Chuyên đề 4: Hệ phương trình đại số

 16
Chuyên đề 4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 
 TRỌNG TÂM KIẾN THỨC 
I. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn 
1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 
a. Dạng : 1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =⎧⎨ + =⎩
 (1) 
 Cách giải đã biết: Phép thế, phép cộng ... 
b. Giải và biện luận phương trình : Quy trình giải và biện luận 
 Bước 1: Tính các định thức : 
• 1221
22
11 baba
ba
ba
D −== (gọi là định thức của hệ) 
• 1221
22
11 bcbc
bc
bc
Dx −== (gọi là định thức của x) 
• 1221
22
11 caca
ca
ca
Dy −== (gọi là định thức của y) 
Bước 2: Biện luận 
• Nếu 0≠D thì hệ có nghiệm duy nhất 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
D
D
y
D
Dx
y
x
• Nếu D = 0 và 0≠xD hoặc 0≠yD thì hệ vô nghiệm 
• Nếu D = Dx = Dy = 0 thì hệ có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm 
Ví dụ1: Giải hệ phương trình: 
⎩⎨
⎧
=+
−=−
234
925
yx
yx
Ví dụ 2: Giải và biện luận hệ phương trình : 
⎩⎨
⎧
=+
+=+
2
1
myx
mymx
Ví dụ 3: Cho hệ phương trình : 
⎩⎨
⎧
=+
=+
1
32
myx
ymx
 Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa x >1 và y > 0 
 ( 2 m 0)− < < 
 17
II. Hệ phương trình bậc hai hai ẩn: 
1. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai hai ẩn: 
 Ví dụ : Giải các hệ: 
1) 
⎩⎨
⎧
=−+
=+
522
52
22 xyyx
yx
 2) 
2 2
x 2y 1
x 14y 1 4xy
− =⎧⎨ + − =⎩
 Cách giải: Giải bằng phép thế 
2. Hệ phương trình đối xứng : 
1. Hệ phương trình đối xứng loại I: 
a.Định nghĩa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau 
 thì hệ phương trình không thay đổi. 
b.Cách giải: 
Bước 1: Đặt x+y=S và xy=P với 2 4S P≥ ta đưa hệ về hệ mới chứa hai ẩn S,P. 
Bước 2: Giải hệ mới tìm S,P . Chọn S,P thoả mãn 2 4S P≥ . 
Bước 3: Với S,P tìm được thì x,y là nghiệm của phương trình : 
 2 0X SX P− + = ( định lý Viét đảo ). 
Chú ý: Do tính đối xứng, cho nên nếu (x0;y0) là nghiệm của hệ thì (y0;x0) cũng là nghiệm của hệ. 
Áp dụng: 
Ví du ï: Giải các hệ phương trình sau : 
 1) 
⎩⎨
⎧
=++
=++
2
422
yxxy
yxyx
 2) 
⎩⎨
⎧
=+
=++
30
11
22 xyyx
yxxy
 3) ⎪⎩
⎪⎨⎧ =+
=+
35
30
33
22
yx
xyyx
 4) ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=−+
=+
4
4
xyyx
yx
2. Hệ phương trình đối xứng loại II: 
a.Định nghĩa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau 
 thì phương trình nầy trở thành phương trình kia của hệ. 
b. Cách giải: 
• Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích số. 
• Kết hợp một phương trình tích số với một phương trình của hệ để suy ra nghiệm của hệ . 
Áp dụng: 
Ví dụ: Giải các phương trình sau: 
 1) 
2
2
x 3x 2y
y 3y 2x
⎧ = +⎪⎪⎪⎨⎪ = +⎪⎪⎩
 2) 
2
2
3 2x y
x
3 2y x
y
⎧⎪⎪ = +⎪⎪⎪⎨⎪⎪ = +⎪⎪⎪⎩
 18
III. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai: 
 a. Dạng : 
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2
a x b xy c y d
a x b xy c y d
⎧ + + =⎪⎨ + + =⎪⎩
 b. Cách giải: 
Đặt ẩn phụ x t
y
= hoặc y t
x
= . Giả sử ta chọn cách đặt x t
y
= . 
 Khi đó ta có thể tiến hành cách giải như sau: 
Bước 1: Kiểm tra xem (x,0) có phải là nghiệm của hệ hay không ? 
Bước 2: Với y≠ 0 ta đặt x t x ty
y
= ⇔ = . Thay vào hệ ta được hệ mới chứa 2 ẩn t,y .Từ 2 
phương trình ta khử y để được 1 phương trình chứa t . 
Bước 3: Giải phương trình tìm t rồi suy ra x,y. 
Áp dụng: 
 Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: 
2 2
2 2
3 2 11
2 5 25
x xy y
x xy y
⎧ + + =⎪⎨ + + =⎪⎩
IV. Các hệ phương trình khác: 
 Ta có thể sử dụng các phương pháp sau: 
1. Sử dụng phép thế: 
 Ví dụ: Giải hệ phương trình: 2 2
2x y 5
4x y 17
⎧ + =⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎪⎩
2. Sử dụng phép cộng: 
 Ví dụ: Giải hệ phương trình : 
2 2
2 2
x y 10x 0
x y 4x 2y 20 0
⎧ + − =⎪⎨ + + − − =⎪⎩
3. Đặt ẩn phụ: 
 Ví dụ : Giải các hệ phương trình : 
 1) 
⎩⎨
⎧
=++−+
−=+−
6
3
22 xyyxyx
yxxy
 2) 
⎩⎨
⎧
=−−
=−−+
36)1()1(
1222
yyxx
yxyx
4. Biến đổi về dạng tích số: 
 Ví dụ: Giải hệ phương trình: ⎪⎩
⎪⎨⎧ +=+
+=+
)(322
22
yxyx
yyxx
 19
CÁC BÀI TỐN RÈN LUYỆN 
 Bài 1: Giải hệ phương trình: 
( )( )2 2
2
x y 1 x y 1 3x 4x 1 (1)
xy x 1 x (2)
⎧ + + + = − +⎪⎪⎪⎨⎪ + + =⎪⎪⎩
Bài giải: 
Do x 0= khơng thỏa mãn pt (2) nên 
 ( ) ( )
2
2 x 12 y 1 x x 1 y 1
x
−⇔ + = − ⇔ + = (3) 
Thay (3) vào pt (1) ta được pt 
 ( )( ) ( )( )
( )( )
2 2
2 2
2 2
2
x 1 x 1x x 3x 4x 1
x x
x 1 2x 1 x 1 3x 1
x 0 (loai)
x x 1 2x 2x 4 0 x 1
x 2
⎛ ⎞⎛ ⎞− −⎟ ⎟⎜ ⎜ + = − +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠
⇔ − − = − −
⎡ =⎢⎢⇔ − + − = ⇔ =⎢⎢⎢ = −⎢⎣
Vậy hệ cĩ hai nghiệm là : 
x 2x 1
5y 1 y
2
⎧ = −⎪⎧ = ⎪⎪ ⎪⎪ ∨⎨ ⎨⎪ ⎪= − = −⎪ ⎪⎩ ⎪⎩
Bài 2: Giải hệ phương trình: 
2 2xy x y x 2y (1) 
x 2y y x 1 2x 2y (2) 
⎧ + + = −⎪⎪⎪⎨⎪ − − = −⎪⎪⎩
Bài giải: 
Điều kiện: 
x 1
y 0
⎧ ≥⎪⎪⎨ ≥⎪⎪⎩
Biến đổi pt (1): 
( ) ( ) ( )
( )( )
(1) x x y 2y x y x y 0
 x y x 2y 1 0
 x 2y 1 0 (do x y 0)
 x 2y 1 (3)
⇔ + − + − + =
⇔ + − − =
⇔ − − = + ≠
⇔ = +
Thay (3) vào pt (2) ta được pt: 
 20
( ) ( )
( ) ( )
2y 1 2y y 2y 2 2y 1 2y
y 1 2y 2 y 1
2y 2 (do y 1 0)
y 2
+ − = + −
⇔ + = +
⇔ = + ≠
⇔ =
Vậy hệ cĩ một nghiệm là: 
x 5
y 2
=⎧⎪⎪⎨ =⎪⎪⎩
Bài 3: Giải hệ phương trình: 
( )
( )( )
2
2
x 1 y y x 4y (1)
x 1 y x 2 y (2)
⎧ + + + =⎪⎪⎪⎨⎪ + + − =⎪⎪⎩
 (*) 
Bài giải: 
Do y 0= khơng thỏa mãn hệ nên: 
 ( )
( )
2
2
x 1 y x 4
y
*
x 1 y x 2 1
y
⎧ +⎪⎪ + + =⎪⎪⎪⇔ ⎨⎛ ⎞⎪ +⎪ ⎟⎜ + − =⎟⎪⎜ ⎟⎪⎜ ⎟⎝ ⎠⎪⎪⎩
Đặt 
2x 1u
y
+= và v y x 2= + − thì hệ trở thành: 
u v 2
uv 1
⎧ + =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩
Giải hệ trên ta được: 
u 1
v 1
⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩
, từ đĩ ta cĩ hệ: 
2x 1 y
x y 3
⎧ + =⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎪⎩
Giải hệ trên ta được: 
x 1 x 2
y 5y 2
⎧ = ⎧ = −⎪ ⎪⎪ ⎪∨⎨ ⎨ =⎪ ⎪=⎪ ⎪⎩⎩
Vậy hệ cĩ hai nghiệm là: 
x 1 x 2
y 5y 2
⎧ = ⎧ = −⎪ ⎪⎪ ⎪∨⎨ ⎨ =⎪ ⎪=⎪ ⎪⎩⎩
 21
CÁC BÀI TỐN TỰ LUYỆN 
Giải các hệ phương trình: 
 1) 
( ) ( )2 2 2
34xy 4 x y 7
x y
12x 3
x y
⎧⎪⎪ + + + =⎪ +⎪⎪⎨⎪⎪ + =⎪⎪ +⎪⎩
 Kết quả: 
x 1
y 0
⎧ =⎪⎪⎨ =⎪⎪⎩
 2) 
( ) ( )2 23 3
3 3
2 x y 3 x y xy
x y 6
⎧⎪ + = +⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎪⎩
 Kết quả: 
x 8 x 64
y 64 y 8
⎧ ⎧= =⎪ ⎪⎪ ⎪∨⎨ ⎨⎪ ⎪= =⎪ ⎪⎩ ⎩
 3) 
x y xy 3
x 1 y 1 4
⎧ + − =⎪⎪⎪⎨⎪ + + + =⎪⎪⎩
 Kết quả: 
x 3
y 3
⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩
------------------------------Hết-----------------------------