Chủ đề : Hệ phương trình phương trình đại số

Chủ đề : Hệ phương trình phương trình đại số
1.	Hệ phương trình bậc 1 : . 
Tính :	D = , Dx = , Dy = 
	D ¹ 0 : nghiệm duy nhất x = Dx/D , y = Dy/D.
	D = 0, Dx ¹ 0 Ú Dy ¹ 0 : VN
	D = Dx = Dy = 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết).
2.	Hệ phương trình đối xứng loại 1 :
Từng phương trình đối xứng theo x, y. Đặt S = x + y, P = xy. 
	ĐK : S2 – 4P ³ 0. Tìm S, P. Kiểm tra đk S2 – 4P ³ 0; 
	Thế S, P vào pt : X2 – SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y.
 (a, b) là nghiệm thì (b, a) cũng là nghiệm; 
Nghiệm duy nhất Þ a = b Þ m = ? 
 Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không.
3.	Hệ phương trình đối xứng loại 2 :
Phương trình này đối xứng với phương trình kia. Trừ 2 phương trình, dùng các hằng đẳng thức đưa về phương trình tích A.B = 0.
	Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1.
4.	Hệ phương trình đẳng cấp : 
Xét y = 0. (Có thể xét x = 0, xét x ¹ 0, đặt y = tx) .
Xét y ¹ 0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t. Còn 1 phương trình theo y, giải ra y, suy ra t, suy ra x. 
5. HOÁN VỊ VÒNG QUANH : 
Xét hàm số f(t) luôn đồng biến (nghịch biến) trên D.
Với x, y, z Î D, từ tính đơn điệu của f(t) trên D suy ra x = y = z.
Thế vào hệ, giải pt x = f(x) trên D.
Trích đề thi ĐH – CĐ (2002–2008)
A– Cơ bản: 
(A–03) Û
(B–02) 
(1)Û 
A2–05)
Đặt u = 
Có . ĐS (2; −1)
(D1–06) . Đặt 
.ĐS: (0;0),(2; 1),(−1; −2) 
(D–02) 
(2) Û 2x = y >0 
(B–05) 
(2) Û x = y 
(A–04)
(1) Û 
(D2–06) 
(2) Û x= 2y; x = 10y ® x và y cùng dấu 
Xét f(t) = ln(1+t) – t (t > –1); (1) Û f(x) = f(y) 
Từ tính đơn điệu của f(t)® x = y ® ĐS: (0; 0)
D08) 	
(1)Û(x+y)(x–2y–1)=0x= 2y+1
 (A08)
Đặt có 
(1) Û 
(B–08) 
(2) Û xy = 
(B2–08) 
Thế (2) vào (1)Þ 
Cách 1: đặt t = ® t =1 ® (2; 1)
Cách 2: f(x) = 
Có f(x) đồng biến "x > 1 Þ x =2 là nghiệm duy nhất. 
(A–06)
Bình phương 2 vế pt(2)® pt(3) . Đặt t = ; thay vào (3) Þ t =3Þ đáp số (3; 3)
Đối xứng loại I (S; P)
(A1−05)
 ĐS:
(CĐ–06)
(A1–06) 	
Cách 1: (1)Þ y ¹ 0. chia 2 pt cho y , 
đặt .ĐS
Cách 2: Thay y từ (2) vào (1)Þ y+x–2=1. ĐS(1;2), (–2;5)
(A2–07) Đặt u = –x2; v = xy ĐS: (1; 0), (–1; 0)
Đối xứng loại II
HD: TH1 x=y suy ra x=y=1
 TH2 chú ý: x>0 , y> 0 
 suy ra vô nghiệm 
(B–03) 	
 (ĐH –99) 
(A1–07) 
Đặt u =x –1; v =y –1. Lấy (1)–(2)Þ pt (3): f(u) =f(v)
Với hàm số f(t) = đồng biến trên D Þu=v
Þ g(u)==0; g(u) nghịch biến Þ u =0 là nghiệm duy nhất Þ x = y =1
(B2–07) 
C1: (1)– (2) có (x–y).A = 0 (A ¹ 0 )Û x = y. 
C2: (1)+(2)có =x2+y2
vì 
ĐS (0; 0), (1; 1)
B1_07)CMR có đúng 2 n0 
Từ x>0; y > 0 Þ ex>1; ey>1 Lấy (1) –(2) Þ (3): f(x)=f(y), 
Với f(t)=Þf(t)đồng biến "t >1 Þ x =y 
Þ g(x) =® g”(x) > 0 ; 
kết hợp tính liên tục của hàm số Þ đpcm 
HSG) 	
Đk: x> –1/2; y>–1/2. Lấy (1) –(2)Þ f(x) = f(y) 
Với f(t)= t2+4t+ln(2t +1)Þ f đồng biến Þ x = y
Þ g(x) = x2+4x+ln(2x +1) = 0; g(x) đồng biến Þ x = 0 là nghiệm duy nhất Đáp số x = y = 0 
Hệ đẳng cấp:
Ÿ x = 0 Þ y2 = 3= −m/3Þ m = –9 
Ÿ x ¹ 0 Þ y = tx Þ (tÎ) (*)
C1: KSHS f(t) = Þ
C2: (*) Þ pt b2 theo t đáp số
Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x2 –xy +y2 £ 3. Chứng minh: 
Hệ hoán vị vòng quanh
D2–08) Û 
Þ x; y ; z không âm
Ÿ x = 0 Þ y = z = 0 Þ x = y = z = 0 là 1 nghiệm của hệ.
Ÿ x > 0 Þ y > 0; z > 0
Xét f(t) = Þ f đồng biến Þ x = y = z= là 1 n0
 (A2–06)	
(B2–06) ( (3;2), (–2;–3) )
(D1–04)(x=y=–1; x=1,y=0)
(A1–03)
(B1–02) ((1;1), (9;3))
 Đề 2009 :
B; D
HD : Rút ra . Cô si .
x2 ³ 20 theo (1) x2 £ 20 suy ra x2=20 Þ x,y.