Chuyên đề 2: Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình đại số

Chuyªn ®Ò 2: Ph­¬ng tr×nh, hÖ ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh Vµ hÖ bÊt ph­¬ng tr×nh ®¹i sè
§1. HÖ ph­¬ng tr×nh ph­¬ng tr×nh ®¹i sè
Mét sè d¹ng hÖ ph­¬ng tr×nh th­êng gÆp
HÖ ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt: C¸ch tÝnh ®Þnh thøc
HÖ ph­¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i 1: HÖ kh«ng thay ®æi khi ta thay x bëi y vµ ng­îc l¹i
HÖ ph­¬ng tr×nh ®èi xøng lo¹i 2: NÕu ®æi vai trß cña x vµ y th× ph­¬ng tr×nh nµy trë thµnh ph­¬ng tr×nh kia vµ ng­îc l¹i
HÖ ph­¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc 2: XÐt 2 tr­êng hîp, sau ®ã ®Æt x = ty
Mét sè hÖ ph­¬ng tr×nh kh¸c
C¸c vÝ dô
VÝ dô 1. Mét sè hÖ d¹ng c¬ b¶n 
Cho hÖ ph­¬ng tr×nh 
Gi¶i hÖ khi m = 12 
T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm
Cho hÖ ph­¬ng tr×nh 
T×m a ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh cã ®óng 2 nghiÖm ph©n biÖt
Cho hÖ ph­¬ng tr×nh T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm 
Cho hÖ ph­¬ng tr×nh 
Gi¶i hÖ khi a = 2
T×m GTNN cña F = xy + 2(x + y) biÕt (x, y) lµ nghiÖm cña hÖ 
 Cho hÖ ph­¬ng tr×nh T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 
Gi¶i hÖ khi m = 6
T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm 
VÝ dô 2. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: (KB 2003) 
 HD: TH1 x = y suy ra x = y = 1 
TH2 chó ‏‎‏ý:‏‎ x>0, y> 0 suy ra v« nghiÖm 
VÝ dô 3. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 
 HD: Nhãm nh©n tö chung sau ®ã ®Æt 	S = 2x + y vµ P = 2x. y Þ §s: (1, 3) vµ (3/2, 2) 
VÝ dô 4. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 
 HD: tõ (2) : - 1 ≤ x, y ≤ 1 hµm sè: trªn [-1;1] ¸p dông vµo ph­¬ng tr×nh (1) 
VÝ dô 5. CMR hÖ ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm duy nhÊt: 
 HD: ; xÐt, lËp BBT suy ra KQ
VÝ dô 6. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 
 HD B×nh ph­¬ng 2 vÕ, ®ãi xøng lo¹i 2
VÝ dô 7. x¸c ®Þnh a ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt
 HD sö dông §K cÇn vµ ®ñ Þ a = 8	
VÝ dô 8. Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh: 
 HD: Rót ra ; C« si ; theo (1)Þ suy ra x, y
VÝ dô 9. (KB 2002) HD: tõ (1) ®Æt c¨n nhá lµm nh©n tö chung Þ (1;1) (3/2;1/2) 
VÝ dô 10. T×m a ®Ó hÖ cã nghiÖm
	HD: Tõ (1) ®Æt ®­îc hÖ dèi xøng víi u, -v
ChØ ra hÖ cã nghiÖm th× ph­¬ng tr×nh bËc hai t­¬ng øng cã 2 nghiÖm tr¸i dÊu
Bµi tËp ¸p dông
 KD 2003
 	 HD: t¸ch thµnh nh©n tö Þ 4 nghiÖm
 T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm 
 §Æt t = x/y Þ HÖ pt cã 2 nghiÖm
 §Æt X = x(x + 2) vµ Y = 2x + y
 	HD: §æi biÕn theo v, u tõ ph­¬ng tr×nh (1) 
 	 HD: §Æt x = 1/z thay vµo ®­îc hÖ y, z §S ( - 1/2, 3) (1/3, - 2) 
 (KA 2003) 
 HD: x = y V xy = - 1
	CM v« nghiÖm b»ng c¸ch t¸ch hµm sè Þ kq: 3 nghiÖm
 x¸c ®Þnh a ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt 	HD sö dông §K cÇn vµ ®ñ
 	HD b×nh ph­¬ng 2 vÕ 
	HD nh©n 2 vÕ cña (1) víi 
§2. Ph­¬ng tr×nh vµ bÊt ph­¬ng tr×nh ph­¬ng tr×nh ®¹i sè
Mét sè d¹ng ph­¬ng tr×nh vµ bÊt ph­¬ng tr×nh th­êng gÆp
BÊt ph­¬ng tr×nh bËc hai 
§Þnh l‏‎ý vÒ dÊu cña tam thøc bËc hai
Ph­¬ng ph¸p hµm sè
Ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh chøa gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
Ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh chøa c¨n thøc
Mét sè vÝ dô
VÝ dô 1. T×m m ®Ó nghiÖm ®óng víi mäi x
 HD: sö dông hµm sè hoÆc tam thøc: m ≤ - 2
VÝ dô 2. T×m a ®Ó hÖ sau cã nghiÖm 
	HD: 
	TH1: a + 1 ≤ 0 HÖ v« nghiÖm
	TH2: a + 1>0. VÏ ®å thÞ (2) lµ ®­êng trßn cßn (1) lµ miÒn g¹ch chÐo: a ≥ - 1/2
VÝ dô 3. Gi¶i c¸c ph­¬ng tr×nh, bÊt ph­¬ng tr×nh sau
: x = 0
 HD: TÝch 2 nh©n tö b»ng 1 suy ra c¸ch gi¶i
 KD 2002
VÝ dô 4. T×m m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm §S: m≥4
VÝ dô 5. Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh 
HD + / Nh©n 2 vÕ víi biÓu thøc liªn hîp cña VT 	
 + / BiÕn ®æi vÒ BPT tÝch chó ý §K
VÝ dô 6. Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh: 
HD §Æt , AD B§T c« si suy ra §K
VÝ dô 7. Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh: 
HD: + / XÐt 2 tr­êng hîp chó y DK x> = - 1 
 + / Trong tr­êng hîp x ≥ 4, tiÕn hµnh nh©n vµ chia cho biÓu thøc liªn hîp ë mÉu ë VT
VÝ dô 8. Cho ph­¬ng tr×nh: . T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm
HD: + / B×nh ph­¬ng 2 vÕ chó ý §K 
 + / §Æt t = tÝch 2 c¨n thøc, T×m §K cña t 
 + / Sö dông BBT suy ra KQ
VÝ dô 9. Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh (KA 2004) : 
Bµi tËp ¸p dông
 T×m a ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt. T×m nghiÖm duy nhÊt ®ã.
§S a = - 1 vµ a = 3
T×m m ®Ó bÊt ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: 
 HD: §Æt , coi lµ ph­¬ng tr×nh bËc hai Èn t 
 Cho ph­¬ng tr×nh: 
 Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = 6
 T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm
 T×m a ®Ó víi mäi x: §S a≥ 4 ; a≤ 0
Chuyªn ®Ò 3: L­îng gi¸c
§1. Ph­¬ng tr×nh vµ hÖ ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c
Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí
 C¸c c«ng thøc biÕn ®æi l­îng gi¸c
 Mét sè d¹ng ph­¬ng tr×nh c¬ b¶n
Ph­¬ng tr×nh bËc 2, bËc 3 theo mét hµm sè l­îng gi¸c
Ph­¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc nhÊt víi sinx, cosx: asinx + bcosx = c
Ph­¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc 2 víi sinx, cosx: a. sin2x + b. sinx. cosx + c. cos2x + d = 0 
Ph­¬ng tr×nh ®¼ng cÊp bËc 3 víi sinx, cosx: 
 a. sin3x + b. sin2x. cosx + 
c. sinx. cos2x + d. cos3x = 0
a. sin3x + b. sin2x. cosx + 
 c. sinx. cos2x + d. cos3x + m = 0
Ph­¬ng tr×nh ®èi xøng víi sinx, cosx a: (sinx±cosx) + b. sinx. cosx + c = 0
Ph­¬ng tr×nh ®èi xøng víi tgx, cotgx
Ph­¬ng tr×nh ®èi xøng víi sin2nx, cos2nx 
C¸c vÝ dô
VÝ dô 1. 	HD: ®Æt §K x = ± p/3 + k.p
VÝ dô 2. 
	HD: Sö dông c«ng thøc h¹ bËc 	 §S 3 hä nghiÖm
VÝ dô 3. 	 HD: Nhãm, nh©n lªn vµ t¸ch 2 thµnh 2 nhãm
VÝ dô 4. 
 	HD: §Æt §K rót gän MS = 1; 	AD c«ng thøc nh©n 3; §S x = - p/6 + kp
VÝ dô 5. 
	HD: BiÕn ®æi theo sin vµ cos ®­îc 	§S x = ±p/3 + kp
VÝ dô 6. 
HD: nh©n (1) víi (2) rót gän ®Æt ; t = 0, 
VÝ dô 7. 	HD: B§ tÝch thµnh tæng rót gän
VÝ dô 8. 
 	HD: nh©n 2 vÕ víi 2. sin(x/2) chó y xet tr­êng hîp b»ng 0
NX: Trong bµi to¸n chøa tæng thùc hiÖn rót gän b»ng c¸ch trªn
VÝ dô 9. 	HD: B§ sau ®ã ®Æt t = tg(x/2) 
VÝ dô 10. 	HD: 
§2. Gi¸ trÞ lín nhÊt nhá nhÊt, ph­¬ng tr×nh cã tham sè
Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí
Ph­¬ng ph¸p hµm sè: Bµi to¸n Max, Min trªn 1 kho¶ng vµ mét ®o¹n.
Ph­¬ng ph¸p bÊt ®¼ng thøc, nhËn xÐt ®¸nh gi¸. 
C¸c vÝ dô
VÝ dô 1. T×m GTLN, GTNN: 
	HD: t = cos2x, t×m Max, Min trªn 1 ®o¹nÞ M = 8/5 m = 4/3
VÝ dô 2. Cho ph­¬ng tr×nh: 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = 1
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖn thuéc ®o¹n [0; p/3]
	HD: t = tgx, ; LËp BBT f(t)Þ §S: 
VÝ dô 3. : T×m GTLN, GTNN: 
	HD: t = cos2x, - 1≤t≤1 t×m Max, Min trªn 1 ®o¹nÞ §S:M = 3, m = 1/27
VÝ dô 4. T×m GTLN, GTNN: 
VÝ dô 5. Cho ph­¬ng tr×nh: 
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖn thuéc ®o¹n [0; p/2]	§S: [ -10/3; -2] 
VÝ dô 6. Cho ph­¬ng tr×nh 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi a = 1/3
T×m a ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm
	HD: §­a vÒ d¹ng: (2 - a) sinx + (2a + 1) cosx = 3a + 1 	§S [ -1/2, 2]
VÝ dô 7. T×m nghiÖm cña pt sau trong kho¶ng (0, p) : 
Bµi tËp ¸p dông
	 HD: Chó ý §K Þ §S: x = - p/4 + kp/2
Mét sè ®Ò thi tõ n¨m 2002
T×m nghiÖm thuéc kho¶ng cña ph­¬ng tr×nh KA 2002 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (DB 2002) 
T×m nghiÖm thuéc kho¶ng cña ph­¬ng tr×nh KB 2003
T×m x nghiÖm ®óng thuéc kho¶ng cña ph­¬ng tr×nh KB 2003 
X¸c ®Þnh m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc ®o¹n (DB 2002) 
 Gi¶i ph­¬ng tr×nh (DB 2002) 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (DB 2002) 
Cho ph­¬ng tr×nh 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (2) khi 
T×m a ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (DB 2002) 
 Gi¶i ph­¬ng tr×nh (KA 2003) 
 Gi¶i ph­¬ng tr×nh (DBKA 2003) 
 Gi¶i ph­¬ng tr×nh (DBKA 2003) 
 Gi¶i ph­¬ng tr×nh (DBKB 2003) 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (DBKB 2003) 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (KD 2003) 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (DBKD 2003) 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (DBKD 2003) 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (KB 2004) 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh (KB 2004) 
Chuyªn ®Ò 4: Mò & L«garit
§1. Ph­¬ng tr×nh vµ hÖ ph­¬ng tr×nh Mò l«garit
 Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí
C¸c c«ng thøc vÒ mò vµ l«garit.
Giíi thiÖu mét sè ph­¬ng tr×nh c¬ b¶n.
Khi gi¶i ph­¬ng tr×nh vÒ logarit chó ‏‎ §K. 
C¸c vÝ dô
VÝ dô 1. Cho ph­¬ng tr×nh: 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh khi m = 2
T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc 	HD: m Î[0;2]
VÝ dô 2. ®s (4, 4) 
VÝ dô 3. 	HD: §K x>0 Vµ x≠1; §S x = 2, 
VÝ dô 4. 	 HD: §æi c¬ sè Þ §S: x = 1 vµ x = 15
VÝ dô 5. 
VÝ dô 6. 
HD: §K x> - 1 	TH1: - 1<x ≤ 0 ph­¬ng tr×nh vn
	TH2: x>0, ®Æt y = log3(x + 1) Suy ra 
VÝ dô 7. HD: VP ≤ 1 víi x>0, BBT VT ≥ 1 ; C«si trong l«gagrit Þ	§S x = 1
VÝ dô 8. 	§S (0, 1) (2, 4) 
VÝ dô 9. T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm thuéc [32, + ¥) : 
HD: t > = 5; 
VÝ dô 10. 
 HD §K x, y>0 vµ kh¸c 1; 	B§ (1) ®­îc
TH1: y = x thay vµo (2) cã nghiÖm
	TH2: thay vµo (2) CM v« nghiÖm chia thµnh 2 miÒn y>1 vµ 0<y<1
§2. BÊt ph­¬ng tr×nh vµ hÖ bÊt ph­¬ng tr×nh Mò l«garit
 Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí
Giíi thiÖu mét sè bÊt ph­¬ng tr×nh vÒ mò vµ logarit 
Chó ‏‎y §K
C¸c vÝ dô
VÝ dô 1. T×m k ®Ó hÖ ph­¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: 
HD: §K x>1; 	 Gi¶i (2) 1 - 5
VÝ dô 2. 
VÝ dô 3. HD: LÊy logarit 2 vÕ theo c¬ sè 2 
VÝ dô 4. 
VÝ dô 5. 
VÝ dô 6. 
HD: §Æt t = log x , coi BPT ®· cho lµ Bpt bËc 2 Èn t; Chó ý so s¸nh 2 tr­êng hîp t1, t2 
 §S (0;2] v (x≥ 4) 
VÝ dô 7. Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh 
VÝ dô 8. Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh: 
VÝ dô 9. Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh: 
Bµi tËp ¸p dông
§K x, y≥ 1 Þ §S: (1, 1) (9, 3) 
 KA 2004 	§S: (3; 4) 
	 	§S x = log23
T×m a ®Ó hÖ sau cã nghiÖm: 	HD: a>3/2
 Gi¶i ph­¬ng tr×nh 
 T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm thuéc kho¶ng (0;1) 
Chuyªn ®Ò 5. TÝch ph©n x¸c ®Þnh vµ øng dông
§1. Ph­¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n
I. TÝch ph©n c¸c hµm sè h÷u tØ
VÝ dô : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
Bµi tËp
(C§SP HN 2000): 
(§HNL TPHCM 1995) 
(§HKT TPHCM 1994) 
(§HNT HN 2000) 
(§HSP TPHCM 2000) 
(§HXD HN 2000) 
(§H M§C 1995 )
(§HQG HN 1995). X¸c ®Þnh c¸c h»ng sè A,B,C ®Ó TÝnh 
(§HTM 1995) 
(§H Th¸i Nguyªn 1997) 
X¸c ®Þnh c¸c h»ng sè A,B ®Ó TÝnh 
Cho hµm sè 
§Þnh c¸c hÖ sè A,B,C,D,E sao cho
TÝnh 
II TÝch ph©n c¸c hµm sè l­îng gi¸c
VÝ dô : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
Bµi tËp
(§HQG TPHCM 1998) TÝnh :
(§HSP TPHCM 1995)
 Cho 
T×m A,B sao cho 
 TÝnh 
 (§HGTVT TPHCM 1999)
 CMR 
TÝnh 
 (§HTS 1999) TÝnh : 
(§HTM HN 1995) TÝnh 
(HVKTQS 1999):TÝnh
(§HNN1 HN Khèi B 1998) 
 (§HQGHN Khèi A 1997) 
(§HNN1 HN 1998) TÝnh 
 (§HQG TPHCM 1998) 
 (HVNH TPHCM 2000) 
 (§HBK HN 1999) Cho hµm sè 
T×m A,B ®Ó 
TÝnh 
 (§HBK HN 1998) 
 (HVNH TPHCM 2000) 
III. TÝch ph©n c¸c hµm sè v« tØ
VÝ dô :	TÝnh c¸c tÝch ph©n sau :
Bµi tËp
(HVNH THCM 2000) 
(§H BKHN 1995) 
(HVKTQS 1998) 
(§HAN 1999) 
(§HQG HN 1998) 
(§HSP2 HN 2000) 
(§HXD HN 1996) 
(§HTM 1997) 
(§HQG TPHCM 1998) 
IV. Mét sè d¹ng tÝch ph©n ®Æc biÖt
VÝ dô1 :TÝnh c¸c tÝch ph©n sau :
VÝ dô2 :TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
VÝ dô 3 :TÝnh c¸c tÝch ph©n sau
Bµi tËp
(§HPCCC 2000) TÝnh 
(§HGT 2000 )TÝnh 
(§HQG HN 1994) TÝnh 
(§HNT TPHCM 1994)TÝnh 
(HVBCVTHN 1999)TÝnh 
§2. øng dông cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh
Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí
Néi dung c¸c bµi to¸n vÒ diÖn tÝch h×nh ph¼ng: 3 bµi to¸n c¬ b¶n.
Bµi to¸n vÒ thÓ tÝch trßn xoay.
C¸c vÝ dô 
Bµi 1. TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay sinh ra bëi phÐp quay xung quanh trôc ox cña h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi trôc ox vµ ®­êng .
Bµi 2. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng: .
Bµi 3. TÝnh diÖn tÝc h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng: .
Bµi 4. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (P) y2 = 16x vµ c¸c tiÕp tuyÕn t¹i A(1;4) B(4; - 8). 
Bµi 1 DiÖn tÝch ph¼ng
(§HBKHN 2000): TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi 
(§HTCKT 2000): TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi 
(HVBCVT 2000) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi 
(HVBCVT 1997) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi 
(§HTM 1996) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi 
(§HKT 1994) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi 
(§HC§ 1999) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi 
(§HSP1 HN 2000) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi 
(§HKTQD 1996) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi h×nh phÝa d­íi (P) : y=ax2 (a>0) vµ trªn y=ax+2a
TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi vµ 2 tiÕp tuyÕn t¹i c¸c ®iÓm A(0;-3) vµ B(3;0)
(§H HuÕ 1999) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi 
TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi 
(HVQY 1997) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi vµ tiÕp tuyÕn víi ®­êng cong (C) t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x=2
(§HKT 2000) TÝnh diÖn tÝch giíi h¹n bëi (C ) vµ Ox, hai ®­êng th¼ng cã ph­¬ng tr×nh x=1; x=-1
*****Mét sè bµi tham kh¶o************
TÝnh diÖn tÝch S giíi h¹n bëi ®å thÞ trôc Ox vµ ®­êng th¼ng cã ph­¬ng tr×nh x=2
TÝnh diÖn tÝch S giíi h¹n bëi ®å thÞ trôc Ox vµ 2 ®­êng th¼ng cã ph­¬ng tr×nh x=1 vµ x=3
TÝnh diÖn tÝch S giíi h¹n bëi ®å thÞ trôc Ox vµ ®­êng th¼ng cã ph­¬ng tr×nh x=2, y=x
TÝnh diÖn tÝch S giíi h¹n bëi ®å thÞ vµ ®­êng th¼ng cã ph­¬ng tr×nh y=2x-2
TÝnh diÖn tÝch S giíi h¹n bëi ®å thÞ 
Bµi 2 ThÓ tÝch cña c¸c vËt thÓ
(§HNN1 HN 1997): Cho h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi 
TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi D
TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay khi D quay quanh Ox 
TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoay sinh ra bëi phÐp quay quanh Ox cña h×nh giíi h¹n bëi trôc Ox vµ (P) y=x2-ax (a>0)
(§HXD 1997) TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoaydo h×nh ph¼ng 
(§HY 1999) TÝnh thÓ tÝch h×nh trßn xoay sinh ra bëi khi nã quay quanh Ox 
(§HTS TPHCM 2000): Cho h×nh ph¼ng G giíi h¹n bëi y= 4-x2; y=x2+2 .Quay h×nh ph¼ng (G) quanh Ox ta ®­îc mét vËt thÓ. TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ nµy
(HVQY 1997): Cho h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay khi D quay quanh trôc Ox
(HVKTQS 1995) TÝnh thÓ tÝch do D quay quanh Ox 
TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoay sinh ra bëi phÐp quay quanh Ox cña h×nh ph¼ng S giíi h¹n bëi c¸c ®­êng
 y=x.ex , x=1 , y=0 (0≤ x ≤ 1 ) 
(§HXD 1998) TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ t¹o bëi h×nh quay quanh trôc Oy
 (§HNN1 1999): Cho h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi 
TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi D
TÝnh thÓ tÝch vËt trßn xoay khi D quay quanh Ox
(§HKT 1996) : Cho h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi 
TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi D
 TÝnh thÓ tÝch vËt trßn xoay khi D quay quanh Ox
(§HPCCC 2000): Cho hµm sè 
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè 
ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn kÎ tõ 0(0,0) ®Õn (C)
TÝnh thÓ tÝch giíi h¹n bëi (C) quay quanh Ox 
 Cho miÒn (H) giíi h¹n bëi ®­êng cong y=sinx vµ ®o¹n 0≤ x ≤ p cña trôc Ox . TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay khi (H) quay quanh 
Trôc Ox
Trôc Oy
Chuyªn ®Ò 6: §¹i sè tæ hîp - NhÞ thøc newt¬n
§1. Mét sè Bµi to¸n ¸p dông quy t¾c nh©n, céng, 
ho¸n vÞ, tæ hîp, chØnh hîp
Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí
C¸c vÝ dô
Bµi 1. Cã bao nhiªu sè tù nhiªn chia hÕt cho 5 mµ mçi sè cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau.
Bµi 2. §éi tuyÓn häc sinh giái cña tr­êng gåm 18 em. Trong ®ã cã 7 häc sinh khèi 12, 6 häc sinh khèi 11, 5 häc sinh khèi 10. Hái cã bao nhiªu c¸ch cö 8 häc sinh trong ®éi ®i dù tr¹i hÌ sao cho mçi khèi cã Ýt nhÊt 1 häc sinh ®­îc chän. 
Bµi 3. Tõ c¸c ch÷ sè 1, 2, 3, 4, 5, 6 cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè tù nhiªn mµ mçi sè cã 6 ch÷ sè kh¸c nhau vµ trong mçi sè ®ã tæng cña 3 ch÷ sè ®Çu nhá h¬n tæng cña 3 ch÷ sè cuèi mét ®¬n vÞ.
Bµi 4. Tõ c¸c ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4, 5 cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè tù nhiªn mµ mçi sè cã 6 ch÷ sè kh¸c nhau vµ ch÷ sè 2 ®øng c¹nh ch÷ sè 3.	§S 192
Bµi 5. Tõ c¸c ch÷ sè 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè tù nhiªn, mçi sè gåm 6 ch÷ sè kh¸c nhau vµ tæng cña c¸c ch÷ sè hµng chôc, hµng tr¨m, hµng ngh×n b»ng 8.
Bµi 6. Tõ c¸c ch÷ sè 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 cã thÓ lËp ®­îc bao nhiªu sè tù nhiªn, mçi sè gåm 5 ch÷ sè kh¸c nhau vµ nhÊt thiÕt ph¶i cã 2 ch÷ sè 1 vµ 5. 
Bµi 7. Mét ®éi v¨n nghÖ cã 15 ng­êi gåm 10 nam vµ 5 n÷. hái cã bao nhiªu c¸ch lËp mét nhãm ®ång ca gåm 8 ng­íi, biÕt r»ng trong nhãm ®ã ph¶i cã Ýt nhÊt 3 n÷.
Bµi 8. Mét tæ gåm 7 häc sinh n÷ vµ 5 häc sinh nam cÇn chän ra 6 häc sinh trong ®ã sè häc sinh n÷ ph¶i nhá h¬n 4. Hái cã bao nhiªu c¸ch chän nh­ vËy. 
Bµi 9. Cã bao nhiªu sè tù nhiªn ch½n gåm 4 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau vµ nhá h¬n 2158.
Bµi 10. Mét ®éi thanh niªn t×nh nguyÖn cã 15 ng­êi, gåm 12 nam vµ 3 n÷. Hái cã bao nhiªu c¸ch ph©n c«ng ®éi thanh niªn t×nh nguyªn ®ã vÒ gióp ®ì 3 tØnh miÒn nói sao cho m«Ü tØnh cã 4 nam vµ 1 n÷.
§2. C¸c bµi to¸n nhÞ thøc, ph­¬ng tr×nh bÊt ph­¬ng tr×nh 
Ho¸n vÞ, tæ hîp & chØnh hîp
Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí
C¸c vÝ dô
BiÕt r»ng 
CMR: a2 < a3 .
 Víi gi¸ trÞ nµo cña k th× ak< ak + 1 (0≤k≤99) 
T×m k thuéc {0, 1, . 2005} sao cho: ®Æt GTLN.
T×m sè nguyªn n>1 tho¶ m·n ®¼ng thøc: .
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu th­c n lµ sè nguyªn d­¬ng BiÕt r»ng: 
T×m hÖ sè cña x7 trong khai triÓn thµnh ®a thøc cña (2 - 3x) 2n.
 Gi¶ sö vµ .
 T×m n vµ sè lín nhÊt trong c¸c sè: 
Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh víi 2 Èn n, k thuéc N (TNPT 2003 - 2004) 
Gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh 	(TNPT 2002 - 2003) 
Gi¶i bÊt ph­¬ng tr×nh 
T×m sè n nguyªn d­¬ng tho¶ m·n bÊt ph­¬ng tr×nh §S: n = 4, n = 3
Gi¶ sö n lµ sè nguyªn d­¬ng vµ 
BiÕt r»ng k nguyªn (0<k<n) sao cho TÝnh n?	 §S: n = 10
Gi¶ sö n lµ sè nguyªn d­¬ng vµ . H·y tÝnh hÖ sè a5 §S 672
T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa x8 trong khai triÓn nhÞ thøc. BiÕt: §S: 495
T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa x8 trong khai triÓn nhÞ thøc .
T×m sè tù nhiªn n tho¶ m·n:.
T×m sè tù nhiªn n biÕt (KA 2005) .