Chuyên đề 14: Về hình học giải tích trong mặt phẳng

Chuyên đề 14: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG 
 MẶT PHẲNG 
 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 
TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ 
 91
I. Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong mặt phẳng : 
• x'Ox : trục hoành 
• y'Oy : trục tung 
• O : gốc toạ độ 
• : véc tơ đơn vị ( 1 2,e e
JG JJG
1 2 11 và e e e e= = ⊥
JG JJG JG G
2
JJ
 ) 
x
y
1e
K
2e
K
O'x
'y 
Quy ước : Mặt phẳng mà trên đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxy được gọi là mặt phẳng 
 Oxy và ký hiệu là : mp(Oxy) 
II. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ: 
1. Định nghĩa 1: Cho ( )M mp Oxy∈ . Khi đó véc tơ OMJJJJG được biểu diển một cách duy nhất theo 
 e e bởi hệ thức có dạng : OM1 2,
JG JJG
xe ye1 2 với x,y
J = + ∈JJJG JG JJG \ . 
 Cặp số (x;y) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm M. 
 Ký hiệu: M(x;y) ( x: hoành độ của điểm M; y: tung độ của điểm M ) 
'x
y
2
K
'
/
1 2( ; ) 
đ n
M x y OM xe ye⇔ = +JJJJG JG JJG 
• Ý nghĩa hình học: 
 và y=OQx OP= 
2. Định nghĩa 2: Cho a m ( )p Oxy∈G . Khi đó véc tơ aG được biểu diển một cách duy nhất theo 
 e e bởi hệ thức có dạng : 1 2,
JG JJG
1 1 2 2 1 2 với a ,aa a e a e= + ∈
G JG JJG \ . 
 Cặp số (a1;a2) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của véc tơ . a
G
 Ký hiệu: 1 2( ; )a a a=
G
/
1 2 1 1 2 2=(a ;a ) 
đ n
a a a⇔ = +G G Ge a eJG JJ
• Ý nghĩa hình học: 
 1 1 1 2 2 2 và a =Aa A B B=
x1e
K
e
O
MQ
P
y
y
x
Ox'
'y
MQ
Px
y
x
y
1e
K
2e
K
O
'x
'y
P
aG
y
x
O
'x
'y
1A 1B
2A
2B BK
A H
 BÀI TẬP ÁP DỤNG: 
 Trong mặt phẳng Oxy hãy vẽ các điểm sau: A(2;3), B(-1;4), C(-3;-3), D(4;-2), E(2;0), F(0;-4) 
III. Các công thức và định lý về toạ độ điểm và toạ độ véc tơ : 
Định lý 1: Nếu B( ; ) và B(x ; )A A BA x y y thì 
 92
 ( ; )B A B AAB x x y y= − −
JJJG
Định lý 2: Nếu a a thì 1 2 1 2( ; ) và ( ; )a b b b= =
G G
 * a b 1 1
2 2
a
b
a b
=⎧= ⇔ ⎨ =⎩
G G
 * a b 1 1 2 2( ; )a b a b+ = + +
G G
)a b a b− = − −G G
)ka ka=G
 * a b 1 1 2 2( ;
 * k a ( )1 2. ( ; k∈\ 
 BÀI TẬP ÁP DỤNG: 
Bài 1: Cho A(1;3), B(-2;-1), C(3;-4). Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD 
 là hình bình hành. 
Bài 2: Cho A(1;2), B(2;3), C(-1;-2). Tìm điểm M thoả mãn 022 =+− CBMBMA 
IV. Sự cùng phương của hai véc tơ: 
 Nhắc lại 
• Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ nằm trên cùng một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường 
thẳng song song . 
• Định lý về sự cùng phương của hai véc tơ: 
  Định lý 3 : Cho hai véc tơ và với 0a b b ≠G G G G
a k b
G G
 a b cùng phương !k sao cho .⇔ ∃ ∈ =G G \
 Nếu 0a ≠G G thì số k trong trường hợp này được xác định như sau: 
 k > 0 khi a
G
 cùng hướng b
G
 k < 0 khi a
G
 ngược hướng b
G
a
k
b
=
G
G 
  Định lý 4 : , , thẳng hàng cùng phương A B C AB AC⇔ JJJG JJJG 
 (Điều kiện 3 điểm thẳng hàng ) 
 Định lý 5: Cho hai véc tơ 1 2 1 2( ; ) và ( ; )a a a b b b= =
G G
 ta có : 
 a b 1 2 2 1 cùng phương a . . 0b a b⇔ − =
G G
 (Điều kiện cùng phương của 2 véc tơ 
);( AA yxA
);( BB yxB
aK
b
K
aK
b
K
A
B
C
aK bG
2 5
a b , b - a
5 2
= − =K KK K
aK
b
K
)4;2(
)2;1(
=
=
b
aK
K
: VD 
);(
);(
21
21
bbb
aaa
=
=K
K 
 BÀI TẬP ÁP DỤNG: 
 93
Bài 1: Cho 1(0; 1); (2;3); ( ;0)
2
A B C− . Chứng minh A, B, C thẳng hàng 
Bài 2: Cho A(1;1), )
4
31;23( +−B , )
4
31;32( −−−C . Chứng minh A, B, C thẳng hàng 
V. Tích vô hướng của hai véc tơ: 
 Nhắc lại: 
x
y
 . . .cos( , )a b a b a b=G G G G G G
22
a a=G G 
 a b . 0a b⊥ ⇔ =G G G G
  Định lý 6: Cho hai véc tơ 1 2 1 2( ; ) và ( ; )a a a b b b= =
G G
 ta có : 
 a b (Công thức tính tích vô hướng theo tọa độ) 1 1 2 2. a b a b= +
G G
  Định lý 7: Cho hai véc tơ 1 2( ; ) a a a=
G
ta có : 
 2 21 2a a a= +
G
 (Công thức tính độ dài véc tơ ) 
  Định lý 8: Nếu B( ; ) và B(x ; )A A BA x y y thì 
 2 2( ) ( )B A B AAB x x y y= − + − (Công thức tính khoảng cách 2 điểm) 
  Định lý 9: Cho hai véc tơ 1 2 1 2( ; ) và ( ; )a a a b b b= =
G G
 ta có : 
 a b (Điều kiện vuông góc của 2 véc tơ) 1 1 2 2 a 0b a b⊥ ⇔ + =
G G
  Định lý 10: Cho hai véc tơ 1 2 1 2( ; ) và ( ; )a a a b b b= =
G G
 ta có 
 1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
.
cos( , )
. .
a b a b a ba b
a b a a b b
+= =
+ +
G G
G G
G G (Công thức tính góc của 2 véc tơ) 
b
K
BÀI TẬP ÁP DỤNG: 
Bài 1: Chứng minh rằng tam giác với các đỉnh A(-3;-3), B(-1;3), C(11;-1) là tam giác vuông 
Bài 2: Cho )7;342(),336;8(),3;2( ++ CBA . Tính góc BAC. 
O'x
'y
a
ϕ
aK
b
K
b
K
aK
O
B
A K
);( BB yxB);( AA yxA
VI. Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: 
 Định nghĩa: Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k 1 ) nếu như : ≠ .MA k MB=JJJG JJJG 
 A M B
  Định lý 11 : Nếu B( ; ) , B(x ; )A A BA x y y và .MA k MB=
JJJG JJJG
 ( k ≠ 1 ) thì 
.
1
.
1
A B
M
A B
M
x k xx
k
y k yy
k
−⎧ =⎪⎪⎨ − −⎪ =⎪ −⎩
 94
 Đặc biệt : M là trung điểm của AB ⇔ 2
2
A B
M
A B
M
x xx
y yy
+⎧ =⎪⎪⎨ +⎪ =⎪⎩
VII. Một số điều kiện xác định điểm trong tam giác : 
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++=
++=
⇔=++⇔
3
30.1
CBA
G
CBA
yyyy
xxx
GCGB
Gx
 GA ABC giác tam tâm trọng là G 
2. 
. 0
H là trực tâm tam giác ABC 
. 0
AH BC AH BC
BH AC BH AC
⎧ ⎧⊥ =⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨⊥ =⎪ ⎪⎩ ⎩
JJJG JJJG JJJG JJJG
JJJG JJJG JJJG JJJG 
3. 
'
'
'
 là chân đường cao kẻ từ A 
cùng phương 
AA BC
A
BA BC
⎧ ⊥⎪⇔ ⎨⎪⎩
JJJG JJJG
JJJG JJJG 
4. 
IA=IB
I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 
IA=IC
⎧⇔ ⎨⎩
5. Δ ⇔ = −JJJG JJJGD là chân đường phân giác trong của góc A của ABC .ABDB DC
AC
6. Δ ⇔ =
JJJJG JJJJG
' ' 'D là chân đường phân giác ngoài của góc A của ABC .ABD B D
AC
C 
7. J là tâm đường tròn nội tiếp ABC .ABJA J
BD
Δ ⇔ = − DJJG JJJG 
VIII. Một số kiến thức cơ bản thường sử dụng khác: 
 1. Công thức tính diện tích tam giác theo toạ độ ba đỉnh : 
  Định lý 12: Cho tam giác ABC . Đặt 1 2 1 2( ; ) và ( ; )AB a a AC= b b=
JJJG JJJG
 ta có : 
 1 2 2 1
1 .
2ABC
S a bΔ = − a b
G
A
B C
H
A
B C
A
C
I
A
B C
B A'
A
C
D
A
B
J
C
DB
A
 CB 
 2. Các bất đẳng thức véc tơ cơ bản : 
  Định lý 13: Với hai véc tơ u,vG G bất kỳ ta luôn có : 
uK
vK
vu KK +
 u v u v+ ≤ +G G G G 
 . .u v u v≤G G G G 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ,u v
G G
 là hai véc tơ cùng phương cùng chiều hoặc là có một 
trong hai véc tơ là véc tơ không . 
BÀI TẬP ÁP DỤNG: 
Bài 1: Tìm diện tích tam giác có các đỉnh A(-2;-4), B(2;8), C(10;2) 
Bài 2: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 với A(3;1), B(1;-3) 
1. Tìm C biết C trên Oy 
2. Tìm C biết trọng tâm G của tam giác trên Oy 
Bài 3: Cho A(1;1), B(-3;-2), C(0;1) 
 1. Tìm toạ độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC. 
 2. Chứng minh rằng G, H, I thẳng hàng và GIGH 2−= 
 3. Vẽ đường cao AA' của tam giác ABC. Tìm toạ độ điểm A'
Bài 4: Cho tam giác ABC biết A(6;4), B(-4;-1), C(2;-4). 
 Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 
Bài 5: Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC, biết toạ độ các đỉnh ( 1;2), (5;7), (4; 3)A B C− − 
Bài 6: Cho ba điểm A(1;6), B(-4;-4), C(4;0) 
 1. Vẽ phân giác trong AD và phân giác ngoài AE. Tìm toạ độ D và E 
 2. Tìm toạ độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC 
Bài 7: Cho hai điểm A(0;2), )1;3( −−B . Tìm toạ độ trực tâm và toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp 
 của tam giác OAB (TS A 2004) 
Bài 8: Cho tam giác ABC có các đỉnh A(-1;0), B(4;0), C(0;m) với 0≠m . Tìm toạ độ trọng tâm G 
 của tam giác ABC theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G. (TS D 2004). 
-------------------Hết------------------- 
 95
ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 
I. Các định nghĩa về VTCP và PVT của đường thẳng: 
1. VTCP của đường thẳng : 
a
G
là VTCP của đường thẳng (Δ ) đn⇔ 0
a có giá song song hoặc trùng với ( )
a⎧ ≠⎪⎨ Δ⎪⎩
G G
G 
n
G
 là VTPT của đường thẳng (Δ ) đn⇔ 0
n có giá vuông góc với ( )
n⎧ ≠⎪⎨ Δ⎪⎩
G G
G 
 96
* Chú ý: 
• Nếu đường thẳng ( ) có VTCP Δ 1 2( ; )a a a=
G
 thì có VTPT là 2 1( ;n a a= − )
G
aK
aK )(Δ
nK
)(Δ
• Nếu đường thẳng ( ) có VTPT Δ ( ; )n A B=G thì có VTCP là ( ; )a B A= −G 
aKnK
)(Δ
BÀI TẬP ÁP DỤNG: 
Cho đường thẳng đi qua hai điểm A(1;-2), B(-1;3). Tìm một VTCP và một VTPT của ( )Δ ( )Δ 
II. Phương trình đường thẳng : 
1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng : 
 a. Định lý : Trong mặt phẳng (Oxy). Đường thẳng (Δ ) qua M0(x0;y0) và nhận 1 2( ; )a a a=
G
 làm 
 VTCP sẽ có : 
  Phương trình tham số là : 0 1
0 2
.
( ) : ( )
.
x x t a
t
y y t a
= +⎧Δ ∈⎨ = +⎩
\
  Phương trình chính tắc là : 0 0
1 2
( ) : x x y y
a a
− −Δ = 
y
BÀI TẬP ÁP DỤNG: 
Bài 1: Cho hai điểm A(-1;3), B(1;2). Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng qua A, B 
Bài 2: Các điểm P(2;3); Q(4;-1); R(-3;5) là các trung điểm của các cạnh của một tam giác .Hãy lập 
 phương trình chính tắc của các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác đó. 
);( 000 yxM
aK );( yxM
x
O
2. Phương trình tổng quát của đường thẳng : 
a. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M0(x0;y0) và có VTPT ( ; )n A B=
G
 là: 
 97
 0 0( ) : ( ) ( ) 0A x x B y yΔ − + − = 
BÀI TẬP ÁP DỤNG: 
Bài 1: Cho tam giác ABC biết ( 1;2), (5;7), (4; 3)A B C− −
 1. Viết phương trình các đường cao của tam giác 
 2. Viết phương trình các đường trung trực của tam giác 
Bài 2: Cho tamgiác ABC với A(1;-1) ; B(-2;1); C(3;5). 
 a) Viết phương trình đường vuông góc kẻ từ A đến trung tuyến BK của tam giác ABC . 
 b) Tính diện tích tam giác ABK. 
b. Phương trình tổng quát của đường thẳng : 
 Định lý :Trong mặt phẳng (Oxy). Phương trình đường thẳng (Δ ) có dạng : 
 Ax + By + C = 0 với 2 2 0A B+ ≠
 Chú ý: 
 Từ phương trình (Δ ):Ax + By + C = 0 ta luôn suy ra được : 
 1. VTPT của (Δ ) là ( ; )n A B=G 
 2. VTCP của (Δ ) là ( ; ) hay a ( ; )a B A B A= − = −G G 
 3. ( ;0 0 0 0 0) ( ) 0M x y Ax By C∈ Δ ⇔ + + = 
 Mệnh đề (3) được hiểu là : 
 Điều kiện cần và đủ để một điểm nằm trên đường thẳng là tọa độ điểm đó 
 nghiệm đúng phương trình của đường thẳng . 
BÀI TẬP ÁP DỤNG: 
Bài 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng biết phương trình tổng quát của nó là 5 2 3x y 0− + = 
Bài 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua M(-1;2) và song song ( ) : 2 3 4 0x yΔ − + =
Bài 3: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua N(-1;2) và vuông góc ( ) : 2 3 4 0x yΔ − + =
Bài 4: Cho hai điểm A(-1;2) và B3;4) . Tìm điểm C trên đường thẳng x-2y ...  điểm M, cắt đường tròn tại hai điểm A và B sao 
 cho M là trung điểm của AB . 
 3. Viết phương trình đường tròn đối xứng với đường tròn đã cho qua đường thẳng AB. 
Bài 16: Trong mp(Oxy) cho họ đường tròn (Cm) có phương trình : 
 0 2 2x y (2m 5)x (4m 1)y 2m 4+ − + + − − + =
 1) Chứng tỏ rằng (Cm) qua hai điểm cố định khi m thay đổi. 
 2) Tìm m để (Cm) tiếp xúc trục tung. 
Bài 17: Cho họ đường tròn (Cm) có phương trình : 2 2x y (m 2)x 2my 1 0+ − − + − = 
 1) Tìm tập hợp tâm các đường tròn (Cm) . 
 2) Cho m = -2 và điểm A(0;-1). Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn (C-2) 
 vẽ từ A. 
Bài 18: Viết phương trình các tiếp tuyến của đường tròn (C): 2 2 2 6 9x y x y 0+ − − + = 
 1. Tiếp tuyến song song với đường thẳng x-y=0 
 2. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 3x-4y=0 
Bài 19: Cho tam giác ABC đều nội tiếp trong đường tròn (C): 2 2( 1) ( 2) 9x y− + − = . Xác định toạ 
 độ các điểm B, C biết điểm A(-2;2). 
Bài 20: Trong mp(Oxy) cho họ đường tròn (Cm) có phương trình : 
 2 2x 2mx y 2(m 1)y 12 0− + + + − =
 1) Tìm tập hợp tâm các đường tròn (Cm) . 
 2) Với giá trị nào của m thì bán kính của họ đường tròn đã cho là nhỏ nhất? 
Bài 21: Cho hai họ đường tròn : 
 108
'
2 2
m
2 2
m
(C ) : x y 2mx 2(m 1)y 1 0
(C ) : x y x (m 1)y 3 0
+ − + + − =
+ − + − + =
 Tìm trục đẳng phương của hai họ đường tròn trên. Chứng tỏ rằng khi m thay đổi các trục 
 đẳng phương đó luôn luôn đi qua một điểm cố định. 
Bài 22: Cho hai đường tròn : 
2 2
1
2 2
2
(C ) : x y 2x 9y 2 0
(C ) : x y 8x 9y 16 0
+ − − − =
+ − − + =
 1) Chứng minh rằng hai đường tròn (C1) và (C2) tiếp xúc nhau. 
 2) Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1) và (C2). 
Bài 23: Cho hai đường tròn : 
2 2
1
2 2
2
(C ) : x y 10x 0
(C ) : x y 4x 2y 20 0
+ − =
+ + − − =
 Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1) và (C2). 
Bài 24: Cho hai đường tròn : 
2 2
1
2 2
2
(C ) : x y 4x 5 0
(C ) : x y 6x 8y 16 0
+ − − =
+ − + + =
 Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1) và (C2). 
Bài 25: Cho hai điểm A(2;0), B(6;4). Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm 
 A và khoảng cách từ tâm của (C) đến điểm B bằng 5 (TS.K.B2005) 
Ứng dụng phương trình đường tròn để giải các hệ có chứa tham số 
Bài 1: Cho hệ phương trình : 
2 2x y
x y a
⎧ + =⎨ − =⎩
1
 Xác định các giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. 
Bài 2: Cho hệ phương trình : 
2 2 0
0
x y x
x ay a
⎧ + − =⎨ + − =⎩
 Xác định các giá trị của a để hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt 
Bài 3: Tìm m để hệ sau có nghiệm duy nhất 
2 2
2 2
(x 2) y m
x (y 2) m
⎧ − + =⎪⎨ + − =⎪⎩
 109
ĐƯỜNG ELÍP TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 
I.Định nghĩa: 
 Elíp (E) là tập hợp các điểm M có tổng khoảng cách đến hai điểm cố định F1; F2 bằng hằng số 
 * Hai điểm cố định F1; F2 được gọi là các tiêu điểm 
 * F1F2 = 2c ( c > 0 ) được gọi là tiêu cự 
 110
 { }1 2(E) M / MF MF 2a= + = ( a>0 : hằng số và a>c ) 
(E)
II. Phương trình chính tắc của Elíp và các yếu tố: 
 1. Phương trình chính tắc: 
2 2
2 2
x y(E) : 1
a b
+ = với 2 2 2b a c= − ( a > b) (1) 
2. Các yếu tố của Elíp: 
 * Elíp xác định bởi phương trình (1) có các đặc điểm: 
 - Tâm đối xứng O, trục đối xứng Ox; Oy 
 - Tiêu điểm F1(-c;0); F2(c;0) 
 - Tiêu cự F1F2 = 2c 
 - Trục lớn nằm trên Ox; độ dài trục lớn 2a ( = A1A2 ) 
 - Trục nhỏ nằm trên Oy; độ dài trục lớn 2b ( = B1BB2 ) 
 - Đỉnh trên trục lớn : A1(-a;0); A2(a;0) 
 - Đỉnh trên trục nhỏ :B1(0;-b); B2(0;b) 
 - Bán kính qua tiêu điểm: 
2c
M
1 2
F F
-a a
(E)
c-c 
y
x 
R S
PQ 
O
M
1r
2r
1A 2A
1B
2B
1F 2F
 Với M(x;y) ∈ (E) thì 
1 1
2 2
cr MF a x a ex
a
cr MF a x a e
a
⎧ = = + = +⎪⎪⎨⎪ x= = − = −⎪⎩
 - Tâm sai : ce (0 e
a
= < 1)< 
 - Đường chuẩn : ax
e
= ± 
III. Phương trình tham số của Elíp: (E) 
x acos t
:
y bsin t
=⎧⎨ =⎩ t [0;2 )∈ π
IV. Tiếp tuyến của Elíp: 
 Định lý: Phương trình tiếp tuyến với (E) :
2 2
2 2
x y 1
a b
+ = tại M0(x0;y0) ∈ (E) là : 
 111
) : 0 02 2
x x y y 1
a b
+ = (Δ
V. Điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với Elíp: 
 Định lý: Cho Elíp (E) :
2 2
2 2
x y 1
a b
 và đường thẳng ( ) : Ax By C 0Δ + + = ( A2 + B2 > 0 ) + =
⇔ A a 2 2 2 2 2 ( ) tiếp xúc (E) B b C+ =Δ
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
x
y
O
Δ
)(E
x
y
O
);( 000 yxM
Δ
)(E
Bài 1: Cho (E) có hai tiêu điểm là 1 2( 3;0); ( 3;0F F− ) và một đường chuẩn có phương trình 43x = 
 1. Viết phương trình chính tắc của (E). 
 2. M là điểm thuộc (E). Tính giá trị của biểu thức: 
 P F 2 2 21 2 1 23 .M F M OM FM F M= + − −
 3. Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục hoành và cắt (E) tại hai điểm A, B sao 
 choOA OB⊥
Bài 2: 1. Lập phương trình chính tắc của (E) có tiêu điểm 1( 15;0)F − , tiếp xúc với (d): 4 10 0x y+ − = 
 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (E) vuông góc với (d): 6 0x y+ + = . 
Bài 3: Cho Elíp (E) :
2 2
1
9 4
x y+ = và đường thẳng (d):mx 1 0− = y−
 1. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (d) luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt 
 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (E), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm A(1;-3). 
Bài 4: 1. Lập phương trình chính tắc của (E) có tiêu điểm 1 2( 10,0); ( 10;0)F F− , độ dài trục lớn bằng 
 2 18 . 
 2. Đường thẳng (d) tiếp xúc (E) tại M cắt hai trục toạ độ tại A và B. Tìm M sao cho diện tích 
 nhỏ nhất. OABΔ
Bài 5: Cho Elíp (E) :
2 2
1
8 4
x y+ = và đường thẳng (d): 2 2 0x y− + = 
 1. CMR (d) luôn cắt (E) tại hai điểm phân biệt A,B . Tính độ dài AB. 
 2. Tìm toạ độ điểm C thuộc (E) sao cho ABCΔ có diện tích lớn nhất. 
Bài 6: Cho hai Elíp : 
2 2 2 2
1 2( ) : 1 và (E ) : 116 9 9 16
x y x yE + = + = . Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai 
 elíp trên. 
Bài 7: Cho Elíp (E) :
2 2
1
24 12
x y+ = . Xét hình vuông ngoại tiếp (E) ( tức là các cạnh hình vuông tiếp xúc 
 với (E) . Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh hình vuông đó. 
Bài 8: Cho Elíp (E) :
2 2
1
9 4
x y+ = . Cho A(-3;0),M(-3;a),B(3;0),N(3;b) trong đó a,b là hai số thay đổi 
 1. Xác định toạ độ giao điểm I của đường thẳng AN và BM. 
 2. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để đường thẳng MN tiếp xúc với (E) là ab=4 
 3. Với a,b thay đổi , nhưng luôn tiếp xúc với (E) . Tìm quỹ tích điểm I. 
 112
ĐƯỜNG HYPEBOL TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 
I. Định nghĩa: 
 113
 { }1 2(H) M / MF MF 2a= − = ( a > 0 : hằng số và a < c ) (1) 
II. Phương trình chính tắc của Hypebol và các yếu tố: 
 1. Phương trình chính tắc: 
2 2
2 2
x y(H) : 1
a b
− = với 2 2 2b c a= − (1) 
M
1F 2F
c2
x
a
by −= x
a
by =
1F 2F
M
x
y
1B
2B
1A 2A
a
cc−
a−
O
 2. Các yếu tố của Hypebol: 
 * Hypebol xác định bởi phương trình (1) có các đặc điểm: 
 - Tâm đối xứng O, trục đối xứng Ox; Oy 
 - Tiêu điểm F1(-c;0); F2(c;0) 
 - Tiêu cự F1F2 = 2c 
 - Trục thực nằm trên Ox; độ dài trục thực 2a ( = A1A2 ) 
 - Trục ảo nằm trên Oy; độ dài trục ảo 2b ( = B1BB2 ) 
 - Đỉnh: A1(-a;0); A2(a;0) 
 - Phương trình tiệm cận : by x
a
= ± 
 - Bán kính qua tiêu điểm: 
 Với M(x;y) ∈ (H) thì : 
 Với x > 0 ⇒ 1 1
2 2
r MF a ex
r MF a ex
= = +⎧⎨ = = − +⎩
 Với x < 0 ⇒ ⎧⎨ 1 1
2 2
r MF (a ex)
r MF ( a ex
= = − +
)= = − − +⎩
 - Tâm sai : ce (e
a
= >1) 
 - Đường chuẩn : ax
e
= ± 
IV. Tiếp tuyến của Hypebol: 
 Định lý: Phương trình tiếp tuyến với (H) :
2 2
2 2
x y 1
a b
− = tại M0(x0;y0) ∈ (H) là : 
 114
0 0
2 2
x x y y 1
a b
− = ( ) : Δ
V. Điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với Hypebol: 
 Định lý: Cho Hypebol (H) :
2 2
2 2
x y 1
a b
− = và đường thẳng ( ) : Ax By C 0Δ + + = ( A2 + B2 > 0 ) 
⇔ 2 2 2 2 2A a B b C− = ( ) tiếp xúc (H) Δ
•
x
y
0M
O
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
Bài 1: Cho Hypebol (H): 
2 2
1
16 9
x y− = 
1. Tìm độ dài trục ảo, trục thực , tâm sai , tiêu điểm F1,F2 của (H) 
2. Tìm trên (H) những điểm sao cho 1 2MF MF⊥ 
Bài 2: Cho Hypebol (H): 
2 2
2 2 1
x y
a b
− = . 
 CMR tích các khoảng cách từ một điểm M0 bất kỳ trên (H) đến hai tiệm cận là một số không đổi 
Bài 3: Cho Hypebol (H): . 2 24 4x y− =
1. Viết phương trình tiếp tuyến với (H) tại 10 4( ;
3 3
A )
0
2. Viết phương trình tiếp tuyến với (H) biết nó vuông góc với đường thẳng : : 2x yΔ − − = 
3. Viết phương trình tiếp tuyến với (H) kẻ từ M(2;-1) 
Bài 4: Cho Hypebol (H): 
2 2
2 2 1
x y
a b
− = trong mặt phẳng Oxy 
 Tìm a,b để (H) tiếp xúc với hai đường thẳng ( 1 2) : 5 6 16 0 và (D ) :13 10 48 0D x y x y− = − − = −
ĐƯỜNG PARABOL TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ 
 115
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN 
I. Định nghĩa : 
 { }(P) M / MF d(M,= = Δ 
* F là điểm cố định gọi là tiêu điểm 
* ( ) là đường thẳng cố định gọi là đường chuẩn Δ
* HF = p > 0 gọi là tham số tiêu 
II. Phương trình chính tắc của parabol: 
 1) Dạng 1: Ptct: y2 = 2px 2) Dạng 2: Ptct: y2 = -2px 
p
K
H F
M
Δ
 3) Dạng 3: Ptct: x2 = 2py 4) Dạng 4: Ptct : x2 = -2py 
III.Tiếp tuyến của parabol: 
 Định lý: Trong mp(Oxy). Phương trình tiếp tuyến với (P): y2 = 2px tại M0(x0;y0) ∈ (P) là : 
 (Δ ) : y0y = p.(x + x0 ) 
O
x
y
•
M0
(P)
y 
xp/2F(-p/2;0) 
M
2/:)( px =Δ
y 
x
-p/2 :y = -p/2
F(0;p/2) 
O 
M 
F(0;-p/2)
x
( ) : y = p/2p/2
y
O
M
( ): x=-p/2
y
O 
-p/2 
F(p/2;0) 
M
x
IV. Điều kiện để đường thẳng tiếp xúc với parabol: 
 Định lý: Trong mp(Oxy) cho (P) : y2 = 2px và đường thẳng ( ) : Ax By C 0Δ + + = (A2 + B2 > 0) 
(P
x
y
o
 (Δ ) tiếp xúc (P) ⇔ 2B p 2AC=
BÀI TẬP RÈN LUYỆN 
Bài 1: Cho (P): y2= 16x 
1. Lập phương trình tiếp tuyến của (P), biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng 
(d) : 3x-2y+6=0 
 2. Lập phương trình các tiếp tuyến với (P) kẻ từ M(-1;0) đến (P) 
Bài 2: Lập phương trình các tiếp tuyến chung của elíp :
2 2
1
8 6
x y+ = và parabol: . 2 12y x=
Bài 3: Cho A(3;0) và (P): y=x2 
1. Cho ( )M P∈ và Mx a= . Tính AM . Tìm a để AM ngắn nhất 
2. Chứng minh nếu AM ngắn nhất thì AM vuông góc tiếp tuyến tại M của (P) 
Bài 4: Cho (P):y2= 2x và cho A(2;-2); B(8;4). Giả sử M là điểm di động trên cung nhỏ AB của (P). Xác 
 định tọa độ của M sao cho tam diác AMB có diện tích lớn nhất. 
Bài 5: Cho (P): 2y x= và điểm I(0;2). Tìm tọa độ hai điểm M, N thuộc (P) sao cho 4IM IN=JJJG JJG 
----------------------------------Hết------------------------------- 
 116