Chủ đề: Khối đa diện – thể tích

Chủ đề 5. KHỐI ĐA DIỆN – THỂ TÍCH
Các kiến thức cơ bản cần nhớ
Các dạng toán cần ôn tập
Bài tập minh hoạ
(Xây dựng bài tập từ nhận biết thông hiểu vận dụng)
1. Khối lăng trụ, khối chóp, khối chóp cụt, khối đa diện. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện. Phép đối xứng qua mặt phẳng và sự bằng nhau của hai khối đa diện.
2. Khối đa diện đều, 5 loại khối đa diện đều (tứ diện đều, lập phương, bát diện đều, thập nhị diện đều và nhị thập diện đều). Tính đối xứng qua mặt phẳng của khối tứ diện đều, bát diện đều và hình lập phương. Phép vị tự trong không gian
3. Thể tích khối đa diện. Thể tích khối hộp chữ nhật. Công thức thể tích khối lăng trụ, khối chóp và khối chóp cụt.
1. Tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp.
Một số chú ý:
- Chú trọng rèn cho học sinh kỹ năng vẽ hình không gian.
- Hệ thống lại cho học sinh các công thức tính diện tích tứ giác và tam giác đặc biệt.
- Phân loại khối chóp, khối lăng trụ thường gặp để xác định đường cao, từ đó tính thể tích của chúng.
- Nhắc lại các khái niệm góc trong không gian, khoảng cách giữa các đối tượng trong KG.
Loại 1: Các khối đa diện đều thường gặp 
Loại 2: Khối chóp, khối lăng trụ có chiều cao cho trước, tìm hình dạng và diện tích đáy từ đó tính thể tích.
Loại 3: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy.
Loại 4: Khối chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với mặt đáy.
Loại 5: Khối chóp có 3 cạnh cùng xuất phát từ một đỉnh, vuông góc với nhau từng đôi một.
Loại 6: Hình chóp có các cạnh bên hợp với mặt đáy các góc bằng nhau.
CHÚ Ý
Để giải tốt những bài toán về khối chóp, việc đầu tiên phải vẽ hình trực quan, muốn vậy cần cho học sinh khắc sâu cách xác định đường cao trong một số trường hợp thường gặp đó là:
 - Khối chóp có 1 cạnh bên vuông góc với đáy: Đường cao khối chóp chính là cạnh bên vuông góc ấy.
 - Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy: Đường cao hình chóp chính là đường cao của mặt bên vuông góc ấy kẻ từ đỉnh hình chóp.
 - Khối chóp đều: Chân đường cao trùng vào tâm của đáy.
 - Khối chóp có các cạnh bên tạo với đáy 1 góc bằng nhau ( các cạnh bên nghiêng đều trên đáy): Chân đường cao trùng vào tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
 - Khối chóp có các mặt bên tạo với đáy 1 góc bằng nhau ( các mặt bên nghiêng đều trên đáy): Chân đường cao trùng vào tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.
 - Khối chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy: Đường cao hình chóp là đoạn thẳng nằm trên giao tuyến của hai mặt bên vuông góc ấy. 
Bài 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC = a và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.
Lời giải:
 Ta có
 vuông cân tại A nên AB = AC = a
ABC A'B'C' là lăng trụ đứng 
Vậy V = B.h = SABC .AA' = 
Bài 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và 
đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này.
Lời giải:
 ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên 
 BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2 
 ABCD là hình vuông 
Suy ra B = SABCD = 
 Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3 
 Bài 3: Lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh 
 a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Lời giải:
 Gọi I là trung điểm BC .Ta có
ABC đều nên
.
 Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC .AA'= 
 Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a
 và đường chéo BD' của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 300. 
 Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ . 
 Giải: 
 Ta có ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta có: và BD là hình chiếu của BD' trên ABCD .
 Vậy góc [BD';(ABCD)] = 
Vậy V = SABCD.DD' = S = 4SADD'A' = 
	Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác 
 vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 
 600 .Tính thể tích lăng trụ.
Lời giải:
Ta có 
 Vậy 
 SABC = 
 Vậy V = SABC.AA' = 
Bài 6: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.
Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Tính diện tích của mặt trụ tròn xoay ngoại tiếp hình trụ
Giải
a) Ta có , trong đó B là diện tích đáy của lăng trụ, h là chiều cao lăng trụ .
 Vì tam giác ABC đều, có cạnh bằng a nên . h = AA’ = a 
Þ (đvtt)
b) Diện tích xung quanh mặt trụ được tính theo công thức 
 r là bán kính đường tròn ngoại tiếp DABC Þ , l =AA’ =a nên diện tích cần tìm là
 (đvdt)
 Bài 7: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với 
 AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với đáy một góc 60o.
	1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông . 
	2)Tính thể tích hình chóp .
Lời giải:
1) 
 mà ( đl 3 ).
Vậy các mặt bên chóp là tam giác vuông.
 2) Ta có là hình chiếu của SB trên (ABC).Vậy góc[SB,(ABC)] = .
vuông cân nên BA = BC = 
 SABC = 
Vậy 
 Bài 8: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA 
 vuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60o.
 Tính thể tích hình chóp .
Lời giải: Mlà trung điểm của BC,vì tam giác ABC đều nên AM BCSABC (đl3) góc[(SBC);(ABC)] = .
Ta có V = 
Vậy V = 
Bài 9: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA 
 vuông góc đáy ABCD và mặt bên (SCD) hợp với đáy một góc 60o.
	1) Tính thể tích hình chóp SABCD.
	2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Lời giải: 1)Ta có và ( đl 3 ).(1)
 Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = = 60o .
vuông nên SA = AD.tan60o = 
Vậy 
 2) Ta dựng AH ,vì CD(SAD) (do (1) ) nên CD AH 
 Vậy AH là khoảng cách từ A đến (SCD).
 AH = 
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với đáy.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Chứng minh trung điểm I của cạnh BC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
 Bài giải
Áp dụng công thức trong đó B = a2, h = SA = a Þ ( đvtt)
Trong tam giác vuông SAC, có AI là trung tuyến ứng với cạnh huyền SC nên AI = IS = IC.(1)
BC ^ AB và BC ^ SA Þ BC ^ SB Þ D SBC vuông tại B, IB là trung tuyến ứng với cạnh huyền SC nên IB = IS = IC (2). 
 Tương tự ta cũng có ID = IS = IC(3). Từ (1), (2), (3) ta có I cách đều tất cả các đỉnh hình chóp nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp.
 Bài 11: Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a và SA ^(ABC). Tam giác ABC vuông cân tại B, 
Tính thể tích khối chóp S.ABC
Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp 
Gọi I và H lần lượt là trung điểm SC và SB. Tính thể tích khối chóp S.AIH 
Giải
a) 
 b) Gọi I là trung điểm SC
 SA ^AC nên A thuộc mặt cầu đường kính SC
 BC ^ SA và BC ^ Ab nên BC ^ SB Þ B thuộc mặt cầu đường kính SC. Như vậy tâm mặt cầu là trung điểm I của SC còn bán kính mặt cầu là . Ta có 
 c) Áp dụng công thức 
Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a
 Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáyABCD, 
 1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD.
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của AB.
 đều 
mà 
Vậy H là chân đường cao của khối chóp.
Ta có tam giác SAB đều nên SA =
suy ra 
 Bài 13: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có
 BC = a. Mặt bên (SAC) vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450.
Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.
Tính thể tích khối chóp SABC.
Lời giải:
 a) Kẻ SH BC vì mp(SAC)mp(ABC) nên SHmp(ABC). 
 Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC SIAB, SJBC, theo giả thiết 
 Ta có: nên BH là đường phân giác của ừ đó suy ra H là trung điểm của AC.
b) HI = HJ = SH =VSABC=
Bài 14: Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a . 
	1) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.
	2) Tính thể tích khối chóp SABCD.
Lời giải: Dựng SO (ABCD)
 Ta có SA = SB = SC = SD nênOA = OB = OC = ODABCD là hình thoi có đường tròn ngoại tiếp nên ABCD là hình vuông .
 Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 nên vuông tại S 
 Vậy 
Bài 15: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC. 
Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.
b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy ra thể tích hình chóp MABC.
Lời giải:
a) Gọi O là tâm của 
 , 
b) Kẻ MH// DO, kc từ M đến mp(ABC) là Vậy 
Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông 
 góc đáy. Góc giữa SC và đáy bằng và M là trung điểm của SB.
	1) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
	2) Tính thể tích của khối chóp MBCD.
. 
Lời giải: a)Ta có 
 + 
 + 
b) Kẻ Ta có: , 
Bài 17: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt 
 bên (SAB), (SBC), (SCA) tạo với đáy một góc 60o .Tính thể tích khối chóp.
Lời giải:
Hạ SH, kẽ HEAB, HFBC, HJAC
 suy ra SEAB, SFBC, SJAC . Ta có nên HE =HF = HJ = r ( r là bán kính đường tròn ngọai tiếp )
 Ta có SABC = 
với p = Nên SABC = 
 Mặt khác SABC = p.r 
 Tam giác vuông SHE: SH = r.tan 600 
 Vậy VSABC = .
 Bài 18: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có , AD = a, 
 AA’ = a, O là giao điểm của AC và BD.
Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’
Tính thể tích khối OBB’C’.
Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’.
Lời giải:
a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V.
 Ta có :
 * Khối OA’B’C’D’ có đáy và đường cao giống khối hộp nên: 
b) M là trung điểm BC 
c) Gọi C’H là đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’. Ta có : 
Bài 19(THPT PB-2008-lần 1): Cho hình chóp tam giác đều S. ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của cạnh BC.
a) Chứng minh SA vuông góc với BC.
b) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a.
Bài 20:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Tính thể tích của khối chóp, biết:
a) Cạnh đáy bằng 2cm, cạnh bên bằng 2cm.
b) Cạnh đáy bằng 2cm, cạnh bên hợp với đáy 1 góc 600.
c) Cạnh đáy bằng 2cm, mặt bên hợp với đáy 1 góc 600.
Bài 21 (THPT- PB-2006): Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, cạnh bên SB bằng a.
a) Tính thể tích của khối chóp S. ABCD.
b) Chứng minh trung điểm của cạnh bên SC là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Bài 22( THPT PB-2007-lần 1): Cho hình chóp tam giác S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông đỉnh B, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết SA = AB = BC = a. Tính thể tích của khối chóp S. ABC.
Bài 23: (THPT PB-2007- lần 2): Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = AC. Tính thể tích khối chóp S. ABCD.
Bài 24: (THPT PB- 2008 - lần 2): Cho hình chóp tam giác S. ABC có đáy là tam giác ABC vuông đỉnh B, đường thẳng SA vuông góc với với mặt phẳng (ABC). Biết AB = a; BC = a và SA = 3a.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
b) Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tính độ dài đoạn thẳng BI theo a
Bài 25 (THPT 2009): Cho hình chóp S. ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết = 1200, tính thể tích của khối chóp S. ABC theo a.
Bài 26 Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C có cạnh bên bằng cạnh đáy và bằng a .
a) Tính thể tích khối lăng trụ theo a .
b) Tính thể tích của khối chóp A'. ABC theo a .
Bài 27: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang cân (AB // CD), AB = a, DC = 2a, = 600, mặt bên (SAD) vuông góc với đáy, SA = SD = AD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Bài 28: Cho hình chóp tứ giác S. ABCD, đáy ABCD là hình thoi tâm O, đường chéo AC = 2a, đường chéo BD = 2b. Hai mặt chéo (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy. Mặt bên (SBC) hợp với mặt đáy một góc bằng 450. Tính theo a, b thể tích khối chóp S. ABCD.