Các vấn đề căn bản ôn thi tốt nghiệp môn Toán

1 Biên soạn: Nguyễn Thành Đô 
Töông lai cuûa baïn ñöôïc taïo neân bôûi nhöõng ñieàu baïn laøm trong ngaøy hoâm nay, chöù khoâng phaûi trong ngaøy mai. 
Neáu baïn chæ laøm nhöõng ñieàu maø baïn vaãn luoân laøm, baïn cuõng chæ nhaän ñöôïc 
nhöõng ñieàu maø baïn vaãn nhaän ñöôïc maø thoâi. 
VẤN ĐỀ 1. HÀM SỐ 
Bài 1. Cho hàm số  3 23 3(2 1) 1 .my x mx m x C     
1. Khảo sát và vẽ đồ thị 1
2
C
      
 với 
1
.
2
m  
2. Viết phương trình tiếp tuyến của 1
2
:C
      
a. Tại điểm có hoành độ bằng bằng 4. 
b. Tại điểm có tung độ bằng 1. 
c. Tại giao điểm của 1
2
( )C với .Oy 
d. Biết tiếp tuyến có hệ số góc 6.k  
e. Biết tiếp tuyến đi qua *(2;1)A 
3. Dựa vào đồ thị 1
2
( )C biện luận số nghiệm của 
phương trình: 3 22 3 2 0x x k   
4. Tìm n để phương trình 
3 22 3 3 0x x m     có 3 nghiệm phân biệt. 
5. Xác định m để hàm số đạt cực đại tại 2.x  
6. Xác định m để hàm số có 2 cực trị. 
7. Xác định m để hàm số luôn đồng biến với 
.x   
8. Xác định m để hàm số nghịch biến trên đoạn 
*(0;1) . 
9. Tìm m để đồ thị  mC cắt Ox tại 3 điểm phân 
biệt. 
10. Từ đồ thị 1
2
C
      
, hãy vẽ đồ thị  C của hàm số 
2 23 1
2
y x x x   
11. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 1
2
( )C trên đoạn 
1
;2
2
    
. 
12. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1
2
C
      
, trục 
, 1, 3.Ox x x  
13. Tìm GTLN, GTNN của hàm số 
3 22 sin 3 cos 1y x x   trên tập xác định. 
Bài 2. Cho hàm số   4 2 1 1 .y x mx m    
1. Khảo sát và vẽ đồ thị  8C khi 8.m  
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  8C tại điểm cực đại. 
3. Viết phương trình tiếp tuyến với  8C tại điểm có tung độ bằng 16. 
4. Dựa vào đồ thị  8C , tìm m để phương trình 
4
2
24 log 02
x
x m    có 4 nghiệm phân biệt. 
5. Xác định m để đồ thị hàm số  1 có 3 cực trị và các điểm cực trị lập thành tam giác vuông cân. 
6. Xác định m để (1) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt. 
Bài 3. Cho hàm số   1
1
x
y C
x


1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C . 
2. Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm có hoành độ bằng 3. 
3. Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm có tung độ bằng 3. 
 Moïi thöù baïn muoán ñang chôø baïn ôû ngoaøi kia. Moïi thöù baïn muoán cuõng muoán baïn nhöng baïn 
phaûi HAØNH ÑOÄNG ñeå coù ñöôïc chuùng. 
4. Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm có tung độ bằng hoành độ. 
5. Viết phương trình tiếp tuyến của  C , biết tiếp tuyến song song với : 2 1.d y x   
6. Biện luận số nghiệm của phương trình 1 1x m x   
7. Tìm k để đường thẳng : 1d y kx k   cắt  C tại hai điểm phân biệt ,A B sao cho AB có độ dài 
nhỏ nhất. 
.. 
VẤN ĐỀ 2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: 
.
3 2
2
4 2
4 2
1. ( ) 2 3 12 10 treân 3;3
2 12. ( ) treân ñoaïn 4;3
3
23. ( ) treân ñoaïn 0;4
1
24. ( ) treân ñoaïn 1;3
2
1 1 15. ( ) treân ñoaïn 1;1
4 2 4
6. ( ) 2 2 tre
f x x x x
x
f x
x
x
f x
x
x x
f x
x
f x x x
f x x x
      

   

   
 
   
     
  
2
2
ân ñoaïn 3; 3
7. ( ) (3 ) 1 treân 0;2
8. ( ) 1 4 treân 1;2
9. ( ) 4 2 treân ñoaïn 1;2
f x x x
f x x x
f x x
 
 
     
      
     .
 
 
    
  
    
   
    
     
3
2
2
2
3
2
410. ( ) 2sin sin treân 0;
3
11. ( ) sin 2sin 3
12. ( ) 2 treân ñoaïn 0;3
ln13. ( ) treân ñoaïn 1;
414. ( ) treân 0; ln10
1
15. ( ) ln 1 2 treân ñoaïn 2;0
16.
x
x
x
f x x x
f x x x
f x x x e
x
f x e
x
f x e
e
f x x x
y


     
 
   
 
     
2( ) treân ñoaïn 1;0
17. ( ) 2 cos treân ñoaïn 0;
2
18. 4 3 treân ñoaïn 1;2
x
x x
f x x e
f x x x
y e e x
Chú ý: Trong kì thi tốt nghiệp nên dùng phương pháp cơ bản ( không nên sử dụng bảng biến thiên) 
-------------------------------------------------------------------------- 
VẤN ĐỀ 3. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT. 
Bài 1. Giải phương trình: 
   
2
2
2
3 2
1
2 3
4 2 1
1 3
3 4
3 2
4 8 2 5
1
1) 2 .
4
1
2) 7 .
7
3) 2 2 5 3.5 .
4) 5 2 5 2
1
5) 2
2
6) 3 4.3 27 0
x x
x
x x
x x x x
x x
x
x
x x
 

 
  
  


 

    
  
  
    
  
 2 2 2
2 2
2 2
2 1
1
* 3 2 6 5 2 3 7
2 1 2 2
* sin cos
3 1 2
7) 7 8.7 1 0
8) 2 2 3 0
9) 3.4 2.6 9
10)(2 3) (2 3) 4
11 ) 4 4 4 1
12) 2 9.2 2 0
13 ) 9 9 10
14) 2 7.2 7.2 2 0
x x
x x
x x x
x x
x x x x x x
x x x x
x x
x x x


     
  

  
  
 
   
  
  
 
   
15*) Tìm m để phương trình sau có nghiệm 
3 Biên soạn: Nguyễn Thành Đô 
Töông lai cuûa baïn ñöôïc taïo neân bôûi nhöõng ñieàu baïn laøm trong ngaøy hoâm nay, chöù khoâng phaûi trong ngaøy mai. 
Neáu baïn chæ laøm nhöõng ñieàu maø baïn vaãn luoân laøm, baïn cuõng chæ nhaän ñöôïc 
nhöõng ñieàu maø baïn vaãn nhaän ñöôïc maø thoâi. 
9 .3 2 1 0x xm m    
Bài 2. Giải bất phương trình 
  
 7
2
2
22
6 3 7
7 2
1 / 3 9
2 / 49
3 9
3 /
5 25
x
x
x x
x x

 
  


      
   
2x+1
 3
 (*)
21 3
2
4) 5 2 5 2
5) 10.3 3 0
6) 5 5 26
7) 4 2.25 7.10 0
x x
x
x x
x x x
  

  
  
 
  
Bài 3. Giải phương trình 
   
2
2 2 2
2 2
3 3 3
2
3 3
4 2
2
2 2
1) log( 6 7) log( 3)
2) log log ( 3) log 4
3) log 3 1 log 1
4) log ( 1) log (2 11) log 2
5) 2 log ( 2) log ( 4) 0
6) log log (4 ) 5
7) 4 log log 2
x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
   
  
   
   
   
 
 
 2 22 48) log log (4 ) 5 0x x   
9) Cho phương trình 2 22 2log (2 1). log 1 0x m x m     
 a. Giả phương trình với 2m  
 b. Tìm m để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân 
biệt x1, x2 thỏa mãn: 41 2. 32x x  
8
4 22
2 2 2
4 5 20
1 1
10) log ( 3) log ( 1) log (4 )
2 4
11) log 1 . log 1 log 1
x x x
x x x x x x
   
                          
Bài 4. Giải bất phương trình 
 
 
3
2
0,5
2
1 1
3 3
2
3 1
3
2
2 4 1
2
1) log (4 3) 2
2) log ( 5 6) 1
3) log (2 4) log ( 6)
4) lg(7 1) lg(10 11 1)
5) 2log 4x 3 log (2 3) 2
6) log x 2 log ( 5) log 8 0
x
x x
x x x
x x x
x
x
 
   
   
   
   
    
  
2
0,5 0,5
2
2
2
2
3 3
2
0,7 6
7) log log 2
2
8) log
log 1
9) log 13 log 36 0
10) 2 log 5 log 9 3 0
11) log log 0 (B_2008)
4
x x
x
x
x x
x x
x x
x
 
 
  
  
        
--------------------------------------------------------------------------------------- 
 Moïi thöù baïn muoán ñang chôø baïn ôû ngoaøi kia. Moïi thöù baïn muoán cuõng muoán baïn nhöng baïn 
phaûi HAØNH ÑOÄNG ñeå coù ñöôïc chuùng. 
VẤN ĐỀ 4. NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 
BẢNG NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN, VI PHÂN TỪNG PHẦN 
 I
 I
 I
 I
1
2
1
0
2 3 2
2
1
3 2
3
2
2
4
0
2
5
0
4
4 4
6
0
1
*
7 2
0
2
*
8 2
1
1) ( 1)
( 2 4)
2)
4
3)
1
4) cos 3 .cos
5) (2 sin 3)cos
6) (cos sin )
7 )
3 2
.
8 )
3 2
x x dx
x x
I dx
x
x x
I dx
x
I x xdx
x xdx
x x dx
dx
I
x x
x dx
x x



 
 



 
 

 

 








 I
 I
2
1
2
7
0
8
1
6
9
0
1
10
0
3
5
11
1
2
3
12
0
1
14 2
0
2
14
0
2
sin
15
0
7) 1
1 ln
8)
9) 1 4 sin .cos .
10) . .
11) (2 1)
12) cos .sin
(2 3)
13)
3 2
sin 2 cos
14)
1 cos
15) ( cos )
e
x
x
I x x dx
x
I dx
x
x x dx
I e x dx
x dx
I x xdx
x dx
I
x x
x x
I dx
x
I e x




 

 

 


 


 









ln5
16
ln2
cos
( 1)
16)
1
x x
x
xdx
e e
I dx
e



 
 
x
 I = 
 I
 I
 I
 e
 I
2
17
0
2
18
0
1
19
0
5
20
2
/2
2
21
0
22
0
1
2
23
0
24
1
17) ( 2).sin
18) (3 1).cos
19) 4 1
20) 2 . ln( 1)
21) ( sin ).cos .
22) 1 cos
23) ( )
3
24) 2 ln
2
x
x
e
I x xdx
I x xdx
x e dx
x x dx
x x x dx
x x dx
I e x dx
x xdx
x





 
 

 
 
 
 
      








  I = 
3
2
25
2
5) ln x x dx
---------------------------------------------------------------- 
Vấn đề 5. SỐ PHỨC 
Chú ý: Các bài toán về tính, giải phương trình bậc hai về số phức sau khi giải xong cần kiểm tra lại bằng máy tính. 
Bài 1. Tìm phần thực, phần ảo, môđun, số phức liên hợp của các số phức sau: 
2
1
2
1) (2 )(1 2 ) (2 3 )
1
2) (4 3 )
2
z i i i
i
z i
i
    
  

3
3
4
3) 1 4 (1 )
(3 4 )(1 2 )
4) 4 3
1 2
z z i i
i i
z i
i
    
   

Bài 2. Giải phương trình (tìm số phức z ) 
         
         
2
3 2 3
4/
1/ 1 3i – 2 5i 2 i 2/ (2 3) 5 2 3/ 
4 3
 1   3i   –   2   5i     2   i                  5/  1 – i 2 – i 2 i 6/ 2 i –4 
i z i i
z
z i i
i
z z z z z
         
        0
Bài 3*. Tìm số phức z thỏa mãn: 
5 Biên soạn: Nguyễn Thành Đô 
Töông lai cuûa baïn ñöôïc taïo neân bôûi nhöõng ñieàu baïn laøm trong ngaøy hoâm nay, chöù khoâng phaûi trong ngaøy mai. 
Neáu baïn chæ laøm nhöõng ñieàu maø baïn vaãn luoân laøm, baïn cuõng chæ nhaän ñöôïc 
nhöõng ñieàu maø baïn vaãn nhaän ñöôïc maø thoâi. 
 2
2
1)
z
z
  laø soá thuaàn aûo.
 (2 ) 102)
. 25
z i
z z
    
 23) 0z z  
1 5
4)
( 1))( 2 )
z
z z i
     laø soá thöïc
1 2 2
5)
z i
z
    co ùmodun nhoû nhaát
Bài 4. Giải phương trình: 
2
2
2
1) 3 6 0
2) 3 5 2 0
3) 2 5 0
z z
z z
z z
  
  
   
4 2
4 2
4 2
4*) 3 6 0
5*) 5 36 0
6*) 2 3 5 0
z z
z z
z z
  
  
  
3
3
7) 8 0
8) 8 0
z
z
 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Vấn đề 6. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 
KHỐI CHÓP 
Bài 1. Cho hình chóp .S ABC có đáy  ABC là tam giác vuông cân tại B , AC a , biết SA vuông góc 
với mặt đáy  ABC và SB hợp với đáy một góc 060 . 
1. Tính thể tích của khối chóp . .S ABC 
2. Tính khoảng cách từ A đến  . *SBC 
Bài 2. Cho hình chóp .S ABC có đáy ( )ABC là tam giác đều cạnh a , biết SA vuông góc với ( )ABC và 
( )SBC hợp với đáy một góc 060 . 
1. Tính thể tích hình chóp. 
2. Tính khoảng cách giữa SA và .BC 
Bài 3. Cho hình chóp .S ABC có SA vuông góc với đáy. ABC là tam giác vuông góc tại 
, 3, 2B AB a AC a  . Góc giữa hai ( )mp SBC và ( )ABC bằng 060 . Gọi M là trung điểm của .AC 
1. Tính .S BCMV . 
2. Tính khoảng cách từ M đến ( ).SBC 
Bài 4. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và ( ),( )SAB SAD vuông góc với 
 ABCD , mặt bên  SCD với với đáy một góc 060 . 
1. Tính thể tích khối chóp . .S ABCD 
2. Tính khoảng cách từ A đến ( ).SCD 
Bài 5. Cho hình chóp đều .S ABCD , cạnh đáy bằng a , các cạnh bên tạo với đáy một góc 060 
1. Tính thể tích khối chóp . .S ABCD 
2. Tính khoảng cách giữa AC và .SD 
Bài 6. Cho hình chóp đều .S ABC , cạnh đáy bằng a .Mặt bên hợp với đáy một góc 060 . Tính . .S ABCV 
LĂNG TRỤ 
 Moïi thöù baïn muoán ñang chôø baïn ôû ngoaøi kia. Moïi thöù baïn muoán cuõng muoán baïn nhöng baïn 
phaûi HAØNH ÑOÄNG ñeå coù ñöôïc chuùng. 
Bài 7. Cho lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A với  0, 60AC a ACB  , 
biết 'BC hớp với  ' 'AA C C một góc 030 . Tính 'AC và . ' ' '.ABC A B CV 
Bài 8. Cho hình hộp chữ nhật . ' ' ' 'ABCD A B C D có ' 2AA a , mặt phẳng  'A BC hợp với đáy 
( )ABCD một góc 060 và 'A C hợp với đáy ( )ABCD một góc 030 . Tính thể tích khối chữ nhật. 
Bài 9. Cho hình lăng trụ đứng .ABC A B C   có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a, mặt ( )A BC 
tạo với đáy một góc 030 và tam giác A BC có diện tích bằng 2 3a . Tính thể tích khối lăng trụ 
.ABC A B C   . 
------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Vấn đề 7. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
Bài 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm (7;2;1), ( 5; 4; 3), (2; 1; 0)A B C    và mặt 
phẳng ( ) : 3 2 6 38 0P x y z    
1) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB. Chứng minh rằng, AB ||( )P . 
2) Viết phương trình mặt phẳng  .ABC 
3) Viết phương trình mặt cầu ( )S có đường kính AB. 
4) Chứng minh ( )P là tiếp diện của mặt cầu ( )S . Tìm toạ độ tiếp điểm của ( )P và ( )S 
Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm ( 1;1;1), (5;1; 1), (2;5;2), (0; 3;1)A B C D   
1) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Từ đó chứng minh ABCD là một tứ diện. 
2) Viết phương trình mặt cầu đường kính .AB 
3) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm D, đồng thời tiếp xúc với mặt phẳng (ABC). 
4) Viết phương trình tiếp diện với mặt cầu (S) song song với mp(ABC) 
Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm ( 5;0;1), (7;4; 5)A B  và mặt phẳng 
( ) : 2 2 0P x y z   
1) Viết phương trình mặt cầu ( )S có đường kính AB. Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt 
phẳng ( )P . 
2) Viết phương trình đường thẳng d đi qua tâm I của mặt cầu ( )S đồng thời vuông góc với mặt phẳng 
( )P . Tìm toạ độ giao điểm của d và ( )P . 
Bài 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm (0;6;4)A và đường thẳng d có phương trình d: 
2 1
1 2 1
x y z   
1) Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua A vuông góc với .d 
2) Hãy tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d. 
3) Viết phương trình mặt cầu ( )S có tâm là điểm A và tiếp xúc với đường thẳng d. 
7 Biên soạn: Nguyễn Thành Đô 
Töông lai cuûa baïn ñöôïc taïo neân bôûi nhöõng ñieàu baïn laøm trong ngaøy hoâm nay, chöù khoâng phaûi trong ngaøy mai. 
Neáu baïn chæ laøm nhöõng ñieàu maø baïn vaãn luoân laøm, baïn cuõng chæ nhaän ñöôïc 
nhöõng ñieàu maø baïn vaãn nhaän ñöôïc maø thoâi. 
Bài 5. Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình 
3 2
: 1 ,( ) : 3 2 6 0
x t
d y t P x y z
z t
            
1) Tìm toạ độ điểm A giao điểm của đường thẳng d và mp(P). Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua 
 điểm A, đồng thời vuông góc với đường thẳng d. 
2) Viết phương trình mặt cầu ( )S tâm (2;1;1)I , tiếp xúc với mp(P). Viết phương trình mặt phẳng tiếp 
diện của mặt cầu ( )S biết nó song song với mp(P). 
Bài 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm (3;1; 1), (2; 1; 4)A B  và mặt phẳng 
( ) : 2 3 1 0P x y z    
1) Viết phương trình đường thẳng AB và phương trình mặt cầu đường kính AB. 
2) Viết phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với ( ).P 
3) Viết phương trình mặt phẳng ( )Q chứa hai điểm A,B, đồng thời vuông góc với mp(P). 
Bài 7. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2 2 2 0x y z    
1) Viết phương trình mặt cầu ( )S tâm I(3;–1;2) tiếp xúc với (Q). Tìm toạ độ tiếp điểm. 
2) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm (1; 1;1), (0; 2;3)A B  , đồng thời tạo với mặt cầu 
( )S một đường tròn có bán kính bằng 2. 
Bài 8. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho cho điểm (1;3; 2)I  và đường thẳng 
4 4 3
:
1 2 1
x y z    

1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I và chứa đường thẳng  . 
2) Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng  . 
3) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là điểm I và cắt  tại hai điểm phân biệt A,B sao cho đoạn 
thẳng AB có độ dài bằng 4. 
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------