Chủ đề: Nguyên hàm - Tích phân - ứng dụng của tích phân

CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
NGUYÊN HÀM:
Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K
Tính chất:
+ Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C với C là một hằng số
+ 
+ với 
+ 
3. Bảng các nguyên hàm
4.Các phương pháp tính nguyên hàm
A. Tính nguyên hàm dựa theo định nghĩa và tính chất của nguyên hàm
Bài 1: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số 
a) f(x)=1+ sin3x bieát F()= 0.
Giaûi
Ta coù F(x)= x – cos3x + C. Do F() = 0 - cos + C = 0 C = -.
Vaäy nguyeân haøm caàn tìm laø: F(x)= x – cos3x -.
b) biết ĐS: 
c) f(x) = 4x3 - ex + cosx biết F(0) = 5 
 ĐS: 
Bài 2: Tính các nguyên hàm sau :
a) ĐS: 
b) ĐS: -cosx + 2sinx + C 
c) ĐS: -3cosx - 2tanx + C 
d) 
HD: ĐS: 
 e) 
HD: ĐS:
B. Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến 
NHẬN XÉT: Khi gặp nguyên hàm có dạng: thì ta đặt t = U(x)
 ta đặt => => 
 Đặt U(x) = t 
 ta đặt U(x) = t 
 Bài 1: Tính các nguyên hàm sau :
a) ĐS: 
b) HD: đặt ĐS: 
c) HD: đặt ĐS: 
d) 
e) ĐS: 
f) 
g) 
 đặt ĐS 
C. Tính nguyên hàm bằng phương pháp từng phần
Công thức: 
NHẬN XÉT: Khi gặp nguyên hàm có dạng: trong đó P(x) là đa thức ta đặt P(x) = u phần còn lại là dv
 trong đó P(x) là đa thức ta đặt lnx = u , P(x)dx = dv
Bài tập: 
 HD: đặt 
ĐS: 
II.TÍCH PHÂN
1)Định nghĩa tích phân : 
 Cho f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn . Hiệu số F(a) - F(b) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x). ký hiệu là: 
2). Tính chất:
Tính chất 1: 
Tính chất 2: với k thuộc R
Tính chất 3: 
Tính chất 4: 
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN:
1/ Tính tích phân bằng việc sử dụng các nguyên hàm cơ bản:
Bài tập 1: Tính các tích phân sau
I = 
c) 
Giải:
I = 
 I = = 
 = 
2/ Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 1:
Khi gặp tích phân có dạng: ; ta đặt U(x) = t ta đặt 
Bài 1: Tính các tích phân 
a) HD: đặt 2x+1 = t ĐS: 
 b) Nhận xét : (x +x+1)’= 2x+1 nên ta đặt: 
 ĐS: 
c) Nhận xét nên ta đặt ;
 => tdt= xdx 
 ĐS: 
d) Nhận xét: (sinx)’ = cosx nên ta đặt sinx = t ĐS: 
e) đặt ĐS: 
f) nên ta đặt 
 ĐS: 
g) ĐS: 2( 1 – ln2 )
h) ta đặt 
 ĐS: ln2
3. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến dạng 2:
 *QUY TẮC:
 Tính 
đặt x =u(t) , u(t) là một hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn f(u(t)) xác định trên đoạn và u(a)= a ; u(b) =b 
Biến đổi f(x)dx theo t và dt. giả sử f(x)dx = g(t)dt
* Bài 1: Tính I = Nhận xét ta thấy x không có ở ngoài dấu căn,nên không thể áp dụng phương pháp đổi biến dạng 1.
Nhận xét: vì sina+cosa =1 
 sina = 1- cosa nên nếu ta đặt x = sint hoặc x = cost 
 thì 1- x = 1 - sint ( hoặc 1 - x = 1 - cost )
 Giải : đặt x= sint với 
 đổi cận : khi x=0 t = 0 ; khi x = 1 ; t = 
 dx = cost dt 
 I = = 
CHÚ Ý: Với n Î N ta đặt x = sint khi n chẵn, đặt 
t = khi n lẻ
*Bài 2: Tính tích phaân sau : 
Nhận xét: Vì đạo hàm của biểu thức trong dấu căn không có trên tử số nên ta không áp dụng được phương pháp đổi biến dạng 1
GIẢI: đặt x = sin t với 
 =>dx = cos t dt
 Khi x = 0 thì t = 0 
 Khi x = thì t = 
 Vậy (Do cos t > 0)
*Bài 3:. H·y tÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 
 a) b) 
Gi¶i: a) §Æt . Khi x = 0 th× t = 0. Khi th× . 
 Tõ 
 .
 b) §Æt x = tant với . Khi th× , khi th× .
 	Ta cã : 
 => = 
Chó ý: Trong thùc tÕ chóng ta cã thÓ gÆp d¹ng tÝch ph©n trªn d¹ng tæng qu¸t h¬n nh­:
 	NÕu hµm sè d­íi dÊu tÝch ph©n cã chøa c¨n d¹ng vµ 
 (trong trong ®ã a lµ h»ng sè d­¬ng) mµ kh«ng cã c¸ch biÕn ®æi nµo kh¸c th× nªn ®æi sang c¸c hµm sè l­îng gi¸c ®Ó lµm mÊt c¨n thøc, cô thÓ lµ:
Víi , ®Æt 
 hoÆc .
 Víi , ®Æt x = atant t Î 
 Víi ®Æt , 
 Víi ®Æt , 
CHÚ Ý: Khi tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số cần phân biệt cho học sinh nắm được khi nào thì áp dụng cách đổi biến dạng 1, khi nào thì áp dụng cách đổi biến dạng 2.Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng: ; ; 
Thì nên áp dụng đổi biến số dạng 1 . Nếu không áp dụng được cách đổi biến dạng 1 thì áp dụng cách đổi biến dạng 2. Trường hợp không dùng được phương pháp đổi biến số thì ta sẽ áp dụng phương pháp tích phân từng phần
IV PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN; 
§Þnh lÝ . NÕu u(x) vµ v(x) lµ c¸c hµm sè cã ®¹o hµm liªn tôc trªn th×:
 hay . 
Chú ý : Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân, chúng ta cần tuân thủ theo các nguyên tắc sau :
Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng.
Tích phân được xác định một cách dễ dàng hơn so với tích phân ban đầu
Chúng ta cần nhớ các dạng cơ bản sau :
 Dạng 1 : 
 ( hoặc ) với P(x) là một đa thức. Khi đó ta đặt u= P(x) phần còn lại là dv
 Dạng 2 : hoặc : 
 Ta đặt u= ; dv = cosxdx ( hoặc dv=sinxdx )
 Cũng có thể đặt : u =cosx ( hoặc u =sinx ) dv = 
Dạng3 :
 I= với P(x) là một đa thức Đặt , dv = P(x)dx
Dạng 4: . 	Đặt u=x phần còn lại là dv
Bài 1: Tính các tích phân 
a) ĐS: 
b) ĐS: 3 – 2e 
c) ĐS: 
 d) ĐS : 1
e) HD: 
 ĐS: 
Một số bài tập tổng hợp: 
Tính 
GIẢI: =
Với Ta đặt 
Vậy 
Tính 
GIẢI: 
Với Ta đặt 
 Vậy: 
Tính 
HD: 
 Tính bằng phương pháp từng phần
 Tính bằng phương pháp đổi biến
Tính 
Tính bằng cách đặt cosx = t
Tính bằng phương pháp từng phần
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
A/ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x)liên tục trên đoạn , trục hoành và các đường thẳng x=a; x=b được tính theo công thức:
 S = (1)
 2. Cho hai hàm số liên tục trên đoạn . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số và các đường thẳng x=a ; x=b là:
 S = (2)
3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong x = g(y); x = h(y) ( g và h là các hàm số liên tục trên đoạn và hai đường thẳng y =c; y = d là:
 S= (3)
CHÚ Ý: Khi áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng cần khử dấu giá trị tuyệt đối dưới dấu tích phân.Chẳng hạn đối với công thức (2) ta có thể giải phương trình
 f(x)- f(x) =0 trên đoạn , giả sử phương trình có hai nghiệm c;d ( a < c < d < b ), khi đó:
S = 
 Hoặc có thể xét dấu của trên đoạn 
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
a) ĐS : 
b) y = lnx ; y = 0 ; x = e ĐS : 1
c) y = x2 - 3x + 2, y = 0 ĐS : 
y) 
HD : giải phương trình trên đoạn có hai nghiệm x = -1 ; x = 3 
Diện tích 
 ĐS :S= 
Chú ý: Khi tính diện tích hình phẳng cần cho học sinh xác định các giả thiết của bài toán xem đã đủ các dữ kiện trong công thức chưa? Có thừa hay thiếu gì không.
 Chẳng hạn như trong câu b) ta mới chỉ có y= lnx ; y =0; x = e còn thiếu một cận của tích phân ( x = a ; x =b ) trong công thức (1). Do đó cần giải phương trình
 f(x) - f(x) = 0 để tìm thêm một cận của tích phân
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
a, , y = x + 1, x = 0, x = 3 
HD : xét phương trình 
=>diện tích ĐS :S = 9: 
b, y = x2 -2x , y = x 
HD : xét phương trình 
=> diện tích ĐS :S = 
c, và các tiếp tuyến của (P) tạị các điểm
M( 0 ; -3) N( 3 ; 0) 
HD : y’ = -2x + 4 y’(0) = 4 ; y’(3) = - 2 
Tiếp tuyến của (P) tại M( 0 ; -3) có phương trình y = 4x – 3
 Tiếp tuyến của (P) tại N( 3 ; 0) có phương trình y = -2x +6 
Xét phương trình 4x – 3 = -2x + 6 ó x = 1,5
Diện tích 
 ĐS :S = 
B/ TÍNH THỂ TÍCH;
Công thức tính:
1.Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn , trục hoành và các đường thẳng x = a; x = b khi nó quay quanh trục 0x tạo thành khối tròn xoay có thể tích là:
 (1) 
2. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g(y) liên tục trên đoạn , trục tung và các đường thẳng y =c; y = d khi nó quay quanh trục oy tạo thành khối tròn xoay có thể tích là:
 (2)
Bài 1: Tính thể tích khối tròn xoay do miền hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung quanh trục Ox: 
a) y = cosx y = 0 x = 0 ; x = ĐS 
b) ĐS: 
c) ĐS :
 d) 
HD : Xét phương trình : 
Gọi là thể tích khối tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi  ; y = 0 ;x =0 ; x = 1 khi nó quay quanh trục ox. 
 Gọi là thể tích khối tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi  ; y = 0 ;x =0 ; x = 1 khi nó quay quanh trục ox. 
Do đó ta có thể tích khối cần tìm là : ĐS : V = 
Bài 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường: 
y2 = x3, y = 1, x = 0 khi nó quay xung quanh trục 0y
Hướng dẫn giải:
Từ y2 = x3 
Giải PT: 
 ĐS