Chuyên đề 3 Về lũy thừa - Mũ - logarit

Chuyên đề 3 lũy thừa - mũ - logarit
A. lũy thừa
1. Định nghĩa lũy thừa
Số mũ 
Cơ số a
Lũy thừa a
(n thừa số a)
 = 0
 = - n ()
 ()
a > 0
 ()
 ()
a > 0
2. Tính chất của lũy thừa
Với mọi a > 0, b > 0 ta có
Với a > 1 thì 	0 < a < 1 thì 
Với 0 0	am > bm m < 0
Chú ý: 
Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0
Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương
3. Định nghĩa và các tính chất của căn thức
Căn bậc n của a là số b sao cho bn = a
Với a, b 0, ta có
	Nếu thì (a > 0)	Đặc biệt 
Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì 
Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì 
Chú ý:
Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu 
Khi n chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là 2 số đối nhau
4. Bài tập áp dụng
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau
Bài 2. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ
	 ()	
Bài 3. Đơn giản các biểu thức sau
Bài 4. Đơn giản các biểu thức
Bài 5. So sánh các cặp số sau
	a. và 	b. và 	c. và 
	d. 5300 và 8200	e. (0,001)-0,3 và 	f. và 
	g. và 	h. và 	i. 0,02-10 và 5011
	k. và 	l. và 	m. và 
Bài 6. So sánh hai số m, n nếu
	a. 3,2m < 3,2n 	b. 	c. 
	d. 	e. 	f. 
Bài 7. Có thể kết luận gì về số a nếu
	a. 	b. (2a + 1)-3 > (2a + 1)-1	c. 	
	d. 	e. 	f. 
	g. 	h. 	i. 
Bài 8. Giải các bất phương trình sau
	a. 0,1x > 100	b. 	c. 
	d. 	e. 	f. 
	g. 	h. 	i. 
B. logarit
1. Định nghĩa
Với a > 0, , b > 0 ta có: logab = 
Chú ý: Biểu thức logab có nghĩa khi 
Logarit thập phân 	lgb = logb = log10b
Logarit tự nhiên (nêpe)	lnb = logeb (Với e = )
2. Tính chất
loga1 = 0	logaa = 1	logaax = x	 (b > 0)
Cho a > 0, và x, y > 0 và . Khi đó
loga(xy) = logax + logay
	,	 	
, 	,	 
Chú ý	
Giả sử cho 2 số dương x và y
+ Nếu a > 1 logax > logay 
+ Nếu 0 logay 
3. Bài tập áp dụng	
Bài 1. Thực hiện các phép tính sau
a. 	b. 	c. 
d. 	e. 	f. 
g. log36 log89 log62	h. 	i. 
k. 	l. 	m. 
n. 	o. 	p. 
q. lg(tan10) + lg(tan20) ++ lg(tan890)
r. 
Bài 2. Cho a > 0, . 
Chứng minh loga(a + 1) > loga + 1(a + 2)
Bài 3. So sánh các cặp số sau
	a. và 	b. và 	
	c. và 	d. và 
	e. và 	f. và 
	g. log710 và log1113	h. log23 và log34
	i. log910 và log1011	k. log0,20,3 và 1
Bài 4. Tính giá trị của biểu thức logarit theo biểu thức đã cho
	a. Cho log214 = a. Tính log4932 theo a
	b. Cho log153 = a. Tính log2515 theo a
	c. Cho log1227 = a. Tính log616 theo a
	d. Biết log368 = a. Tính log369
	e. Cho log3 = 0,477. Tính log9000; log0,000027; 
	f. Cho log72 = a. Tính theo a
Bài 5. Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho
	a. Cho log257 = a; log25 = b. Tính 
	b. Tính theo log315 = a và log310 = b
	c. Cho log303 = a; log305 = b. Tính log301350 theo a và b
	d. Cho log320 = a; log3 = b. Tính log530 theo a và b
	e. Tính log12548 qua a = log615 và b = log1224
	f. Biết lg3 = m; log5 = n. Tính log1530
	g. Cho log147 = a; log145 = b. Tính log3528 theo a và b
	h. Cho log23 = a; log35 = b; log72 = c. Tính log14063 theo a; b; c
	i. Cho log275 = a; log87 = b; log23 = c. Tính log635 theo a; b; c
Bài 6. Chứng minh các đẳng thức sau (Với giả thiết các biểu thức đã cho có nghĩa
	a. 	b. 
	c. 	d. log186 + log216 = 2log816.log26
	e. Cho a2 + b2 = 7ab, a; b > 0. Chứng minh rằng 
	f. Cho a2 + 4b2 = 12ab, a; b > 0. Chứng minh rằng 
	g. Cho a, b > 0 thỏa mãn 4a2 + 9b2 = 4ab và số c > 0; . Chứng minh rằng
	h. với a2 + b2 = c2
C. Hàm số lũy thừa - Hàm số mũ - Hàm số logarit
1. Hàm số lũy thừa
	a. Hàm số lũy thừa có dạng ( là hằng số)
Số mũ 
Hàm số 
Tập xác định D
= n (n nguyên dương)
y = xn
D = R
= n (n nguyên âm hoặc bằng 0
y = xn
 là số thực không nguyên
b. Đạo hàm của hàm số lũy thừa 
	;	
c. Chú ý: 
Hàm số không đồng nhất với hàn số y = 
Đồ thị luôn đi qua điểm A(1; 1) với mọi 
Khi > 0, hàm số đồng biến và đồ thị của nó không có tiệm cận
Khi < 0, hàm số nghịch biến và có 2 tiệm cận là 2 trục Ox và Oy
Nếu = 1 thì đồ thị hàm số là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất
Nếu = 0 thì đồ thị là đường thẳng y = 1 song song với Ox
2. Hàm số mũ
y = ax (a > 0; ) 
TXĐ: D = R
Tập giỏ trị T = 
Khi a > 1, hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1, hàm số nghịch biến
Bảng biến thiờn
 a > 1	 0 < a < 1
x
-Ơ 0 +Ơ
x
-Ơ 0 +Ơ
y
 +Ơ
 1
 -Ơ
y
+Ơ
 1 
 -Ơ
Đồ thị
Đồ thị hàm số nhận trục Ox làm tiệm cận ngang vfa luụn đi qu 2 diểm cố định là 
A(0; 1) và B(1; a)
3. Hàm số lgarit
y = logax, ĐK:
Tập xỏc định: D = (0;+Ơ)
Tập giỏ trị T = R
Khi a > 1, hàm số đồng biến, khi 0 < a < 1, hàm số nghich biến
Bảng biến thiờn
 a > 1	 0 < a < 1
x
0 1 +Ơ
x
0 0 +Ơ
y
+Ơ
 0
 -Ơ
y
 +Ơ
 1
 -Ơ
Đồ thị
Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm tiệm cận ngang và luụn đi qua 2 điểm cố định là 
A(1; 0) và B(a; 1)
4. Giới hạn đặc biệt
5. Đạo hàm
	1. 	2. 
	3. 	4. 
	5. 	6. 
	7. 	8. ư
	9. 	10. 
	11. 	12. 
6. Bài tập áp dụng
Bài 1: Tính các giới hạn sau
Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau
	a. 	b. 	c. 
	d. 	e. 	f. 
	g. 	h. 	i. 
Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau
	a. 	b. 	c. y = e-2x.sinx
	d. 	e. 	f. 
	g. y = 2x.ecosx	h. 	i. y = cosx.ecotx
Bài 4. Tớnh đạo hàm của cỏc hàm số sau
	a. y = ln(2x2 + x + 3)	b. y = log2 (cosx)	c. y = ex.ln(cosx)
	d. y = (2x - 1)ln(3x2 + x)	e. 	f. y = log3(cosx)
	g. 	h. 	i. 
Bài 5. Chứng minh hàm số đó cho thoả món hệ thức được chỉ ra
	a. Cho . 	CMR 	xy' = (1 - x2)y	
	b. Cho y = (x + 1)ex. 	CMR 	y' - y = ex
	c. Cho y = e4x + 2e-x. 	CMR	y''' - 13y' - 12y = 0
	d. Cho y = a.e-x + b.e-2x. 	CMR	y'' + 3y' + 2y = 0
	e. Cho y = e-x.sinx. 	CMR	y'' + 2y' + 2y = 0
	f. Cho y = e-x.cosx. 	CMR	y(4) + 4y = 0
	g. Cho y = esinx. 	CMR	y'cosx - ysinx - y'' = 0
	h. Cho y = e2x.sin5x. 	CMR	y'' - 4y' + 29y = 0
	i. Cho . 	CMR	y'' - 2y' + y = ex
	k. Cho y = e4x + 2e-x. 	CMR	y''' - 13y' -12y = 0
	l. Cho y = (x2 + 1)(ex + 2010). 	CMR	
	m. Cho y = . CMR	2y = xy' + lny'
	n. Cho . 	CMR	xy' + 1 = ey
	o. Cho .	CMR	xy' = 
	p. Cho y = sin(lnx) + cos(lnx). 	CMR	y + xy' + x2y'' = 0
	q. Cho . 	CMR	2x2y' = xy' + lny'	
Bài 6. Giải phương trỡnh, BPT sau với hàm số đó chỉ ra
	a. f(x) = ex(x2 + 3x + 1)	;	f '(x) = 2f(x)
	b. f(x) = x3lnx	;	
	c. f(x) = e2x - 1 + 2.e1 - 2x + 7x - 5	;	f '(x) = 0
	d. f(x) = x + ln(x - 5) ; g(x) = ln(x - 1)	;	f'(x) > g'(x)
	e. f(x) = ; g(x) = 5x + 4xln5 	;	f'(x) < g'(x)
	f. 	;	
g. Cho hàm số 	; 	
	h. Cho hàm số 
a. Giải phương trỡnh .
b. Tỡm giỏ trị lớn nhất và giỏ trị nhỏ nhất của .
	i. Cho hàm số . CMR 
	k. Cho hai hàm số: ; 
a. Tớnh , .
b. Chứng minh rằng: .
	l. Cho hàm số 
Chứng minh rằng: 
D. phương trình mũ
1. Phương trình mũ cơ bản ax = b 
	a. Phương pháp giải
	Nếu thì phương trình vô nghiệm vì ax > 0 
	Nếu b > 0 thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất x = logab
	b. Ghi nhớ	
	c. Ví dụ
	GPT:	a. 2x = 5	b. 3x = 27	c. 4x = 17	d. 5x = 8
2. Các phương pháp giải phuơng trình mũ
Phương pháp 1: Biến đổi, quy về cùng cơ số
Dạng 1: GPT ax = b
	Nếu thì 
	Nếu thì x = logab
Dạng 2: Với a > 0; a1	GPT 	
Dạng 3: Với a > 0; a1	GPT 	af(x) = bf(x) 
Chú ý: Trong trường hợp cơ số có chứa ẩn số thì cơ số có thêm trường hợp bằng 1 và với trường hợp còn lại thì thêm điều kiện cơ số dương.
Bài tập áp dụng
Bài 1. Giải các phương trình
1. 	2. 
3. 	4. 2x + 2x -1 + 2x – 2 = 3x – 3x – 1 + 3x - 2	 
5. 	6. 
7. 	8. 
9. 	10. 
11. 	12. 
Bài 2. Giải các phương trình sau:
	a. 	b. 	c. 	d. 	e. 	f. 2 = 1	
	g. 	h. 	i. 	
	k. 	l. 	m. 	
Bài 3. Giải các phương trình sau
1. 	2. 	3. 
4. 	5. 	6. 5x.2x = 0,001
7. 	8. 	9. 2x + 2.3x + 1 = 72
Bài 4. Giải các phương trình sau
1. 	2. 	3. 52x + 1 - 3. 52x -1 = 110
4. 	5. 	6. 
7. 	8. 13.	9. 34x+8 - 4.32x+5 + 27 = 0
10. 2x + 2x + 2 = 20	11. 3x + 3x + 1 = 12	12. 5x + 5x - 1 = 30
13. 4x-1 + 4x + 4x - 1 = 84 	14. 4x + 1 + 22x + 1 = 48	15. 52x + 1 -3.52x - 1 = 550
Bài 5. Giải các phương trình sau
1. 	2. 	3. 
4. 	5. 	6. 
7. 	8. 	9. 
10. 	11. 	12. . =
13. 	14. (1,25)1 – x = 	15. 
16. 	17. 	18. 
19. 	20. 	21. 
22. 	23. 	24. 
Bài 6. Giải các phương trình sau
1. 	2. 	3. 
4. 	5. 	6. 
Phương pháp 2: Logarit hoá
Dạng 1: 	
Dạng 2:	
Bài tập áp dụng
Bài 1. Giải các phương trình sau
	a) 	b) 	c) 	 
	d) 	e) 	f) 	
	g) 	h) 	i) 
	k) 	l) 	m) 	
Phương pháp 3: Đặt ẩn số phụ
	Phương pháp chung:	Đặt ẩn số phụ	
	Dạng 1: GPT 	
	+ Tìm điều kiện tồn tại (nếu có)
	+ Đặt t = ax (af(x)) với t > 0
	+ GPT theo biến t 
	+ GPT theo biến x
	Chú ý: Các bài toán dạng 1 có thể mở rông cho các phương trình có bậc lớn hơn 2
	Bài tập áp dụng
	Bài 1. Giải các phương trình sau
1. 4x + 2x + 1 - 24 = 0	2. 	3. 	 	4. 	5. 	6. 
7. 	8. 	9. 
10. 	11. 42x - 24.4x + 128 = 0 	12. 
13. 4x + 2x + 1 - 8 = 0	14. 4x + 1 - 6.2x + 1 + 8 = 0	15. 49x + 7x + 1 - 8 = 0
16. 	17. 
	Bài 2. Giải các phương trình sau
1. 	2. 
3. 	4. 
5. 	6. 
	7. 	8. 
9. 	10. 4cos2x + = 3
	Dạng 2: GPT	
	+ Tìm điều kiện tồn tại (nếu có)
	+ Chia 2 vế cho () hoặc ()
	+ Đặt 
	+ GPT theo t
	+ GPT theo x và kết luận
	Bài tập áp dụng
	Bài 1. Giải các phương trình sau
	1. 4x - 6.2x + 1 + 32 = 0	2. 6.9x - 13.6x + 6.4x = 0
	3. 2.4x + 6x = 9x	4. 2.22x - 9.14x + 7.72x = 0
	5. 25x + 10x = 22x + 1	6. 3.16x + 2.81x = 5.36x
	7. 64.9x - 84.12x + 27.16x = 0	8. 
	9. 	10. 
	11. 27x + 12x = 2.8x	12. 125x + 50x = 23x + 1
	13. 8x + 18x - 2.27x = 0	14. 3.8x + 4.12x - 18x - 2.27x = 0
	15. 
	Dạng 3: GPT	 (a > 0; a)
	+ Tìm điều kiện tồn tại (nếu có)
	+ Đặt af(x) = t (t > 0) , suy ra a-f(x) = 1/t
	+ GPT theo t
	+ GPT theo x và kết luận
	Bài tập áp dụng
	Bài 1. Giải các phương trình sau
	1. 	2. 3.9x - 2.9-x + 5 = 0
	3. 	4. 	
	Dạng 4: GPT	m.af(x) + mbf(x) = p với a.b = 1 (a, b > 0; a, b)
	+ Tìm điều kiện tồn tại (nếu có)
	+ Đặt t = af(x) suy ra bf(x) = 
	+ GPT theo t
	+ GPT theo x và kết luận
	Bài tập áp dụng
	Bài 1. Giải các phương trình sau
	1. 	2. 
	3. 	4. 
	5. 	6. 
	7. 	8. 
	9. 	10. 
	11. 	12. 
Phương pháp 4: Biến đổi đưa về phương trình tích 
f(x).g(x) = 0 
	Bài tập áp dụng
	Bài 1. Giải các phương trình sau
	1. 8.3x + 3.2x = 24 + 6x	2. 12.3x + 3.15x - 5x + 1 = 20
	3. 2x + 3x = 1 + 6x	4. 8 - x.2x + 23 - x - x = 0
	5. 	6. 
	7. 	8. = 0
	9. 	10. 
	11. 4sinx - 21 + sinx cos(xy) + 	12. 
	Phương phỏp 5: Phương phỏp đối lập
	Xét phương trình f(x) = g(x) (1)
	Nếu ta chứng minh được hoặc thì (1) 
	Bài tập áp dụng
	Bài 1. Giải các phương trình sau
	1. 2x = cos x4 với x 	2. 
	3. 	4. 
	5. 	6. 
	Phương phỏp 6: Tớnh đơn điệu của hàm số mũ
	+ Nhẩm nghiệm x0 của phương trình (Thường là các nghiệm nguyên)
	+ Sử dụng tính đồng biến (nghịch biến) chứng minh x0 duy nhất
	Bài tập áp dụng
	Bài 1. Giải các phương trình sau
	1. 2x + 3x = 5x	2. 2x + 3x + 5x = 10x	3. 2x = 3 – x 
	4. 3x = 5 – 2x 	5. 	6. 
	7. 	8. 52x + 1 – 53x – x – 1 = 0	9. 3x + 8x = 4x + 7x
	Phương phỏp 7: Đổi vai trũ của ẩn
	+ Tìm điều kiện tồn tại (nếu có)
	+ Quan sát chọn thích hợp t = ax (af(x)) (a > 0; a) làm ẩn sô
	+ GPT theo t
	+ GPT theo x và kết luận
	Bài tập áp dụng
	Bài 1. Giải các phương trình sau
	1. 25x - 2(3 - x).5x + 2x - 7 = 0	2. 2.25x - 2 + (3x - 10).5x - 2 + 3 - x = 0
	3. 3.4x + (3x - 10).2x + 3 - x = 0	4. 9x + 2(x - 2)3x + 2x - 5 = 0
	5. 3.25x - 2 + (3x - 10).5x - 2 + 3 - x = 0	6. (x + 4).9x – (x + 5).3x + 1 = 0
	Phương phỏp 8: Phương phỏp lượng giỏc húa
	+ Chọn thích hợp sint (cost) = ax (af(x)) (a > 0; a)
	+ GPT theo t
	+ GPT theo x và kết luận 
	Bài tập áp dụng
	Bài 1. Giải các phương trình sau
	1. 	2. 
Một số bài toán chứa tham số
	Bài 1. Tìm m để các phương trình sau có nghệm
	1. 9x + 3x + m = 0	2. 9x + m.3x – 1 = 0
	3. 4x – 2x + 1 = m	4. 2x + (m + 1)2-x + m = 0
	5. 16x – (m – 1)22x + m – 1 = 0	6. 
	7. 	8. 
	9. 	10. 
	Bài 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm duy nhất
	1. m.2x + 2-x – 5 = 0	2. m.16x + 2.81x = 5.36x
	3. 	4. 
	5. 4x - 2x + 3 + 3 = m	6. 9x + m.3x + 1 = 0
	Bài 3. Tìm m để các phương trình sau có hai nghiệm tráI dấu
	1. (m + 1).4x + (3m - 2).2x + 1 - 3m + 1 = 0
	2. 49x + (m - 1).7x + m - 2m2 = 0	3. 9x + 3(m - 1).3x – 5m + 2 = 0
	4. (m + 3).16x + (2m - 1).4x + m + 1 = 0
	5. 4x – 2(m + 1).2x + 3m – 8 = 0	6. 4x – 2x + 6 = m
	Bài 4. Tìm m để các phương trình sau
	1. m.16x + 2.81x = 5.36x có 2 nghiệm dương phân biệt
	2. 16x – m.8x + (2m - 1).4x = m.2x có 3 nghiệm phân biệt
	3. có 3 nghiệm phân biệt
	4. có 3 nghiệm phân biệt
E. phương trình logarit
1. Phương trình logarit có bản
	Với a > 0; a 1: 	logax = b x = ab
	Chú ý: 	logaf(x) = b f(x) = ab
	+ Khi giải phương trình logarit cần chú ý đến điều kiện để biểu thức có nghĩa
	+ Với a, b, c > 0 và a, b, c 1 ta có	
2. Một số phương pháp giải phương trình logarit
Phương pháp 1: Dùng định nghĩa logarit đưa về dạng cơ bản
Bài tập luyện tập
Bài 1. Giải các phương trình sau
	1. 	2. logx + log(x - 1) = 1
	3. log2(x - 3) + log2(x - 1) = 3	4. 
Phương pháp 2: Biến đổi quy về cùng cơ số
	Với a > 0; a 1	logaf(x) = logag(x) 
Bài tập luyện tập
Bài 1. Giải các phương trình sau
	1. ln(x + 1) + ln(x + 3) = ln(x + 7)	2. 
	3.