Chuẩn kiến thức kỹ năng Toán lớp 12

CHUẨN
KIẾN THỨC – KỸ NĂNG
HƯỚNG DẪN THỰC HIỆN CHUẨN
KIẾN THỨC CƠ BẢN
DẠNG TOÁN. VÍ DỤ. LƯU Ý
I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1. Ứng dụng đạo hàm cấp một để xét sự biến thiên của hàm số.
Về kiến thức
- Biết tính đơn điệu của hàm số.
- Biết mối liên hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến của hàm số và dấu của đạo hàm cấp một của nó.
Về kỹ năng
- Biết cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên một khoảng dựa vào dấu của đạo hàm cấp một của nó.
1. Giả sử có đạo hàm trên khoảng . Ta có:
a) Điều kiện đủ:
 trên khoảng đồng biến trên khoảng .
 trên khoảng nghịch biến trên khoảng .
b) Điều kiện cần:
 đồng biến trên khoảng trên khoảng .
 nghịch biến trên khoảng trên khoảng .
2. Phương pháp tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của một hàm số:
- Tìm tập xác định của hàm số.
- Tính y’, giải phương trình .
- Lập bảng xét dấu của y’.
- Sử dụng điều kiện đủ của tính đơn điệu để kết luận.
Chú ý: Trong điều kiện đủ, nếu tại một số hữu hạn điểm thuộc khoảng thì kết luận vẫn đúng.
1. Xét tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số.
2. Dựa vào tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số chứng minh một số bất đẳng thức đơn giản.
3. Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình.
Ví dụ: Xét tính đồng biến nghịch biến của các hàm số sau:
Ví dụ. Chứng minh rằng 
Ví dụ. Chứng minh rằng 
HD: Xét và xét với hàm số 
.
Ví dụ. Giải phương trình:
HD: Xét , sử dụng ví dụ trên rồi xét , sử dụng ví dụ trên.
Ví dụ. Giải phương trình, bất phương trình dạng:
Trong đó là hàm số đơn điệu.
2. Cực trị của hàm số
Định nghĩa. Điều kiện đủ để có cực trị.
Về kiến thức :
- Biết các khái niệm điểm cực đại, điểm cực tiểu, điểm cực trị của hàm số.
- Biết các điều kiện đủ để có điểm cực trị của hàm số.
Về kỹ năng:
- Biết cách tìm điểm cực trị của hàm số.
Định nghĩa
Cho hàm số xác định và liên tục trên khoảng (có thể a là ; b là ) và điểm x0 Ỵ (a; b).
a) Nếu tồn tại sao cho với mọi và thì ta nói hàm số đạt cực đạt tại .
b) Nếu tồn tại sao cho với mọi và thì ta nói hàm số đạt cực tiểu tại .
Định lí 1: Giả sử hàm số ) liên tục trên khoảng và có đạo hàm trên K hoặc , với .
a) Nếu thì là điểm cực đại của .
b) Nếu thì là điểm cực tiểu của .
Định lí 2:
Giả sử có đạo hàm cấp 2 trong với . Khi đó:
a) Nếu thì là điểm cực tiểu của .
b) Nếu thì x0 là điểm cực đại của .
Quy tắc tìm cực trị của hàm số 
Qui tắc 1:
1) Tìm tập xác định.
2) Tính . Tìm các điểm tại đó hoặc không xác định.
3) Lập bảng biến thiên.
4) Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.
Qui tắc 2:
1) Tìm tập xác định.
2) Tính . Giải phương trình và kí hiệu xi là nghiệm
3) Tìm và tính .
4) Dựa vào dấu của suy ra tính chất cực trị của xi.
1. Tìm điểm cực trị của hàm số.
2. Tính 
3. Xác định tham số để hàm số đạt cực trị tại điểm .
Ví dụ. Tìm các điểm cực trị của các hàm số sau:
Ví dụ. Cho hàm số với m là tham số. Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có cực trị tại ?
Ví dụ. Tính khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số: .
Ví dụ. Tìm các giá trị của m để là điểm cực tiểu của hàm số
Ví dụ. Cho hàm số 
a) Tính khoảng cách giữa điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị hàm số (1).
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
Lưu ý
Cách xác định tham số để hàm số đạt cực trị tại cho trước:
- Tìm tập xác định D của hàm số.
- Tính 
- Do đạt cực trị tại nên hoặc không xác định tại . Từ đó suy ra m.
- Thế giá trị m tìm được vào để kiểm tra. Nếu đổi dấu khi qua thì hàm số có cực trị tại , suy ra m là giá trị cần tìm.
3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Về kiến thức :
- Biết các khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp số.
Về kỹ năng:
- Biết cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, một khoảng.
Định nghĩa
Cho hàm số có tập xác định D.
- Số M là giá trị lớn nhất của trên D nếu: và sao cho .
Kí hiệu .
- Số m là giá trị nhỏ nhất của trên D nếu: và sao cho .
Kí hiệu .
Định lí
 liên tục trên đoạn thì tồn tại:
Cách tìm
1. Tìm các điểm trên khoảng mà tại đó hoặc không xác định.
2. Tính 
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.
Ta có
, 
1. Tìm giá trị lớn nhất (GTLN, giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một đoạn, một khoảng, trên một tập cho trước, trên tập xác định.
2. Ứng dụng vào việc giải phương trình, bất phương trình.
Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của hàm số:
 trên đoạn 
Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
Ví dụ. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .
Ví dụ . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số .
Ví dụ. Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm
HD: Đặt ẩn phụ 
Ví dụ
1. Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất trong số các hình chữ nhật có cùng diện tích .
2. Tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất trong số các hình chữ nhật có cùng diện tích .
4. Đồ thị cảu hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ
Về kiến thức:
Hiểu phép tịnh tiến hệ tọa độ và công thức đổi tọa độ qua phép tịnh tiến đó.
Về kỹ năng:
Vận dụng được phép tịnh tiến hệ tọa độ để biết được một số tính chất của đồ thị.
Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ 
Aùp dụng phép tịnh tiến để vẽ đồ thị cho trước.
+ Chuyển phương trình đường cong sang hệ tọa độ mới, nhận xét được tính chất của đồ thị.
Ví dụ. Vẽ đồ thị của các hàm số sai bằng cách tịnh tiến đồ thị của các hàm số đã biết:
a) từ đồ thị hàm số ;
b) từ đồ thị hàm số .
Ví dụ. Chứng minh rằng đồ thị hàm số nhận điểm làm tâm đối xứng.
5. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số. 
Định nghĩa và cách tìm các đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang.
Về kiến thức :
- Biết khái niệm đường tiệm cận đứng, đường tiệm cận ngang của đồ thị.
Về kỹ năng:
- Biết cách tìm đường tiệm đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Tiệm cận
Kí hiệu là đồ thị của hàm số .
1. Tiệm cận đứng
Nếu hoặc 
thì đường thẳng là tiệm cận đứng của .
2. Tiệm cận ngang
Nếu hoặc 
thì đường thẳng là tiệm cận ngang của .
3. Tiệm cận xiên
Nếu 
hoặc 
thì đường thẳng là tiệm cận xiên của .
Sử dụng kiến thức về giới hạn:
+ Tìm tiêm cận đứng
+ Tìm tiêm cận ngang
+ Tìm tiêm cận xiên
+ Tìm tiêm cận của đồ thị hàm số vô tỉ.
Ví dụ. Tìm đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số sau:
+ Tìm tiêm cận đứng
Ví dụ. Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận xiên của đồ thị hàm số 
Ví dụ. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số
Lưu ý:
Cách tìm tiệm cận của hàm phân thức hữu tỉ 
- Tiệm cận đứng:
+ Giải phương trình .
+ Nếu phương trình vô nghiệm thì kết luận hàm số đã cho không có tiệm cận đứng.
+ Nếu phương trình có nghiệm thì tính .
Nếu hoặc thì là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Nếu thì không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
- Tiệm cận ngang:
+ Nếu bậc của bậc của thì trục hoành là đường tiệm cận ngang của hàm số.
+ Nếu bậc của bậc của thì là đường tiệm cận ngang của hàm số, trong đó tương ứng là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất của .
- Tiệm cận xiên:
+ Nếu bậc của bậc của thì tiệm cận xiên là đường thẳng có phương trình nếu và .
- Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số vô tỉ có dạng , tìm được bằng cách tính và 
Trong thực hành, người ta thường phải tính bằng cách khử dạng vô định . Với căn bậc chẵn cần chú ý: , do vậy phải xét hai trường hợp và .
Khi tính bằng cách khử dạng vô định , người ta thường đưa về dạng nhờ việc nhân với biểu thức liên hợp.
6. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. Giao điểm của hai đồ thị. Sự tiếp xúc của hai đường cong.
Về kiến thức :
- Biết sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (tìm tập xác định, xét chiều biến thiên, tìm cực trị, tìm tiệm cận, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị).
Về kỹ năng:
- Biết cách khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số 
 (trong đó a, b, c, m, n là các số cho trước và ).
- Biết cách biện luận số nghiệm của một phương trình.
- Biết cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị hàm số.
- Biết cách viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại tiếp điểm.
I. Sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 
1. Tìm tập xác định của hàm số và tính chẳn – lẻ, tuần hoàn.
2. Sự biến thiên
a) Chiều biến thiên
- Tính .
- Tìm các nghiệm của phương trình và các điểm mà tại đó không xác định.
- Xét dấu và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
b) Tìm cực trị
c) Tìm các giới hạn tại và , tại các điểm mà hàm số không xác định và tìm các tiệm cận đứng, ngang và tiệm cận xiên (nếu có).
d) Lập bảng biến thiên.
3. Đồ thị
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.
Chú ý
- Nếu hàm số là hàm số tuần hoàn với chu kì T thì chỉ cần vẽ đồ thị trên một chu kì rồi tịnh tiến đồ thị song song với theo các đoạn 
- Để vẽ đồ thị thêm chính xác:
+ Tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt nên tính các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
+ Lưu ý tính chất đối xứng (qua trục, qua tâm ) của đồ thị.
II. Khảo sát một số hàm số đa thức và phân thức
Hàm bậc ba
* là một tam thức bậc hai:
+ Nếu có hai nghiệm phân biệt thì sẽ đổi dấu hai lần khi qua nghiệm của nó, khi đó đồ thị có hai điểm cực trị.
+ Nếu có nghiệm kép hoặc vô nghiệm thì không đổi dấu, do đó đồ thị không có điểm cực trị.
* là một nhị thức bậc nhất luôn đổi dấu qua nghiệm của nó nên có một điểm uốn.
Đồ thị nhận điểm uốn là tâm đối xứng.
- Đồ thị hàm số bậc ba thường có một trong bốn dạng như hình dưới đây
Hàm bậc bốn trùng phương
+ Nếu a, b cùng dấu thì có một nghiệm và đổi dấu một lần qua nghiệm của nó nên chỉ có một điểm cực trị.
+ Nếu a, b trái dấu thì có ba nghiệm và đổi dấu ba lần qua nghiệm của nó nên có ba điểm cực trị.
+ Nếu a, b cùng dấu thì y” không đổi dấu nên đồ thị không có điểm uốn.
+ Nếu a, b trái dấu thì y” có hai nghiệm phân biêt và đổi dấu hai lần khi qua các nghiệm của nó nên đồ thị có hai điểm uốn.
+ Đồ thị nhận làm trục đối xứng.
+ Đồ thị hàm số trùng phương thường có một trong bốn dạng như hình dưới đây
Hàm số phân thức
- Tập xác định 
+ Nếu .
+ Nếu .
- Tiệm cận
+ là tiệm cận ngang;
+ là tiệm cận đứng.
Bảng biến thiên
hoặc
Đồ thị có dạng hình như sau
Hàm số phân thức
 tử và mẫu không có nghiệm chung).
* Tập xác định 
- Tiệm cận đứng 
- Tiệm cận xiên 
- Đồ thị thường có bốn dạng như sau (vẽ theo tiệm cận)
- Tìm tập xác định, tập giá trị của một hàm số.
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số:
 (trong đó a, b, c, m, n là các số cho trước và ).
- Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số bậc ba, bậc bốn.
- Dung đồ thị hàm số để biện luận số nghiệm của một phương trình.
- Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (tại một điểm thuộc đồ thị hàm số, đi qua một điểm cho trước, biết hệ số góc).
- Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm chung.
Ví dụ. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau:
Ví dụ
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 
b) Biện luận số nghiệm của phương trình 
tùy theo giá trị của tham số m.
Ví dụ. Cho hàm số 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm 
Ví dụ
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm m để đường thẳng 
cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt.
Ví dụ. Chứng minh rằng đồ thị hai hàm số sau tiếp xúc nhau tại một điểm, viết phương trình tiếp tuyến chung của chúng tại điểm đó:
Ví dụ. Cho hàm số
a) Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số (1).
Lưu ý
Sự tương giao của các đồ thị
1. Biện luận số giao điểm của hai đồ thị
a) Giao điểm của hai đường cong và .
- Lập phương trình tìm hoành độ giao điểm
+ Giải và biên luận (*).
+ Kết luận (*) có bao nhiêu nghiệm thì và có bấy nhiêu giao điểm.
2. Viết phương trình tiếp tuyến
Phương trình tiếp tuyến tại điểm của đường cong có dạng 
3. Hai đường cong và tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình 
Có nghiệm. Nghiệm đó chính là hoành độ giao điểm của hai đường cong.
4. Lời giải bài toán “khảo sát hàm số” không yêu cầu vẽ đồ thị hàm số đó.
Lưu ý: 
- Trong chương “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số”: yêu cầu mọi học sinh đều học kiến thức về điểm uốn; riêng với học sinh học theo chương trình nâng cao có học thêm các kiến thức kĩ năng về Phép tịnh tiên hệ tọa độ và công thức đổi tọa độ qua phép tịnh tiến đó. Sự tiếp xúc của hai đường cong (điều kiện cần và đủ để hai đường cong tiếp cúc nhau). Vận dụng được phép tịnh tiến hệ tọa độ để biết được môt số tính chất của đồ thị. Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
- Khi tìm tiệm cận ngang phải xét cả hai giới hạn , đồ thị hàm số có tiệm cận ngang khí có ít nhất một trong hai giới hạn đó là hữu hạn (tương tự cho tiệm cận xiên). Khi tìm tiệm cận đứng phải xét cả hai giới hạn với các điểm sao cho ít nhất một trong hai giới hạn đó là hoặc .
II. HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGRIT
1. Luỹ thừa.
Định nghĩa luỹ thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ, số mũ thực. Các tính chất.
Về kiến thức :
- Biết các khái niệm luỹ thừa với số mũ nguyên của số thực, luỹ thừa với số mũ hữu tỉ và luỹ thừa với số mũ thực của số thực dương.
- Biết các tính chất của luỹ thừa với số mũ nguyên, luỹ thừa với số mũ hữu tỉ và luỹ thừa với số mũ thực.
Về kỹ năng:
- Biết dùng các tính chất của luỹ thừa để đơn giản biểu thức, so sánh những biểu thức có chứa luỹ thừa.
Lũy thừa với số mũ nguyên
- Lũy thừa với số mũ nguyên dương:
Cho , khi đó
- Lũy thừa với số mũ nguyên âm, lũy thừa với số mũ 0:
Cho , quy ước
Căn bậc n
Cho số thực b và số nguyên dương 
- Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu .
- Khi n lẻ, : Tồn tại duy nhất ;
- Khi n chẳn:
+ : Không tồn tại căn bậc n của b.
+ : Có một căn 
+ : Có hai căn 
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ
Cho số thực và số hữu tỉ , trong đó . Khi đó
Lũy thừa với số mũ vô tỉ
Giả sử a là số dương, là số vô tỉ và là một dãy số hữu tỉ sao cho
Khi đó 
Các tính chất
Cho . Khi đó
+ Nếu thì khi và chỉ khi 
+ Nếu thì khi và chỉ khi 
- Rút gọn biểu thức có lũy thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ, số mũ thực.
- Tính giá trị biểu thức có lũy thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ, số mũ thực.
- Chứng minh hệ thức có lũy thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ, số mũ thực.
- So sánh những biểu thức có chứa lũy thừa (dựa vào tính chất của lũy thừa).
Ví dụ. Chứng trỏ rằng
Ví dụ. Rút gọn biểu thức
 với 
Ví dụ. Chứng minh rằng 
Ví dụ. So sánh các cặp số sau: ; 
Ví dụ. Cho và . Tính y theo x
Ví dụ. Rút gọn biểu thức
Ví dụ. Tính
Ví dụ. Tìm điều kiện của cơ số a biết
2. Lôgarit.
Định nghĩa lôgarit cơ số a (a > 0, a ¹ 1) của một số dương. Các tính chất cơ bản của lôgarit. Lôgarit thập phân. Số e và lôgarit tự nhiên.
Về kiến thức :
- Biết khái niệm lôgarit cơ số a (a > 0, a ¹ 1) của một số dương. 
- Biết các tính chất của lôgarit (so sánh hai lôgarit cùng cơ số, quy tắc tính lôgarit, đổi cơ số của lôgarit).
- Biết các khái niệm lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên.
Về kỹ năng:
- Biết vận dụng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa lôgarit đơn giản.
- Biết vận dụng các tính chất của lôgarit vào các bài tập biến đổi, tính toán các biểu thức chứa lôgarit.
3. Hàm số luỹ thừa. Hàm số mũ. Hàm số lôgarit.
Định nghĩa, tính chất, đạo hàm và đồ thị.
Về kiến thức :
- Biết khái niệm và tính chất của hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit.
- Biết công thức tính đạo hàm của các hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit.
- Biết dạng đồ thị của các hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit.
Về kỹ năng:
- Biết vận dụng tính chất của các hàm số mũ, hàm số lôgarit vào việc so sánh hai số, hai biểu thức chứa mũ và lôgarit.
- Biết vẽ đồ thị các hàm số luỹ thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit.
- Tính được đạo hàm các hàm số y = ex, y = lnx.
4. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
Về kỹ năng:
- Giải được phương trình, bất phương trình mũ: phương pháp đưa về luỹ thừa cùng cơ số, phương pháp lôgarit hoá, phương pháp dùng ẩn số phụ, phương pháp sử dụng tính chất của hàm số.
- Giải được phương trình, bất phương trình lôgarit: phương pháp đưa về lôgarit cùng cơ số, phương pháp mũ hoá, phương pháp dùng ẩn số phụ.