Chủ đề 8 nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

A. Kiến thức, kĩ năng cơ bản
I. Định nghĩa, tính chất:
1) Nguyên hàm
ĐN: Cho hàm số f(x) xác định trên K, hàm số F được gọi là nguyên hàm của f trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K.
Họ các nguyên hàm của f(x) là: 
Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp 
1) 
3) 
4) 
5) Với k là hằng số khác 0.
	a) 
	b) 
c) 
	d) 
6) a) 
7) 
Tính chất của nguyên hàm (SGK)
2) Tích phân 
Cho hàm số f liên tục trên K, a và b là hai số bất kì thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì 
Tính chất: Giả sử các hàm số f, g liên tục trên K và a, b, c là các số bất kì thuộc K. Khi đó:
3) ứng dụng của tích phân
Tính diện tích hình phẳng
Hình phẳng giới hạn bởi ; S = 
( f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a; b] )
Tính thể tích khối vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:
, quay quanh trục Ox là : V = 
, quay quanh trục Oy là : V = 
II. Phương pháp tìm nguyên hàm, tính tích phân
	1) Phương pháp biến đổi.
	áp dụng các tính chất, công thức nguyên hàm và định nghĩa tích phân
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
f(x) = 2x(x2 +3)3
f(x) = 
f(x) = 
f(x) = 
f(x) = 
f(x) = 
Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:
	I = 
	J = 
K = 
L = 
M = 
N = 
Ví dụ 3. Tìm hàm số f(x) biết:
1) df(x) = (3sinx + 2cosx)dx và f(0) = 1 2) df(x) = (x - )dx và f(1) = 2 
	2) Phương pháp đổi biến số.
Dạng 1: Nếu f(x) = g(u(x))u’(x)dx = g(u(x))dx. Đặt u = u(x). Ta có du = u’(x)dx
	Suy ra 	= 
= = 
Hệ quả 
Ví dụ 4. Tính 	
1) ,
2) ,
3) , 
4) 
5) .
6) ,
7) ,
8) , 
9) ,
10) , 
Dạng 2. Đặt x = u(t), hàm số u(t) liên tục và đơn điệu trên K chứa t1, t2
	dx = u’(t)dt
	x = a t = t1; x = b t = t2
	Biến đổi f(x)dx = f(u(t))u’(t)dt = g(t)dt. Ta có = = 
Ví dụ 5. Tính 
I = , Đặt x = 2sint, t 
J = , Đặt x =tant, t
K = , Đặt x =sint, t
L = , Đặt x = tant, t.
3) Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân từng phần.
Công thức: 
Ví dụ 6. Tính:
I = 
J = 
K = 
L = 
M = 
N = 
B. một số dạng tích phân thường gặp
I - Tích phân các hàm đa thức, hàm số luỹ thừa
Chú ý : với 0 và -1, 
	, , du = u’(x)dx 
I1 = 
I2 = 
I3 = 
I4 = 
I5 = 
I6 = 
I7 = 
I8 = 
I9 = 
I10 = 
I11 = 
II- Tích phân các hàm hữu tỉ
Chú ý: 
I12 = 
I13 = 
I14 = 
I15 = 
I16 = 
I17 = 
I18 = 
I19 = 
I20 = 
I21 = 
I22 = 
I23 = 
I24 = 
I25 = 
I26 = 
I27 = 
I28 = 
I29 = 
I30 = 
I31 = 
I32 = 
III- Tích phân hàm chứa căn thức
Chú ý:	 Trong đó R(x, f(x)) có các dạng: 
+) R(x, ) Đặt x = hoặc x = t 
+) R(x, ) Đặt x = a cos2t, t +) R(x, ) Đặt t = 
+) R(x, f(x)) = Với ()’ = k(ax+b)
	Khi đó đặt t = , hoặc đặt t = 
+) R(x, ) Đặt x = , t +) R Gọi k = BCNH(n1; n2; ...; ni), Đặt x = tk 
I33 = 
I34 = 
I35 = 
I36 = 
I37 = 
I38 = 
I39 = 
I40 = 
I41 = 
I42 = 
I43 = 
I44 = 
I45 = 
I46 = 
I47 = 
I48 = 
I49 = 
I50 = 
I51 = 
I52 = 
I53 = 
I54 = 
I55 = 
I56 = 
I57 = 
I58 = 
I59 = 
I60 = 
I61 = 
I62 = 
I63 = 
I64 = 
I65 = 
I66 = 
I67 = 
I68= 
I69 = 
IV- Tích phân hàm số lượng giác
Chú ý: Các công thức lượng giác
Tích thành tổng : 2sinax.cosbx = sin(a+b)x + cos(a-b)x
	2cosax.cosbx = cos(a+b)x + cos(a-b)x
	2sinax.sinbx = cos(a-b)x – cos(a+b)x
Hạ bậc: 2sinax.cosax = sin2ax; 2sin2ax =1- cos2ax; 2cos2ax = 1+ cos2ax.
Biểu diễn theo t = tan; sinx = ; cosx = ; tanx = 
 Các vi phân: d(sinx) = cosxdx; d(cosx) = -sinxdx; d(tanx) = =(1+tan2x)dx.
I70 = 	
I71 = 
I72 = 
I73 = 
I74 = 
I75 = 	
I76 = 	
I77 = 
I78 = 
I79 = 
I80 = 	
I81 = 
I82 = 
I83 = 
I84 = 
I85 = 	
I86 = 
I87 = 	
I88 = 	
I89 = 
I90 = 
I91 = 	
I92 = 	
I93 = 
I94 = 
I95 = 
I96 = 
I97 = 
V- Tích phân tổng hợp các hàm số
I98 = 
I99 = 
I100 = 
I101 = 
I102 = 
I103 = 
I104 = 
I105 = 
I106= 
I107 = 
I108 = 
I109 = 
VI – Một số tích phân đặc biệt
I110 =
I111=
I112 = 
I113 = 
I114 =
I115 = 
I116 = 
I117= 
I118 = 
I119 = 
c. ứng dụng của tích phân
Ví dụ 7. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y = x2 - 2x và y = x
b) y = x3 - 4x và trục Ox
c) y = x3 ; x+y = 2 và trục hoành;
d) y = ex ; y = 1 và x = ln8
e) y = x2 ; y = 
f) y = 0,25x3-3x và tt của nó tại điểm có hoành độ x =-
g) y = ; y = 3-x
h) (P):y = 2x2 và hai tt của (P) qua A(;0)
i) y = và các trục toạ độ
Ví dụ 8. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng A giới hạn bởi các đường sau, khi A quay quanh trục Ox
a) y = x2 ; y = 0; x = 1
b) y = sinx; y = 0; x = 0 và x = 
c) y = ex, trục Ox, x = 1
d) y = x2; x = 0; y = 1
Ví dụ 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) y = x2; y = ; y = 	b) y2 = x ; x - y - 2 = 0.	
c) Elíp 4x2 + y2 = 4	d) y = ; y = 2x 
Bài tập: A) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
Bài 1. (TN - 2006): y = ex ; y = 2 và đường thẳng x = 1. 	ĐS: e + 2ln2 - 4
Bài 2. (TN - 2002): y2 = 2x +1; y = x - 1	ĐS: = 16/3
Bài 3. (ĐH - KA - 2007): y = (e+1)x; y = (1+ex)x 	ĐS: = 1/2e - 1 
Bài 4. (ĐH - KB - 2002): y = và y = 	ĐS: = 2+ 4/3 
Bài 5. (ĐH - KA - 2002): y = y = ; y = x+3	ĐS: = 109/6
 B) Tính thể tích khối vật thể tròn xoay do hình phẳng D giới hạn bởi 
Bài 1. (TN - 2004): y = 1/3x3 - x2; y = 0; quay quanh trục Ox 	ĐS: 81/35 	 
Bài 2. (P) y = 2x2 và hai tiếp tuyến của (P) đi qua A(1/2; 0) quay quanh trục Ox
Bài 3. y = x2; y = quay quanh trục Oy 
Bài 4. Cho hình phẳng A giới hạn bởi đường cong có pt x(y+1) = 2 và các đường thẳng x = 0, y = 0, y = 3. Tính thể tích khối tròn xoay tạo được khi quay A quanh trục tung.
Bài 5. Đường cong (C): y = và các đường thẳng x = 1; x = 2; y = 0, quay quanh Ox.