Chuẩn kiến thức Toán 12

Chương I
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Bài 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
 1/ Giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng (a ; b). Ta có:
 a) Điều kiện đủ:
 - f’(x) > 0 trên khoảng (a ; b) f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b).
 - f’(x) < 0 trên khoảng (a ; b) f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b).
 b) Điều kiện cần.
 - f(x) đồng biến trên khoảng (a ; b) f’(x) trên khoảng (a ; b).
 - f(x) nghịch biến trên khoảng (a ; b) trên khoảng (a ; b).
 2/ Phương pháp tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Tìm TXĐ của hàm số.
Tính y’, giải phương trình y’ = 0.
Lập bảng xét dấu y’.
Sử dụng điều kiện đủ của tính đơn điệu để kết luận.
Chú ý: Trong điều kiện đủ, nếu f’(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm thuộc (a ; b) thì kết luận vẫn đúng 
Cần nhớ: f(x) = ax2 + bx + c
 . Nếu thì f(x) luôn cùng dấu a.
 . Nếu thì f(x) luôn cùng dấu a 
 . Nếu thì f(x) có hai nghiệm x1 , x2 . Ta có bảng xét dấu sau:
 x - x1 x2 +
 f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a 
Đặc biệt: + 
 + 
 + có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và x1 < < x2 .
 3, Áp dụng tính đơn điệu trong bài toán phương trình, bất phương trình
 H1 - Tìm ĐKXĐ. Chuyển về dạng f(x) = k.
 - Xét hsố y = f(x) , C/m hsố đơn điệu /D . Tìm x0 sao cho f(x0) = k
 - NX : với x = x0 thì f(x) = f(x0) = k nên pt có nghiệm x = x0
 x > x0 thì f(x) > f(x0) = k nên pt vô nghiệm
 x < x0 thì f(x) < f(x0) = k nên pt vô nghiệm
 - Vậy pt có nghiệm duy nhất x = x0
 H2 - Tìm ĐKXĐ. Chuyển về dạng f(x) = g(x)
 - Xét hsố y = f(x) và y = g(x) C/m hsố f(x) ĐB /D , g(x) NB/D. 
 - Hsố y = f(x) tăng /D, y = g(x) giảm /D nên 2 đồ thị cắt nhau không quá 1 điểm suy ra pt có 
 không quá 1 nghiệm
 - Tìm x0 sao cho f(x0) = g(x0) nên pt có nghiệm duy nhất x = x0
 Bài toán giải BPT :
 - Tìm ĐKXĐ. Chuyển về dạng f(x) > k.
 - Xét hsố y = f(x) , C/m hsố đơn điệu /D ) giả sử ĐB. Tìm x0 sao cho f(x0) = k
 - NX : với x x0 thì f(x) f(x0) = k nên BPT vô nghiệm
 x > x0 thì f(x) > f(x0) = k nên BPT có nghiệm x > x0
BÀI TẬP
I, Các bài tập thường gặp
1. Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số.
 a) y = 4 + 3x – x2	 b) y = 2x3 – 6x + 2 c) y = - d) y = x3 + 3x + 1
 e) y = f) y = x4 – 2x2 + 3 g) y = -x4 + 2x2 – 1 h) y = x4 + x2 
 k) y = l) y = m) y = n) y = x + 
 p) y = q) y = r) y = x + s) y = x + 
2. Tìm m để các hàm số sau đồng biến trên R.
 a) y = x3 – 3mx2 + (m + 2)x – 1 ĐS : 
 b) y = mx3 – (2m – 1)x2 + 4m – 1 ĐS : m = 
3, Tìm m để các hàm số sau nghịch biến trên TXĐ
 a) y = ĐS : 
 b) y = ĐS : 
4. Tìm m để các hàm số :
 a) y = đồng biến trên từng khoảng xác định của hàm số. ĐS : m 1
 b) y = nghịch biến trên từng khoảng xác định của hàm số. ĐS : 
5. Chứng minh rằng :
 a) Hàm số y = sin2x + cosx đồng biến trên và nghịch biến trên .
 b) Hàm số y = tanx – x đồng biến trên nửa khoảng 
II, Áp dụng vào bài toán chứng minh BĐT, phương trình, bất phương trình
BT1 : Giải phương trình
 a, HD : Đk : x . Đặt f(x) = VT, có f’(x) >0 mọi x nên f(x) đb/TXD
 y = 1 là hàm ko đổi nên pt có nghiệm duy nhất x = 1/2
b, 
 c, 
d, 
e, 
BT2 : Giải bất phương trình :
a, HD : Đk : x . Đặt f(x) = VT, có f’(x) >0 mọi x nên f(x) đb/TXD
 Lại có x > -2 nên f(x) > f(-2) = 3 do vậy Bpt có nghiệm x > -2
b, 
c, 
d, 
e, 
 Việc học như bơi ngược dòng , cách duy nhất là phải cố gắng !
2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
 * Định nghĩa: Cho y = f(x) xác định và liên tục trên (a ; b) và x0
 a) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x0) và x thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0.
 b) Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x0) và x thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0.
 * Định lí 1: Giả sử y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 – h ; x0 + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên
 K \{x0}, với h > 0. Khi đó:
 a) Nếu thì x0 là điểm cực đại của f(x).
 b) Nếu thì x0 là điểm cực tiểu của f(x).
 * Định lí 2: Giả sử y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong (x0 – h ; x0 + h) với h > 0. Khi đó:
 a) Nếu thì x0 là điểm cực tiểu của f(x).
 b) Nếu thì x0 là điểm cực đại của f(x).
 * Quy tắc tìm cực trị của y = f(x).
 Quy tắc 1: 
Tìm TXĐ
Tính f’(x). Tìm các điểm tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
Lập bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
 Quy tắc 2.
 1.Tìm TXĐ
 2. Tính f’(x). Giải phương trình f’(x) = 0 và kí hiệu xi ( i = 1, 2, 3n) là các nghiệm của nó.
 3. Tính f”(x) và f”(xi).
 4, Dựa vào dấu của f”(xi) suy ra tính chất cực trị của xi .
BÀI TẬP
1. Tìm các điểm cực trị của các hàm số.
 a) y = x2 – 3x – 4 b) y = 2x3 – 3x2 + 1 c) y = d) y = x3 – 3x2 +3x
 e) y = f) y = g) y = x3(1 – x)2 h) y = 
 k) y = l) y = x + m) y = n ) y = 
 p) y = sinx + cosx q) y = 2sinx + cos2x trên [ 0 ; ]
2. Tìm m để hàm số : 
 a) y = x3 – 2mx2 + 1 có cực đại và cực tiểu. ĐS : m 
 b) y = có cực đại và cực tiểu ( có cực trị) ĐS : 
 c) y = có cực đại và cực tiểu. ĐS : m < 3
 d) y = x4 – mx2 + 2 có 3 cực trị. ĐS : m > 0
 e) y = x3 – 3mx2 + (m – 1)x + 2 đạt cực trị tại x = 2 ĐS : m = 1
 f) y = x3 – mx2 – mx – 5 đạt cực tiểu tại x = 1 ĐS : m = 1
 g) y = x3 + (m + 1)x2 + (2m – 1)x + 1 đạt cực đại tại x = -2 ĐS : m = 7/2
 h) y = đạt cực đại tại x = 2 ĐS : m = -3
 k) y = đạt cực tiểu tại x = 1
3. Cho hàm số y = (1)
 a) Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
 b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.
* Định nghĩa : Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D.
 - Số M là giá trị lớn nhất của f(x) trên D nếu : 
 Kí hiệu : M = .
 - Số m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D nếu : 
 Kí hiệu : m = 
* Định lí : y = f(x) liên tục trên [a ; b] thì tồn tại .
* Cách tìm : 
 1. Tìm các điểm x1, x2, .., xn trên (a ; b) mà tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định.
 2. Tính f(a), f(x1), ., f(xn), f(b).
 3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có : M = .
BÀI TẬP
1. Tìm GTLN và GTNN ( nếu có) của các hàm số.
 a) y = x3 – 3x2 + 5 trên đoạn [-1 ; 1] b) y = x3 – 3x2 – 9x + 35 trên đoạn [-4 ; 4]
 c) y = x4 – 2x2 + 3 trên đoạn [-3 ; 2] d) y = x4 – 2x2 + 1 trên đoạn [1 ; 4]
 e) y = x + trên khoảng (0 ; + f) y = x - trên nữa khoảng (0 ; 2]
 g) y = trên đoạn [2 ; 5] h) y = trên đoạn [-3 ; 3].
 k) y = trên đoạn [-1 ; 1] l) y = trên doạn [-8 ; 6]
 m) y = (x + 2). n) y = trên doạn [1 ; 2]
 p) y = x + q) y = 
 r) y = trên s) y = 2sinx - trên 
 u) y = sin2x + 2sinx – 1 t) y = cos22x - sinxcosx + 4
 o) y = sin4x + cos2x + 2 w) y = x – sin2x trên 
2. Trong các hình chữ nhật có chu vi là 40 cm, hãy xác định hình chữ nhật có diên tích lớn nhất.
3. Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất trong các hình chữ nhật có cùng diện tích là 48cm2.
4. ĐỒ THI CỦA HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TỌA ĐỘ.
 a) Công thức chuyển hệ tọa độ: 
 Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vec tơ là : 
 b) Phương trình của đường cong đối với hệ tọa độ IXY:
 Y = f(X + x0 ) – y0 
BÀI TẬP
1. Xác định đỉnh I của (P) : y = x2 – 4 x + 3. Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo
 và viết phương trình của (P) đối với hệ tọa độ IXY.
2. Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2
 a) Xác định điểm I thuộc đồ thị (C) của hàm số đã cho biết rằng hoành độ của điểm I là nghiệm của phương trình f’’(x) = 0.
 b) Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo và viết phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra rằng I là tâm đối xứng của (C).
3. Cho đường cong (C) : y = 1 - và điểm I(-1 ; 1). Viết công thức chuyển hệ trục tọa độ trong phép tịnh tiến theo và viết phương trình của đường cong (C) đối với hệ trục IXY. Từ đó suy ra I là tâm đối xứng của (C). 
5. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
 a) Tiệm cận đứng.
 Nếu hoặc thì đường thẳng 
x = x0 là tiệm cận đứng của (C).
 b) Tiệm cận ngang.
 Nếu hoặc thì đường thẳng y = y0 là tiệm cận ngang của (C).
 c) Tiệm cận xiên. 
 Nếu hoặc thì đường thẳng y = ax + b ( a là tiệm cận xiên của (C).
BÀI TẬP.
1.Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số.
 a) y = 	b) y = 	c) y = 	d) y = 	e) y = 
 2. Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số.
 a) y = x – 2 + 	b) y = 	c) y = 	d) y = x + 
6. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ. 
 1/ Các bước khả sát sự biến thiên và vẽ đồ thi hàm số.
 1o Tìm TXĐ.
 2o Xét sự biến thiên.
Giới han – Tiệm cận.
Lập bảng biến thiên.
 3o Vẽ đồ thị.
Vẽ các đường tiệm cận (nếu có)
Xác định một số điểm dặc biệt của đồ thị ( Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ).
Nhân xét đồ thị : Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng. 
 2/.Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a 
a > 0
a < 0
Pt y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Pt y’ = 0 có nghiệm kép
Pt y’ = 0 vô nghiệm
BÀI TẬP
Khảo sát sự biến tiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau :
1. y = x3 – 3x2 + 1	2. y = -x3 + 3x + 2	3. y = 2x3 – 3x2 +1	4. y = 
5, y = x3 – 3x2 + 3x + 1	6. y = -x3 – 3x + 2
3/. Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a 
a > 0
a < 0
Pt y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt
Pt y’ = 0 có một nghiệm
BÀI TÂP
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau :
1. y = x4 – 2x2 – 3	2. y = -x4 + 2x2 – 1	3. y = 	4. y = 
5. y = x4 + 2x2 – 3
4/. Hàm số y = 
D = ad – bc > 0
D = ad – bc < 0
BÀI TẬP
Khào sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau :
1. y = 	2. y = 	3. y = 	4. y = 	5. y = 
5/. Hàm số y = 
a.a’ > 0
a.a’ < 0
Pt y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
Pt y’ = 0 vô nghiệm
BÀI TÂP
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau :
1. y = 	2. y = 	3. y = 	4. y = 
5. y = - x + 	6. y = 
MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ
 1/ Giao điểm của hai đồ thị.
 Hoành độ giao điểm của hai đường cong y = f(x) và y = g(x) là nghiêm của phương trình f(x) = g(x) (1)
 Do đó số nghiệm phân biệt của (1) là số giao điểm của hai đường cong.
 2/ Sự tiếp xúc của hai đương cong.
Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) gọi là tiếp xúc với nhau tại điểm M0(x0 ; y0) nếu chúng có tiếp tuyến chung tại M0. Khi đó M0 gọi là tiếp điểm.
Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình 
 có nghiệm
 Nghiệm của hệ trên là hoành độ tiếp điểm.
 3/ Tiếp tuyến.
Dạng 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) tại điểm M0(x0 ; y0) thuộc (C).
 Phương trình là : y = y’(x0)(x – x0) + y0
Dạng 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k.
 Gọi M0(x0 ; y0) là tọa độ tiếp điểm.Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0 là :
y = y’(x0)(x – x0) + y0
 Giải phương trình y’(x0) = k để tìm x0 và y0 .
Dạng 3 : Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x) , biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA ; yA).
 Phương trình của (d) đi qua A có hệ số góc k là : y = k(x – xA) + yA
 (d) tiếp xúc (C) có nghiệm.Nghiêm của hệ là hoành độ tiếp điểm.
 4, Tìm trên đồ thị điểm có toạ độ là số nguyên
 Đưa hsố về dạng y = ax + b với a,b,c,m,n, nguyên
 Để y nguyên thì mx + n phải là ước số của c, suy ra các trường hợp.
BÀI TẬP
1.Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị :
 a) y = x3 + 4x2 + 4x + 1 và y = x + 1 	b) y = x3 + 3x2 + 1 và y = 2x + 5
 c) y = x3 – 3x và y = x2 + x – 4	d) y = x4 + 4x2 – 3 và y = x2 + 1
2. Tìm m để đồ thị hàm số :
 a) y = (x – 1)(x ... 2(x – 1)3 = 7	2) log4x8 – log2x2 + log9243 = 0
3) 	4) 4log9x + logx3 = 3
5) logx2 – log4x + 	6) 
7) log9(log3x) + log3(log9x) = 3 + log34	8) log2x.log4x.log8x.log16x = 
9) log5x4 – log2x3 – 2 = -6log2x.log5x	10) 
III. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT.
* Giải các hệ phương trình sau.
1) 	2)	
3) 4) 
5) 6) 
7) 8) 
9) 10) 
11) 12) 
13) 14) 
IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT. 
* Giải các bất phương trình.
1) 	 2) 27x < 	 3) 	 4) 
5) 	6) 3x – 3-x+2 + 8 > 0	7) 	
9) 	 10) 	 11) log0,8(x2 + x + 1) < log0,8(2x + 5)
12) 	13) log22x + log24x – 4 > 0	 14) 
15) log2(x + 4)(x + 2) 16) 17) 
18) log2x + log3x < 1 + log2x.log3x 19) 3logx4 + 2log4x4 + 3log16x4 
*Tìm tập xác định của các hàm số sau :
1) y = 2) y = 3) y = 4) y = 
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Bảng tính nguyên hàm cơ bản: 
Bảng 1 Bảng 2
Hàm số f(x)
Họ nguyên hàm F(x)+C
Hàm số f(x)
Họ nguyên hàm F(x)+C
a ( hằng số)
ax + C
sinx
-cosx + C
sin(ax+b)
cosx
Sinx + C
cos(ax+b)
tgx + C
-cotgx + C
tgx
cotgx
II. BÀI TẬP: 
1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1. f(x) = x2 – 3x + ĐS. F(x) = 
2. f(x) = ĐS. F(x) = 
. f(x) = ĐS. F(x) = lnx + + C 
4. f(x) = ĐS. F(x) = 
5. f(x) = ĐS. F(x) = 
6. f(x) = ĐS. F(x) = 
7. f(x) = ĐS. F(x) = 
8. f(x) = ĐS. F(x) = 
9. f(x) = ĐS. F(x) = x – sinx + C 
10. f(x) = tan2x ĐS. F(x) = tanx – x + C 
11. f(x) = cos2x ĐS. F(x) = 
12. f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C
13. f(x) = ĐS. F(x) = tanx - cotx + C 
14. f(x) = ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C 
15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) = 
16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) = 
17. f(x) = ex(ex – 1) ĐS. F(x) = 
18. f(x) = ex(2 + ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C 
19. f(x) = 2ax + 3x ĐS. F(x) = 
20. f(x) = e3x+1 ĐS. F(x) = 
2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng 
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS. f(x) = x2 + x + 3 
2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ĐS. f(x) = 
3. f’(x) = 4 và f(4) = 0 ĐS. f(x) = 
4. f’(x) = x - và f(1) = 2 ĐS. f(x) = 
5. f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3 ĐS. f(x) = x4 – x3 + 2x + 3
6. f’(x) = ax + ĐS. f(x) = 
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I = bằng cách đặt t = u(x)
Đặt t = u(x)
I = 
BÀI TẬP
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1. 2. 3. 4. 
5. 6. 7. 8. 
9. 10. 11. 12. 
13. 14. 15. 16. 
17. 18. 19. 20. 
21. 22. 
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
Hay ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1. 2. 3. 4
5. 6. 7. 8. 
9. 10. 11. 12. 
13. 14. 15. 16. 
17. 18. 19. 20. 
21. 22. 23. 24. 
TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN
1. Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) 	 
 Thì: ( Công thức NewTon - Leiptnitz)
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1/ 2/ 3/ 4/ 
5/ 6/ 7/ 8/ 
9/ 10/ 11/ 12/ 
13/ 14/ 15/ 
16/ 17/ 18 / 
 19/ 20/ 21/ 
Bài 2: 
1) 2) 3) 4) 
5) 6) 	7) 
II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :
	1) DẠNG 1:Tính I = bằng cách đặt t = u(x)
Công thức đổi biến số dạng 1: 
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt 
Bước 2: Đổi cận : 
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
	 (tiếp tục tính tích phân mới)
Chú ý.
Dấu hiệu
Cách chọn
1. 
2. 
3.
4. 
t = sinx
t = cosx
t = ex
t = lnx
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1) 2) 3) 4) 
5) 6) 7) 8) 
9) 10) 11) 12) 
13) 14) 15) 16) 
17) 18) 19) 20) 
21) 22) 23) 24) 
	 2) DẠNG 2: Tính I = bằng cách đặt x = 
Công thức đổi biến số dạng 2: 
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt 
Bước 2: Đổi cận : 
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
	 (tiếp tục tính tích phân mới)
Tính các tích phân sau:
1) 2) 3) 	 4)
5) 6) 	7) 	8) 
II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần: 
 Hay: 
Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt 
Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần : 
 Bước 3: Tính và 
Chú ý: 
Dấu hiệu
Cách đặt
 hoặc 
 hoặc 
Đặt u = P(x)
Đặt u = lnx
Đặt u = sinx hoặc u = cosx
Tính các tích phân sau 
1) 2) 3) 4) 
 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 	 14) 	 
15) 16) 	 17) 18) 19) 	 
20) 21) 22) 23) 24) 
25) 26) 27) 28) 29) 
30) 31) 32) 
III. DiÖn tÝch h×nh ph¼ng.
1. Tãm t¾t lý thuyÕt.
* Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc trªn khi ®ã diÖn tÝch S cña h×nh thang cong giíi h¹n bëi y = f(x), trôc Ox ,
 x = a, x = b (a < b) lµ: 
* NÕu diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi y = f1(x), y = f2(x), x = a, x = b th× diÖn tÝch ®­îc tÝnh bëi 
2. Bµi tËp ¸p dông.
1. TÝnh diÖn tÝch cña h×nh trßn x2 + y2 = R2
2. TÝnh diÖn tÝch cña (E): 
* TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n.
1. y = sinx trªn vµ y = 0 2. y = x3, y = 0, x = -1, y = 2 
3. y = x3 - 2x vµ y = x 4. y = 2x2 – 3x + 2, y = 0, x = -1, x = 2 
5. y = -x2 + 4x, y = 0 6. y = - x2 , y = - x – 2 
7. 8. y = x(x + 1)(x - 2), y = 0 
9. y2 = 2px, x2 = 2py (p > 0) 10. y = sinx, y = 0, 
11. y = -x2 + 6x – 5, y = 0 12. y = x3 , y = 8, x = 0 
13. y = 7 – x, y = 6/x 14. 
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1) 2) 3) 4) 
5) 6) 7) 8) 
9) 10) 11) 12) 
13): 14) : 	 15) 16
17): 18) 19)	 20) 
21) 22) 23 	 24) 
25) 26) 27) 
28) 29) 30) 
31) (P): y = x2, x = 0 và tiếp tuyến với (P) tại điểm có hòanh độ x = 1.
32) (P): y = -x2 + 6x + 8, tiếp tuyến tại đỉnh của (P) và trục tung.
33) (P): y = -x2 + 4x – 3 và các tiếp tuyến của (P) tại các điểm M1(0 ; -3), M2(3; 0).
34) (P): y = - x2 + 4x và các tiếp tuyến của (P) đi qua điểm A
IV. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY.
 Công thức:
Bài1:Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y = lnx , y = 0 , x = 1 , x = e quay quanh trục Ox.
b) y = tanx , y = 0 , x = 0 , x = quay quanh trục Ox.
c) y = , y = 0 , x = 1 , x = 4 quay quanh trục Ox.
d) y = x.lnx , y = 0 , x = 1 , x = e quay quanh trục trục Ox
e) , y = 0 , x = 1 , x = 2 quay quanh trục Ox.
f) y = 5x – x2 , y = 0 quay quanh trục Ox.
g) y = 2x2 , y = 2x + 4 quay quanh trục Ox.
h) , y = x2 quay quanh trục Ox
k) , y = 0 , x= 1 quay quanh trục Ox.
Bài 2: Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh trục tung.
a) y = x2 , x = 0 , y = 0 , y = 4
b) y = x3 , x = 0, y = 1 , y = 2
c) y = lnx , x = 0 , y = 0 , y = 1.
d) y = 3 – x2 , x = 0 , y = 1
Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0
	Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi các đường : 
	Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy
Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : và y = 4
	Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh:
	a) Trục Ox
	b) Trục Oy
Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : .
	Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đường : 
	Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bµi tËp vÒ to¹ ®é ®iÓm-vÐc t¬ trong kh«ng gian vµ ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng
Tãm t¾t lÝ thuyÕt 
 Cho kh«ng cïng ph­¬ng vµ cïng //(a) thÕ th× lµ mét vÐc t¬ ph¸p tuyÕn cña mp(a)
- Hai vÐc t¬ trªn gäi lµ cÆp vÐc t¬ chØ ph­¬ng cña mp(a)
- §Ó c¸c ®Þnh vÐc t¬ ph¸p tuyÕn cña mp ®i qua A, B, C ta x¸c ®Þnh vÐc t¬ ph¸p tuyÕn 
Chó ý :
* NÕu M0(x’ ; y’ ; x’) Î (a) vµ th× pt cña (a) lµ : A(x - x’) + B(y - y’) + C(z - z’) = 0
*NÕu (a) cã ph­¬ng tr×nh (1) th× nã cã vÐc t¬ ph¸p tuyÕn lµ : 
Bµi tËp: 
Bµi 1 : XÐt sù th¼ng hµng cña 3 ®iÓm , nÕu th¼ng hµng th× B chia AC theo tØ sè nµo ?
a, A ( 1; 3; 1) B ( 0; 1; 2) C (0; 0; 1)
b, A ( 0; -2; 5) B ( 3; 4; 4) C (2; 2; 1)
c, A ( 1; 2; 4) B ( 2; 5; 0) C (0; 1; 5)
Bµi 2 : Cho 4 ®iÓm A ( 1; -1; 1) B ( 1; 3; 1) C (4; 3; 1) D ( 4; -1; 1)
a, CMR 4 ®iÓm trªn lµ 4 ®Ønh cña 1 h×nh ch÷ nhËt
b, TÝnh ®é dµi c¸c ®­êng chÐo vµ gãc gi÷a AC vµ AB
Bµi 3: a, T×m trªn Oy ®iÓm c¸ch ®Òu 2 ®iÓm A ( 3; 1; 0) , B ( -2; 4; 1)
 b, §­êng th¼ng AB c¾t ( Oyz) t¹i ®iÓm M. T×m to¹ ®é ®iÓm M
 c, T×m trªn (Oxz) ®iÓm D c¸ch ®Òu 3 ®iÓm A ( 1; 1; 1) , B ( -1; 1; 0), C ( 3; 1; -1). TÝnh VABCD
Bµi 4: Cho 4 ®iÓm A ( 1; 1; 0), B ( 0; 2; 1) C ( 1; 0; 2), D ( 1; 1; 1)
a, CMR 4 ®iÓm ®ã kh«ng ®ång ph¼ng. TÝnh VABCD
b, T×m to¹ ®é träng t©m tam gi¸c ABC, träng t©m tø diÖn ABCD
c, TÝnh diÖn tÝch c¸c mÆt cña tø diÖn ABCD
d, TÝnh ®é dµi c¸c ®­êng cao cña tø diÖn
e, TÝnh gãc gi÷a 2 ®­êng th¼ng AD vµ BC
g, ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt cÇu ngo¹i tiÕp tø diÖn ABCD.
h, T×m to¹ ®é ®iÓm E ®Ó ABEC lµ h×nh b×nh hµnh, tÝnh SABEC
i, TÝnh ®é dµi ®­êng cao AH cña tam gi¸c ABC
Bµi 5: LËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng qua giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (P) 2x - y + z + 1 = 0 , 
 (Q) x + 3y - z + 2 = 0 vµ ®i qua ®iÓm M(1 ; 2 ;1)
Bµi 6 LËp pt mÆt ph¼ng qua giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng 2x - y + z + 1 = 0 vµ x + 3y - z + 2 = 0 vµ 
a)song song víi trôc ox
b)vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng :x+2y-z+3=0
Bµi 7 : ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng trong c¸c tr­êng hîp sau :
a, §i qua 3 ®iÓm A ( -1 ; 2 ; 3) , B( 2 ; -4 ; 3), C ( 4 ; 5 ; 6)
b, §i qua M ( 1 ; 3 ; -2) vµ vu«ng gãc víi Oz
c, §i qua M ( 1 ; 3 ; -2) vµ vu«ng gãc víi BC víi B ( 0 ; 2 ; -3), C( 1 ; -4 ; 1)
d, §i qua M ( 1 ; 3 ; -2) vµ chøa trôc Oy
e, §i qua M ( 1 ; 3 ; -2) vµ song song víi (P) 2x – y + 3z -5 = 0.
g, §i qua 2 ®iÓm A ( 3 ; 1 ; -1), B ( 2 ; -1 ; 4) vµ vu«ng gãc víi (P) 2x – y + 3z -5 = 0.
h, §i qua M ( 1 ; 3 ; -2) vµ vu«ng gãc víi 2 mÆt ph¶ng (P) : 2x + y + 2z + 4 = 0, (Q) 3x + 2y+z-3=0
Bµi 8: (§HL-99) :Trong Oxyz cho ®iÓm A(-1,2,3) vµ hai mÆt ph¼ng (P): x-2=0 , (Q) : y-z-1=0 .
ViÕt ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (R) ®i qua ®iÓm A vµ vu«ng gãc víi hai mÆt ph¼ng (P),(Q).
Bµi 9:TÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M(2,2,1) ®Õn mÆt ph¼ng (P) trong c¸c tr­êng hîp sau:
(P): 2x+y-3z+3=0
(P):12x-4x+3y-15=0
Bµi 10:Trong kh«ng gian víi hÖ to¹ ®é trùc chuÈn Oxyz , cho tø diÖn cã 4 ®Ønh A(5;1;3) ,B(1;6;2) , C(5;0;4) ,D(4;0;6) 
LËp ph­¬ng tr×nh tæng qu¸t mÆt ph¼ng (ABC).
TÝnh chiÒu dµi ®­êng cao h¹ tõ ®Ønh D cña tø diÖn, tõ ®ã suy ra thÓ tÝch cña tø diÖn .
Bµi 11:LËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng ®i qua ®iÓm M(2,1,-1) vµ qua hai giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (P1) vµ (P2) cã ph­¬ng tr×nh : (P1): x-y+z-4=0 vµ (P2) 3x-y+z-1=0
Bµi 12: LËp ph­¬ng tr×nh mÆt ph¼ng qua giao tuyÕn cña (P1): y+2z-4=0 vµ (P2) : x+y-z-3=0 vµ song song víi mÆt ph¼ng (Q):x+y+z-2=0.
Bµi 13: LËp ph­¬ng tr×nh cña mÆt ph¼ng qua hai giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (P1): 3x-y+z-2=0 vµ (P2): x+4y-5=0 vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (Q):2x-z+7=0.
Bµi 14: a, Cho (S) cã pt x2 + y2 + z2 -6x -2y + 4z + 5 = 0 vµ ®iÓm M ( 4; 3; 0). ViÕt pt (P) tiÕp xóc víi 
 (S) t¹i M.
 b, ViÕt pt mcÇu t©m I ( -2 ; 1; 1) vµ tiÕp xóc víi (P) x + 2y – 2z + 5 = 0
 c, Cho 4 ®iÓm A(5;1;3) ,B(1;6;2), C(5;0;4) ,D(4;0;6). LËp pt mcÇu t©m A vµ tiÕp xóc víi (BCD)
Bµi 15 : Cho khèi lËp ph­¬ng ABCDA’B’C’D’ c¹nh b»ng 1.
a, TÝnh gãc t¹o bëi AC’ vµ A’B
b, Gäi M, N, P lÇn l­ît lµ trung ®iÓm c¸c c¹nh A’B’, BC, DD’.Chøng minh AC’ vu«ng gãc víi (MNP) 
c, TÝnh VAMNP.
Bµi 16 : Cho khèi lËp ph­¬ng ABCDA’B’C’D’ c¹nh b»ng a.
a, Chøng minh A’C vu«ng gãc víi (AB’D’).
b, Gäi M lµ trung ®iÓm AD, N lµ trung ®iÓm BB’. Chøng minh A’C vu«ng gãc víi MN
c, TÝnh gãc gi÷a MN vµ AC’
d, TÝnh VA’CMN.