Chủ đề: Vận dụng tính chất đơn điệu của hàm số để giải phương trình- bất phương trình và hệ phương trình

Chủ đề:	 VẬN DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- BPT VÀ HPT
I- TỔNG QUAN PHƯƠNG PHÁP:
	Xét phương trình với D là một khoảng cho trước.
Để vận dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, ta có một số hướng biến đổi (tương ứng với 3 dạng thông dụng) sau đây:
Đối với loại phương trình có 3 hướng để giải quyết:
Dạng 1: 
	Bước 1: Đưa phương trình (1) về dạng: 
	Bước 2: Xét hàm số 
Chỉ rõ hàm số đồng biến hay nghịch biến trên D.
	Bước 3: Đoán được . Lúc đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất .
Dạng 2: 	
	Bước 1: Đưa phương trình (1) về dạng : (1)
	Bước 2: Xét hai hàm số và 
Chỉ rõ hàm số là hàm đồng biến (nghịch biến) và là hàm nghịch biến (đồng biến)
	Bước 3: Đoán được . Lúc đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất .
Dạng 3:	
	Bước 1: Đưa phương trình về dạng (1)
Bước 2: Xét hàm số: .
Chỉ rõ hàm số đồng biến hay nghịch biến trên . 
Bước 3: Khi đó: 
Nhận xét: 
	+ Định lí về tính đơn điệu trên đoạn:
 “ Nếu hàm số liên tục trên và có đạo hàm trên khoảng thì hàm số đồng biến trên ”
+ Đối với bất phương trình, hệ phương trình, tư duy vận dụng tính đơn điệu hoàn toàn tương tự như trên.
II- BÀI TẬP MINH HỌA:
Loại 1: 	 Vận dụng tính đơn điệu để giải phương trình 
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:	
a) 	b) 
c) 	d) 
Hướng dẫn giải:
a) 
Điều kiện: 	
Đồ thị 
Nhận xét: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hàm số và .
Xét hàm số . Miền xác định: . 
 Đạo hàm . 
Do hàm số liên tục trên nên hàm số đồng biến trên .
Dễ thấy thỏa (1). Do đó hàm số có nghiệm duy nhất và đó là .
b) . TXĐ: .
Đặt , điều kiện 
Khi đó phương trình có dạng : (2)
Dễ thấy: 
+ Hàm số là hàm đồng biến trên 
+ Hàm số là hàm nghịch biến trên 
Từ (*) suy ra : nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất
Ta thấy là thỏa phương trình (2), do đó: 
c) 	(3)
TXĐ: .
Xét hàm số có nên hàm số đồng biến trên 
Và hàm số . Đạo hàm : hàm số nghịch biến trên .
Phương trình (3) có dạng . Do đó phương trình nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Ta thấy thoả mãn phương trình.
Vậy phương trình có nghiệm .
d) 
Điều kiện: 
+ Với 
 	+ Với . Vậy 
Biến đổi phương trình về dạng : 
 (4)
Xét hàm số . Miền xác định 
Đạo hàm : 
Nhận xét : 
hàm số đồng biến trên D.
Khi đó: (*) vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:	
a) 	b) 
	c) 
Hướng dẫn giải:
a) 	(1)
Điều kiện: . Đặt 
Lúc đó : . Khi đó : (1)	(2)
Xét hàm số: . Miền xác định: 
Đạo hàm : ,. 
Suy ra hàm số đồng biến trên D
Mặc khác: . Do đó (2) có dạng : : 
b) . TXĐ: 
Biến đổi phương trình về dạng : 	(2)
Xét hàm số . Miền xác định : 
Đạo hàm : . Suy ra hàm số đồng biến trên D.
Từ (2) có dạng 
Vậy là nghiệm của phương trình 
c) . Điều kiện: 
Biến đổi phương trình về dạng: (3)
Xét hàm số . Miền xác định: 
Đạo hàm : . Suy ra hàm số đồng biến trên D.
Từ (*) có dạng : 
Loại 2: 	 Vận dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình 
Bài tập 1: Giải các bất phương trình sau:
a) 	b) 
Hướng dẫn giải:
a) (1). Điều kiện: 
Xét hàm số . Miền xác định : 
Đạo hàm . Suy ra hàm số đồng biến trên .
Để ý rằng: , do đó:
+ Nếu thì , nên là nghiệm bpt.
+ Nếu thì nên không là nghiêm bpt.
Đối chiếu với điều kiện, suy ra tập nghiệm của (1) là .
b) (2)
Điều kiện: (*)
Biến đổi bất phương trình: 	 (3)
Xét hàm số . Ta thấy hàm số đồng biến trên 
Từ (3) ta có 
Đối chiếu với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình (2) là .
Loại 3: 	 Vận dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình 
Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau:
a) 	b) 
c) 
Hướng dẫn giải:
a) (I) . Điều kiện: 
Ta có (I) 
Từ phương trình : 	(1)
Ta thấy hàm số là hàm đồng biến trên 
Xét hàm số . Miền xác định: 
Đạo hàm . Suy ra hàm số nghich biến trên D.
Từ (1) ta thấy là nghiệm của phương trình và đó là nghiệm duy nhất.
Vậy hệ có nghiệm .
b) (II). Điều kiện: 
Ta có (II) 
Cộng vế theo vế ta có: (2)
Xét hàm số . Miền xác định: 
Đạo hàm: . Suy ra hàm số đồng biến trên D.
Từ (*) ta có 
Lúc đó: (3)
+ VT (3) là hàm số hàm đồng biến trên D.
+ VP (3) là hàm hằng trên D.
Ta thấy là nghiệm của phương trình (3) (thỏa điều kiện)
Suy ra phương trình có nghiệm là nghiệm duy nhất.
Vậy hệ có nghiệm 
c) 
Xét hàm số 
Lúc đó hệ có dạng: . Miền xác định: 
Đạo hàm : . Suy ra hàm số đồng biến trên 
Ta giả sử là nghiệm của hệ và khi đó ta suy ra:
. Vậy . 
Thay vào hệ ta có : (3)
Ta thấy là nghiệm duy nhất của phương trình (vì VT (3) là đồng biến trên R)
Vậy hệ có nghiệm 
III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài tập 1: Giải các phương trình sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f) 
g) 	h) 
Bài tập 2: Giải các bất phương trình sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
Bài tập 3: Giải các hệ phương trình sau:
a) 	b) 
c) 	d) 
e) 	f) 
g) 	h)