Chủ đề: Quan hệ song song trong không gian

CHUÛ ÑEÀ 3: QUAN HEÄ SONG SONG TRONG KHOÂNG GIAN
BAØI TAÄP
1:TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG a VÀ b 
 Muốn tìm giao tuyến 
của hai mặt phẳng a và b 
ta đi tìm hai điểm chung
 I ; J củaa và b:
 ” a ÇÈ b = IJ
Khi tìm điểm chung ta chú ý :
 ­ Cách gọi tên hai mặt phẳng để phát hiện điểm chung 
­ M Î d và d Ì a ” M Î a 
­ ” M là điểm chung 
Baøi 1: Cho tứ diện ABCD có E là trung điểm của AB. Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (ECD) với các mặt phẳng (ABC) ; (ABD) ; (BCD) ; (ACD)
Baøi 2:Cho tứ diện SABC và một điểm I trên đoạn SA; d là đường thẳng trong (ABC) cắt AB; BC tại J ; K. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (I,d) với các mặt phẳng sau : (SAB) ; (SAC) ; (SBC)
Baøi 3: Cho tứ giác lồi ABCD và điểm S không nằm trong mặt phẳng chứa tứ giác. Tìm giao tuyến của : 
 a) (SAC) và (SBD)	b) (SAB) và (SCD)	 
 c) (SAD) và (SBC)
II.CM BA ĐIỂM THẲNG HÀNG & BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY
Chứng minh A; B; C thẳng hàng : 
Chỉ ra A ; B ; C Î a 
Chỉ ra A ; B ; C Î b
Kết luận : A; B; CÎ a ÇÈ b 
” A; B; C thẳng hàng 
Chứng minh a ; b ; MN đồng quy :
Đặt a ÈÇ b = P
Chứng minh M ; N ; P thẳng hàng 
Kết luận :MN ; a ; b đồng quy tại P 
Baøi 1: Cho hai mặt phẳng a và b cắt nhau theo giao tuyến d .Trên a lấy hai điểm A ; B nhưng không thuộc d. O là điểm ở ngoài hai mặt phẳng . Các đường thẳng OA ; OB lần lượt cắt b tại A’ ; B’. AB cắt d tại C
a) Chứng minh O; A; B không thẳng hàng ?
b) Chứng minh A’ ; B’ ; C’ thẳng hàng ? Từ đó suy ra AB ; A’B’; d đồng quy
Baøi 2: Trong không gian cho ba tia Ox ; Oy ; Oz không đồng phẳng. Trên Ox lấy A ; A’ ; trên Oy lấy B ; B’ trên Oz lấy C ; C’ sao cho AB cắt A’B’ tại D ; BC cắt B’C’ tại E ; AC cắt A’C’ tại F.
 Chứng minh D; E ; F thẳng hàng ?
VI. Chøng minh ®­êng th¼ng song song víi mÆt ph¼ng
Phương pháp :
Có thể dùng một trong các cách sau :
- Chứng minh hai đường thẳng đó đồng phẳng , rồi áp dụng phương pháp chứng minh song song rong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lý đảo của định lý Ta-lét ...)
- Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song song với đường thẳng thứ 3.
- Áp dụng định lý về giao tuyến .
Bµi1. Cho tø diÖn SABC cã I, J lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ BC. CMR: víi "M Î SB (M ¹ B) ta ®Òu cã IJ // (ACM)
Bµi 2. Cho tø diÖn ABCD gäi M vµ N lÇn l­ît lµ träng t©m D ABD vµ D ACD. CMR: M N // (BCD) vµ MN // (ABC).
VII. T×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng – ThiÕt diÖn qua mét ®iÓm vµ song song víi ®­êng th¼ng cho tr­íc
Bµi 1: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh thang víi c¸c c¹nh ®¸y AB vµ CD. Gäi I; J lµ trung ®iÓm cña AD vµ BC. Gäi G lµ träng t©m cña tam gi¸c SAB
a, T×m giao tuyÕn cña (SAB) vµ (IJG)
b, X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mp(IJG). ThiÕt diÖn lµ h×nh g×? T×m ®iÒu kiÖn ®èi víi AB vµ CD ®Ó thiÕt diÖn lµ h×nh b×nh hµnh
Bµi 2: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y h×nh h×nh b×nh hµnh. Gäi I, J lµ träng t©m c¸c tam gi¸c SAB vµ SAD vµ M lµ trung ®iÓm cña CD. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mp(IJM)
8. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Phương pháp chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng P
Ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với đường thẳng a chứa trong (P) .
Ghi chú : Nếu a không có sẵn trong hình thì ta chọn một mặt phẳng (Q) chứa d và lấy a là giao tuyến của (P) và (Q) .
Bµi 1: Cho hình chóp SABCD với đáy ABCD là hình thang có đáy lớn là AD. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh AB. (a) là mặt phẳng qua M và song song AD và SD.
a)Mặt phẳng (a) cắt SABCD theo tiết diện là hình gì ?
b)Chứng minh SA // (a)
Bµi 2: Cho tø diÖn ABCD. G lµ träng t©m tam gi¸c ABD, M trªn BC sao cho MB = 2MC. Chøng minh MG//mp(ACD).
9. T×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng – ThiÕt diÖn song song víi ®­êng th¼ng cho tr­íc
Bµi 1: Cho h×nh chãp SABCD. Gäi M vµ N lµ hai ®iÓm bÊt k× trªn SB vµ CD. lµ mÆt ph¼ng qua MN vµ song song víi SC
a, T×m giao tuyÕn cña mp víi c¸c mÆt ph¼ng (SBC); (SCD); SAC)
b, x¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mp
Bµi 2: Cho tø diÖn ABCD cã AB = a; CD = b. Gäi I, J lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ CD. (P) lµ mÆt ph¼ng qua M trªn IJ vµ song song víi AB vµ CD
a, T×m giao tuyÕn cña mp(P) víi mp(IJD)
b, X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mo(P). ThiÕt diÖn lµ h×nh g×?
III. C M HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU,
VÀ CÁC ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG 
 Chứng minh 2 đường thẳng a ; b chéo nhau :
­ Giả sử : a không chéo b 
­ Từ đó suy ra hai đường thẳng
 a và b nằm trong cùng 
mặt phẳng a ( đồng phẳng )
­ Từ đó suy ra điều mâu thuẫn với gỉa thiết hoặc 
 mâu thuẫn với một điều đúng nào đó 
 Chứng minh A, B, C, D nằm trong cùng một mặt phẳng – đồng phẳng
­ Chứng minh hai đường 
 thẳng tạo thành từ bốn 
 điểm đó cắt nhau hoặc 
 song song với nhau 
Baøi 1: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng 
a) hứng minh ba trong số 4 điểm này không thẳng hàng 
b)Chứng minh AB chéo với CD ?
Baøi 2: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b.Trên a lấy hai điểm A, B ; trên b lấy hai điểm C, D
a)Chứng minh AC chéo BD ?
b)Lấy M nằm trên đoạn AC; N nằm trên đoạn BD. Đường thẳng MN có song song AB hoặc CD không 
c)O là trung điểm MN. Chứng minh A, O, C, N đồng phẳng 
V.TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG D VÀ MẶT PHẲNG a .
Giả sử phải tìm giao điểm d Ç a = ? 
 Phương pháp 1:
 Tìm a Ì a 
 Chỉ ra được a ,d nằm trong
 cùng mặt phẳng và chúng
 cắt nhau tại M 	” d ÇÈ a = M ( hình vẽ )
 Phương pháp 2: 
 Tìm b chứa d thích hợp 
 Giải bài toán tìm giao
 tuyến a của a và b 
 Trong b : a ÈÇ d = M ” d È a = M 
Baøi 1: Cho tứ diện SABC; M ; N lần lượt là các điểm nằm trong DSAB ; DSBC. MN cắt (ABC) tại P. Xác định giao điểm P
Baøi 2: Cho tứ diện ABCD ; M là trung điểm AB; N và P lần lượt là các điểm nằm trên AC; AD sao cho AN : AC = 3 : 4 ; AP : AD = 2 : 3. Tìm giao điểm :
a) MN với (BCD)	b) BD với (MNP)	
c) Gọi Q là trung điểm NP.Tìm giao điểm của MQ với (BCD)
IV.THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG a VỚI KHỐI ĐA DIỆN
Lần lượt xét giao tuyến
của a với cácmặt của
 khối đa diện đồng thời xét 
giao điểm củacác cạnh
 của đa diện với mặt phẳng a 
Khi các đoạn giao tuyến
 tìm được khépkín thành
 đa giác ta được thiết diện phải tìm.
 Việc chứng minh tiết diện có hình 
dạng đặc biệt như hình bình hành; hình thang ; 
. . . trong mặt phẳng a cũng nhờ vào quá trình 
đi tìm giao tuyến và giao điểm ở trên 
 	Trong phần này ta chỉ xét hai cách làm cơ bản :
I. Xác định thiết diện bằng cách kéo dài các giao tuyến 
II.Xác định thiết diện bằng cách vẽ giao tuyến phụ
Baøi 1: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm AA’ ; AD ; DC . Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng đi qua M; N; P với hình lập phương ?
 Baøi 2:Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Gọi M ; N ; P lần lượt là trung điểm DC ; AD ; BB’. Tìm thiết diện tạo bởi mặt phẳng (MNP) với hình hộp và giao tuyến của (MNP) với mặt phẳng (A’B’C’D’)
10.HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
Vấn Đề 1: MẶT PHẲNG SONG SONG
Phương pháp Chứng minh hai mặt phẳng song song
Phương pháp :
* Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia .
Bµi 1: Cho h×nh chíp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh t©m O. Gäi M, N lÇn l­ît lµ trung ®iÓm cña SA vµ CD
a, Chøng minh: mp(OMN) // mp(SBC)
b, I lµ trung ®iÓm cña SC vµ J lµ ®iÓm n»m trªn mp(ABCD) c¸ch ®Òu AB vµ CD. Chøng minh IJ // mp(SAB)
c, Gi¶ sö c¸c tam gi¸c SAB vµ ABC c©n t¹i A. Gäi AE vµ AF lµ c¸c ®­êng ph©n gi¸c trong cña c¸c tam gi¸c ACD vµ SAB. Chøng minh EF // mp(SAD)
Bµi 2: Cho hai h×nh vu«ng ABCD vµ ABEF kh«ng cïng n»m trong mét mÆt ph¼ng. Trªn AC vµ BF lÊy M vµ N sao cho AM = BN. C¸c ®­êng th¼ng song song víi AB vÏ tõ M, N lÇn l­ît c¾t AD; AF t¹i M’, N’
a, Chøng minh: (CBE) // (ADF)
b, Chøng minh: mp (DEF) // mp(MNN’M’)
11. T×m giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng ThiÕt diÖn c¾t bëi mÆt ph¼ng song song víi mÆt ph¼ng cho tr­íc
Bµi 1: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh t©m O cã AC = a; BD = b; tam gi¸c SBD ®Òu. MÆt ph¼ng di ®éng song song víi mp(SBD) qua I trªn ®o¹n AC
a, X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mp
b, TÝnh diÖn tÝch cña thiÕt diÖn theo a, b vµ x = AI
Bµi 2: Cho hai mÆt ph¼ng (P) vµ (Q) tho¶ m·n (P) //(Q), 
a, T×m giao tuyÕn cña mp(MAB) vµ mp(Q); giao tuyÕn cña mp(NAC) vµ mp(Q)
b, T×m giao tuyÕn cña mp(MAB) vµ mp(NAC)
12. PhÐp chiÕu song song – H×nh l¨ng trô – H×nh hép
Bµi 1: Cho l¨ng trô tam gi¸c ABCA’B’C’. Mp qua ®­êng chÐo A’C vµ song song víi ®­êng chÐo BC’ chia AB theo tØ sè nµo?
Bµi 2: Cho l¨ng trô ABCA’B’C’. Gäi H lµ trung ®iÓm cña A’B’
a, Chøng minh C’B // mp(AHC’)
b, T×m giao ®iÓm cña AC’ vµ mp(BCH)
c, Mp(P) qua trung ®iÓm cña CC’ vµ song song víi AH vµ CB’. X¸c ®Þnh thiÕt diÖn vµ tØ sè mµ c¸c ®Ønh cña thiÕt diÖn chia c¹nh t­¬ng øng cña l¨ng trô