Chuyên đề bài tập Giải tích Lớp 12 - Lương Đoàn Nhân

Toán 12 (Thầy Lương Đoàn Nhân BIÊN SOẠN) TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 
Lưu hành nội bộ 1
Ký hiệu K là một khoảng, hoặc đoạn, hoặc nửa khoảng. 
 Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K 1 2 1 2 1 2x ,x K,x x f(x ) f(x )     
Đồ thị của hàm số y = f(x) đồng biến trên K có hình dạng đi lên từ trái sang phải. 
 Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K 1 2 1 2 1 2x ,x K,x x f(x ) f(x )     
Đồ thị của hàm số y = f(x) nghịch biến trên K có hình dạng đi xuống từ trái sang phải. 
Hàm số đồng hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K. 
*Nếu f’(x) > 0,  x  K thì hàm số f(x) đồng biến trên K. 
Bảng biến thiên 
x a b 
y' + 
y 
*Nếu f’(x) < 0,  x  K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K. 
Bảng biến thiên 
x a b 
y' - 
y 
 Nếu f’(x) = 0,  x  K thì hàm số f(x) không đổi trên K. 
 Nếu f’(x)  0,  x  K (f’(x)  0,  x  K ) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm 
số f(x) đồng biến (nghịch biến) trên K. 
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 
Chương 
1 
 -1- SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ 
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I 
1 Định nghĩa 
2 Định lí 
3 Chú ý 
Toán 12 (Thầy Lương Đoàn Nhân BIÊN SOẠN) TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 
 Lưu hành nội bộ 2
Bước 1. Tìm TXĐ D của hàm số y = f(x). 
Bước 2. Tính đạo hàm: y’ = f’(x). 
Tìm các điểm xi mà f’(xi) = 0 hoặc f’(xi) không xác định. 
Bước 3. Lập bảng biến thiên. Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần từ trái sang phải, 
xét dấu đạo hàm trong từng khoảng, rồi dựa vào định lí đơn điệu chỉ ra khoảng đồng biến, 
nghịch biến. 
Ví dụ 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số: 
a/ 2y x 4x 5    b/ 3 2y x 3x 1    c/ 4 2y x 2x 3   d/ 
2x 3
y
x 5



e/ 
2x 3x 3
y
x 1
 


 f/ 2y 4x x  g/ y 2 cos x cos 2x  với x  [0; ] 
Ví dụ 2. Định m để hàm số 
mx 2
y
x 2



 đồng biến trên từng khoảng xác định. 
Ví dụ 3. Định m để hàm số 3 2y x mx m    nghịch biến trên từng khoảng xác định. 
Ví dụ 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số      3 2y (m 1)x (m 1)x 2x 5m 
nghịch biến trên từng khoảng xác định? 
A. 9. B. 7. C. 5 . D. 3 . 
Lưu ý. Trường hợp y’ = 2ax bx c  (a  0) 
Hàm số đồng biến trên R 
a 0
0
 
 
 
Hàm số nghịch biến trên R 
a 0
0
 
 
 
Ví dụ 5. Cho hàm số 
mx 4m
y
x m



(m là tham số). Số các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch 
biến trên  2;  là: 
A. 2 . B. 1. C. 5 . D. 3 . 
1.1. Từ bài 1 đến bài 5 (tr. 9, 10 SGK). 
1.2 . Tìm các khoảng tăng, giảm của các hàm số: 
a. 3 2
1
y x 3x 8x 2
3
    b. 4 2y x 4x   c. 5 4 3
10 7
y 2x 5x x
3 3
    
d. 
x 4
y
x 2



 e. 
2x x 2
y
x 2
 


 f. 2y x 1 x  
g. 2y x 1 x   h. 3 4y 4x 3x 2020   
QUY TẮC XÉT TÍNH ĐĐ CỦA HS II 
BÀI TẬP III 
Toán 12 (Thầy Lương Đoàn Nhân BIÊN SOẠN) TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 
Lưu hành nội bộ 3
1.3. Tìm m để hàm số 
a. 3 2
1
y mx (m 1)x 3(m 2)x 1
3
      đồng biến trên tập xác định. 
b. 
x
y
x m


 nghịch biến trên từng khoảng xác định. 
c. 
mx 8m
y
x m



 đồng biến trên  10;  . 
1.4. Cho hàm số y = 3 2
1
mx (m 1)x mx 3
3
    . Tìm m để: 
 a. y’  0, với mọi m. 
 b. y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt cùng âm. 
 c. y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt thỏa: 2 21 2x x 3.  
1.5. Chứng minh rằng: 
a.  
2x
cos x 1 x 0
2
   b. sinx + tanx > 2x, x 0;
2
  
 
 
1.6. Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số 
x 6
y
x m
 


đồng biến trên khoảng (10; )? 
 A. 5 B. 4 C. Vô số D. 3 
1.7. Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số 
x 2
y
x 3m



đồng biến trên khoảng ( ; 6)?  
 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 
------------------------------------
Toán 12 (Thầy Lương Đoàn Nhân BIÊN SOẠN) TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 
 Lưu hành nội bộ 4
Nếu có (a;b) chứa x0 và f(x) < f(x0),  x  (a;b) \ {x0} thì x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số. 
Nếu có (a;b) chứa x0 và f(x) > f(x0),  x  (a;b) \ {x0} thì x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số. 
* f(x0) được gọi là giá trị cực đại (cực tiểu) của hàm f(x), gọi tắt là cực đại (cực tiểu). 
* Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. 
* Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là cực trị. 
* Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f(x) thì ta nói hàm số f(x) đạt cực trị tại x0. 
Chú ý 
a/ Giá trị cực đại (cực tiểu) của hàm số f không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm 
số f trên TXĐ. 
b/ Một hàm số f có thể đạt cực đại hay cực tiểu tại nhiều điểm trên TXĐ và các cực trị nói 
chung là khác nhau. Hàm số f vẫn có thể không có cực trị trên một tập hợp cho trước. 
c/ Nếu x0 là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm (x0, f(x0)) được gọi là điểm cực trị của 
đồ thị hàm số f. 
Định lí. Nếu f(x) có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại x0 thì f’(x0) = 0. 
Quy tắc 1. Nếu f’(x) đổi dấu khi x đi qua điểm x0 thì hàm số đạt cực trị tại điểm x0. 
1. Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm x0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm x0. 
2. Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0. 
Quy tắc 2. Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp 1 trên (a;b) chứa điểm x0, f’(x0) = 0, và hàm số f 
có đạo hàm cấp 2 khác 0 tại điểm x0 thì: 
 1. Nếu f”(x0) < 0 thì hàm số f(x) đạt cực đại tại điểm x0. 
 2. Nếu f”(x0) > 0 thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại điểm x0. 
 -2- CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 
ĐỊNH NGHĨA CỰC TRỊ CỦA HS I 
ĐỊNH LÝ VỀ CỰC TRỊ CỦA HS II 
Toán 12 (Thầy Lương Đoàn Nhân BIÊN SOẠN) TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 
Lưu hành nội bộ 5
Cực trị liên quan đến tính đơn điệu của HS. 
Ví dụ 1. Tìm các điểm cực trị của hàm số: 
a/ 2y x 4x 2   b/ 3 2
2 5
y x x 2x
3 2
   c/ 
4
2xy 2x 6
4
   d/ 
3
y 3x 5
x
   
e/ 2y x 2 x  f/  2y x 2 x 2    
Ví dụ 2. Cho hàm số  3 2
1 1
y x x m 1 x 1
3 2
     
 1/ Định m để hàm số có cực đại và cực tiểu. (y’ đổi dấu 2 lần) 
 2/ Định m để hàm số đạt cực đại tại x = 1 . (Giải bằng 2 cách). 
Dạng 1. Tìm điểm cực trị của hàm số. 
2.1. Tìm các cực trị của hàm số: 
 a. 3 2y 2x 9x 12x 3    b. 
5 3x x
y 2
5 3
   
c. y = 4 2x 2x 2  d. 4 2y 2x 8x 1   
e. 3 2
1 2
y x x x
3 3
    f. 3 2y x 2x 8x 2    
2.2. Tìm các cực trị của hàm số: 
 a. 
2x 3x 3
y
x 1
 


 b. 
1
y x 3
x 2
  

2.3. Tìm các cực trị của hàm số: 
 a. 2y x 4 x  b. 2y x 1 x   c.  y x x 2  
2.4. Tìm các cực trị của hàm số: 
 a. 2y x 2 x 2   b. 2y x 3x 2   
2.5. Tìm các cực trị của hàm số (dùng dấu hiệu 2): 
a. y x sin 2x 2   b. y 2x tan x  
Dạng 2. Định tham số để hàm số có cực trị thỏa điều kiện cho trước. 
2.6. Cho hàm số 3 2 2y x 3(m 1)x 12m x m     . Định m để hàm số có 
 a. hai điểm cực đại và cực tiểu. 
 b. hai điểm cực đại và cực tiểu thỏa điều kiện 1 2
5
x x
2
  . 
 c. đạt cực tiểu tại x = 2. 
2.7. Cho hàm số 
2 2x m x 1
y
x 1
 


. 
 a. Định m để hs có 2 điểm cực trị. 
 b. Viết ptđt đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị. Định m để 2 điểm cực trị đó thẳng hàng với 
A(1;1). 
VÍ DỤ ÁP DỤNG III 
BÀI TẬP IV 
Toán 12 (Thầy Lương Đoàn Nhân BIÊN SOẠN) TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 
 Lưu hành nội bộ 6
 c. Định m để giá trị tuyệt đối của hiệu số 2 cực trị bằng 2. 
2.8. Cho hàm số 3 2 2y x 3(m 1)x m(m 1)x 2m 3m 2        . Định m để hàm số có 
 a. 2 cực trị trái dấu. 
 b. điểm cực trị x = 0. 
2.9. Cho hàm số 3y (m 2)x mx 1    . Tìm m để hàm số không có cực trị. 
2.10. Định m để hàm số 4y x mx 2   có: 
 a. một cực trị 
 b. ba cực trị 
 c. ba cực trị tạo thành tam giác vuông 
 d. ba cực trị A, B, C và điểm O cùng thuộc một đường tròn. 
2.11. Đường thẳng d qua hai cực trị của hàm số 3y x 3x 2   tạo với 2 trục tọa độ một tam 
giác có diện tích bao nhiêu? 
2.12. Tìm m để khoảng cách từ điểm cực đại của hàm số 4 2y x 2x 3   đến đường thẳng : 
x my 4 0   bằng 2. 
--------------------------------- 
Toán 12 (Thầy Lương Đoàn Nhân BIÊN SOẠN) TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 
Lưu hành nội bộ 7
D 0 0
x D : f(x) M
M maxf(x)
x D : f(x ) M
  
  
  
D 0 0
x D : f(x) m
m min f(x)
x D : f(x ) m
  
  
  
Phương pháp 1. Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) trên tập D. 
Phương pháp 2. Tìm GTNN, GTLN của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]: 
 1. Tìm các điểm x1, x2,,xn trên khoảng (a;b), tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định; 
 2. Tính f(a), f(x1), f(x2),, f(xn), f(b); 
 3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. 
Ta có: 
[a;b][a;b]
M maxf(x); m min f(x)  
Ví dụ 1. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau: 
a/ 2y 3 4x x   b/ 3 2y x 6x 5   trên [1;5] c/ 
x 1
y
x 1



 trên [3;4] 
d/ y x 1 5 x    
Ví dụ 2. Tìm các kích thước của hình chữ nhật ABCD có diện tích lớn nhất nội tiếp trong 
đường tròn (O) có bán kính R cho trước. 
Chú ý 
 Nếu m  f(x) ,  x  (a; b) thì 
(a;b)
m Maxf(x) hoặc 
Nếu m  f(x) ,  x  (a; b) thì 
(a;b)
m minf(x) . 
Ví dụ 3. Số các giá trị nguyên của m [ 2021; 2021]  để hàm số 3 2y mx x 3x m 2     
đồng biến trên ( 3;0) là: 
 A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2019 
Dạng 1. Tìm GTLN – GTNN của hs trên [a; b]. 
3.1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số: 
a. 3 2y 2x 9x 1   trên [-1;2] b. 4 3 2y 3x 4x 24x 48x    trên [0;2] 
c. 
5 3x x
y 2
5 3
   trên [-2;1] 
3.2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số: 
 a. 
2x 3x 1
y
x 1
 


 trên [1;4] b. 
1 2x
y
x 3



 trên [4;6] 
 c. 
2
2
2x x 1
y
x 2
 


 trên [0;1] 
 -3- GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ 
ĐỊNH NGHĨA I 
PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN – GTNN II 
CÁC VÍ DỤ III 
BÀI TẬP IV 
Toán 12 (Thầy Lương Đoàn Nhân BIÊN SOẠN) TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 
 Lưu hành nội bộ 8
3.3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số: 
 a. 2y x 6x 8    b. 2y x 2 x   
c. y x 2 4 x    d. 2y x 1 3x 6x 9      
Dạng 2. Tìm GTLN – GTNN của hs trên (a; b). 
3.4. Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của hàm số: 
 a. 3 4y 2 4x 3x   b. 
 2x 2
y
x

 (x > 0) c. 2y 2x x 1   
Dạng 3. Tìm GTLN – GTNN của hs lượng giác. 
3.5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số: 
 a. y sin 2x x  trên ;
2 2
  
 
 
 b. 2y 2 cos x x  trên 0;
2
  
 
 
3.6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số: 
 a. y = cos 2x + cos x b. 2y cos x 4 sin x 3    
3.7. Tìm GTLN, GTNN của hàm số: 
 a. y 3cos x 4sin x 5   b. 
cos x 2 sin x 3
y
2 cos x sin x 4
 

 
------------------------------------
Toán 12 (Thầy Lương Đoàn Nhân BIÊN SOẠN) TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 
Lưu hành nội bộ 9
Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và M(x;y) là một điểm thay 
đổi trên (C). Ta nói (C) có một nhánh vô cực nếu ít nhất một trong 
hai x và y của điểm M(x;y) dần tới  hoặc  . 
Khi đó, điểm M(x;y) dần tới  hoặc  . 
Đường thẳng d gọi là đường tiệm cận (tiệm cận) của (C) nếu 
khoảng cách MH (khoảng cách từ bất kì M trên (C) đến d) dần tới 0 
khi M dần tới  (hoặc  ). 
(Căn cứ vào vị trí của đường thẳng trong mptđ,) 
Nếu 
0x x
lim f(x)

  hoặc  thì đường 
thẳng d: x = x0 là tiệm cận đứng của đồ thị (C). 
Nếu 0
x
lim f(x) y

 hoặc  thì 
đường thẳng d: y = y0 là tiệm cận ngang 
của đồ thị (C). 
Tìm các tiệm cận đứng và  ... 
Minh họa bằng đồ thị 
Ví dụ: Giải các phương trình: x x xa / 5 10 b / e e c / 2016 1   
a) Đưa về cùng cơ số: 
Cho 0 a 1  : g(x)f(x)a a f(x) g(x).   
Ví dụ 1: Giải các phương trình: 
 
x x 1
12x 1 x 1 x 1 5 6a. 2 .4 64.8 b. 0,3
12 5

          
   
b) Đặt ẩn phụ: 
Cho phương trình f(ax) = 0 (*). Đặt t = ax > 0, (*) trở thành g(t) = 0 (**). 
Giải pt (**) tìm t (t > 0), từ t tìm x. 
x
aa t x log t   
Ví dụ 2: Giải các phương trình: 
x x 1 2 x 2 x x x xa. 9 4.3 13 0 b. 2 2 15 c. 3.4 2.9 5.6         
c) Logarit hóa: 
 Cho pt: g(x)f(x)a b (*) với 0 a,b 1  . 
 Lấy lôgarit cơ số a (hoặc b) cả 2 vế, (*) trở thành: af(x) g(x) log b , từ đó tìm x. 
Ví dụ 3: Giải phương trình: a/ x 3 x 22 5  b/ 
2x 2 x 5x 62 5   c/ 
x
x x 15 .8 100  
d) Phương pháp đoán nghiệm: 
Ví dụ 4: Giải phương trình: x3 x 4 0   
* Có thể giải bằng cách dùng đồ thị. 
Phương trình lôgarit cơ bản có dạng  alog x b a 0,a 1   
Cách giải: balog x b x a   
 -4- PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LÔGARIT 
PHƯƠNG TRÌNH MŨ I 
1 Phương trình mũ cơ bản 
2 Cách giải một số phương trình mũ đơn giản 
PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT II 
1 Phương trình lôgarit cơ bản 
Toán 12 (Thầy Lương Đoàn Nhân BIÊN SOẠN) TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 
Lưu hành nội bộ 29
Ví dụ: Giải các phương trình: 2 5a / log x 3 b / log x 0 c / ln x 1 d / ln x 1     
a) Đưa về cùng cơ số: 
Phương trình: a a
g(x) 0 (f(x) 0)
log f(x) log g(x)
f(x) g(x)
  
  

 với 0 a 1  . 
Ví dụ 1: Giải các phương trình: 
2 4 8 3 3
2
8 8
a.lox x log x log x 11 b.log (x 1) log (x 3) 1
4
c.2 log (2x) log (x 2x 1)
3
      
   
b) Đặt ẩn phụ: 
 Cho pt:  af log x 0 (*), đặt t = alog x , ta đưa pt (*) về g(t) = 0 (**). 
 Giải pt (**), ta được t. Từ t, tìm x: talog x t x a   
Ví dụ 2: Giải các phương trình: 
 22 2 9 xa. log x 3log (2x) 1 0 b. 4 log x log 3 3     
c) Mũ hóa: 
Ví dụ 3: Giải phương trình: x2log (5 2 ) 2 x   
d) Lôgarit hóa: 
Ví dụ 4: Giải phương trình: log x 1x 10x  
e) Phương pháp đoán nghiệm: 
Ví dụ 5: Giải phương trình: 3log x 4 x  
A. PHƯƠNG TRÌNH MŨ 
Dạng 1. ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ 
4.1. Giải các phương trình sau: 
1. 3x 2(0,3) 1  2. 5x 7 x 1
2
(1,5) ( )
3
  3. x
1
( ) 25
5
 4.
2x 3x 22 4   
5. 
2x 2x 3 x 11( ) 7
7
   6. 2x 3( 2 1) 2 1   7. x 7 1 2x(0,5) .(0,5) 2   8. x 1 x7 2  
9. x 1 x x 15 6.5 3.5 52    10. x x 13 .2 72  11. 
2x 5x 65 1   
12. 2x x 2x x5 7 17.5 17.7 0    
Dạng 2. ĐẶT ẨN PHỤ 
4.2. Giải các phương trình sau: 
1/ x x25 6.5 5 0   ( Đề thi TN 2009) 21/ 
2 2x x 2 x x2 2 3    (D 2003) 
2/ 2x 1 x7 8.7 1 0    ( Đề thi TN 2011) 22/ 2x 2x x4.3 9.2 5.6  
3/ x 1 x 14 6.2 8 0    23/  2x 2x x6.3 6.2 13.6 
2 Cách giải một số p.trình lôgarit đơn giản 
BÀI TẬP III 
Toán 12 (Thầy Lương Đoàn Nhân BIÊN SOẠN) TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 
 Lưu hành nội bộ 30
4/ x x x8 2.4 2 2 0     24/ x x x2.4 6 9 0   
5/ x x x4.9 12 3.16 0   25/ x x x4 2.6 3.9 0   
6/ x x27 9 2 0   26/ x x x8 18 2.27  ( ĐHQG HN 1997) 
7/ 2x 1 x 13 4.3 27 0    27/ x x 3x 1125 50 2   ( ĐH QGHN B 1998) 
8/ x x x3.25 2.49 5.35  28/ x x(2 3) (2 3) 4    
9/ 1 x 1 x3 3 10   29/ x x(1 2) 2.(1 2) 3    
10/ x 2 x3 3 10  30/ x x(7 4 3) 3.(2 3) 2 0     
11/ 2x 4 x 2x 23 45.6 9.2 0    31/    x x( 2 1) ( 2 1) 2 2 (B2007) 
12/ 2x 1 2x3 3 108   32/ x x x( 2 3 ) ( 2 3 ) 2    
13/ x x x3.4 2.6 9  33/ x x x 3(5 21) 7.(5 21) 2     
14/ x x64 8 56 0   34/ x x2 3. 2 17 11   
15/ x x4 3.2 2 0   35/        
 
cosxcosx
7 4 3 7 4 3 4 
16/ x x 23 3 8 0    36/ s c x4 2 2 2  
2 2in x os 
17/ x x 19 3 4 0   37/ s c x9 9 10 
2 2in x os 
18/ 2x 1 x 32 2 64 0    38/ s c x81 81 30 
2 2in x os 
19/ x x x6.9 13.6 6.4 0   39/ s c x4.2 2 6 
2 2in x os 
20/ x x x x3.8 4.12 18 2.27 0    (A2006) 
4.3. a/ Cho phương trình: x x9 4.3 5 0   có nghiệm dạng logab. Tính a + b, a – b, a.b? 
 b/ Cho phương trình: x x9 5.3 6 0   có 2 nghiệm 1, 2x x . Tìm 1 2x x . 
Dạng 3. ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH A.B = 0 
4.4. Giải các phương trình sau: 
1/ 
2 2x 5x 6 1 x 6 5x2 2 2.2 1      6/ 2 4 43 8.3 9.9 0x x x x     (ĐHSPHN 2000) 
2/ 
2 2 2x x 1 x (x 1)4 2 2 1     7/ x 1 x 4 x 24 2 2 16     (ĐH TCKT HN 1997) 
3/ 
2 2x x x x 2x2 4.2 2 4 0     (D2006) 8/ x x25 2(3 x)5 2x 7 0     
4/ 
3 32x x 2 x 2 x 2 x 4x 44 2 4 2        (D2010) 9/ 3x x
3(x 1) x
1 12
2 6.2 1
2 2
    (ĐH Y HN 2000) 
5/ x x x8.3 3.2 24 6   (QGHN D 2000) 
Dạng 4. LÔGARIT HÓA 
4.5. Giải các phương trình sau: 
 a/ x 1 x 23 5  b/ 
2x 3 x 5x 62 5   
B. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT 
Dạng 1. ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ 
4.6. Giải các phương trình sau: 
 a/ 4 4 4log (x 2) log (x 2) 2 log 6    b/ 4 2 16log x log x 2 log x 5   
Toán 12 (Thầy Lương Đoàn Nhân BIÊN SOẠN) TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 
Lưu hành nội bộ 31
 c/ lg(x 1) lg(1 x) lg(2x 3)     d/ x 2 x 22 2log (9 7) 2 log (3 1)
     
 e/ 4 4 4log (x 3) log (x 1) 2 log 8     f/ 5 25 0,2log x log x log 3  
 g/ 9 3 3 9 3log (log x) log (log x) 3 log 9   
h/ 2 44 16 0,5log (x 4x 4) log (x 5) log 8 0      . PT có 2 nghiệm nguyên. Tính tổng bình 
phương 2 nghiệm đó. 
Dạng 2. ĐẶT ẨN PHỤ 
4.7. Giải các phương trình sau: 
 a/ 9 x2 log x 9 log 3 10  b/ 3 33 log x log 3x 1 0   
 c/ 2 2log x 10 log x 6 9   d/ 2
2 2
x 2x 5
log (2x 5) log x 3

   
e/    x x 15 25log 5 1 .log 5 5 1   f/ (x 1) 2log 16 log (x 1)   
g/ 2 2x 2log 4x .log x 12 h/ 
2 2
3 3log x log x 1 5 0    
i/    x 1 x2 2log 4 4 .log 4 1 3    j/ x 3 33
1
log 3 log x log x log x
2
    
k/  2x 2 xlog 2 x log x 2   l/    x x 12 1
2
log 4 4 x log 2 3    
m/  2 x 11 log x 1 log 4   n/ 
2
5x 5
5
log log x 1
x
  
o/ 2 23 3log x log x 1 5 0    p/ 
1 2
1
4 log x 2 log x
 
 
q/ x 16 23 log 16 4 log x 2 log x  r/ 2 2xxlog 16 log 64 3  
s/    84 22
1 1
log x 3 log x 1 log 4x
2 4
    t/  x5log 5 4 1 x   
u/  21 3
3
log x 3 1 log x 3 0    . PT có 2 nghiệm x1, x2. Tính x1.x2. 
------------------------ 
Toán 12 (Thầy Lương Đoàn Nhân BIÊN SOẠN) TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 
 Lưu hành nội bộ 32
Bất phương trình mũ cơ bản có dạng xa b 
 hoặc x x xa b, a b, a b   với (a 0, a 1)  
Cách giải bất phương trình xa b : 
 Nếu b 0 : xa b x  R. 
 Nếu b > 0: a
alog bx x
a
a 1
x log b
a b a a
0 a 1
x log b
 


      


Minh họa bằng đồ thị. 
Ví dụ: Giải các bất phương trình: 
x
x x1a / 2 16 b / 27 c / e 1
3
 
   
 
a) Đưa về cùng cơ số: 
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình: 
   
2
2 x 1 1 3xx x x 2 x 3 x 4 x 1 x 2a.0,25.32 8 b. 5 2 5 2 c.2 2 2 5 5
 
            
b) Đặt ẩn phụ: 
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình: 
x 3 x x 2x xa. 2 2 9 b. 4 2.5 10 0     
c) Logarit hóa: 
Ví dụ 3: Giải bất phương trình: 
2x 2x 2 x5 3  
d) Phương pháp đoán nghiệm: 
Ví dụ 4: Giải bất phương trình: x3 x 4 0   
* Giải bằng cách dùng đồ thị. 
Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng alog x b 
 hoặc a a alog x b, log x b, log x b    a 0,a 1  
Cách giải bất phương trình alog x b : 
b
a
b
a 1
x a
log x b
0 a 1
0 x a
 


  
  
  
 -5- BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LÔGARIT 
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ I 
1 Bất phương trình mũ cơ bản 
2 Cách giải một số bất phương trình mũ đơn giản 
BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT II 
1 Bất phương trình lôgarit cơ bản 
Toán 12 (Thầy Lương Đoàn Nhân BIÊN SOẠN) TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 
Lưu hành nội bộ 33
Ví dụ: Giải các bất phương trình: 2 1
5
a / log x 3 b / log x 0  
a) Đưa về cùng cơ số: 
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình: 
3
3 9 8 22
1 3 1
a. log (x 26) log x b. log (x 3) log (x 1) log (4x)
2 2 2
       
b) Đặt ẩn phụ: 
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình: 
  2 x3 3 x 4 1a. log x log x 2 0 b. log 2 log x 0 c.ln 3e 2 2x2        
c) Lôgarit hóa: 
Ví dụ 3: Giải bất phương trình: 
1
log x 4x 10.x 
d) Phương pháp đoán nghiệm: 
Ví dụ 4: Giải bất phương trình: 3log x 4 x  
5.1. Bài 1, 2 (tr 89, 90) và bài 8 (tr 90 SGK). 
5.2. Giải các bất phương trình sau: 
 a/ x
1
27
3
 b/ 
2x 5x 4
1
4
2
 
 
 
 
 c/ 
2 2x x 2
2 27
3 8
 
   
   
   
 d/ 2x 3 x 7 3x 16 2 .3   
 e/ x 2 x 3 x 4 x 1 x 22 2 2 5 5        
BÀI TẬP III 
2 Cách giải một số bất phương trình lôgarit đơn giản 
 0 1 
BẤT 
PHƯƠNG 
TRÌNH 
MŨ 
Nếu b > 0: 
logx aa b x b   
logx aa b x b   
logx aa b x b   
logx aa b x b   
Nếu b > 0: 
logx aa b x b   
logx aa b x b   
logx aa b x b   
logx aa b x b   
Nếu 0b  , bất phương trình ;x xa b a b  nghiệm đúng với mọi x. 
Nếu 0b  , bất phương trình ;x xa b a b  đều vô nghiệm. 
BẤT 
PHƯƠNG 
TRÌNH 
LÔGARIT 
log 0 ba x b x a    
log 0 ba x b x a    
log ba x b x a   
log ba x b x a   
log ba x b x a   
log ba x b x a   
log 0 ba x b x a    
log 0 ba x b x a    
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LÔGARIT 
Toán 12 (Thầy Lương Đoàn Nhân BIÊN SOẠN) TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 
 Lưu hành nội bộ 34
5.3. Giải các bất phương trình sau: 
 a/ x x 116 4 4  b/ x x 23 3 8 0    c/ 
2x 3
2x 1 12 21 2 0
2

     
 
 d/ 
x x 2
x x
2.3 2
1
3 2



 e/ x x x3.25 2.49 5.35  f/ x 1 x 2x 29 5.6 2   
 g/ 
6 x x
1 1
3 3

   
   
   
 h/ 
5.4. Giải các bất phương trình sau: 
 a/ 3log (2x 5) 0  b/ 1
2
log (5x 1) 5   c/ 1 3
2
log (log x) 0 
 d/ 2 2 2
3x 1
log x log 0
x 1

 

 e/ 3 1
3
2 log (4x 3) log (2x 3) 0    f/ 
5.5. Giải các bất phương trình sau: 
 a/ 23 3log x log 9x 4 0   b/ x x
2
log 2 log 2 0  
 c/ x 4x 16x3log 4 2 log 4 3log 4 0   d/  1 2 x 1
3
log log log 9 0    
5.6. Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình: 
 a/ 23log (x 6x 5) 2   b/ 
2 2x 2x 3 x 2x 32 3    
--------------------------------- 
Toán 12 (Thầy Lương Đoàn Nhân BIÊN SOẠN) TÀI LIỆU HỌC TẬP LỚP 12 
Lưu hành nội bộ 35
Bài tập 1. Tính giá trị biểu thức 3 9 9log 5 log 36 4log 7A 81 27 3   
Bài tập 2. Tính log13510 theo a và b, biết a = log23, b = log52. 
Bài tập 3. 
a. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 
x
y
ln x
 trên đoạn [2; e2]. 
b. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = ex + e1 – x trên đoạn [0; 2ln2]. 
Bài tập 4. Giải phương trình: 
x x
1 1
x x2 23 6 .2 .3
 
 
Bài tập 5. Giải phương trình:    
x x
2 3 2 3 14    
Bài tập 6. Giải phương trình: 34 22
1
2 log (x 1) log (x 3) log x 3
6
     
Bài tập 7. Giải bất phương trình: 1 2
2
1 2x
log log 0
1 x
  
  
Bài tập 8. Giải bất phương trình: 2 2log x log 33 x 6  
Bài tập 9. Giải hệ phương trình: 
yx
5
3 .2 1152
log (y x) 2
 

 
--------------------------------- 
 -6- ÔN TẬP CHƯƠNG II