Chuyên đề 2: Phương trình và bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối

 11
Chuyên đề 2 
 PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 
CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 
TRỌNG TÂM KIẾN THỨC 
I. Định nghĩa và các tính chất cơ bản : 
 1. Định nghĩa: 
A nếu A 0
 nếu A < 0
A
A
≥⎧= ⎨−⎩
2. Tính chất : 
 2 20 , A A A≥ = 
Lưu ý: 2A A= 
II. Các định lý cơ bản : 
a) Định lý 1 : Với A ≥ 0 và B ≥ 0 thì A = B ⇔ A2 = B2 
 b) Định lý 2 : Với A≥ 0 và B≥ 0 thì A > B ⇔ A2 > B2 
III. Các phương trình và bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối cơ bản & cách giải : 
 Phương pháp chung để giải loại này là KHỬ DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI bằng định nghĩa hoặc 
 nâng lũy thừa. 
 * Dạng 1 : 22 BABA =⇔= , BABA ±=⇔= 
 * Dạng 2 : 
⎩⎨
⎧
=
≥⇔= 22
0
BA
B
BA , ⎩⎨
⎧
±=
≥⇔=
BA
B
BA
0
 , 
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎩⎨
⎧
=−
<
⎩⎨
⎧
=
≥
⇔=
BA
A
BA
A
BA
0
0
 * Dạng 4: 
2 2
B 0
A B
A B
>⎧< ⇔ ⎨ <⎩
 , 
B 0
A B
B A B
>⎧< ⇔ ⎨− < <⎩
, 
⎢⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎩⎨
⎧
<−
<
⎩⎨
⎧
<
≥
⇔<
BA
A
BA
A
BA
0
0
 12
 * Dạng 5: 
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎩⎨
⎧
>
≥
<
⇔>
22
0
0
BA
B
B
BA , 
B 0
A B B 0
A B A B
 ⇔ ≥⎧⎢⎨⎢ ⎩⎣
IV. Các cách giải phương trình chứa giá trị tuyệt đối thường sử dụng : 
 * Phương pháp 1 : Biến đổi về dạng cơ bản 
 Ví dụ : Giải các phương trình sau : 
 1) xxxx 22 22 +=−− 2) 3342 +=+− xxx 3) 2
1
42
2
=
+
+
x
x
Bài giải: 
1) Ta cĩ: 
2 2
2 2
2 2
2
x x 2 x 2x
x x 2 x 2x
x x 2 x 2x
22 xx 33 
1 172x x 2 0 x
4
⎡ − − = +⎢− − = + ⇔ ⎢ − − = − −⎢⎣
⎡⎡ = −⎢= −⎢ ⎢⎢⇔ ⇔ ⎢⎢ − ±⎢+ − =⎢ =⎢⎣ ⎢⎣
 Vậy tập nghiệm của pt(1) là 2 1 17S ;
3 4
⎧ ⎫⎪ ⎪− ±⎪ ⎪= −⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
2) Ta cĩ: 
22
2
2
2
x 3 0
x 4x 3 x 3x 4x 3 x 3
x 4x 3 x 3
x 3 x 3
x 0
x 0 x 5x 5x 0 
x 5
VNx 3x 6 0
⎧ + ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎡ − + = +− + = + ⇔ ⎨⎢⎪⎢⎪⎪ − + = − −⎢⎪⎣⎪⎩
⎧ ≥− ⎧ ≥−⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ =⎡⎪⎪ ⎪⎪⎡ ⎢= ∨ =⎡− =⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨⎢ ⎢⎢ =⎪ ⎪⎢ ⎢⎪ ⎪⎢ ⎣⎪ ⎪− + =⎢ ⎢⎪ ⎪⎣⎪⎩⎣⎪⎩
 Vậy tập nghiệm của pt(2) là { }S 0;5= 
3) Ta cĩ: 
 13
2
2
2 2
2x 4 2 x 2 x 1
x 1
 x 4x 4 x 1
3 x
4
+ = ⇔ + = ++
⇔ + + = +
⇔ =−
 Vậy tập nghiệm của pt(3) là { }3S 4= − 
 * Phương pháp 2 : Sử dụng phương pháp chia khoảng 
 Ví dụ : Giải phương trình sau : ( )x 1 2x 1 3− − = (1) 
Bài giải: 
Trường hợp 1: Với x 1≥ thì 
( ) ( )( )
2
x 1 2x 1 3 x 1 2x 1 3
 2x 3x 2 0
x 2
 1x (loai)
2
− − = ⇔ − − =
⇔ − − =
⎡ =⎢⎢⇔ ⎢ = −⎢⎣
Trường hợp 2: Với x 1< thì 
( ) ( )( )
2
x 1 2x 1 3 1 x 2x 1 3
 2x 3x 4 0 (VN)
− − = ⇔ − − =
⇔ − + = 
Vậy tập nghiệm của pt(1) là { }S 2= 
V. Các cách giải bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối thường sử dụng : 
 * Phương pháp 1 : Biến đổi về dạng cơ bản 
 Ví dụ : Giải bất phương trình sau : 652 <− xx (1) 
 14
 Bài giải: 
 Ta cĩ: 
2
2 2
2
x 5x 6 0 1 x 6 1 x 2
x 5x 6 6 x 5x 6
x 2 x 3 3 x 6x 5x 6 0
⎧ ⎧ ⎡− − ⎪ ⎪ ⎢⎩ ⎣⎪⎩
 Vậy tập nghiệm của bpt(1) là ( ) ( )S 1;2 3;6= − ∪ 
* Phương pháp 2 : Sử dụng phương pháp chia khoảng 
 Ví dụ : Giải bất phương trình sau : 2 2x 2x x 4 0− + − > (1) 
Bài giải: 
Bảng xét dấu: 
x −∞ 0 2 +∞
2x 2x− − 0 + 0 − 
Xét từng khoảng 
1) Với x 0 x 2 thì 
 2 2 2 2x 2x x 4 0 x 2x x 4 0 x 2− + − > ⇔ − + + − > ⇔ > 
 So với điều kiện đang xét ta suy ra nghiệm của bpt là x 2> 
2) Với 0 x 2≤ ≤ thì 
 2 2 2 2 2
x 1
x 2x x 4 0 x 2x x 4 0 x x 2 0
x 2
⎡ ⇔ − + − > ⇔ − − > ⇔ ⎢ >⎢⎣
 So với điều kiện đang xét ta suy ra khơng cĩ giá trị nào của x thỏa mãn điều kiện 
. Vậy tập nghiệm của pt(1) là ( )S 2;= +∞ 
- 
 15
CÁC BÀI TỐN RÈN LUYỆN 
Giải các phương trình sau: 
 1) x 2 2x 1 x 3− + − = + 
 Kết quả: x 3 x 0= ∨ = 
 2) ( )
2x 1 x 1 2
x x 2
− + + =− 
 Kết quả: x 5= 
 3) ( )( )4 x 2 4 x x 6+ = − + 
 Kết quả: 
x 2
x 1 33
⎡ =⎢⎢ = −⎢⎣
------------------------------------Hết---------------------------------