Ví dụ 2.2.1.
Cho ∆ABC . Đường phân giác trong các góc A, B,C cắt ñường tròn ngoại tiếp ∆ABC lần lượt tại A1, B1,C1 . CMR :
S ABC ≤ S A1B1C1
Lời giải :
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC thì nó cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆A1B1C1 .
Bất đẳng thức cần chứng minh tương ñương với :
2R2 sin Asin B sin C ≤ 2R2 sin A1 sin B1 sin C1
Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 31 Chương 2 : Các phương pháp chứng minh Chứng minh bất ñẳng thức ñòi hỏi kỹ năng và kinh nghiệm. Không thể khơi khơi mà ta ñâm ñầu vào chứng minh khi gặp một bài bất ñẳng thức. Ta sẽ xem xét nó thuộc dạng bài nào, nên dùng phương pháp nào ñể chứng minh. Lúc ñó việc chứng minh bất ñẳng thức mới thành công ñược. Như vậy, ñể có thể ñương ñầu với các bất ñẳng thức lượng giác, bạn ñọc cần nắm vững các phương pháp chứng minh. ðó sẽ là kim chỉ nam cho các bài bất ñẳng thức. Những phương pháp ñó cũng rất phong phú và ña dạng : tổng hợp, phân tích, quy ước ñúng, ước lượng non già, ñổi biến, chọn phần tử cực trị Nhưng theo ý kiến chủ quan của mình, những phương pháp thật sự cần thiết và thông dụng sẽ ñược tác giả giới thiệu trong chương 2 : “Các phương pháp chứng minh”. Mục lục : 2.1. Biến ñổi lượng giác tương ñương ... 32 2.2. Sử dụng các bước ñầu cơ sở ... 38 2.3. ðưa về vector và tích vô hướng .. 46 2.4. Kết hợp các bất ñẳng thức cổ ñiển .. 48 2.5. Tận dụng tính ñơn diệu của hàm số 57 2.6. Bài tập . 64 Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 32 2.1. Biến ñổi lượng giác tương ñương : Có thể nói phương pháp này là một phương pháp “xưa như Trái ðất”. Nó sử dụng các công thức lượng giác và sự biến ñổi qua lại giữa các bất ñẳng thức. ðể có thể sử dụng tốt phương pháp này bạn ñọc cần trang bị cho mình những kiến thức cần thiết về biến ñổi lượng giác (bạn ñọc có thể tham khảo thêm phần 1.2. Các ñẳng thức,bất ñẳng thức trong tam giác). Thông thường thì với phương pháp này, ta sẽ ñưa bất ñẳng thức cần chứng minh về dạng bất ñẳng thức ñúng hay quen thuộc. Ngoài ra, ta cũng có thể sử dụng hai kết quả quen thuộc 1cos;1sin ≤≤ xx . Ví dụ 2.1.1. CMR : 7 cos3 14 sin2 14 sin1 pi pi pi > − Lời giải : Ta có : ( )1 7 3 cos 7 2 cos 7 cos 14 sin2 14 sin1 7 3 cos 7 2 cos 7 cos 14 sin2 14 5 sin 14 7 sin 14 3 sin 14 5 sin 14 sin 14 3 sin 14 sin1 pipipi pi pi pipipipi pipipipipipipi ++= − ⇒ ++= −+−+−=− Mặt khác ta có : ( )2 7 cos 7 3 cos 7 3 cos 7 2 cos 7 2 cos 7 cos 7 2 cos 7 4 cos 7 cos 7 5 cos 7 3 cos 7 cos 2 1 7 cos pipipipipipi pipipipipipipi ++= +++++= ðặt 7 3 cos; 7 2 cos; 7 cos pipipi === zyx Khi ñó từ ( ) ( )2,1 ta có bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : ( ) ( )33 zxyzxyzyx ++>++ mà 0,, >zyx nên : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )403 222 >−+−+−⇔ xzzyyx Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 33 Vì zyx ,, ñôi một khác nhau nên ( )4 ñúng ⇒ñpcm. Như vậy, với các bất ñẳng thức như trên thì việc biến ñổi lượng giác là quyết ñịnh sống còn với việc chứng minh bất ñẳng thức. Sau khi sử dụng các biến ñổi thì việc giải quyết bất ñẳng thức trở nên dễ dàng thậm chí là hiển nhiên (!). Ví dụ 2.1.2. CMR : ( )xbcxcaxabcba sin2cos3sin2222 −+≥++ Lời giải : Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0cos2sinsin2cos 0coscos2sin22sin sin22cos2sin2cos2sin2cos sin22cos2 cos2sin2cossin2cossin2cos2sin 22 2222 22222 2222222 ≥−+−−⇔ ≥+−+ +−−++⇔ −+ ++≥++++ xbxacxbxa xbxxabxa xbcxcaxxabcxbxa xbcxca xxxxabcxxbxxa Bất ñẳng thức cuối cùng luôn ñúng nên ta có ñpcm. Ví dụ 2.1.3. CMR với ABC∆ bất kỳ ta có : 4 9 sinsinsin 222 ≤++ CBA Lời giải : Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : ( ) ( ) ( ) ( ) 0sin 4 1 2 cos cos 0 4 1 coscoscos 0 4 12cos2cos 2 1 cos 4 9 2 2cos1 2 2cos1 cos1 2 2 2 2 2 ≥−+ − −⇔ ≥+−−⇔ ≥+++⇔ ≤−+−+− CBCBA CBAA CBA CBA ⇒ñpcm. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ABC∆ ñều. Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 34 Ví dụ 2.1.4. Cho ( )Zkk ∈+≠ pipiγβα 2 ,, là ba góc thỏa 1sinsinsin 222 =++ γβα . CMR : γβααγγββα 222 2 tantantan21 3 tantantantantantan −≤ ++ Lời giải : Ta có : γβααγγββα γβα γβα γβα 222222222 222 222 222 tantantan21tantantantantantan 2 tan1 1 tan1 1 tan1 1 2coscoscos 1sinsinsin −=++⇔ = + + + + + ⇔ =++⇔ =++ Khi ñó bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : ( ) ( ) ( ) 0tantantantantantantantantantantantan tantantantantantan 3 tantantantantantan 222 222222 2 ≥−+−+−⇔ ++≤ ++ βααγαγγβγββα αγγββααγγββα ⇒ñpcm. ðẳng thức xảy ra γβα βααγ αγγβ γββα tantantan tantantantan tantantantan tantantantan ==⇔ = = = ⇔ Ví dụ 2.1.5. CMR trong ABC∆ bất kỳ ta có : ++≥++ 2 tan 2 tan 2 tan3 2 cot 2 cot 2 cot CBACBA Lời giải : Ta có : 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot CBACBA =++ ðặt 2 cot; 2 cot; 2 cot C z ByAx === thì =++ > xyzzyx zyx 0,, Khi ñó bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 35 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 3 3 1113 222 2 ≥−+−+−⇔ ++≥++⇔ ++≥++⇔ ++≥++ xzzyyx zxyzxyzyx xyz zxyzxy zyx zyx zyx ⇒ñpcm. ðẳng thức xảy ra CBA cotcotcot ==⇔ CBA ==⇔ ABC∆⇔ ñều. Ví dụ 2.1.6. CMR : xxx cos2 2 sin3 1 sin3 1 + ≤ − + + Lời giải : Vì 1sin1 ≤≤− x và 1cos −≥x nên : 0sin3;0sin3 >−>+ xx và 0cos2 >+ Khi ñó bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : ( ) ( ) ( ) ( )( ) 02cos1cos 04cos6cos2 cos1218cos612 sin92cos26 2 2 2 ≥−−⇔ ≥+−⇔ −−≤+⇔ −≤+ xx xx xx xx do 1cos ≤x nên bất ñẳng thức cuối cùng luôn ñúng ⇒ñpcm. Ví dụ 2.1.7. CMR 2 ; 3 piβαpi <≤∀ ta có : − −≤− + 1 cos 11 cos 11 coscos 2 βαβα Lời giải : Từ 2 1 cos;cos0 2 ; 3 ≤<⇒<≤∀ βαpiβαpi Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 36 do ñó ≤< ≤+< 4 1 coscos0 1coscos0 βα βα ðặt βαβα coscos;coscos =+= ba Bất ñẳng thức ñã cho trở thành : ( ) ( ) ( )( ) 041 044 12 12 12 2 23 22 2 ≤−−⇔ ≤+−−⇔ +−≤−⇔ +−≤ − ⇔ +−≤− baa babaa baaba b ba a a b ba a a Bất ñẳng thức cuối cùng ñúng vì 1≤a và ( ) ⇒≥−=− 0coscos4 22 βαba ñpcm. Ví dụ 2.1.8. Cho các góc nhọn a và b thỏa 1sinsin 22 <+ ba . CMR : ( )baba +<+ 222 sinsinsin Lời giải : Ta có : 1 2 sinsin 22 = −+ aa pi nên từ ñiều kiện 1sinsin 22 <+ ba suy ra : 2 0; 2 pipi <+<−< baab Mặt khác ta có : ( ) babaabbaba coscossinsin2cossincossinsin 22222 ++=+ nên thay bb 22 sin1cos −= vào thì bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : ( )ba baba bababa +<⇔ <⇔ < cos0 coscossinsin coscossinsin2sinsin2 22 (ñể ý 0sinsin2 >ba nên có thể chia hai vế cho ba sinsin2 ) Bất ñẳng thức sau cùng hiển nhiên ñúng do ⇒<+< 2 0 piba ñpcm. Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 37 Ví dụ 2.1.9. Cho ABC∆ không vuông. CMR : ( ) ACCBBACBACBA 222222222222 tantantantantantan9tantantan5tantantan3 +++≤++− Lời giải : Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 0sincoscos2 01coscos4cos4 01cos4coscos2 01cos42cos2cos2 4 3 cos 2 2cos1 2 2cos1 4 3 coscoscos coscoscos 1 coscos 1 coscos 1 coscos 1 coscoscos 4 coscoscos 183 cos 1 cos 1 cos 141 cos 11 cos 11 cos 14 tan1tan1tan18tantantan4tantantan4 22 2 2 2 2 222 222222222222 222222222 222222222 ≥−+−−⇔ ≥+−−⇔ ≥++−+⇔ ≥+++⇔ ≥++++⇔ ≥++⇔ ≤ ++−⇔ ≤− −++− − − −⇔ +++≤−++− BABAC BACC CBABA CBA CBA CBA CBAACCBBACBA CBACBACBA CBACBACBA ⇒ñpcm. Ví dụ sau ñây, theo ý kiến chủ quan của tác giả, thì lời giải của nó xứng ñáng là bậc thầy về biến ñổi lượng giác. Những biến ñổi thật sự lắt léo kết hợp cùng bất ñẳng thức một cách hợp lý ñúng chỗ ñã mang ñến cho chúng ta một bài toán thật sự ñặc sắc !!! Ví dụ 2.1.10. Cho nửa ñường tròn bán kính R , C là một ñiểm tùy ý trên nửa ñường tròn. Trong hai hình quạt nội tiếp hai ñường tròn, gọi M và N là hai tiếp ñiểm của hai ñường tròn với ñường kính của nửa ñường tròn ñã cho. CMR : ( )122 −≥ RMN Lời giải : Gọi 21 ,OO là tâm của hai ñường tròn. ðặt α2=∠CON (như vậy 20 pi α << ) và 2211 ; ROOROO == Ta có : α pi α −=∠ =∠ 21 2 OMO ONO Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 38 NM O O1 O2 C Vậy : αααα pi cottancot 2 cot 2121 RRRRONMOMN +=+ −=+= Trong ∆ vuông MOO1 có : ( ) ( ) α α αα αα pi cos1 cos coscos1 cos 2 sin 11 111 + =⇒=+ −= −= RRRR RROOR Tương tự : ( ) α α αα sin1 sin sinsin 2222 + =⇒−== RRRROOR Do ñó : ( )( ) 1cossin 2 2 cos 2 sin 2 cos 1 2 cos2. 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos2 cos1sin1 1cossin sin1 cos cos1 sin sin cos sin1 sin cos sin cos1 cos 2 2 ++ = + = + + = ++ ++ = + + + = ⋅ + +⋅ + = αα ααα ααα ααα αα αα α α α α α α α α α α α α R R R R RR RRMN mà ( )⇒−= + ≥⇒≤ −≤+ 122 12 22 4 2cossin RRMNpiααα ñpcm. ðẳng thức xảy ra MNOC ⊥⇔=⇔ 4 pi α . 2.2. Sử dụng các bước ñầu cơ sở : Các bước ñầu cơ sở mà tác giả muốn nhắc ñến ở ñây là phần 1.2. Các ñẳng thức, bất ñẳng thức trong tam giác. Ta sẽ ñưa các bất ñẳng thức cần chứng minh về các bất ñẳng thức cơ bản bắng cách biến ñổi và sử dụng các ñẳng thức cơ bản. Ngoài ra, khi tham gia các kỳ thi, tác giả khuyên bạn ñọc nên chứng minh các ñẳng thức, bất ñẳng thức cơ bản sử dụng như một bổ ñề cho bài toán. Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 39 C1 C B1 B A1 A Ví dụ 2.2.1. Cho ABC∆ . ðường phân giác trong các góc CBA ,, cắt ñường tròn ngoại tiếp ABC∆ lần lượt tại 111 ,, CBA . CMR : 111 CBAABC SS ≤ Lời giải : Gọi R là bán kính ñường tròn ngoại tiếp ABC∆ thì nó cũng là bán kính ñường tròn ngoại tiếp 111 CBA∆ . Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : ( )1sinsinsin2sinsinsin2 11122 CBARCBAR ≤ Do 2 ; 2 ; 2 111 BACACBCBA +=+=+= nên : ( ) ( )2 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 sin8 2 si ... 2 cot 2 cot 2 cot 2 BACACCBACCB = ≥ + + Tương tự : ( ) ( )3cotcotcot4 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2cotcotcot4 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 2 ACBCBBA CBABAAC ≥ + + ≥ + + Từ ( )( )( )321 suy ra : ( )4 2 cot 2 cot 2 cot12 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 3 222 CBABAAC BAACBAAC ≥ + ++ + + ++ + + Mặt khác ta có : ( )527 2 cot 2 cot 2 cot33 2 cot 2 cot 2 cot 222 ≥⇒≥ CBACBA Từ ( )( )54 suy ra : ( )6363.12 2 cot 2 cot 2 cot123 222 =≥CBA Từ ( )( )64 suy ra ñpcm. 2.5. Tận dụng tính ñơn ñiệu của hàm số : Chương này khi ñọc thì bạn ñọc cần có kiến thức cơ bản về ñạo hàm, khảo sát hàm số của chương trình 12 THPT. Phương pháp này thực sự có hiệu quả trong các bài bất ñẳng thức lượng giác. ðể có thể sử dụng tốt phương pháp này thì bạn ñọc cần ñến những kinh nghiệm giải toán ở các phương pháp ñã nêu ở các phân trước. Ví dụ 2.5.1. CMR : pi x x 2 sin > với ∈ 2 ;0 pix Lời giải : Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 58 Xét ( ) pi 2sin −= x x xf với ∈ 2 ;0 pix ( ) 2 sincos' x xxx xf −=⇒ Xét ( ) xxxxg sincos −= với ∈ 2 ;0 pix ( ) ( )xgxxxxg ⇒ ∈∀<−=⇒ 2 ;00sin' pi nghịch biến trên khoảng ñó. ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒= >⇒<⇒=<⇒ 0 2 0'00 pifxfxfgxg ñpcm. Ví dụ 2.5.2. CMR : x x x cos sin 3 > với 2 ;0 pi Lời giải : Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : ( ) ( ) 0cossin cos sin 3 1 3 1 >−⇔ > − xx x x Xét ( ) ( ) xxxxf −= −31cossin với ∈ 2 ;0 pix Ta có : ( ) ( ) ( ) 1cossin 3 1 cos' 3 4 23 2 −−= − xxxxf ( ) ( ) ( ) ( ) ∈∀>+−= −− 2 ;00cossin 9 4 sin1cos 3 2 '' 4 7 33 1 pi xxxxxxf ( )xf '⇒ ñồng biến trong khoảng ñó ( ) ( ) 00'' =>⇒ fxf ( )xf⇒ cũng ñồng biến trong khoảng ñó ( ) ( ) ⇒=>⇒ 00fxf ñpcm. Ví dụ 2.5.3. CMR nếu a là góc nhọn hay 0=a thì ta có : 1tansin 222 +≥+ aaa Lời giải : Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 59 Áp dụng AM – GM cho hai số dương asin2 và atan2 ta có : aaaaaa tansintansintansin 2222222 +=≥+ Như vậy ta chỉ cần chứng minh : aaa 2tansin >+ với 2 0 pi<< a Xét ( ) xxxxf 2tansin −+= với ∈ 2 ;0 pix Ta có : ( ) ( ) ( )[ ] ∈∀>−+−=+−=−+= 2 ;00 cos cos1cos1cos1 cos 1cos2cos2 cos 1 cos' 22 23 2 pi x x xxx x xx x xxf ( )xf⇒ ñồng biến trên khoảng ñó ( ) ( )0faf >⇒ với aaaa 2tansin 2 ;0 >+⇒ ∈ pi 12tansin 22222 ++ =≥⇒ aaaa 1tansin 222 +≥+⇒ aaa (khi 0=a ta có dấu ñẳng thức xảy ra). Ví dụ 2.5.4. CMR trong mọi tam giác ta ñều có : ( ) CBACBABABABA coscoscoscoscoscos 12 13 coscoscoscoscoscos1 +++≤+++ Lời giải : Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : ( ) ( )CBABABABACBA coscoscos 6 131coscoscoscoscoscos2coscoscos21 ++≥++++− ( ) ( )CBABABABACBA coscoscos 6 131coscoscoscoscoscos2coscoscos 222 ++≥++++++⇔ ( ) ( )CBACBA coscoscos 6 131coscoscos 2 ++≤+++⇔ 6 13 coscoscos 1 coscoscos ≤ ++ +++⇔ CBA CBA ðặt 2 31coscoscos ≤<⇒++= tCBAt Xét hàm ñặc trưng : ( ) t ttf 1+= với ∈ 2 3 ;1t Ta có : ( ) ( )xft x xf ⇒ ∈∀>−= 2 3 ;1011' 2 ñồng biến trên khoảng ñó. ( ) ⇒= ≤⇒ 6 13 2 3fxf ñpcm. Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 60 Ví dụ 2.5.5. Cho ABC∆ có chu vi bằng 3. CMR : ( ) 2222 4 13 sinsinsin8sinsinsin3 R CBARCBA ≥+++ Lời giải : Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : ( )( )( ) 13sin2sin2sin24sin4.3sin4.3sin4.3 222222 ≥+++ CRBRARCRBRAR 134333 222 ≥+++⇔ abccba Do vai trò của cba ,, là như nhau nên ta có thể giả sử cba ≤≤ Theo giả thiết : 2 3133 −⇒>+⇒=++ ccccbacba Ta biến ñổi : ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cabcc cabcc ababccc abccabba abccba abccbaT 232333 322333 64333 4323 433 4333 22 22 22 22 222 222 −−+−= −++−= −++−= ++−+= +++= +++= vì 023032 2 3 >−⇒<−⇒< ccc và 222 2 322 2 3 2 − −≥−⇒ − = +≤ cabcbaab Do ñó : ( ) ( )ccccT 23 2 32333 2 22 − − −+−≥ ( )cfcc =+−= 2 27 2 3 23 Xét ( ) 2 27 2 3 23 +−= cccf với 2 31 <≤ c ( ) ( )cfccccf ⇒ ∈∀≥−=⇒ 2 3 ;1033' 2 ñồng biến trên khoảng ñó. ( ) ( ) ⇒=≥⇒ 131fcf ñpcm. Ví dụ 2.5.6. Cho ABC∆ bất kỳ. CMR : 33 282 ≥+ r p S r Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 61 Lời giải : Ta có : ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) p cp p bp p apCBA cpp bpapC bpp apcpB app cpbpA − ⋅ − ⋅ − =⇒ − −− = − −− = − −− = 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan 2 tan và ( )( )( ) p cp p bp p ap p cpbpapp p S S r − ⋅ − ⋅ − = −−− == 22 2 Do ñó : 2 tan 2 tan 2 tan 2 CBA S r = Mặt khác : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 cot 2 cot 2 cot 2 cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 tansinsinsin2 sinsinsin2 2 tan 2 tan2 CBA A A CBA CBA AACBR CBAR A acb cba A ap cba r p == −+ ++ = −+ ++ = − ++ = Khi ñó bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : 33 28 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 2 cot 1 33 28 2 cot 2 cot 2 cot 2 tan 2 tan 2 tan ≥+⇔ ≥+ CBA CBA CBACBA ðặt 33 2 cot 2 cot 2 cot ≥⇒= tCBAt Xét ( ) t ttf 1+= với 33≥t ( ) 33011' 2 ≥∀>−=⇒ tttf ( ) ( ) ⇒=+==⇒ 33 28 33 13333min ftf ñpcm. Ví dụ 2.5.7. Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 62 CMR với mọi ABC∆ ta có : ( )( )( ) 2 33 38222 eRcRbRaR <+++ Lời giải : Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với : ( )( )( ) 2 33 2 33 2 33 sin1sin1sin1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 eCBA e R c R b R a e R cR R bR R aR <+++⇔ < + + +⇔ < + ⋅ + ⋅ + Xét ( ) ( ) xxxf −+= 1ln với 10 << x ( ) ( )1;00 1 1 1 1 ' ∈∀< + −=− + =⇒ x x x x xf ( )xf⇒ nghịch biến trên khoảng ñó ( ) ( ) 00 =<⇒ fxf ( ) xx <+⇒ 1ln Lần lượt thay { }CBAx sin,sin,sin= vào bất ñẳng thức trên rồi cộng lại ta ñược : ( ) ( ) ( ) ( )( )( )[ ] ( )( )( ) CBAeCBA CBACBA CBACBA sinsinsinsin1sin1sin1 sinsinsinsin1sin1sin1ln sinsinsinsin1lnsin1lnsin1ln ++<+++⇔ ++<+++⇔ ++<+++++ mà ( )( )( ) ⇒<+++⇒≤++ 2 33 sin1sin1sin1 2 33 sinsinsin eCBACBA ñpcm. Ví dụ 2.5.8. Cho ABC∆ . CMR : ( )( )( ) 16 125 cos1cos1cos1 222 ≥+++ CBA Lời giải : Không mất tổng quát giả sử { }CBAC ,,min= .Ta có : ( )( ) + + + +=++ 2 2cos11 2 2cos11cos1cos1 22 BABA Xét ( )( ) ( )( )BABAP 2cos32cos3cos1cos14 22 ++=++= ( ) BABAP 2cos2cos2cos2cos39 +++=⇒ ( ) ( ) ( ) ( )[ ]BABABABA 22cos22cos 2 1 coscos69 −+++−++= Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 63 ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 1coscoscoscos69 2cos2cos2 2 1 coscos69 22 22 −+++−−= −++++−−= BACBAC BABABAC do ( ) 1cos ≤− BA ( )22 cos3coscos69 CCCP −=+−≥⇒ mà 0cos >C ( ) ( ) ( )CCCP 222 cos1cos3cos1 +−≥+⇒ Mặt khác ta có : 2 1 cos600 0 ≥⇒≤< CC Xét ( ) ( ) ( )22 13 xxxf +−= với ∈ 1; 2 1 x ( ) ( )( )( ) ∈∀≥−−−=⇒ 1; 2 1012132' xxxxxf ( )xf⇒ ñồng biến trên khoảng ñó. ( ) ( )( )( ) ⇒≥+++⇒= ≥⇒ 16 125 cos1cos1cos1 16 125 2 1 222 CBAfxf ñpcm. Ví dụ 2.5.9. Cho ABC∆ bất kỳ. CMR : ( ) 32cotcot sin 1 sin 12 ≤+− + CB CB Lời giải : Xét ( ) x x xf cot sin 2 −= với ( )pi;0∈x ( ) ( ) 3 0' sin cos21 sin 1 sin cos2 ' 222 pi =⇔=⇒ − =+−=⇒ xxf x x xx x xf ( ) 3cot sin 23 3 max ≤−⇒= =⇒ x x fxf pi Thay x bởi CB, trong bất ñẳng thức trên ta ñược : ⇒ ≤− ≤− 3cot sin 2 3cot sin 2 C C B B ñpcm. Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 64 Ví dụ 2.5.10. CMR : 20 720sin 3 1 0 << Lời giải : ðặt 2 1030sin020sin 00 <<⇒<<⇒= aaa Ta có : 2 34320sin420sin320.3sin60sin 2 3 303000 =−⇒−=== aa aaa ⇒=+−⇒ 0 2 334 3 là nghiệm của phương trình : 0 2 334 3 =+− xx Xét ña thức : ( ) 2 334 3 +−= xxxf Ta có : ( ) 0 2 23 2 311 <−=+−=−f ( ) ( ) ( ) 0010 2 30 = fff Bởi vì ( )xf liên tục trên toàn trục số .Do ñó ña thức ( )xf có một nghiệm thực trên khoảng ( )0;1− Lại có : 0 20 7 3 1 0 2000 175731000 20 7 0 54 46327 3 1 < ⇒ < − = > − = ff f f ⇒ ña thức ( )xf có một nghiệm thực trên khoảng 20 7 ; 3 1 Lại có : 0 2 23 2 1 < − = f và ( ) ( ) 01 2 10 2 231 < ⇒> + = fff ⇒ ña thức ( )xf có một nghiệm thực trên khoảng 1; 2 1 Bởi vì aa ⇒ ∈ 2 1 ;0 là nghiệm thực trên khoảng ⇒ 20 7 ; 3 1 ñpcm. 2.6. Bài tập : Cho ABC∆ . CMR : Trường THPT chuyên Lý Tự Trọng – Cần Thơ Bất ñẳng thức lượng giác Chương 2 Các phương pháp chứng minh The Inequalities Trigonometry 65 2.6.1. ( ) 2 5 cos2cos2cos3 ≤+− BCA 2.6.2. 42cos322cos22cos3 −≥++ CBA 2.6.3. ( )( ) ( ) 542cos532cos2cos15 +≤+−++ CBA 2.6.4. 34 2 tan 2 tan 2 tan −≥++ CBA với ABC∆ có một góc 3 2pi≥ 2.6.5. 2222 4 1111 rcba ≤++ 2.6.6. cba r c r b r a r abc 333 ++≥ 2.6.7. ( )( )( ) 2 3 < +++ + + + + + + accbba abc ba c ac b cb a 2.6.8. CBA CBA tantantan 2 1 2 3 2sin 1 2sin 1 2sin 1 +≥++ 2.6.9. 32 tan 2 tan 2 tan cbaC c BbAa ++≥++ 2.6.10. ( ) 36 1 sinsinsin sinsinsin 2 ≤++ CBA CBA 2.6.11. 2 sin 2 sin 2 sin9coscoscos1 CBACBA ≥+ 2.6.12. rRmmm cba +≤++ 4 2.6.13. 2phhhhhh accbba ≤++ 2.6.14. ( )( ) ( )( ) ( )( ) 22222 Rpbpapcapcpbcpbpa ≤−−+−−+−− 2.6.15. ( )( )( ) CBACBA coscoscoscos1cos1cos1 ≥−−−
Tài liệu đính kèm: