Loại 1. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, một đường thẳng
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa: Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng (hoặc đường thẳng) bằng khoảng cách
từ điểm đó tới hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng (hoặc đường thẳng).
Bài toán khoảng cách trong hình học không gian Mục lục Loại 1. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, một đường thẳng................................................................ 1 A. Tóm tắt lý thuyết .......................................................................................................................... 1 B. Một số ví dụ ................................................................................................................................. 3 C. Bài tập ......................................................................................................................................... 8 Loại 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng .... 11 A. Tóm tắt lý thuyết ........................................................................................................................ 11 B. Một số ví dụ ............................................................................................................................... 12 C. Bài tập ....................................................................................................................................... 17 Bản quyền thuộc về ThS. Phạm Hồng Phong – Trường Đại học Xây dựng Tài liệu có thể được download miễn phí tại violet.vn/phphong84 Từ khóa : pham hong phong, khoang cach trong khong gian THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 1 Loại 1. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, một đường thẳng A. Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa: Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng (hoặc đường thẳng) bằng khoảng cách từ điểm đó tới hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng (hoặc đường thẳng). Khoảng cách từ điểm M tới mặt phẳng P được ký hiệu là d M; P . H là hình chiếu vuông góc của M lên P thì d M; P MH Khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng được ký hiệu là d M; . H là hình chiếu vuông góc của M lên thì d M; MH . 2. Bài toán cơ bản: Nhiều bài toán tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng, từ điểm tới đường thẳng có thể quy về bài toán cơ bản sau Bài toán: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC và khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BC . Cách giải Gọi D là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC , H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống SD . Ta có +) SA ABC BC SA , lại có BC AD (do dựng) BC SAD SD BC d S;BC SD . +) Từ chứng minh trên, đã có BC SAD AH BC , lại có AH SD (do vẽ) AH SBC d A; SBC AH . H P M Δ M H S A C B D H THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 2 3. Một số lưu ý * Về cách tính khoảng cách một cách gián tiếp +) MN P d M; P d N; P . +) M, N Q Q P d M; P d N; P . +) MN P I d M; P d M; QMI NI . Trường hợp đặc biệt: I là trung điểm của MN d M; P d N; P . +) MN d M; d N; . +) MN I d M; d M; MI NI . Trường hợp đặc biệt: I là trung điểm của MN d M; d N; . * Về cách sử dụng thể tích để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Cho hình chóp 1 2 nS.A A ...A . Ta có 3VS.A A ...A1 2 n 1 2 n SA A ...A1 2 n d S, A A ...A . * Khoảng cách từ một đường thẳng tới mặt phẳng song song với nó: Cho P , M là một điểm bất kỳ trên . Khi đó d ; P d M; P . * Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Cho P Q , M là một điểm bất kỳ trên P . Khi đó d P ; Q d M; Q . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 3 B. Một số ví dụ Ví dụ 1. [ĐHD03] Cho hai mặt phẳng P và Q vuông góc với nhau, cắt nhau theo giao tuyến . Lấy A , B thuộc và đặt AB a . Lấy C , D lần lượt thuộc P và Q sao cho AC , BD vuông góc với và AC BD a . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng phẳng BCD . Giải Ta có P Q , P Q , AC P , AC AC Q BD AC . Lại có BD AB BD ABC 1 . Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC . Vì ABC vuông cân tại A nên AH BC và a 2BC2 2AH . Từ 1 suy ra AH BD AH BCD . Do đó H là chân đường vuông góc hạ từ A lên BCD a 22d A; BCD AH . Ví dụ 2. [ĐHD12] Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông, tam giác A'AC vuông cân, A'C a . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng BCD' theo a . Giải Q P Δ a a a H A B C D THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 4 A'AC vuông cân (tại A ) nên A'C 2 AC AA' a 2 . ABC vuông cân (tại B ) nên AC 2 AB a . Hạ AH A'B ( H A'B ) .Ta có BC ABB'A' AH BC , lại có AH A'B (do dựng) AH BCD' . AH là đường cao của tam giác vuông ABA' 31 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2AH AB AA ' a 2a 2a a 6 3AH .Vậy a 6 3d A;BCD' AH AH . Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có SA 3a và SA ABC . Giả sử AB BC 2a , ABC 120 . Tìm khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC . Giải Dựng AD BC ( D BC ) và AH SD ( H SD ). Thật vậy, từ giả thiết ta có CD SA , lại có CD AD (do dựng) CD SAD AH CD , mà AH SD AH SCD H là chân đường vuông góc hạ từ A lên SBC . Ta có AD ABsinABD 2asin60 a 3 . AH là đường cao của tam giác SAD vuông tại A nên: 1 1 1 1 1 4 2 2 2 2 2 2AH AS AD 9a 3a 9a 3a2AH . Vậy 3a 2d A;SBC AH . a a 2 a 2 2a C C' D D' A A' B B' H 2a 2a 3a 120o S A C B D H THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 5 Ví dụ 4. [ĐHD11] Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B , BA 3a , BC 4a ; mặt phẳng SBC vuông góc với mặt phẳng ABC . Biết SB 2a 3 và SBC 30 . Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SAC theo a . Giải Hạ SK BC ( K BC ). Vì SBC ABC nên SK ABC . Ta có 32BK SBcosSBC 2a 3. 3a KC BC BK 4a 3a a . Do đó nếu ký hiệu 1d , 2d lần lượt là các khoảng cách từ các điểm B , K tới SAC thì d BC1d KC2 4 , hay 1 2d 4d . Hạ KD AC ( D AC ), hạ KH SD ( H SD ). Từ SK ABC AC SK , lại có AC KD (do dựng) AC SKD KH AC , mà KH SD (do dựng) KH SAC 2d KH . Từ ADK ABA suy ra: CK DKCA BA BA.CK 3a.a 3a CA 5a 5DK ( 2 22 2CA BA BC 3a 4a 5a ). KS SB.sinSBC a 3 . KH là đường cao của tam giác vuông SKD nên: 25 281 1 1 1 2 2 2 2 2 2KH KD KS 9a 3a 9a 3a 714KH . Vậy 6a 71 2 7d B; SAC d 4d 4KH . Ví dụ 5. [ĐHB11] Cho lăng trụ 1 1 1 1ABCD.A B C D có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm 1A lên mặt phẳng ABCD trùng với giao điểm của AC và BD . Tính khoảng cách từ điểm 1B đến mặt phẳng 1A BD theo a . Giải 30° 2a 3 4a 3a K S C A B D H THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 6 AH là đường cao của tam giác ABD vuông tại A nên 1 1 1 1 1 4 2 2 2 2 2 2AH AB AD a 3a 3a a 32AH a 3 1 2d A; A BD . Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B và AC 2a . SA có độ dài bằng a và vuông góc với đáy. 1) Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BC . 2) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A lên SB . Tính khoảng cách từ trung điểm M của AC đến đường thẳng CH . Giải 1) Ta có SA ABC BC SA , cũng từ giả thiết ta có BC AB BC SAB SB BC . BC 2 AB a 2 2 2 2 2SB SA AB a 2a a 3 . Vậy d S;BC SB a 3 . Đặt I AC BD . Từ giả thiết suy ra 1A I ABCD . Đặt 1 1J B A A B J là trung điểm của 1B A , đồng thời 1 1J B A A BD 1 1 1d B ; A BD d A; A BD . Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống BD . Từ 1A I ABCD 1AH A H , lại có AH BD (do đựng) 1AH A BD 1d A; A BD AH . a 3 a I D1C1 B1 A1 DC B A J H THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 7 2) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A lên SB . Ở câu trên, ta đã chứng minh BC SAB AH BC , lại có AH SB AH CH . Lại lấy K là trung điểm của CH MK song song và bằng 12 AH MK CH , a 6a.a 2SA.AB1 12 2 62 2 2 2SA AB a 2a MK . Vậy a 66d M;CH MK . 2a a K M H S A C B THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 8 C. Bài tập Bài 1. Cho tứ diệnOABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau. Kẻ OH ABC . 1) Chứng minh: H là trực tâm ABC . 2) Chứng minh: 2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC . Bài 2. [ĐHD02] Cho tứ diện ABCD có AD ABC ; AC AD 4cm , AB 3cm , BC 5cm . Tìm khoảng cách từ A tới mặt phẳng BCD . Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a , ASB 120 , BSC 60 , CSA 90 . Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng ABC . Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A . Cạnh AB có độ dài bằng a và nằm trong mặt phẳng . Biết rằng cạnh AC có độ dài bằng a 2 và tạo với mặt phẳng góc 60 , hãy tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng . Bài 5. Trong mặt phẳng cho góc vuông xOy . M là một điểm nằm ngoài . Biết rằng MO 23 cm và khoảng cách từ M đến Ox , Oy cùng bằng 17 cm . Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng . Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy. Biết rằng AB 7 cm , BC 5 cm , CA 8 cm , SA 4 cm . 1) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC 2) Tính khoảng cách từ các điểm S và A đến đường thẳng BC . Bài 7. [ĐHD07] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, ABC BAD 90 , BA BC a , AD 2a . Cạnh SA vuông góc với đáy và SA a 2 . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB . Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng SCD theo a . Bài 8. [ĐHD09] Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a , AA' 2a , A'C 3a . Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A'C' , I là giao điểm của AM và A'C . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng IBC theo a . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 9 Bài 9. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a , cạnh bên bằng 2a . Gọi G là tâm của đáy, M là trung điểm của SC . 1) Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng ABC . 2) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng SAG . Bài 10. Cho ABC là tam giác vuông cân tại B , BA a . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABC tại A lấy điểm S sao cho SA a . Gọi I , M theo thứ tự là trung điểm của SC , AB . 1) Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng ABC 2) Tính khoảng cách từ các điểm S và I đến đường thẳng CM . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 10 THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 11 Loại 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng A. Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b . * Đường thẳng cắt a , b và vuông góc với a , b được gọi là đường vuông góc chung của a và b . * Nếu đường vuông góc chung cắt a , b lần lượt tại M , N thì độ dài đoạn thẳng MN được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b . 2. Cách tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau * Phương pháp tổng quát: Cho hai đường thẳng chéo nhau a , b . Gọi là mặt phẳng chứa b và song song với a , a' là hình chiếu vuông góc của a lên . Đặt N a' b , gọi là đường thẳng qua N và vuông góc với là đường vuông góc chung của a và b . Đặt M a khoảng cách giữa a và b là độ dài đường thẳng MN . a b Δ N M a a' b α M N THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 12 * Trường hợp đặc biệt: Cho hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với hau a , b . Gọi là mặt phẳng chứa b và vuông góc với a . Đặt M a . Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ M xuống b MN là đường vuông góc chung của a , b và khoảng cách giữa a , b là độ dài đoạn thẳng MN . 3. Nhận xét: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b . Các nhận xét nhau đây cho ta cách khác để tính khoảng cách giữa a và b ngoài cách dựng đường vuông góc chung. * Nếu là mặt phẳng chứa a và song song với b thì khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng khoảng cách giữa b và . * Nếu , là các đường thẳng song song với nhau, lần lượt chứa a , b thì khoảng cách giữa hai đường thẳng bằng khoảng cách giữa và . B. Một số ví dụ Ví dụ 1. [ĐHD08] Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông có BA BC a , cạnh bên AA' a 2 . Gọi M là trung điểm của BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B'C . Giải Lấy N là trung điểm của BB' , ta có MN là đường trung bình của tam giác B'BC B'C MN B'C AMN . Do đó d B'C;AM d B'C; AMN d B'; AMN . Lại có BB' cắt AMN tại N là trung điểm của BB' nên d B'; AMN d B; AMN . Hình chóp B.AMN có BA , BM , BN đôi một vuông góc nên a a' b α M N N M A B C C' B' A' THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 13 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 4 2 7 d B; AMN BA BM BN a a a a a 7d B; AMN 7 . Vậy a 7d B'C;AM 7 . Ví dụ 2. [ĐHA06] Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có các cạnh bằng 1 . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A'C và MN . Giải Ta thấy MN BC MN A'BC d A'C;MN d MN;A'BC d M; A'BC . Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống A'B . Ta có: BC ABB'A' MH BC , mặt khác MH A'B (do vẽ) MH A'BC H chính là chân đường vuông góc hạ từ M xuống A'BC . MH là cạnh góc vuông của tam giác vuông cân HBM a 2BM 42MH . Vậy a 24d A'C;MN . Ví dụ 3. [ĐHA04] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình thoi đường chéo AC 4 , SO 2 2 và SO vuông góc với đáy ABCD , ở đây O là giao điểm của AC và BD . Gọi M là trung điểm của SC . Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM . Giải H N M C C' D D' A A' B B' THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 14 Ta có MO là đường trung bình của tam giác SAC SA MO SA MBD d SA;MB d SA;MBD d S;MBD . SC cắt mặt phẳng MBD tại trung điểm M của SC nên d S; MBD d C; MBD . Gọi K là chân đường vuông góc hạ từ M xuống SA , đặt H CK MO . Ta có SO ABCD BD SO , lại có ABCD là hình thoi nên BD AC BD SAC CH BD 1 . MO SA , CK SA CH MO 2 . Từ 1 và 2 suy ra H là chân đường vuông góc hạ từ C xuống MBD . Từ 2 2SA SO AO 8 4 2 3 , 1 1SAC 2 2S AC.SO 4.2 2 4 2 suy ra 2S 2 62.4 2SAC1 1 1 2 2 SA 2 32 3 CH CK . Vậy 2 63d SA;MB . Ví dụ 4. [ĐHB02] Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a . Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A'B và B'D . Giải Lấy M , N , P lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng A'D' , BC , AD . Ta thấy A'MDP và BNDP là các hình bình hành nên MD A'P , DN PB MDNB' A'PB . Do đó d A'B;B'D d A'PB ; MDNB' d D; A'PB . Lại có AD cắt A'PB tại trung điểm P của AD d D; A'PB d A; A'PB . Hình chóp A.A'PB có AA' , AP , AB đôi một vuông góc nên 91 1 1 1 1 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2d A; A'PB AA' AP AB a a a a a3d A; A 'PB . K M O C A B D S H P N M C' C D' D A' A B' B THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 15 Vậy a3d A'B;B'D . Ví dụ 5. Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 6 2 cm . Hãy xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD . Giải Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AB , CD . Ta có ACD và BCD là các tam giác đều nên CD vuông góc với AN và BN CD MN . Lại có AN AN 3 6 suy ra AB MN và 2 2MN AN AM 54 18 6 cm . Vậy MN là đường vuông góc chung của AB , CD và khoảng cách giữa chúng là MN 6 cm . Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB a , BC 2a , cạnh SA vuông góc với đáy và SA 2a . Hãy xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC . Giải Lấy điểm D sao cho ABCD là hình chữ nhật AB SCD . Gọi E là chân đường vuông góc hạ từ A xuống SD . Ta thấy ABCD là hình chữ nhật nên CD AD , lại có SA ABC CD SA CD SCD AE CD 1 . Mặt khác AE SD (do dựng) 2 . Từ 1 và 2 suy ra AE SCD E là hình chiếu vuông góc của A lên SCD . M N B D C A 2a 2a 2a a M N E B A D C S THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 16 Đường thẳng qua E song song với CD chính là hình chiếu vuông góc của AB lên SCD . Đường thẳng này cắt SC tại N . Đường thẳng qua N song song với AE cắt AB tại M MN là đường vuông góc chung cần tìm.Tam giác SCD cân tại A nên E là trung điểm của SD N là trung điểm của SD . CD a2 2AM EN M là trung điểm của AB . Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB , CD là AD 2 MN AE a 2 . THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 17 C. Bài tập Bài 1. [ĐHB07NC] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi E là điểm đối xứng với D qua trung điểm của SA , M là trung điểm của AE , N là trung điểm của BC . Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a ) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC . Bài 2. [ĐHA11] Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B , AB BC 2a ; hai mặt SAB và SAC cùng vuông góc với mặt phẳng ABC . Gọi M là trung điểm của AB ; mặt phẳng qua SM song song với BC , cắt AC tại N . Biết góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a . Bài 3. [ĐHA10] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AD ; H là giao điểm của CN và DM . Biết SH vuông góc với mặt phẳng ABCD và SH a 3 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a . Bài 4. [ĐHA12] Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a , hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABC là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA 2HB . Góc giữa đường thẳng SC và mặt ABC bằng 60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a . Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA h và SA vuông góc với đáy. Hãy xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB . Bài 6. Trong mặt phẳng P cho đường tròn đường kính AB 2R , C là một điểm chạy trên đường tròn đó. Trên đường thẳng đi qua A và vuông góc với P lấy S sao cho SA a 2R . Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và SB . Xác định vị trí của C trên đường tròn sao cho EF là đường vuông góc chung của AC và SB . Bài 7. Cho tứ diện ABCD có AC AD BC BD a , AB 2m , CD 2n . Gọi I , K lần lượt là trung điểm của AB và CD . 1) Chứng minh rằng IK là đường vuông góc chung của hai cạnh AB và CD . 2) Tính độ dài IK theo a , m và n .
Tài liệu đính kèm: