chỉ khi 
0
2
9 2 〉−
m
m 
Dựa vào trục xét dấu sau: 
Suy ra: m< -3 hoặc 0 <m < 3 
Tóm lại hàm số có 3 điều cực trị ⎢⎣
⎡
〈〈
〈−⇔
30
3
m
m
Chú ý: Đường cong bậc 4 y = ã4 + bx3 + 0x2 + doanh nghiệp + e (a ≠ 0) 
có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt 
Bài 2: (Đề thi đại học, cao đẳng khối A 2005) 
Cho đường cong 
x
mxy 1+= tìm m để đường cong có cực trị và khoảng cách từ điểm 
cực tiểu đến tiệm cận xiên bằng 
2
1 
Bài giải 
Ta có 2
1'
x
my −= trước hết đường cong mới có giá trị cực trị, thì phương trình y’ = 0 
phải có nghiệm phân biệt. Điều này có khi và chỉ khi m >0 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 12 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
Vẽ bảng biến thiên ta thấy điểm cực tiểu là ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ m
m
M 2,1 
Mặt khác, tiệm cận xiên là y = mx hay mx – y = 0 
Khoảng cách từ M đến nó là: 
1
21
2 +
−
=
m
m
m
m
d 
Theo bài ra ta có ⇔=
+
⇔=
2
1
12
1
2m
md m2 – 2m + 1 = 0 ⇔ m = 1 
Giá trị m = 1 thoả mãn m >0 vì đó là giá trị cần tìm của tham số m 
Bài 3: (Đề thi đại học, cao đẳng khối B – 2005) 
Xét đường cong 
1
2)1(2
+
++++=
x
mxmxy (Cm) 
Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (Cm)luôn có điểm cực đại, cực tiểu và khoảng 
cách giữa hai điểm đó bằng 20 
Ta có: [ ] [ ] 2222 )1( 2)1( 1)1()1()1(2' ++=+ ++++−+++= x xxx mxmxxmxy 
Từ đó với mọi x, phương trình y’ = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt khác -1. Vậy với 
mọi m, đường cong có hai cực trị 
Dễ thấy hai điểm cực trị là M (0,m+1); N(-2;m-3). Từ đó 
20)13()2( 22 =−−−+−−= mmOMN đpcm 
IV. LUYỆN TẬP 
Bài 1: 
Tìm m để hàm số y = 
3
1 x3 + (m- 2)x2 + (5m + 4) + m2 + 1.Đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1 <- 
1< x2. 
Hướng dẫn: 
Tìm điều khiện để phương trình x2 + 2(m - 2)x + 5m + 4 = 0 có hai nghiệm x1, x2 sao cho 
x1<-1<x2. Dùng định lý đảo tam thức bậc hai và có đáp số: m <- 3 
Bài 2: 
Cho y = 
3
2 x3 + (cosα - 3 sinα )x2 - 8(1 + cos2α )x + 1 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 13 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
1. Chứng minh rằng ∀ α hàm số luôn có cực trị 
2. Giả sử hàm số đạt cực trị x1,x2. Chứng minh ∀ α , ta có + 18 21x 22x ≤
Bài 3: 
Cho y = 
3
1 x3- mx2 - x + m + 1. Tìm m để khoảng cách giữa hai điểm cực trị là bé nhất. 
Hướng dẫn: 
 - Sử dụng kết quả để chứng minh sau: 
Cho y = ax3+ bx2 + cx + d (a 0), và ghi rõ hàm số có cực trị. Gọi Ax + B là phần dư trong 
phép chia của y cho ý. Khi đó giả sử x1,x2 là hoành độ của cực trị, thì tung độ cũ của các 
điểm đó là: 
≠
y1 = Ax1 + B; y2 = Ax2 + B 
- Đáp số: dmin = 3
32 Ù m = 0 
Bài 4: Cho y = x3 - 3x2 + m2x + m. Tìm m để đường cong có cực đại, cực tiểu đối xứng với 
nhau qua đường thẳng y = 
2
1 x - 
2
5 
Hướng dẫn: Sử dụng hướng dẫn trong bài 3 
Đáp số: m = 0 
Bài 5: 
Tìm m để đường cong y = x4 + 4mx3 + 3(m+ 1)x2 + 1. Chỉ có cực tiểu mà không có cực đại 
Hướng dẫn: Lập bảng biến thiên và xét dấu y theo m 
Đáp số: m = - 1 hoặc 
3
71− ≤ m ≤
3
71+ 
Bài 6: 
Cho y = x4 + (m+ 3)x3 + 2(m+1)x2. 
Chứng minh rằng với mọi m - 1, thì hàm số luôn luôn có cực đại tại điểm có hoành độ ≠ ≤ 
0 
Bài 7: 
Cho y = 
)(2
4)12( 22
mx
mmxmx
+
+++++ 
Tìm m để hàm số có cực trị và tìm khoảng cách giữa hai điểm cực trị 
Hướng dẫn: Sử dụng công thức, nếu (x, y) là điểm cực trị (i = 1,2). thì yi = 2
122 ++ mxi 
Đáp số: 4 2 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 14 
Chuyên đề Luyện thi Tốt nghiệp THPT và Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng 2009 
Bài 8: 
 Cho y = 
4
32
−
++−
x
mxx Tìm m để đường cong có cực trị và thoả mãn hệ thức ctCD yy − = 4 
Ở đây yCĐ, yCT tương ứng ký hiệu giá trị cực đại, giá trị cực tiểu của hàm số. 
Hướng dẫn: Áp dụng công thức bài 7. 
Đáp số; m = 3 
Bài 9: 
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = 
mx
mxx
+
++− 2 
2. Tìm m để đường tiệm cận xiên của (c) đi qua điểm A(3,0) 
Bài 10: 
 Cho hàm số y = 
1
12
+
−+
x
mxx (Cm) 
 1. Khảo sát cà vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 
 2. Tìm m để tiệm cận xiên của (Cm)tạo với 2 trục toạ độ 1 tam giác có diện tích bằng 
8 (đơn vị diện tích). 
Bài 11: 
Cho y = 12 +− xx . (C) 
Tìm các tiệm cận của (C). 
Nguồn: Hocmai.vn 
 Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Trang 15