Chủ đề: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

A. KiÕn thøc, kÜ n¨ng c¬ b¶n
I. §Þnh nghÜa, tÝnh chÊt:
1) Nguyªn hµm
§N: Cho hµm sè f(x) x¸c ®Þnh trªn K, hµm sè F ®­îc gäi lµ nguyªn hµm cña f trªn K nÕu F’(x) = f(x) víi mäi x thuéc K. Hä c¸c nguyªn hµm cña f(x) lµ: 
Nguyªn hµm cña mét sè hµm sè th­êng gÆp 
1) 
3) 
4) 
5) Víi k lµ h»ng sè kh¸c 0.
	a) 
	b) 
c) 
	d) 
6) a) b) 
7) a > 0 
TÝnh chÊt cña nguyªn hµm (SGK)
2) TÝch ph©n 
§N: Cho hµm sè f liªn tôc trªn K, a vµ b lµ hai sè bÊt k× thuéc K. NÕu F lµ mét nguyªn hµm cña f trªn K th× 
TÝnh chÊt: Gi¶ sö c¸c hµm sè f, g liªn tôc trªn K vµ a, b, c lµ c¸c sè bÊt k× thuéc K. Khi ®ã:
3) øng dông cña tÝch ph©n
TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng
H×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ; S = 
( f(x), g(x) liªn tôc trªn ®o¹n [a; b] )
TÝnh thÓ tÝch khèi vËt thÓ trßn xoay do h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng:
, quay quanh trôc Ox lµ : V = 
, quay quanh trôc Oy lµ : V = 
II. Ph­¬ng ph¸p t×m nguyªn hµm, tÝnh tÝch ph©n
	1) Ph­¬ng ph¸p biÕn ®æi.
	¸p dông c¸c tÝnh chÊt, c«ng thøc nguyªn hµm vµ ®Þnh nghÜa tÝch ph©n
VÝ dô 1. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:
	I = 
	J = 
K = 
L = 
M = 
N = 
VÝ dô 2. T×m hµm sè f(x) biÕt:
 1) df(x) = (3sinx + 2cosx)dx vµ f(0) = 1 2) df(x) = (x - )dx và f(1) = 2 
	2) Ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn sè.
D¹ng 1: NÕu f(x)dx = g(u(x))u’(x)dx = g(u(x))d(u(x)). §Æt u = u(x). Ta cã du = u’(x)dx
	Suy ra 	= 
HÖ qu¶: ..... 
VÝ dô 3. TÝnh 	
1) ,
2) , 
3) .
4) ,
5) ,
6) ,
D¹ng 2. §Æt x = u(t), hµm sè u(t) liªn tôc vµ ®¬n ®iÖu trªn K chøa t1, t2
	dx = u’(t)dt
	x = a t = t1; x = b t = t2
	BiÕn ®æi f(x)dx = f(u(t))u’(t)dt = g(t)dt. Ta cã = = 
VÝ dô 4. TÝnh 
I = , §Æt x = 2sint, t 
J = , §Æt x =tant, t
K = , §Æt x =sint, t
L = , §Æt x = tant, t.
3) Ph­¬ng ph¸p tÝnh nguyªn hµm, tÝch ph©n tõng phÇn.
C«ng thøc: 
VÝ dô 5. TÝnh:
I = 
J = 
K = 
L = 
M = 
N = 
B. mét sè d¹ng tÝch ph©n th­êng gÆp
I - TÝch ph©n c¸c hµm ®a thøc, hµm sè luü thõa
Chó ý : víi 0 vµ -1, 
	, , du = u’(x)dx 
I1 = 
I2 = 
I3 = 
I4 = 
I5 = 
I6 = 
I8 = 
I9 = 
II- TÝch ph©n c¸c hµm h÷u tØ
Chó ý: , 
I10 = 
I11 = 
I12 = 
I13 = 
I14 = 
I15 = 
I16 = 
I17 = 
I18 = 
I19 = 
I20 = 
I21 = 
I22 = 
I23 = 
I24 = 
III- TÝch ph©n hµm chøa c¨n thøc
Chó ý:	 Trong ®ã R(x, f(x)) cã c¸c d¹ng: 
+) R(x, ) §Æt x = hoÆc x = t 
+) R(x, ) §Æt x = a cos2t, t +) R(x, ) §Æt t = 
+) R(x, f(x)) = Víi ()’ = k(ax+b)
	Khi ®ã ®Æt t = , hoÆc ®Æt t = 
+) R(x, ) §Æt x = . 
+) R Gäi k = BCNN(n1; n2; ...; ni), §Æt x = tk .
I25 = 
I26 = 
I27 = 
I28 = 
I29 = 
I30 = 
I31 = 
I32 = 
I33 = 
I34 = 
I35 = 
I36 = 
I37 = 
I38 = 
I39 = 
I40 = 
I41 = 
I42 = 
I43 = 
I44 = 
I45 = 
I46 = 
I47 = 
I48 = 
I49 = 
I50 = 
IV- TÝch ph©n hµm sè l­îng gi¸c
Chú ý các công thức: TÝch thµnh tæng : 2sinax.cosbx = sin(a+b)x + cos(a-b)x
	 2cosax.cosbx = cos(a+b)x + cos(a-b)x
	 2sinax.sinbx = cos(a -b)x - cos(a+b)x.
H¹ bËc: 2sinax.cosax = sin2ax; 2sin2ax =1- cos2ax; 2cos2ax = 1+ cos2ax.
BiÓu diÔn theo t = tan; sinx = ; cosx = ; tanx = 
 C¸c vi ph©n: d(sinx) = cosxdx; d(cosx) = -sinxdx; d(tanx) = =(1+tan2x)dx.
I51 = I52 = 
I53 = 
I54 = 
I55 = 
I56 = 
I57 = 	
I58 = 
I59 = 
I60 = 	
I61 = 
I62 = 
I63 = 	
I64 = 	
I65 = 
I66 = 
V- TÝch ph©n tæng hîp c¸c hµm sè
I67 = 
I68 = 
I69 = 
I70 = 
I71= 
I72 = 
I73 = 
VI – Mét sè tÝch ph©n ®Æc biÖt
I75 = 
I76 = 
I77 =
I78 = 
I79 = 
I80 = 
c. øng dông cña tÝch ph©n
VÝ dô 6. TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng sau:
a) y = x3 - 4x vµ trôc Ox
b) y = x3 ; x+y = 2 vµ trôc hoµnh;
c) y = 0,25x3-3x vµ tt cña nã t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x =-
d) y = ; y = 3-x 
e) (P):y = 2x2 vµ hai tt cña (P) qua A(;0)
VÝ dô 7. TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay do h×nh ph¼ng A giíi h¹n bëi c¸c ®­êng sau, khi A quay quanh trôc Ox
a) y = x2 ; y = 0; x = 1
b) y = sinx; y = 0; x = 0 vµ x = 
c) y = ex, trôc Ox, x = 1
d) y = x2; x = 0; y = 1
Bµi tËp: 
 A) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®­êng sau:
Bµi 1. (TN - 2006): y = ex ; y = 2 vµ ®­êng th¼ng x = 1. 	§S: e + 2ln2 - 4
Bµi 2. (TN - 2002): y2 = 2x +1; y = x - 1	 §S: = 16/3
Bµi 3. KA-2007. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = (e+1)x và y = (1+ex)x. 	 ĐS: . 
Bµi 4. (§H - KB - 2002): y = vµ y = 	§S: = 2+ 4/3 
Bµi 5. (§H - KA - 2002): y = y = ; y = x+3	§S: = 109/6
 B) TÝnh thÓ tÝch khèi vËt thÓ trßn xoay do h×nh ph¼ng D giíi h¹n bëi 
Bµi 1. (TN - 2004): y = 1/3x3 - x2; y = 0; quay quanh trôc Ox 	§S: 81/35 	 
Bµi 2. (P) y = 2x2 vµ hai tiÕp tuyÕn cña (P) ®i qua A(1/2; 0) quay quanh trôc Ox
Bµi 3. y = x2; y = quay quanh trôc Oy 
Bài 4. KB-2007. 
 Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y = xlnx, y = 0, x = e. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox. 
Một số bài toán về Nguyên hàm, tích phân trong các đề thi đại học
KA-2005. I1 = 	ĐS: .
KB-2005. I2 = 	ĐS: 2ln2 – 1.
KD-2005. I3 = 	ĐS: .
KA-2006. I4 = .	ĐS: .
KB-2006. I5 = .	ĐS: ln3-ln2.
KD-2006-2007. I6 = ; I7 = . ĐS: ; .
KA-2008. I8 = .	ĐS: .
KB-2008. I9 = .	 ĐS: .
KD-2008. I10 = .	ĐS: .
KA-2009. I11 = .	ĐS: .
KB-2009. I12 = .	ĐS: ¾(1+ln3) – ln2.
KD-2009. I13 = .	ĐS: -2 + ln(e2 + e + 1).
KA-2010. I14 = .	ĐS: .
KB-2010. I15 = .	ĐS: .
KA-2011. I16 = . 	ĐS: .
KA-2012. I17 = .	ĐS: .
KB-2012. I18 = . 	ĐS: .