Chương I: Véc tơ trong không gian

 1
Bài giảng của thầy Thạc sỹ: Đỗ Thanh Sơn, chuyên viên Hình học 
Chương I Véc tơ trong không gian. 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
1.Ðịnh nghĩa véc tơ. 
 Véc tơ là một đoạn thẳng có quy định một chiều.Chiều của véc tơ là thứ tự hai đầu 
mút của đoạn thẳng.Ðầu mút thứ nhất được gọi là điểm đầu hoặc điểm gốc, đầu mút 
thứ hai được gọi là điểm cuối hoặc điểm ngọn.Ðộ dài của đoạn thẳng là độ dài véc 
tơ.Ðường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của véc tơ được gọi là phương của véc 
tơ. 
Véc tơ được ký hiệu bằng một trong hai cách sau: Dùng hai chữ in la tinh viết liền 
nhau 
 → 
và phía trên hai chữ đó ta đặt một mũi tên,chẳng hạn AB (đọc là véc tơAB), chữ A chỉ 
 → 
gốc, chữ B chỉ ngọn của véc tơ.Ðộ dài véc tơ đó được ký hiệu AB hoặcAB.Một 
cách 
 → 
khác là dùng một chữ thường và phía trên đặt một mũi tên, chẳng hạn U (đọc là véc tơ 
 → 
U ).Ðộ dài của véc tơ đó được ký hiệu là U hoặc U. 
 Véc tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là véc tơ không.Véc tơ không 
 → 
có độ dài bằng 0, phương và chiều không xác định.Véc tơ không được ký hiệu AA 
hoặc 
→ 
 0 . 
2.Quan hệ của các véc tơ trong không gian. 
 Hai véc tơ đồng phương hoặc không đồng phương 
 → → → 
 Hai véc tơ U, V (khác 0)được gọi là đồng phương,nếu chúng nằm trên cùng một 
đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song.Ta ký hiệu U // V. 
 → → → 
 Hai véc tơ U, V (khác 0)được gọi là không đồng phương,nếu chúng nằm trên hai 
 → → 
đường thẳng cắt nhau hoặc chéo nhau.Ta ký hiệu U // V. 
 → 
 Hiển nhiên nếu hai véc tơ (khac 0) cùng đồng phương với một véc tơ thứ ba (khác 
→ → 
 0 ), thì hai véc tơ đó đồng phương.Ta quy ước một véc tơ 0 luôn cùng phương với 
một véc tơ khác không. 
 2
 Hai véc tơ cùng chiều hoặc ngược chiều 
 → → → → → 
Cho hai véc tơ khác 0 và đồng phương U , V.Khi đó tồn tại một mặt phẳng P chứa U, 
V. 
 → → 
Nếu trong P cả hai véc tơ đó cùng chiều, thì ta nói U và V cùng chiều trong không 
gian. 
 → → 
Nếu trong P cả hai véc tơ đó ngược chiều, thì ta nói U và V ngược chiều trong không 
gian. 
 → → 
 Hiển nhiên hai véc tơ khác 0 cùng chiều với một véc tơ thứ ba (khác 0), thì hai véc 
tơ đó cùng chiều.Nếu một trong hai véc tơ cùng chiều với véc tơ thứ ba, véc tơ còn lại 
ngược chiều với véc tơ thứ ba, thì hai véc tơ ngược chiều. 
 → → → → 
 Ta ký hiệu hai véc tơ U , V cùng chiều là U ↑↑ V.Nếu hai véc tơ đó ngược chiều, 
thì 
 → → 
được ký hiệu là U ↑↓ V. Ta quy định một véc tơ không luôn cùng chiều với một véc tơ 
khác không. 
 Hai véc tơ bằng nhau hoặc hai véc tơ đối nhau 
 → → → → 
 Hai véc tơ U, V được gọi là bằng nhau và được ký hiệu U = V, nếu chúng cùng 
chiều và cùng độ dài. 
 → → → → 
 Hai véc tơ U, V được gọi là đối nhau và được ký hiệu U = - V, nếu chúng ngược 
chiều và cùng độ dài. 
 Ba véc tơ đồng phẳng hoặc không đồng phẳng 
 → → → 
 Cho các véc tơ khác không : U , V , W. Nếu chúng cùng nằm trong một mặt 
phẳng 
 → → → 
hoặc nằm trong các mặt phẳng song song, thì ta nói U , V, W đồng phẳng. Nếu ba véc 
tơ không có các tính chất đó, thì ta nói ba véc tơ không đồng phẳng. 
 → → → 
 Từ định nghĩa ta suy ra rằng, nếu U, V, W đồng phẳng, thì luôn tồn tại một mặt 
 → → → 
phẳngP mà trong đó ta dựng được các véc tơ U’, V’, W’ bằng các véc tơ đã cho. Nếu 
 → → → 
các véc tơ đó không đồng phẳng và nếu P chứa các véc tơ U’, V’ thì P không chứa W’ 
 → 
 3
hoặc song song với W’. 
3.Các phép toán véc tơ. 
 Phép cộng véc tơ. 
 Ðịnh nghĩa. 
 → → → → → 
 Cho hai véc tơ U, V.Tổng của U và V là véc tơ a được xác định theo quy tắc 
sau(quy tắc tam giác).Từ một điểm A bất kỳ trong không gian ta đặt liên tiếp các véc tơ 
 → → → → → → → → 
AB = U và BC =V. Véc tơ AC là tổng của hai véc tơ đã cho và ta ký hiệu a = U + V. 
 Tính chất 
 → → → → → → → → → → → → → → → → 
i) U + 0 = U ; ii) U + (-U) = 0; iii) U + V = V + U ; iv) ( U + V)+W = U+( V + W). 
 Trường hợp tổng của nhiều véc tơ 
 → → → → 
 Cho n véc tơ U1,U2,..,Un.Tổng của n véc tơ đó là một véc tơ U’ được xác định theo 
quy tắc sau ( quy tắc đường gấp khúc): 
 → → → → 
 Từ một điểm A0 bất kỳ ta dựng liên tiếp các véc tơ A0A1, A1A2, A2A3,, An-
1An.Véc 
 → → → → → → 
tơ A0An là tổng của n véc tơ đã cho và được ký hiệu U’ = U1+U2 + U3 ++ Un. 
 Phép trừ hai véc tơ. 
 Ðịnh nghĩa. 
 → → → → → → → → → 
 Hiệu của U và V là một véc tơ W và được ký hiệu U – V = W, nêu W+ V = U. 
 → → → 
Theo định nghĩa ta xác địnhWnhư sau: từ một điểm A bất kỳta dựng các véc tơAB =U, 
 → → → → 
AC = V. Khi đó W = CB. 
 Nhân một véc tơ với một số thực 
 Ðịnh nghĩa 
 → → → → 
 Cho U ≠ 0 và số thực k ≠ 0.Tích của U với k là một véc tơ V có độ dài bằng 
 → → → 
|k|.| U | và cùng chiều với U,khi k >0;ngược chiều với U,khi k <0.Ta ký hiệu phép toán 
 → → 
đó V=k.U. 
 → → → → → → 
 Nếu U = 0, thì k.U = 0 ; Nếu k = 0, thì 0.U = 0. 
 Tính chất. 
 → → → → → → → → → → → 
 4
i). 1.U = U ; ii). m.(n.U) = (m.n).U ; iii). m(U + V) = m U+ m.V ; (m+n) U = mU+ nU 
(m , n là các số thực). 
 Hệ quả 
 → → → → → 
i) U+ U+ U ++ U = n. U 
 → → → → 
ii) Nếu U // V , thì tồn tại một số thực k sao cho V = k.U và k là duy nhất thoã 
mãn điều kiện đó. 
4.Ðiều kiện đồng phẳng của 3 véc tơ. 
 → → → → → 
 Cho U , V , W khác không và U // V.Ðể ba véc tơ đó đồng phẳng cần và đủ là tồn 
 → → → 
tại hai số thực m , n sao cho W = m. U + n. V.Cặp số m , n là duy nhất thoã mãn điều 
kiện đó. 
 Hệ quả. 
 → → → → → → → 
 i) Nếu U, V , W không đồng phẳng và m.U + n.V + k.W = 0 , thi m = n = k = 0. 
 → 
 ii) Với mọi véc tơ a tồn tại duy nhất một bộ 3 số thực x,y,z sao cho 
 → → → → 
 a = xU + yV + zW 
 → → → → → 
Các véc tơ U, V , W được gọi là cơ sở của a. Bộ sô (x,y,z) được gọi là toạ độ của a. 
 → → 
Véc tơ a có biễu diên như vậy được gọi là phân tích a theo một cơ sở. 
5.Góc tạo bởi hai véc tơ trong không gian. 
 Ðịnh nghĩa. 
 → → → 
 Cho hai véc tơ U , V khác 0. Gọi O là một điểm bất kỳ trong không gian và từ 
đó 
 → → → → ∧ → → 
ta dựng OA = U, OB = V, khi đó góc AOB là góc tạo bởi U và V.Ta thấy rằng nếu O’ 
là 
 → → → → → → → 
một điểm khác O và từ O’ ta dựng O’A’ = U, O’B’ = V, thì ta có OA = O’A’ , OB = 
 → → → ∧ ∧ 
O’B’ và AB = A’B’.Từ đó ta suy ra AOB =A’O’B’.Chứng tỏ góc tạo bởi hai véc tơ 
 5
không phụ thuộc cách chọn điểm O.Ta ký hiệu ( U , V ) là góc tạo bởi hai véc tơ U , 
V. 
 Góc tạo bởi một véc tơ không và một véc tơ khác không không xác định. 
 Tính chất. 
 → → → → → → → → 
i) Nếu U’ ↑↑ U và V’ ↑↑ V, thì ( U’ , V’ ) = ( U , V ). 
 → → → → → → 
ii) Nếu ( U , V ) = α , thì ( - U , V ) = ( U , - V ) = 1800 - α. 
 → → → → → → → → 
iii) Nếu U ↑↑ V , thì ( U , V ) = 0. Nếu U ↑↓ V , thì ( U , V ) = 1800. 
 Ðộ dài hình chiếu của một véc tơ trên một trục toạ độ 
 → 
 Cho AB và trục toạ độ Ox.Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B 
trên Ox. Ta gọi A’B’ là hình chiếu của AB trên Ox .Ta có hệ thức sau A’B’= 
AB.cosα, trong đó α là góc tạo bởi AB và véc tơ đơn vị trên Ox, A’B’ là độ dài đại số 
của A’B’ trên Ox. 
6.Tích vô hướng của hai véc tơ trong không gian. 
 Ðịnh nghĩa. 
 → → → 
 Cho hai véc tơ U và V khác 0.Tích vô hướng của hai véc tơ đó là một số thực 
bằng tích độ dài hai véc tơ nhân với cosα ; α là góc tạo bởi hai véc tơ đó. 
 → 
 Nếu một trong hai véc tơ bằng 0, thì tích vô hướng của chúng bằng 0.Ta ký hiệu 
 Tính chất. 
 → → → → 
• U . V = V . U . 
 → → → → → → → 
• U.( V + W ) = U. V + U. W. 
 → → → → 
• (k.U). V = k.( U .V ), k là số thực. 
 → → → → 
• U . U = ( U )2 = | U |2. 
 → → → → → → 
• | U . V | ≤ | U | . | V |. Dấu bằng trong bất đẳng thức xảy ra khi U // V. 
Hệ quả: Các hằng đẳng thức về tích vô hướng trong mặt phẳng vẫn còn hiệu lực trong 
không gian. 
→ → → → → → → → → → → → 
U. V = 0 ⇔ (U , V ) = 900 ; U. V > 0⇔ (U , V ) 900. 
 → → 
tích vô hướng của hai véc tơ là U . V. 
 6
Chương II. Các phép biến hình trong không gian 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 A. Ðại cương về biến hình trong không gian 
 1.Ðịnh nghiã. Trong không gian cho một quy tắc f.Với mỗi điểm M bất kỳ theo 
quy tắc f ta xác định được duy nhất điểm M’.Khi đó ta nói M’ là ảnh của M qua phép 
biến đổi f và được ký hiệu f : M → M’(đọc là f biến M thành M’).Ðiểm M được gọi là 
tạo ảnh của M’, f là một phép biến đổi hình học . 
 Từ định nghĩa ta suy ra rằng nếu M1’, M2’ tương ứng là ảnh của của M1,M2 trong 
phép biến đổi f và M1’ khác M2’, thì M1 và M2 là hai điểm phân biệt. 
 Nếu f được xác định cho mọi điểm trong không gian, thì ta nói f là phép biến đổi 
trong không gian. 
 2. Phép biến đổi 1-1. 
 Ta biết rằng mỗi ảnh của một điểm M qua phép biến đổi f có thể có nhiều tạo ảnh 
khác M.Nếu mỗi ảnh của M chỉ có duy nhất một tạo ảnh ứng với nó, thì ta nói f là phép 
biến đổi 1-1. 
 3.Phép biến đổi đồng nhất. 
 Ta nói f là phép biến đổi đồng nhất , nếu f biến mọi điểm M trong không gian thành 
chính M. 
 4. Phép biến đổi ngược. 
 Gỉa sử f : M → M’ với mọi điểm M trong không gian. Nếu tồn tại một phép biến 
đổi g biến M’ thành M, thì ta nói g là phép biến đổi ngược của f và f là phép biến đổi 
có ngược. 
 5.Tích của hai ( hoặc nhiều ) phép biến đổi 
 Cho hai phép biến đổi f và g. Với mỗi điểm M bất kỳ f : M→ M’ và g :M’→ M’’. 
Phép biến đổi biến M thành M’’ được gọi là tích của hai phép biến đổi f và g và ta ký 
hiệu tích của hai phép biến đổi đó là g•f : M → M’’ hoặc g(f) : M→ M’’. 
 Tóm lại tích của hai phép biến đổi là một phép biến đổi nhận được từ việc thực hiện 
liên tiếp theo một thứ tự xác định các phép biến đổi đã cho. 
 Cho n phép biến đổi (n > 2) f1,f2,..,fn.Tích của n phép biến đổi đã cho là một phép 
biến đổi F bằng cách thực hiện liên tiếp theo một thứ tự nhất định n phép biến đổi đó 
và ta viết F =fn•fn-1•..f2•f1. 
 6.Hai phép biến đổi trùng nhau. 
 Cho hai phép biến đổi f và g.Ta nói f và g trùng nhau (hoặc bằng nhau) và được ký 
hiệu f = g, nếu ảnh của mọi điểm M trong không gian của hai phép biến đổi đó trùng 
nhau . Nghĩa là với mọi điểm M , f : M → M’ và g : M → M’. 
 Cho một tập hợp điểm X.Ta nói f và g trùng nhau cục bộ trên X , nếu f và g trùng 
nhau trên tập hợp X. 
 7.Ðiểm bất động, đường thẳng bất động, mặt phẳng bất động của một phép 
biến đổi. 
 Ta nói điểm O là điểm bất động của một phép biến đổi f , nếu f biến O thành O. 
 Ta nói đường thẳng d là bất động của một phép biến đổi f, nếu mọi điểm thuộc d là 
điểm bất động của f. 
 7
 Ta nói mặt phẳng P là bất động của một phép biến đổi f, nếu mọi điểm thuộc P là 
bất động của f. 
 Ta nói đường thẳng d( mặt phẳng P) là bất biến của một phép biến đổi f, nếu f biến 
đường thẳng d (hoặc mặt phẳng P) thành chính nó. 
 Rõ ràng nếu đường thẳng d (hoặc mặt phẳng P) là bất động của phép biến đổi f, thì 
d (hoặc mặt phẳng P) là bất biến đối với f. 
 8.Ảnh của một hình qua một phép biến đổi . 
 Cũng như hình học phẳng, trong hình học không gian ta xem mỗi hình không gian 
là một tập hợp điểm .Cho một hình không gian F.Tập hợp ảnh của mọi  ... ép đối xứng Ð(d) biến ABCD thành chính nó , thì d phải đi qua giao điểm các đường 
chéo của hình bình hành và vuông góc với mặt phẳng chứa nó. 
 Hướng dẫn:Nếu Ð(d) biến ABCD thành chính nó, thì biến mặt phẳng (ABCD) 
thành chính nó. Vì vậy d vuông góc với (ABCD).Gọi O là giao điểm của d và mặt 
phẳng (ABCD), Nếu M là điểm bất kỳ thuộc hình bình hành ABCD và M’là ảnh của 
M thì O là trung điểm của MM’.Vậy O là tâm đối xứng biến M thành M’hay là tâm đối 
xứng của hình bình hành và d vuông góc với mặt phẳng (ABCD) 
4.Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD và SA=SC,SB=SD.CMR 
đường thẳng đi qua S và giao điểm các đường chéo hình bình hành là trục đối xứng của 
hình chóp đó. 
5.Cho tứ diện ABCD có AC=AD=BC=BD.Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh 
AB và CD.Trên cạnh AC ta lấy điểm K.Mặt phẳng đi qua K,M,N cắt BD tại L.CMR tứ 
giác MKNL có hai đường chéo vuông góc. 
 Hướng dẫn : MN là trục đối xứng biến A thành B, C thành D.Vì vậy K thành K’ 
thuộc cạnh BD và AK = BK’.Mặt khác MN cũng là trục đối xứng của mặt phẳng đi 
qua 3 điểm (K,M,N), nên K’ thuộc mặt phẳng đó.Vậy K’ là giao của BD với (KMN) 
hay K’ trùng với L. 
6.Cho hai đường thẳng x,y cắt và vuông góc với nhau tại O.Ta đặt Ð = 
Ð(y)•Ð(x).CMR Ð là phép đối xứng qua một đường thẳng z, trong đó z vuông góc với 
mặt phẳng chứa x,y tại O. 
 Hướng dẫn :Ta tìm đường thẳng bất động của Ð.Gọi z là đường thẳng bất động của 
Ð và M là điểm bất kỳ thuộc z.Theo định nghĩa Ð(x) : M→ M’, khi đó MM’ vuông góc 
với x tại trung điểm của nó.Ð(y) : M’→ M, khi đó M’M vuông góc với y tại trung điểm 
của nó.Vậy thì x, y cùng đi qua trung điểm của MM’ và vuông góc với nó.Ðiều đó 
 16
chứng tỏ giao điểm O của x và y là trung điểm của MM’và MM’ vuông góc với mặt 
phẳng chứa x,y.MM’ là đường thẳng z . 
 Gỉa sử X là điểm bất kỳ không thuộc z , X’ là ảnh của X qua phép biến đổi Ð(x), 
khi đó XX’ vuông góc với x tại trung điểm H của nó. X’’ là ảnh của X’ qua phép biến 
đổi Ð(y), khi đó X’X’’ vuông góc với y tại trung điểm K của nó.Ta cần chứng minh 
rằng z là đường trung trực của XX’’.Gọi I là giao điểm của đường thẳng kẻ qua X’ và 
song song với z.Hiển nhiên mặt phẳng (IXX’)//y và (IX’X’’)//x, do đó tứ giác OHIK là 
hình chữ nhật. Gọi N là trung điểm của XX’’, khi đó X’N đi qua giao điểm các đường 
chéo hình chữ nhật OHIK và nhận giao điểm đó là trung điểm. Vì vậy ON//X’I.Ðiều 
đó chứng tó N thuộc z.Mặt khác XX’’//KH , do đó XX’’⊥ z.Ðó là điều cần chứng 
minh. 
7.Tứ diện ABCD có diện tích hai tam giác ACD, BCD bằng nhau và ABC,ABD bằng 
nhau .Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD.CMR MN là trục đối xứng 
của tứ diện. 
 Hướng dẫn:Từ A ,B,M ta hạ các đường vuông góc xuống CD và ký hiệu H,K,M’ 
lần lượt là chân các đường vuông góc đó.Nếu 2 trong 3 điểm đó trùng nhau, thì cả 3 
điểm trùng nhau.Vì vậy tam giác AM’B cân tại M’.MM’ là đường vuông góc chung 
của AB và CD.Tam giác MCD cân tại M, vì CM và DM là hai đường cao của hai tam 
giác ABC và ABD.Do đó MM’ là trung tuyến của tam giác MCD và M’ trùng với N. 
 Trường hợp H,K,M’ khác nhau, khi đó tồn tại 3 mặt phẳng cùng vuông góc với CD 
và chứa các đường thẳng BK,AH,MM’.Theo định lý Ta lét ta có M’K=M’H.Do đó 
M’B =M’A.Tam giác M’AB cân tại M’ và MM’ là đường vuông góc chung của AB và 
CD. Tương tự ta cũng có NN’ là đường vuông góc chung của AB và CD. 
8.Cho hai đường thẳng (a) và (b) chéo nhau .CMR tồn tại một phép đối xứng biến a 
thành (a) và biến (b) thành (b). 
 Hướng dẫn : Gọi (c) là đường vuông góc chung của (a) và (b).Phép đối xứng 
qua(c) biến các đường thẳng đó thành chính nó 
9.CMR nếu một hình tứ diện có trục đối xứng, thì trục đối xứng đó không đi qua đỉnh 
của tứ diện. 
 Hướng dẫn.Ta xét tứ diện ABCD có trục đối xứng là d đi qua A.Với mỗi điểm M 
thuộc tứ diện tồn tại điểm M’ thuộc tứ diện đối xứng với M qua d.Ta dựng mặt phẳng 
P đi qua MM’ và d, khi đó P cắt tứ diện theo một thiết diện tam giác có một đỉnh là 
A.Vì d cũng là trục đối xứng của P, nên d là trục đối xứng của thiết diện.Thiết diện tam 
giác có trục đối xứng , thì tam giác đó cân tại A.Vậy d vuông góc với mặt BCD tại 
H.Do d là trục đối xứng của tam giác BCD không nằm trong mặt phẳng chứa tam giác 
đó , nên H là tâm đối xứng của tam giác đó.Ðiều này không thể xảy ra, vì tam giác 
không có tâm đối xứng. 
10.CMR đường chéo của một hình lập phương không thể là trục đối xứng của nó. 
 Hướng dẫn.Ta xét lập phương ABCDA’B’C’D’ và giả sử AC’ là trục đối xứng của 
nó.Ta xét thiết diện ABC’D’ của lập phương.Thiết diện đó là phần chung cuat lập 
phương và mặt phẳng P đi qua AC’.Ta biết rằng AC’ là trục đối xứng của P, do đó AC’ 
là trục đối xứng của phần chung hai hình.Vậy AC’ là trục đối xứng cỉa chính thiết diện 
 17
ABC’D’.Nếu một đường chéo tứ giác lồi là trục đối xứng , thì đường chéo đó là phân 
giác chung của hai góc tứ giác mà đỉnh là các đầu mút đường chéo. Vì vậy AB=AD’ 
Mâu thuẫn đó chứng minh bài toán. 
11.Cho hình lập phươngABCDA’B’C’D’.Ta xét một hình (F) gồm các đường thẳng 
AB, 
CC’ và A’D’.CMR (F) là hình có trục đối xứng. 
 Hướng dẫn. gọi I , J lần lượt là trung điểm của A’D’ và BC.Ðường thẳng IJ là trục 
đối xứng của (F). 
12.CMR nếu một hình chóp có trục đối xứng đi qua đỉnh , thì đáy của hình chóp là một 
đa giác có số chẵn cạnh. 
 Hướng dẫn.Gọi S là đỉnh của hình chóp và d là trục đối xứng của nó đi qua S . 
Nếu d song song với đáy hình chóp, thì ảnh của đáy thuộc một mặt phẳng song song 
với đáy của nó.Ðiều này không thể xảy ra vì các ảnh đó không thuộc hình chóp.Bởi 
vậy d phải cắt mặt phẳng đáy.Ta xét một thiết diện bất kỳ của hình chóp đi qua d.Thiết 
diện đó là một tam giác có trục đối xứng, nên tam giác đó cân tại đỉnh S.Vậy d vuông 
góc với cạnh đáy tam giác và do đó d vuông góc với đáy.Ðường thẳng d là trục đối 
xứng của đáy ,nên giao điểm của d với đáy là tâm đối xứng của đáy.Một đa giác có tâm 
đối xứng, thì số cạnh là chẵn. 
13.CMR nếu một hình lăng trụ tam giác có trục đối xứng, thì lăng trụ đó có cạnh bên 
vuông góc với đáy. 
 Hướng dẫn.Ta ký hiệu ABCA’B’C’ là hình lăng trụ có tính chất đã nêu trong bài 
toán (AA’//BB’//CC’) và d là trục đối xứng của nó.Hiển nhiên d không thể nằm trong 
mặt phẳng đáy lăng trụ, chẳng hạn d thuộc mặt phẳng (ABC),vì phép đối xứng qua d 
biến các đỉnh A’,B’,C’ nằm trong mặt phẳng song song với (ABC) và khác phía với 
(A’B’C’).Ðiều đó chứng tỏ ảnh của A’,B’,C’ không thuộc lăng trụ.Ta cũng thấy rằng d 
không cắt đáy của lăng trụ, vì nếu d cắt (ABC) tại O, thì ảnh của mỗi cạnh bên là một 
cạnh bên, điều đó chứng tỏ d phải thuộc một mặt bên.Ðiều đó không thể xảy ra.Vậy thì 
d song song với đáy của lăng trụ.Phép đối xứng qua d biến (ABC) thành (A’B’C’),mặt 
bên chứa A thành mặt bên chứa A’, vì vậy A thành A’.Ðiều đó chứng tỏ d vuông góc 
với AA’ hay AA’ vuông góc với đáy lăng trụ. 
14.CMR một hình nón tròn xoay có duy nhất một trục đối xứng. 
15.CMR hình trụ tròn xoay có vô số trục đối xứng. 
16.CMR một hình hộp chữ nhật không có quá 3 trục đối xứng. 
 Hướng dẫn.Ký hiệu ABCDA’B’C’D’ là hình hộp chữ nhật (AA’//BB’//CC’//DD’) 
và d là một trục đối xứng của nó.Hiển nhiên d không nằm trong mặt phẳng chứa mặt 
hình hộp, vì vậy d cắt hai mặt song song của hình hộp không thuộc cạnh hình 
hộp.Chẳng hạn d cắt ABCD tại I và A’B’C’D’ tại I’ là các điểm trong của hình chữa 
nhật(nếu I và I’ trùng với hai đỉnh nào đó, thì II’ là đường chéo hình hộp ,chẳng hạn đó 
là đường chéo AC’.Ðường chéo đó là trục đối xứng của các tứ giác ABC’D’ và 
AB’C’D.Ðiều này không thể xảy ra).Ta xét thiết diện tứ giác của hình hộp đi qua 
II’.Thiết diện đó là hình bình hành có trục đối xứng, nên nó là hình chữ nhật.Có ít nhất 
hai thiết diện khác nhau như thế, nên d vuông góc với ABCD và d// BB’.Xét thiết diện 
 18
đi qua BB’ và II’.Vì nó nhận II’ là trục đối xứng, do đó ảnh của BB’ là CC’.Ðiều đó 
chứng tỏ d đi qua giao điểm các đường chéo của hai mặt ABCD và A’B’C’D’. 
17.Một đa giác đều n- cạnh trong không gian có bao nhiêu trục đối xứng ? 
 Hướng dẫn. Với n chẵn số trục đố xứng của đa giác nằm trong mặt phẳng chứa nó 
bằng n.Vì đa giác có một tâm đối xứng, nên đường thẳng đi qua tâm đối xứng và 
vuông góc với mặt phẳng đa giác là một trục đối xứng nữa.Vậy só trục đối xứng là 
n+1. 
 Với n lẻ, số trục đối xứng nằm trong mặt phẳng bằng n.Ða giác không có tâm đối 
xứng, nên trục đối xứng của đa giác không nằm trong mặt phẳng chứa nó là không tồn 
tại. 
18.Một hình thang cân trong không gian có bao nhiêu trục đối xứng? 
 Trả lời : 1 , vì hình thang cân không có tâm đối xứng. 
19.Hình thoi trong không gian có bao nhiêu trục đối xứng ? 
 Trả lời : 3.Nếu một đa giác phẳng trong không gian có trục đối xứng không thuộc 
mặt phẳng chứa nó, thì đa giác đó có tâm đối xứng. 
 Dựng hình 
1.Cho mặt phẳng P và hai đường thẳng (x), (y) chéo nhau không thuộc P .Hãy tìm 
trong P điểm A và trên (y) điểm B sao (x) là đường trung trực của đoạn AB. 
 Hướng dẫn.Gọi (y’) là ảnh của (y) qua phép biến đổi Ð(x).Giao điểm của (y’)nếu 
có là điểm A.B là ảnh của A qua phép biến đổi đó 
2.Cho hai mặt phẳng P, Q và một đường thẳng (x) không nằm trong cả hai mặt phẳng 
đó.Hãy tìm điểm A trong P sao cho tồn tại trong Q điểm B đối xứng với A qua (x). 
3.Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d.Hãy dựng một tứ diện đều có một đỉnh 
là A và đường thẳng d đi qua trung điểm hai cạnh chéo nhau của tứ diện. 
 Hướng dẫn. Gọi B là điểm đối xứng của A qua d, M là giao của AB và d.Dựng 
điểm N trên d sao cho MN = AM 2 .Dựng đường thẳng d’ đi qua N vuông góc đồng 
thời với d và AB.Trên d’ dựng các điểm C và D sao cho NC=ND = AM. 
4.Cho điểm A và đường thẳng d không đi qua A.Hãy dựng một hình lập phương sao 
cho A là một đỉnh, d là đường thẳng đi qua tâm hai mặt song song của nó. 
 Tìm tập hợp điểm 
1.Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’.Trên đoạn AC và B’D’ ta lấy lần lượt các 
điêm M,N sao cho AM = D’N.Tìm tập hợp trung điểm của đoạn MN, khi M và N biến 
thiên. 
 Hướng dẫn : Gọi I, J lần lượt là trung điểm các đoạn AD’ và B’C.Khi đó IJ là trục 
đối xứng biến A thành D’ và C thành B’.Vì vậy M thành M’ thuộc đoạn D’B’ và AM = 
D’M’. Theo giả thiếtAM = D’N, do đó M’ và N trùng nhau.Vậy trung điểm của MN 
thuộc đoạn IJ.Nếu AC =B’D’ , thì tập hợp cần tìm là đoạn IJ.Nếu AC ≠ B’D’, thì tập 
hợp cần tìm là một tập hợp con thuộc đoạn IJ. 
2.Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy là tam giác cân ABC (AB=AC).Trên các cạnh 
AC và A’B’ ta lấy các điểm tương ứng M và M’ sao cho AM =A’M’.Tìm tập hợp 
trung điểm của đoạn MM’. 
 19
 Hướng dẫn. Gọi I,J là trung điểm cạnh bên AA’ và giao các đường chéo hình chữ 
nhật BCC’B’.Hiển nhiên IJ là trục đối xứng của hai đoạn AC và A’B’.Vậy M và M’ 
cũng đối xứng với nhau qua IJ.Trung điểm của MM’ thuộc đoạn IJ. 
3.Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành ABCD và các cạnh bên SA=SC, SB 
= SD.Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh SA và SC.Trên các đoạn BM và DN ta 
lấy các điểm tương ứng K và H sao cho 
BK
BM = 
DH
DN .Tìm tập hợp trung điểm của đoạn 
KH. 
 Hướng dẫn. Gọi O là giao điểm các đường chéo đáy, khi đó SO là trục đối xứng 
của hai đoạn BM và DN.